BÀI tập về DAO ĐỘNG cơ có lời GIẢI CHI TIẾT

BÀI TẬP VỀ DAO ĐỘNG CƠ CÓ LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Cho ba chất điểm (1), (2) và (3) dao động theo phương thẳng đứng trong cùng một hệ trục tọa độ với

π
π


x1 = 4cos  5πt − ÷cm và x 2 = 2cos  5πt + ÷
2
6



phương trình của vật (1) và (2) tương ứng là
cm. Biết trong
quá trình dao động, chất điểm (2) luôn cách đều chất điểm (1) và (3) và ba chất điểm luôn thẳng hàng.
Phương trình dao động của chất điểm thứ (3) là:
2π 
2π 


x 3 = 4cos  5πt − ÷cm
x 3 = 4 3cos  5πt − ÷cm
3 
3 


A.
B.
π
π



x 3 = 4 3cos  5πt + ÷cm
x3 = 4 cos 5πt + cm
3
3


C.
D.
Giải: Phương trình dao động của chất điểm thứ (3) có dạng: x3 = Acos(5πt +ϕ)
Đề tại thời điểm ban đầu 3 vật nằm trên một đường thẳng
π
π
3
3
2
6
x01 = 4cos(- ) = 0 ; x02 = 2cos( ) =
cm-----> x03 = 2x02 = 2
cm
3
2
= Acosϕ (*)
π
2
Khi x1 = A1 = 4 cm; cos(5πt - ) = 1----.> sin5πt = 1; cos5πt = 0 (**)
π
π
π

6
6
6
Khi đó x2 = 2cos(5πt + ) = 2cos5πt.cos
- 2sin5πtsin = -1M1
Để 3 chất điểm thẳng hàng khi x1 = 4cm;
x1
x2 = - 1cm thì x3 = - 6cm
x03
M 2B
IB
1
x02 x02
x01
M1A
IA
4
I
B
Vì :
=
= ===> IA = 4IB
C
M2 x2
O
A
M
B
2
IB

x3
M 3C
IC
=
===>
IB
IB
IB
IB
1
IC
IB + BC
2 IB + IA 2 IB + 4 IB 6
M3
=
=
=
=
M 2B
1
M 3C
6
=
===> M3C = 6M2B ====> x3 = 6x2 = - 6 cm
Thay (**) vào biểu thức x3 ta có
x3 = Acos(5πt +ϕ) = Acos5πt cosϕ - Asin5πt sinϕ = - Asinϕ = - 6
Asinϕ = 6 (***)
π
3
3

Từ (*) và (***): A = 4
cm và ϕ =


π
3

3
Vậy x3 = Acos(5πt +ϕ) =x3 = 4
cos(5πt + ) cm. Đáp án D
Câu 2. Hai chất điểm M và N dao động điều hòa cùng tần số f = 0,5Hz dọc theo hai đường thẳng song song
kề nhau và song song với trục Ox. Vị trí cân bằng của M và N đều trên một đường thẳng qua gốc tọa độ và
vuông góc với trục Ox. Trong quá trình dao động khoảng cách lớn nhất giữa M và N theo phương Ox là
10cm. Tại thời điểm t1 hai vật đi ngang nhau, hỏi sau khoảng thời gian ngắn nhất là bao nhiêu kể từ thời
điểm t1 khoảng cách giữa chúng là 5cm.
A. 1/3s B. 1/2s C. 1/6s D. 1/4s
1
f
Giải: Chu kì dao động của hệ T =
= 2s
Giả sử phương trình dao động của M và N có dạng
x1 = A1cos(πt + ϕ1).
x2 = A2cos(πt + ϕ2).
Khoảng cách giữa M. N theo trục Ox
x = x1 – x2
Vẽ giãn đồ véc tơ A = A1 – A2 = A1 + (-A2)
Khi đó x có dạng: x = A cos(πt + ϕ).
xmax = A ---- A = 10 cm
Tại thời điểm t1 hai vật đi ngang nhau x = 0 : x qua gốc tọa độ
A

2
Tại thời điểm t2 x = ±5 cm = ±
A
T
2
12
Khoảng thời gian ngắn nhất để chất điểm đi từ VTCB đên li độ x = ± là t =
Do đó: khoảng thời gian ngắn nhất kể từ thời điểm t1 khoảng cách giữa chúng là 5cm. là
T
1
12
6
t=
= s . Chọn đáp án C
Câu 3. Hai vật dao động điều hòa dọc theo hai đường thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ
Ox sao cho không va chạm vào nhau trong quá trình dao động. Vị trí cân bằng của hai vật đều ở trên một
đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Biết phương trình dao động của hai vật lần lượt là : x1 =
1
1
2
24
3
4cos(4πt + π/3)cm và x2 = 4
cos(4πt + π/12)cm. Tính từ thời điểm t1 =
s đến thời điểm t2 = s thời
3
gian mà khoảng cách giữa hai vật theo phương Ox không nhỏ hơn 2
cm là bao nhiêu ?
A. 1/3s B. 1/8 C. 1/6s D. 1/12s
Giải:

