skkn dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình

“Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “
I. PHẦN MỞ ĐẦU
I.1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI.
Giúp đỡ học sinh là một trong những nhiệm vụ quan trọng nhất mà
người thầy nhất thiết phải làm. Nhiệm vụ đó không phải là dễ nó đòi
hỏi phải có thời gian, kinh nghiệm, phải có lòng tận tâm và những
nguyên tắc đúng đắn. Người học sinh với sự nỗ lực của bản thân phải
thu được càng nhiều càng tốt những kinh nghiệm độc lập công tác.
Nhưng nếu Học sinh đứng một mình trước một bài toán mà không có
giúp đỡ nào, hay một sự giúp đỡ quá ít thì không thể tiến bộ gì được.
Mặt khác nếu thầy giúp đỡ nhiều quá thì học sinh chẳng còn gì phải
làm. Thầy giáo phải giúp đỡ vừa phải không nhiều quá, cũng ít quá và
như vậy để học sinh có một công việc hợp lý.
Trong các kì thi chọn học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh của trung học
cơ sở và thi vào lớp 10 chúng ta thường gặp bài toán giải phương
trình, hệ phương trình không chính tắc, chúng thường được thiết kế
dưới ý tưởng của một bất đẳng thức tính chất bất đẳng thức nào đó.
Phương trình, hệ phương trình không chính tắc là sự phối hợp
nhiều luồng kiến thức, kĩ năng giải toán. Bài toán đòi hỏi người làm
toán phải hiểu biết sâu sắc bất đẳng thức, linh hoạt trong sử dụng.
Người làm toán cần tìm tòi, củng cố hệ thống, liên hệ các kiến thức,
đồng thời tập cho chúng ta làm quen với nghiên cứu, khám phá vẻ đẹp
toán học.
Là giáo viên dạy toán nhiều năm tôi nhận thấy cần phải tập hợp
lại thành một chuyên đề để dạy cho học sinh sử dụng dạng toán một
Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II
“Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “
cách có hệ thống nhằm cho học sinh hiểu rõ và sử dụng dạng toán một
cách chính xác, linh hoạt, khơi dạy tính tích cực, chủ động, tự giác học
tập của học sinh nhằm giúp học sinh có thể giải một số bài toán nhanh,
gọn và tiết kiệm được thời gian .

Căn cứ vào thực tế trên, yêu cầu của việc bồi dưỡng học sinh khá
giỏi và đặc biệt là việc phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo của
học sinh trong hoạt động học tập. Với các lý do nêu trên tôi có ý
tưởng xây dựng đề tài: “Dùng bất đẳng thức để giải phương trình hệ
phương trình”.
I.2.TÍNH CẦN THIẾT CỦA ĐỀ TÀI.
Theo đề tài này khi đưa vào áp dụng sẽ có tác dụng sau:
Nhằm nâng cao chất lượng “Giải phương trình, hệ phương trình
bằng phương pháp dùng bất đằng thức”. Giúp cho thầy và trò
trong dạy và học đạt được kết quả cao trong các kỳ thi, kỳ
thi học sinh giỏi Toán, giải toán trên máy tính bỏ túi khối
THCS, học sinh có niềm tin và kỹ năng vận dụng dạng toán
giải phương trình và hệ phương trình. Góp phần nâng cao
chất lượng dạy học toán và các bộ môn khác ngày càng cao
hơn.
I.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.
Học sinh đạt được Giải phương trình và hệ phương trình bằng
phương pháp bất đẳng thức .
I.3. ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI, KẾ HOẠCH, THỜI GIAN
NGHIÊN CỨU.
4.1. Đối tượng nghiên cứu:
- Các dạng toán giải phương trình, hệ phương trình và các bất
đẳng thức trong chương trình THCS.
4.2. Phạm vi nghiên cứu:
Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II
“Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “
Học sinh các lớp khối 8 khối 9 ở trường THCS Mạo Khê II -
Đông Triều - Quảng Ninh
4.3.Thời gian nghiên cứu: Năm học 2005- 2006; 2006- 2007;
2007- 2008; 2008- 2009; 2009 - 2010.

