Chương iv bất đẳng thức và bất phương trình

CHƯƠNG IV : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
I - BẤT ĐẲNG THỨC
Các phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức:
- Phương pháp biến đổi tương đương:
Dng cc tính chất cơ bản của bất đẳng thức để biến đổi tương đương bất đẳng thức cần
chứng minh về một bất đẳng thức đúng.
- Phương pháp dùng bất đẳng thức Cô-si:
a) Đối với 2 số không âm a và b:

ab
 ab
2

hay

a  b  2 ab .

a. Đẳng thức xảy ra  a = b.
b) Đối với 3 số không âm a, b và c:

abc 3
 abc
3

hay

a  b  c  33 abc .

a. Đẳng thức xảy ra  a = b = c.
c) Tổng quát: Đối với n số không âm a1 ; a 2 ; a 3 ;...; a n :
a.

a1  a 2  a3  ...  a n n
 a1.a 2 .a 3 .....a n
n

d) Ch ý:
a. a 2  b 2  2ab với mọi số thực a, b.


b. Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh về dạng có thể áp dụng
được bất đẳng thức Cô-si với các kỹ thuật tách – gộp, ghép cặp 2,
ghép cặp 3, ví dụ:
a  2b  a  b  b;
e)
a a
ab  b
2 2

f) a  1 

a a
1 1
 1  a   .
2 2
2 2

: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
2) a  b  a  b
3) a 2  ab  b 2  0 .
4)

a b c
   3 , với a, b, c > 0.
b c a

5) 3a 3  6b 3  9ab 2 a , b  0
6) Tìm GTNN của A  x  12  x  32
7) Tìm GTLN của A  5  3 x  x x  8 ,
x  0.

8) Tìm GTNN của A  x 2 

9) Tìm GTNN của A  x 

3
, x  0.
x2

1
, x2
x2


10)

.

11)

Chứng minh bất đẳng thức:

a , b, c, d  R ,

ac  bd 2  a 2  b 2 . c 2  d 2  (BĐT Bunhiacopxki)

HD: Dùng phương pháp biến đổi tương đương đưa bất đẳng thức về

ad  bc 2  0 .
12)

a
b

 a  b , a  0; b  0
b
a

HD: Dùng phương pháp biến đổi tương đương đưa bất đẳng thức về:
a.



a b



a b



2

 0,

a  b  2a 2  b 2  , a  0; b  0

HD: Do 2 vế của bất đẳng thức không âm nên ta bình phương 2 vế.
13)

x 2  4 y 2  3z 2  14  2 x  12 y  6 z , với mọi x, y, z.

HD: biến đổi tương đương.
14)

Cho 4 x  3 y  15. Chứng minh: x 2  y 2  9

HD: Rt x hoặc y từ 4 x  3 y  15, thế vo x 2  y 2 .
15)

Chứng minh: a  b  c  ab  bc  ca với a , b, c  0

HD: Dùng bất đẳng thức Cô-si đối với 3 cặp (a và b); (b và c); (c và a).


16)

Chứng minh: a  1b  1a  c b  c   16abc với a, b, c dương.

17)

Với a bất kì, chứng minh:

HD: Tch

a2  6
2

a 2



a2  2  4
2

a2  6
a2  2

 a2  2 

a 2

 4.

4
2

a 2

18)

Cho a, b, c  0 , chứng minh: a  b b  c c  a   8abc .

19)

Cho a, b  0 , chứng minh: a  b  1  ab  a  b .

20)

Cho a, b  0 , chứng minh: a  b 

21)

Với x  R , tìm GTNN của A  3x 2 

22)

Tìm GTNN: A  x  12  x  32 .

23)

HD: Khai triển x  12  x  32 , nhóm hằng đẳng thức. Chứng

1
1 
   2.
 2a 2b 
1
.
x2

minh: A  2 .

24)

Tìm GTNN của A  x  1 

25)

Tìm GTNN của: A  x 

3
với x  1.
x 1

2
, với x  2 .
x2


26)

HD: Phn tích: A  x  2 

với 2 số x  2;

2
 2 . Áp dụng bất đẳng thức đối
x2

2

.
x2

27)

(Đáp án: min A  2 2  1

28)

Tìm GTLN của: A  x  31  x  với 1  x  3 .

29)

Tìm GTLN của: A  2 x  35  x  , với   x  5 .

30)

3
HD: Phn tích: A  2 x  5  x  . Áp dụng bất đẳng thức Cô-si

3
2

2



3
2

đối với 2 số x  ;5  x .

31)

Tìm GTNN v GTLN của hm số: y  1  2 x 2 x  4 với
2 x 

1
.
2
1
với x  2 .
2x

32)

Tìm GTNN của: A   x 

33)

Tìm GTNN của: A  x 2  x 

34)

Chứng minh rằng :

35)

Tìm GTNN của y  

1
 2010 .
x x
2

1
 a  1  a  1, a  1 .
a
1
1
,0  x  1.
x 1 x


4
9
,0  x 1
x 1 x

36)

Tìm GTNN của y  

37)

Tìm GTLN của y  4 x3  x 4 , 0  x  4

38)

Chứng minh rằng : x 4  y 4  x3 y  xy 3 .

39)

Chứng minh rằng : x 2  4 y 2  3 z 2  14  2 x  12 y  6 z .

40)

Chứng minh rằng :

41)

Chứng minh rằng :

1 1
4
 
.
a b ab

42)

Chứng minh rằng :

a bcd 4
 abcd .
4

43)

Chứng minh rằng :

1 1 1 1
16
   
.
a b c d a bc d

44)

Chứng minh rằng : a 2b   2a .

45)

Chứng minh rằng :  a  b  b  c  c  a   8abc.

46)

Chứng minh rằng :



47)

Chứng minh rằng :

1 1 1
9
  
.
a b c abc

48)

Chứng minh rằng :  x 2  y 2   4 xy  x  y  , x, y.

a
b

 a b.
b
a

1
b

a b

2



2

 2 2  a  b  ab .

2


49)

Chứng minh rằng : x 2  2 y 2  2 xy  y  1  0, x, y.

50)

Chứng minh rằng :  a  1 b  1 a  c  b  c   16abc.a, b, c  0.

51)

Chứng minh rằng

1
1 1 1
: a  b  c   a 2b  b 2c  c 2 a     a, b, c  0.
a

2

b

c

52)

1
1
1
1
1
1






a  2b  c b  2c  a c  2a  b a  3b b  3c c  3a

53)

Chứng minh rằng :

2x
x6  y 4
54)



2y
2z
1
1
1




y6  z 4 z 6  x4 x4 y 4 z 4

Cho 3 số thực dương a, b v c thoả :ab+bc+ca = abc. chứng minh

rằng :

a 4  b4
b4  c4
c4  a4


1
3
3
3
3
3
3
ab a  b
bc b  c
ca c  a

55)

56)



 



Tìm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức

A

57)

58)

 

xt t  y y  z z  x



t  y y  z z x xt

a 2 b2 c 2
Chứng minh rằng :
   a  b  c với a, b, c là các số
b
c a

thực dương.