Các dạng bài tập có liên quan đến biểu thức hữu tỉ, căn bậc hai, căn bậc
ba.
1. Dạng 1 : Rút gọn và tính giá trị các biểu thức hữu tỉ
- Khi thực hiện rút gọn một biểu thức hữu tỉ ta phải tuân theo thứ tự
thực hiện các phép toán : Nhân chia trớc, cộng trừ sau. Còn nếu biểu thức
có các dấu ngoặc thì thực hiện theo thứ tự ngoặc tròn, ngoặc vuông, ngoặc
nhọn.
- Với những bài toán tìm giá trị của phân thức thì phải tìm điều kiện
của biến để phân thức đợc xác định (mẫu thức phải khác 0)
2. Dạng 2 : Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa
A
- Biểu thức có dạng B xác định (có nghĩa) khi B 0
- Biểu thức có dạng
A xác định (có nghĩa) khi A 0
- Biểu thức có dạng
A
B
A
- Biểu thức có dạng
- Biểu thức có dạng
xác định (có nghĩa) khi B > 0
B
C
A 0
xác định (có nghĩa) khi C 0
A 0
A B
C xác định (có nghĩa) khi C 0
3. Dạng 3 : Rút gọn các biểu thức chứa căn bậc hai, căn bậc ba
Lí thuyết chung:
a) Các công thức biến đổi căn thức
A
1)
2
A
AB
2)
A
B
3)
A
B ( víi A 0 vµ B 0)
A (víi A 0 vµ B > 0)
B
2
A B A
4)
5) A B
A
6)
B (víi B 0)
2
A B (víi A 0 vµ B 0)
2
B A B (víi A < 0 vµ B 0)
A
B
1
B
A
AB (víi AB 0 vµ B 0)
B
B
7)
A
B
8)
C
A B
C
(víi B > 0)
A B
A B
2
2
(víi A 0 vµ A B )
9)
C
A
C
B
A
B
A B
(víi A 0 , B 0 vµ A B)
*) Lu ý:
Để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai ta làm nh sau :
- Quy đồng mẫu số chung (nếu có)
- Đa bớt thừa số ra ngoài dấu căn (nếu có)
- Trục căn thức ở mẫu (nếu có)
- Thực hiện các phép tính lũy thừa, khai căn, nhân, chia , …
theo thứ tự đã biết để làm xuất hiện các căn thức đồng dạng
- Cộng, trừ các biểu thức đồng dạng (các căn thức đồng dạng)
b) Các hằng đẳng thức quan trọng, đáng nhớ:
1) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
( a b)2 a 2 a.b b
(a,b 0)
2) (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
( a b)2 a 2 a.b b
(a,b 0)
3) a2 - b2 = (a + b).(a - b)
a b ( a b).( a b)
(a,b 0)
4) (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
5) (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
3
3
2
2
6) a b (a b)(a ab b )
a a b b a3 b 3
3
3
3
3
a b
( a b)(a ab b) (a,b 0)
3
3
2
2
7) a b (a b)(a ab b )
a a b b a3 b 3
a b
( a b)(a ab b) (a,b 0)
8) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
2
9) ( a b c) a b c 2 ab 2 ac 2 bc
a2 a
(a,b,c 0)