I.4. ĐÓNG GÓP MỚI VỀ MẶT LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
I.4.1. Cơ sở lí lụân
Nói đến dạy học là một công việc vừa mang tính khoa học vừa
mang tính nghệ thuật. Do đó đòi hỏi người giáo viên cần có năng lực
sư phạm vững vàng, phương pháp giảng dạy phù hợp theo hướng tích
cực giúp học sinh chủ động trong việc chiếm lĩnh kiến thức. Việc tạo
cho học sinh niềm hứng thú trong học tập “Giải phương trình hệ
phương trình bằng phương pháp dùng bất đằng thức” hoàn toàn phụ
thuộc vào năng lực sư phạm của giáo viên . Ngoài việc lên lớp người
giáo viên phải không ngừng học hỏi, tìm tòi tài liệu có liên quan để
làm sao có thể truyền thụ cho học sinh một cách nhẹ nhàng, dễ hiểu,
phù hợp với khả năng tiếp thu của từng đối tượng học sinh.
Hướng đổi mới phương pháp dạy học Toán hiện nay ở trường
THCS là tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh, khơi dậy và
phát triển khả năng tự học, nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích
cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn
đề, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn: tác động đến
tình cảm đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh. Đặc biệt là
trong năm học này toàn ngành giáo dục đang ra sức thực hiện cuộc
vận động “Xây dựng trường học thân thiện, học sinh tích cực ” thì
việc tạo hứng thú học tập cho học sinh cũng chính là tạo cho các em
có niềm tin trong học tập, khơi dậy trong các em ý thức “mỗi ngày đến
trường là một niềm vui”
Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II
“Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “
I.4.2. Cơ sở thực tiễn
Bản thân tôi là một giáo viên đã trực tiếp giảng dạy môn Toán tôi
có nhiều năm tham gia vào công tác bồi dưỡng học sinh giỏi môn
Toán, Toán trên máy tính tại trường THCS Mạo Khê II tôi thấy rằng:
- Đối với học sinh giải phương trình, hệ phương trình bằng

phương pháp dùng “bất đẳng thức” các em rất tích cực vì một số điều
như kết quả nhanh, chính xác, làm được nhiều bài tập trong khoảng
thời gian ngắn, tạo hứng thú cho học sinh học toán.
- Đối với giáo viên đa số trong khi đó kiến thức đã khó lại rộng lớn
và bao trùm. Do đó để thời gian vào nghiên cứu, tìm tòi để có kiến
thức vững và sâu thì rất khó, có lẽ mọi người cùng một suy nghĩ rằng
- cố gắng hoàn thành nhiệm vụ là được còn nghiên cứu tìm tòi đã có
các nhà khoa học.
- Nguyên nhân góp phần không nhỏ nữa cho rằng việc nghiên
cứu tìm lời giải cho các bài toán là những người phải có trí tuệ, phải là
bậc vĩ nhân. Suy nghĩ này chỉ đúng một phần vì “Ngọc không mài thì
không sáng được”.
- Do đó đòi hỏi người giáo viên phải có thời gian, có tâm huyết và
tinh thần học hỏi cao thì mới đáp ứng được chuyên môn, công việc
giảng dạy của mình. Toán học cao cấp có kiến thức, có cách giải
nhanh và khoa học với bài toán trên song không vận dụng được vào
cấp học phổ thông, hoặc chưa tìm được phương pháp khoa học để học
sinh tiếp cận cho phù hợp với chương trình học, và nội dung sách giáo
khoa hiện hành.

II. PHẦN NỘI DUNG
II.1.1. Một số thành tựu
Thực tế qua theo dõi chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi ở khối
8, 9 có áp dụng sáng kiến kinh nghiệm trên thì tôi thấy rằng đa số các
Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II
“Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “
em tích cực tư duy, hứng thú với bài tập mới, kiến thức mới hơn so
với các lớp còn lại. Đặc biệt là trong lớp luôn có sự thi đua tìm ra cách
giải hay nhất, nhanh nhất. Không khí lớp học luôn sôi nổi, không gò
bó, học sinh được độc lập tư duy. Điều hứng thú hơn là phát huy được