π
π
2
12
3
Xét hiệu y = x2 – x1 = 4
cos( 4πt +
) - 4 cos( 4πt + )
A1
A
π
3
A
Vẽ giản đồ véc tơ A1= 4 (cm); ϕ1 =
π
A2
21
2
12
A2= 4
(cm); ϕ2 =
O


A = A2 – A1

y = Acos (4πt + ϕ)

Theo giản đồ ta có
A2 = A12 + A22 + 2A1A2 cos(ϕ1 - ϕ2 )

π
4
ϕ21= ϕ1 - ϕ2 =
. Thay số ta đươc A = 4cm và tam giác OA2A1 vuông cân tại A1
π π π 5π
5π
12 4 2 6
6
ϕ=
+ + =
Vậy ta được y = 4cos (4πt +
)
1
1
5π
24
24
6
Khi t = t1 =
s ----- y1 = 4cos (4π
+
) = - 4 cm
1
1 5π
3
3
3
6
y2
Khi t = t2 = s ----- y2 = 4cos (4π +

)=2
cm
1
1
7
7
A 3
3 24
24
12
y1
−
∆t = t2 – t1 = =
s=
T ( T = 0,5s là chu kỳ dao động)
2
5π
A 3
6
2
Khoảng cách giữa hai chất điểm d = y  = 4cos(4πt +
)
A 3
3
2
d = y  ≥ 2
cm =
.
A 3
T

2
12
Trong 1 chu kỳ y ≥
. trong khoản thời gian 4.
A 3
A 3
2
2
ứng với khoảng thời gian y có li độ trpng khoảng (- A đển ) và ( A đển
)
1
1
24
3
Tính từ thời điểm t1 =
s đến thời điểm t2 = s thời gian mà khoảng cách giữa hai vật theo phương Ox
7
1
T
1
3
12
3
12 8
không nhỏ hơn 2
cm là
T - T = 3,
= s . Chọn đáp án B
Câu 4. Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa trên cùng một trục Ox có phương trình: x1
ωt + ϕ

ωt + ϕ
ωt + π / 3
= 4cos(
)cm, x2 = A2cos(
)cm. Biết
2)cm. Phương trình dao động tổng hợp x = 2cos(
ϕ −ϕ
ϕ
π /2
A1
. Cặp giá trị nào của A2 và sau đây là ĐÚNG?
2 =
3
A. 3

3
cm và 0

B. 2

cm và

π /4

3
C. 3

cm và

π /2

α

Giải: Vẽ giãn đồ véc tơ
π
2
ϕ - ϕ2 =
----> x vuông pha với x2

O
2

A2

3
D. 2
A

cm và 0


3
A22 = A12 – A2 = 42 – 22 = 12 ----> A2 = 2
Gọi α là góc lệch pha giữa x1 và x. Trong tam giác vuông
π
3
3
OAA1 tan α = A2/A =
----> α = ϕ1 =
Véc tơ A trùng với trục Ox ----> ϕ = 0
Chọn đáp án D

+ϕ

+ϕ

Câu 5. Một vật tham gia động thời 2dao động điều hòa cùng phương: x1 = 2cos(4t
1) cm, x2 = 2cos(4t
0 ≤ ϕ −ϕ ≤ π
ϕ
+π / 6
)cm
với
Biết
phương
trình
dao
động
tổng
hợp
x
=
2cos(4t
)cm.
Hãy
xác
định
2
2
1
.

1
Giải: Vẽ giãn đồ véc tơ
A = A1 + A2
A2
Do A1 = A2 = A = 2cm
2π
A
3
nên ta có hình thoi , góc tạo bới A1 và A2 là
π/3 π/6
π
π
π
O
1
6
3
6
mà góc ϕ = . Do vậy ϕ 1 = ϕ =A1

Câu 6: Một vật dao động điều hoà mà 3 thời điểm t1; t2; t3; với t3 – t1 = 2( t3 – t2) = 0,1πs , gia tốc có cùng độ
lớn a1 = - a2 = - a3 = 1m/s2 thì tốc độ cực đại của dao động là
5
2
2
2
A. 20
cm/s B. 40
cm/s C. 10
cm/s D. 40 cm/s

1
M3
ω2
Giải: Do a1 = - a2 = - a3 = 1m/s2 ---> x1 = - x2 = - x3 = (m)
Từ t3 – t1 = 2( t3 – t2) = 0,1π (s) -----> t2 – t1 = t3 – t2 = 0,05π (s)
Giả sử tai 3 thời điểm vật ở M1; M2; M3
x3
x1
Thời gian vật đi từ M1 đến M2 và từ M2 đến M3 bằng nhau
x2
A 2
A 2
2
2
và bằng T/4 ----> x1 = ; x2 = x 3 =
M2
M1
Do đó chu kỳ dao động của vật T = 4.0,05π (s) = 0,2π (s)
A 2
2
a1 = - ω2x1 = ω2
= 1m/s2 ---->
2
ω2
Biệ độ dao động: A =
Tốc độ cực đại của dao động là
2
2T
2
2

ω
2π
vmax = ωA =
=
= 0,1
m/s = 10
cm/s. Đáp án C


x(cm)