trí lực của các em, giúp các em phát triển kỹ năng nghiên cứu khoa
học hứng thú trong việc tìm tòi kiến thức mới, kỹ năng mới.
II.1.2. Một số tồn tại và nguyên nhân
Sáng kiến kinh nghiệm này được áp dụng trong hai khối 8 và
khối 9 khả năng nhận thức của học sinh không đồng đều, đa số học
sinh còn thiếu động cơ học tập, lười học, không tích cực học tập vì
cho rằng đây là chuyên đề khó không quan trọng, không thiết thực vậy
việc phát huy tính tích cực của một số học sinh đó rất hạn chế. Hơn
nữa những học sinh trên ít được sự quan tâm của gia đình.Vì vậy đòi
hỏi sự cố gắng tận tâm của người thầy dần giúp các em hòa nhập với
khả năng nhận thức chung cuả môn học.
II.13. Vấn đề đặt ra
Rèn luyện “Giải phương trình hệ phương trình bằng phương pháp
dùng bất đằng thức” là một trong những cách hình thành kiến thức, kỹ
năng mới cho học sinh phương pháp luyện tập thông qua bài tập là
quan trọng để nâng cao chất lượng dạy và học bộ môn. Với học sinh
họat động giải bài tập là hoạt động tích cực có tác dụng sau:
- Rèn kỹ năng vận dụng kiến thức đã học, kiến thức tiếp thu được
qua bài giảng thành kiến thức của mình, kiến thức được nhớ lâu khi
được vận dụng thường xuyên.
- Đào sâu mở rộng kiến thức đã học một cách sinh động, phong
phú, hấp dẫn.
Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II
“Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “
- Là phương tiện để ôn tập, củng cố, hệ thống hoá một cách tốt
nhất kiến thức đã học.
- Phát triển năng lực nhận thức, rèn trí thông minh cho học sinh.
II.2.ÁP DỤNG TRONG GIẢNG DẠY
II.2.1.CÁC BƯỚC TIẾN HÀNH
Để bồi dưỡng học sinh giỏi Toán nói chung và giải toán trên máy

tính nói riêng có hiệu quả theo tôi phải làm được những công việc sau:
- Đầu năm phân loại đối tượng học sinh, chọn những em học khá
Toán trở lên và chăm học vào đội tuyển HSG Toán.
- Chuẩn bị tài liệu, sách tham khảo, sách nâng cao môn Toán.
- Soạn nội dung bồi dưỡng học sinh giỏi, trong nội dung bồi dưỡng
học sinh giỏi phải hệ thống, phân loại được từng dạng Toán ở khối
được phân công bồi dưỡng
- Lên kế hoạch bồi dưỡng học sinh giỏi theo từng tuần .
- Thường xuyên tìm hiểu và nghiên cứu các kiến thức có liên quan
trên mạng internet.
Kế hoạch bồi dưỡng học sinh giỏi : Dạy từ 2 – 3 buổi trong một tuần.
II.2.2. QUÁ TRÌNH THỰC HIỆN
I)- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy
1. Kiến thức
Bất đẳng thức Cauchy là một bất đẳng thức quen thuộc đối cới
hầu hết học sinh. Tuy nhiên, người ta vẫn xây dựng được nhiều bài
toán mới hay khó. Bất đẳng thức cauchy được phát biểu:
Cho dãy số không âm a
1
,a
2
, a
n
. Ta có bất đẳng thức:
n
n
n
aaa
n
aaa

21
21
≥
++
Và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a
1
=a
2
= =a
n
Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II
“Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “
Bất đẳng thức được chính minh trong rất nhiều tài liệu, xin phép
không trình bày chứng minh trong bài viết này.
2. Một số ví dụ.
Phương trình, hệ phương trình giải bằng cách dùng bất đẳng
thức cauchy rất phong phú và đa dạng. Thông qua các ví dụ điển hình
mong rằng chúng ta sẽ nhận dạng nhanh đặc điểm của bài toán.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
5.63.42.24 −+−+−=+++ zyxzyx
(Tuyển sinh 10, THPT Lê Hồng Phong TP Hồ Chí Minh - 1993
-1994)
* Lời giải:
Điều kiện có nghĩa: x ≥ 2 ; y ≥ 3 ; z ≥ 5.
Áp dụng Bất đẳng thưc Cauchy, ta có:
1222 +−≤− xx
(1)
4334

+−≤−
yy
(2)
9556 +−≤− zz
(3)
Cộng (1), (2), (3), ta có:
45.63422 +++≤−+−+− zyxzyx
Đẳng thức xảy ra: x - 2 = 1
Khi y - 3 = 2
z - 5 = 3
Vậy nghiệm của phương trình là: (x ; y, z) = (3, 5, 8)
Nhận xét: Đây là phương trình vô tỷ không chính tắc, bài toán
còn có những cách giải khác, tuy nhiên với cách giải dùng bất đẳng
Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II
“Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “
thức Cauchy là dụng ý của người viết. Đây là bài toán cơ bản, chúng
ta có thể tạo nhiều bài tương tự với một chút biến đổi.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
3
34
46516 xxx +=+
Lời giải:
Điều kiện có nghĩa: Vì 16x
4
+ 5 > 0 nên
3
3
4 xx +
> 0 ⇔ x > 0
Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương 4x; 4x

2
+1 ; 2 ta
có:
3442)14(42).14(4346
22
3
3
3
3
++=+++≤+=+ xxxxxxxx
=> 16x
3
+ 5 ≤ 4x
2
+ 4x + 3
⇔ 8x
3
+ 2x
2
- 2x + 1 ≤ 0
⇔ (2x-1)
2
. (2x
2
+ 2x + 1) ≤ 0
⇔ (2x - 1)
2
≤ 0, vì (2x - 1)
2
≥ 0, nên x = 1/2 thỏa mãn

Nhận xét: Đây là bài toán phương trình vô tỷ khó, hiểu giải bằng
cách nâng lên lũy thừa thì bài toán phức tạp và khó giải được . Bằng
cách quan sát, sử dụng điều kiện hợp lý, bất đẳng thức Cauchy kết hợp
với biến đổi tương đông chúng ta tìm ra lời giải. Quan sát kỹ chúng ta
có thể tạo ra một lớp bài toán bằng cách biển đổi đi lên.
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình
3
1
2
4
2
=+
y
x

3
1
2
4
2
=+
x
y
Lời giải:
6
1
2
1
2
2

2
2
2
=+++
y
y
x
x
Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II
“Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “
Cộng vế với vế ta có: (1)
áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có:
3
1
3
1
3
4
22
4
22
=≥++
x
xx
x
xx
3
1
3
1

3
4
22
4
22
=≥++
y
yy
y
yy
4
2
1
x
x =
Vậy dấu bằng xảy ra ở (1) khi:
4
2
1
y
y =
⇔ x = ± 1
y = ± 1
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là:
( x ; y) = {(1 ; 1), (1 ; -1), (-1 ; 1), (-1 ; -1)
Nhận xét: Đứng ở góc độ nào đó, thì đây là lệ phương trình đối
xứng loại 2, bài toán có thể giải theo phương trình chung đó. Vận
dụng bất đẳng thức cauchy trong bài là lời giải độc đáo và sáng tạo.
Chỉ sử dụng bất đẳng thức Cauchy thì phương trình (1) dễ phát hiện
hơn so với hệ phương trình đầu bài cho. áp dụng cách giải, ta có thể

tạo ra nhiều bài hay và khó hơn.
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình :
y
x
x
=
+
2
2
1
2
z
y
y
=
+
2
2
1
2
x
z
z
=
+
2
2
1
2
Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II

“Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “
Lời giải:
Dễ thấy ( x; y; z) = (0; 0; 0) là một nghiệm của phương trình
Xét x # 0 thì y # 0, z # và x, y, z > 0
Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy ta có: 1+ x
2
≥ 2x , 1+ y
2
≥ 2y ,1
+z
2
≥2z.
Nên ta có:
x
x
x
≤
+
2
2
1
2
;
y
y
y
≤
+
2
2

1
2
;
z
z
z
≤
+
2
2
1
2
Vậy từ hệ phương trình
ta có:
y ≤ x ≤ z ≤ y do đó x = y = z . Giải ra ta có: x = y = z = 1
Vậy hệ phương trình có hai nghiệm (x, y, z) = {(0, 0, 0) ; (1, 1,
1)}
Nhận xét: Đây là hệ phương trình có dạng hoán vị, ngoài cách
giải trên, bài toán còn cách giải khác. Tuy nhiên cách giải trên ngắn
gọn, phù hợp với học sinh THCS hơn, Bất đẳng thức Cauchy đã đem
lại lời giải hay, độc đáo.
II)- Áp dụng bất đẳng thức BUNHIACÔPSKI.
1- Kiến thức:
Khi nhắc đến bất đẳng thức chúng ta không thể không nhắc đến
Bất đẳng thức Binhiacôpski. Đây là một bất đẳng thức quen thuộc với
học sinh, được sử dụng như một công cụ, trong phần này chúng ta
nghiên cứu dưới dạng ứng dụng giải phương trình, hệ phương trình
không mẫu mực. Trước hết ta phát biểu bất đửng thức Binhiacôpski.
Giả sử: a
1