Câu 7 . Một chất điểm thực hiện đồng

thời hai dao động điều hòa cùng
phương cùng chu kỳ T mà đồ thị x1 và
x2 phụ thuộc vào thời gia như hình vẽ.
Biết x2=v1T, tốc độ cực đại của chất
điểm là 53,4 cm/s. Giá trị T gần giá trị
nào nhất:
0
A.2,56s
B.2,99s
-3,95
C.2,75s
D.2,64s
Giải:
Ta có x1 = 3,95cos(
Khi đó v1 = -

2π

T

2π
T

x2

x1
2,5

t + ϕ) (cm)

.3,95 sin(

2π
T

t + ϕ)( cm/s)
2π
T

t(s)

v1 =

2π
T

π
2

.3,95 cos(

2π
T

t+ϕ+

π
2

) (cm/s)

Do vậy x2 = v1T = 2π.3,95 cos( t + ϕ + )
Ta thấy x1 và x2vuông pha nhau. Do đó biên độ dao động tổng hợp A2 = A12 + A22 = 3,952( 1
+ 4π2) (cm2)
A = 3,95

1 + 4π 2

(cm)

Tốc độ cực đại của chất điểm vmax = ωA =
--- T =

2π .3,95 1 + 4π
53,4

2π
T

.3,95

1 + 4π 2

= 53,4 (cm/s)

2

= 2,957s. Chọn đáp án B

Câu 8: Cho soi dây OA đàn hồi đầu O cố định,hai điểm M,N trên dây khi chưa có sóng OM=2cm
;ON=12cm.tính khoảng cách xa nhất giữa chúng khi có sóng dừng trên dây chiều dài bó sóng 20cm,biên độ
bụng sóng 3cm.
A.16cm B.13cm
C.10,46cm D.10,18cm
Giải: Bước sóng λ = 40 cm ( hai lần chiều dài bó sóng)
Do OM = 2cm; ON = 12 cm nên M, N ở cùng một bó sóng, chúng luôn dao động cùng pha, khoảng cách
xa nhất giữa chúng khi chúng cùng ở vị trí biên. Biểu thức của sóng dừng tại điểm cách nút O đoạn d có
2πd π
π
u = 2a cos(
+ ) cos(ωt − )
λ
2
2
dạng
Với 2a = 3 cm biên độ bụng sóng
2πd π
2π .2 π

3π
λ
2
40 2
5
Biên độ sóng tại M, N aM = |2acos(
+ )| = |3cos(
+ )| = |3cos(
)|= 0,927 cm
2πd π
2π .12 π
11π
λ
2
40
2
10
aN = |2acos(
+ )| = |3cos(
+ )| = |3cos(
)| =2,427 cm


(a N − a M ) 2 + MN 2
MNmax =

= 10,11187 cm
M

N

O

Câu 9. Cho hai chất điểm dao động điều hòa trên hai đường thẳng song song theo các phương trình
x1=4cos(10πt) (cm) và x2=2cos(20πt+π) (cm). Kể từ t=0, vị trí đầu tiên chúng có cùng tọa độ là:
A. - 1,46 cm.
B. 0,73 cm.
C. - 0,73 cm.
D. 1,46 cm.
Giai: x = x1 = x2 ---- 4cos(10πt) = 2cos(20πt+π)
- 2cos(10πt) = cos(20πt+π) = - cos(20πt = -2cos2(10πt) + 1 2cos2(10πt) +2cos(10πt) - 1 = 0 (*)
Phương trình (*) có nghiêm là cos(10πt) = (- 1 ±√3)/2
---
Kể từ t=0, vị trí đầu tiên chúng có cùng tọa độ là: x = 4cos(10πt) = 4(√3 – 1)/2 = 1,46cm. Đáp án D
Câu 10 : Hai chất điểm dao động điều hòa có đồ thị li độ theo thời gian như hình vẽ. Khoảng cách lớn nhất
giữa hai chất điểm trong quá trình dao
động là
A. 8 cm. B. 4 cm.
Giải:

C.

4 2

2 3
cm

D.

cm.

2π
3

Theo đồ thi ta có chu kỳ dao động T1 = T2 = 3s ------> ω1 = ω2 =
rad/s
2π
2π
3
3
Phương trình dao động của 2 chất điểm: x1 = 4cos(
t + φ1) cm; x2 = 4cos(
t + φ2) cm
Khi t = 0 x01 = x02 và v01> 0; v02 < 0 -------> cosφ1 = cosφ2 và sinφ1 = - sinφ2 < 0
Do đó φ1 = - φ2
2π
3
Mặt khác khi t = 2,5s thì x1 = 0 ------> 4cos(
.2,5 + φ1)
2π
3
= 0 -------> φ1 = 2π
3
Do vậy φ1 = - φ2 = 2π
2π
2π
2π
3
3
3

3
x1 = 4cos(
t) cm; x2 = 4cos(
t+
) cm
2π
2π
2π
3
3
3
Khoảng cách giữa hai chất điểm: x = |x2 – x1| = |8sin
sin(
t)| cm = |4sin(
t)| cm
------> xmax = 4 cm. Đáp án B