, a
2
,…, a
n
và b
1
, b
2
,…b
n
là hai hãy số tùy ý.
Ta có bất đẳng thức.
(a
1
b
1
+ a
2
b
2
…+ a
n
b
n
) ≤
) ).( (
22
2
2
1

22
2
2
1 nn
bbbaaa ++++++
.
Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II
“Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “
Và dấu bằng xảy ra khi:
n
n
b
a
b
a
b
a

2
2
1
1
==
Bất đẳng thức được chứng minh trong rất nhiều tài liệu, xin phép
không trình bày cách chứng minh trong bài viết này.
2. Một số ví dụ:
Kỹ thuật dùng bất đẳng thức Bunhiacôpski trong giải phương
trình, hệ phương trình thường phong phú và đa dạng. Khi giải dạng
toán bằng phương pháp này, cần quan sát, có kỹ năng nhận biết các
cặp số. Sau đây là một số ví dụ phân tích nhận biết này:

Ví dụ 1: Giải phương trình
164231
2
+−=−+− xxxx
Lời giải:
Điều kiện có nghĩa x ≥ 1
áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpki ta có:
2222
)3()1(.1131 −+−+≤−+− xxxx
⇒
164231
2
+−≤−+− xxxx
Đẳng thức xảy ra ⇔
03
1
3
1
1
≥−
−
=
−
x
xx
⇔
3
)3(1
2
≥

−=−
x
xx
⇔
0107
3
2
=+−
≥
xx
x
⇔ x = 5 (loại x = 2 < 3). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất
x = 5.
Nhận xét: Nhận biết hai bộ s
3;1 −− xx
và 1; 1 để dùng bất đẳng
thức Bunhia -côpski đánh giá vế trái là một kỹ thuật hay và khó. Bài
Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II
“Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “
toán này nếu giải theo cách khác sẽ phức tạp và gặp khó khăn, Chúng
ta có thể tạo ra những bài toán tương tự.
Ví dụ 2: Giải phương trình
381257
2
+−=−+− xxxx
(Thi học sinh giỏi THCS TP Hồ Chí Minh 2002 - 2003)
Lời giải:
Điều kiện có nghĩa: 5 ≤ x ≤ 7.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpski ta có:
Vế trái:

( ) ( )
257.1157
22
=−+−+≤−+− xxxx
(1)
Vế phải: x
2
- 12x + 38 = (x-6)
2
+ 2 ≥ 2 (2)
Vậy vế trái ≤ 2 ≤ vế phải
1
5
1
7 −
=
− xx
Từ (1), (2) đẳng thức xảy ra khi:
0)6(
2
=−x
⇔ x = 6
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 6
Nhận xét: Đây là bài toán cơ bản đối với học sinh. Nhận biết hai
bộ:
x−7
;
5−x
và 1; 1 để sử dụng bất đẳng thức Buhnhia-côpski
đánh giá vế trái kết hợp dùng hằng đẳng thức để đánh giá vế phải.

Cách thiết lế những bài toán như vậy sẽ kiểm tra được nhiều luồng
kiến thức của học sinh.
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình
92
)(26)43(
333
2222
=++
++=++
zyx
zyzyx
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpski ta có:
Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II
“Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “
))(431()43(
2222222
xyxzyx ++++≤++
⇒
)(26)43(
2222
xyxzyx ++≤++
(1)
Đẳng thức (1) xảy ra khi
431
zyx
==
kết hợp với hệ phương trình ta
tìm được nghiệm duy nhấy (x, y, z) = (1 ; 3 ; 4).
Nhận xét: Đây là hệ phương trình không mẫu mực. Để phát hiện

ra cách vận dụng bất đẳng thức Bunhia-côpski trong bài ta chú ý đến
vế phải của chương trình thứ nhất (chứa x
2
+ y
2
+ z
2
), Sau đó chọn bộ
số thích hợp là 1; 3; 4 và x, y, z để đánh giá. Phương trình thứ hai chỉu
dùng khi đánh giá xong phương trình thứ nhất. Những bài kiểu này dễ
thiết kế, xong khó giải. Người giải phải có kiến thức nhất định về bất
đẳng thức.
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình
2006
2007
.20061 11
200621
=++++++ xxx
2006
2005
.20061 11
200621
=−+−++− xxx
Lời giải:
Điều kiện có nghĩa; -1 ≤ x
i
≤ 1 ; i = 1, 2 …., 2006.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpski ta có:

( )

2
200621
2
1 11
2006
2007
.2006 xxx ++++++=
Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II
“Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “
)1 11)(1 11(
200621
xxx +++++++++≤
) 2006.(20062007.2006
200621
xxx ++++≤
⇒
1
200621
≥+++ xxx
(1)
( )
2
200621
2
1 11
2006
2005
.2006 xxx −++−+−=
) 2006.(20062005.2006
200621

xxx −−−−≤
⇒
1
200621
≤+++ xxx
(2)
Từ (1), (2) ⇒⇒ x
1
+ x
2
+ ….+ x
2006
và điều kiện bất đẳng thức
của hệ xảy ra, nên hệ đã cho tương đương với:
Tương đương với:
1
1 11
1 11
200621
200621
200621
=+++
−==−=−
+==+=+
xxx
xxx
xxx
=> x
1
= x

2
= … x
2006
= 1/2006
Nhận xét: Đây là bài toán khó, dẫu biết rằng phải sử dụng bất
đẳng thức. Cách đánh giá liên lục hai phương trình rồi so sánh với
nhau đòi hỏi người giải phải có kỹ năng thuân thục, sáng tạo, nhậy bén
trong vận dụng bất đẳng thức nói chung.
Tổng quát ta có bài toán sau:
n
kn
nxxx
n
kn
nxxx
n
n
−
=−+−++−
+
=++++++
.1 11
.1 11
21
21
III)- Giải phương trình bằng cách đánh giá các ẩn
1- Kiến thức:
Nhiều bài toán tưởng chừng không giải được , thật bất ngờ
chung ta chỉ cần đánh giá, so sánh các ẩn trong phương trình thì bài
toán cho ta một lời giải thú vị đến bất ngờ.

Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II
“Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “
Kỹ thuật trong phần này thường sử dụng quan sát các ẩn, để
đánh giá hai vế hoặc giữa các phương trình của hệ để tìm ra sự kiên hệ
giữa các ẩn số, từ đó có được một phương trình , hệ phương trình đơn
giản hơn.
2. Một ví dụ:
Trong phần này thông qua một ví dụ, chúng ta quan sát cách
đánh giá giữa các ẩn hoặc với một số, từ đó xác định được nghiệm của
hệ.
Ví dụ 1: Giải phương trình
20165)32(2
123
31020
22
2
2
+−+−+=
++
++
xxyxy
xx
xx
Lời giải:
* Xét vế trái:
77
123
31020
123
31020

2
2
2
2
+−
++
++
=
++
++
xx
xx
xx
xx
=
123
)2(
2
2
++
−
−
xx
x
≤ 7
Đẳng thức xảy ra hki x = 2 (1)
* Xét vế phải: y
2
+ 2 (2x - 3) y + 5x
2

-

16x + 20
= (y+2x-3)
2
+ (x-2)
2
+ 7
≤ 7
Đẳng thưc xảy ra khi x = 2 , y = 1 (2)
Từ (1), (2) phương trình có một nghiệm duy nhất
Nhận xét: Đây là bài toán rất phức tạp, không giải được trực
tiếp. Bằng các quan sát chúng ta đánh giá hai vế của phương trình với
cùng số 7, bài toán có nghiệm duy nhất. Cách tạo được bài toán này
không khó nhưng giải được thì không dễ.
Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II
“Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
19981998
19981998
=+−
=−+
yx
yx
(Tuyển sinh 10, chuyên toán, ĐHSP Vinh 1998)
Lời giải:
Điều kiện của bài: 1998 ≥ x, y ≥ 0
- Nếu x > y thì:
xyyx −+>−+ 19981998
=> Vô lý

- Nếu x > y thì:
xyyx −+>−+ 19981998
=> Vô lý
- Vậy x = y ta có hệ phương trình:
19981998 =−+ xx
Bình phương hai vế:
19981998)1998(2 =−+−+ xxxx
⇔ x = 0 , x = 1998.
Vậy phương trình có hai nghiệm (x ; y) = {(0 ; 0) , (1998 ;
1998)}.
Nhận xét: Bài toán có vai trò bình đẳng. Bằng sự đánh giá giữa
hai ẩn, ta tìm được x = y là then chốt của bài. ý tưởng này được sử
dụng rộng trong các bài chứa ẩn có vai trò như nhau.
IV)-Một số cách sử dụng khác của bất đẳng thức.
1- Kiến thức
Đã nói về bất đẳng thức thì rất rộng và khó, việc sử dụng cũng
đa dạng và phong phú, các thiết mục trên đã kiểm tra qua những nét
chính, những kiến thức kinh điển. Trong mục này chúng ta xét thêm
một số kỹ thuật khác mà tưởng chừng như đơn giản song đôi khi lại
gặp khó khăn. Một số chú ý là:
- Điều kiện của bài toán.
Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II
“Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “
- Tính chất của lũy thừa, 0 ≤ a ≤ 1, m > n > 0 => a
m
≤ a
n
≤ 1
1 ≤ a; m < m => a
m

≤ a
n
.
- Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.
|A| +|B| ≥ |A + B| ≥ |A| - |B| ; |A| ≥ -A
- Làm trội bất đẳng thức không chặt,…
2. Một số ví dụ.
Sau đây thông qua một số ví dụ, chúng ta thấy sự linh hoạt của ý
tưởng sử dụng, sử dụng phong phú của ứng dụng bất đẳng thức.
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình:
11
11
=++
=++
yx
yx
(Thi học sinh giỏi Toán THCS Thành phố Hồ Chí Minh -
2002 - 2003)
Lời giải:
Điều kiện của bài toán 0 ≤ x, y.
=> x + 1 ≥ 1, y + 1 ≥ 1. Vậy:
11
11
≥++
≥++
yx
yx
Đẳng thức chỉ xảy ra khi x = 0 , y = 0
Vậy bài toán có nghiệm duy nhất x = y = 0
Nhận xét: Quả thật bài toán trên có lời giải bất ngờ và đơn giản,

chỉ cần sử dụng điều kiện của bài như một nhận xét là tìm được lời
giải. bài toán này không khó, có thể giải theo cách khác nhưng dài và
Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II
“Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “
không đẹp Vì vậy trước khi giải hệ phương trình vô tỷ nên quan tâm
đến điều kiện ẩn số.
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
1
20062006
=+ yx
(1)
1
20072007
=+ yx
(2)
Lời giải:
Từ phương trình (1) ta có: |x| ≤ 1, |y| ≤ 1 => 1 - x ≥ 0,1 -y ≥ 0.
Lấy phương trình (1) trừ đi (2) vế với vế, ta có:
0)1()1(
20062006
=−+− yyxx
Mà
0)1()1(
20062006
≥−+− yyxx
Đẳng thức chỉ xảy ra khi x = 0, y = 1 hoặc x = 1, y = 0
Vậy bài toán có hai nghiệm x = 0, y = 1 và x = 1, y = 0.
Nhận xét: bài toán này đã sử dụng tính chất của lũy thừa 0 ≤ a
≤ 1, m > n > 0 =>a
m

≤ a
n
≤1 chúng ta có thể mở rộng về số ẩn. Dạng
bài này có dùng để tính giá trị biểu thức và vấn đề là tìm giá trị của ẩn,
Cách thiết kế kiểu bài này không khó.
Ví dụ 3: Giải phương trình
321
22
=−−++− xxxx
Lời giải:
Cách 1: áp dụng bất đẳng thức
.BABA +≥+
Dấu bằng xảy ra
khi
A. B > 0, Vậy ta có
xxxxxxxx +−++−=−−++−
2222
2121
Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II
“Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “
≥
321
22
=+−++− xxxx
Đẳng thức xảy ra khi
0).2).(1
22
>++− xxxx
Mà x
2

-x + 1 > 0 => x ≥ 0 ⇔s - 1 ≤ x ≤ 2.
Cách 2: áp dụng bất đẳng thức
AA −≥
dấu bằng xảy ra khi A ≤ 0
x
2
-x + 1 > 0 => |x
2
-x + 1| = x
2
-x + 1.
|x
2
-x - 2| ≥ (-x
2
- x - 2).
|x
2
-x + 1| + |x
2
-x - 2| ≥ x
2
-x + 1 - (x
2
-x - 2) = 3
Đẳng thức xảy ra khi: x
2
-x - 2 ≤ 0 ⇔ - 1 ≤ x ≤ 2.
Nhận xét: Thông thường học sinh dùng phương án phá dấu giá
trị tuyệt đối. Nhưng cách giải bài này là sử dụng bất đẳng thức chứa

dấu giá trị tuyệt đối đã cho lời giải đơn giản và ngắn gọn. Nếu chúng
ta tăng thêm các biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối thì được nhiều
bài toán hay và khó.
II.3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU- KẾT QUẢ NGHIÊN
CỨU

II.3.1.Phương pháp.
1/ Nghiên cứu lý luận.
Để viết được kinh nghiệm này bản thân tôi đã sử dụng những
phương pháp sau:
*-Nghiên cứu tài liệu :
+SGK - Sách tham khảo ; tạp trí toán học.
*-Sử dụng phương pháp phân tích đi lên (xuống), tổng
hợp
của dạy học .
*- So sánh, tổng kết
Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II
“Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “
*- Kết hợp với hội đồng sư phạm nhà trường cùng nghiên
cứu vận dụng kiến thức hợp lý không quá sức học sinh trong
khuôn khổ chương trình học .
Tổng kết kinh nghiệm bằng thực tế giảng dạy (đặc biệt là bồi
dưỡng học sinh giỏi) của bản thân và đồng nghiệp
Tham gia các lớp bồi dưỡng giáo viên do Sở Giáo dục Đào tạo
tổ chức
2/ Nghiên cứu thực tiễn.
- Kiểm tra học sinh lớp 8, 9
II.3.1. Kết quả
- Đã hình thành cho học sinh một số kỹ năng “Giải phương trình, hệ
phương trình bằng phương pháp dùng bất đẳng thức”. Giúp cho học

sinh nhìn nhận một dạng toán dưới lăng kính nhiều mặt với nhiều màu
sắc khác nhau trong quá trình vận dụng linh hoạt các kĩ thuật giải.
- Ôn tập, củng cố và đào sâu các kiến thức về số học, đại số có liên
quan đồng thời giúp cho học sinh hình thành thói quen suy nghĩ định
hướng tìm tòi lời giải trước một bài toán. Từ đó giúp học sinh có thói
quen giải toán theo một trình tự khoa học.
- Xây dựng được một hệ thống phương pháp và kỹ năng Giúp cho
học sinh và giáo viên có một tư liệu tham khảo cho hoạt động dạy học
toán học với việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi trong nhà trường phổ
thông hiện nay.
- Hình thành ở học sinh thói quen khai thác kiến thức cơ bản trong
chương trình theo chiều sâu. Giúp cho các em có được tư duy sâu sắc
linh hoạt, độc lập sáng tạo trong quá trình giải toán.
- Giúp cho học sinh phân loại được các dạng bài tập và phương
pháp, kỹ năng giải cho từng loại tạo điều kiện cho các em nhìn nhận
một vấn đề toán học (phương trình) dưới con mắt hoàn thiện hơn.
- Hình thành ở học sinh thói quen khám phá, khai thác tìm tòi lời giải
cho một bài toán …phát huy được tích cực suy nghĩ trong quá trình
giải toán.
Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II
“Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “
- Góp phần trau dồi cho học sinh những phẩm chất như tính độc lập
kiên trì sáng tạo tích cực tìm tòi và giúp các em hoàn thiện dần các
phẩm chất đạo đức, phẩm chất trí tuệ trong quá trình học toán ở nhà
trường phổ thông.
- Phát huy được đức tính tự học, tự tìm tòi nghiên cứu góp phần tô
điểm cho việc đổi mới phương pháp giảng dạy và học tập của giáo
viên và học sinh mà hạt nhân là: " Lấy lôgic học của học sinh làm
trung tâm " từ đó nâng cao từng bước chất lượng học tập môn toán
cho các em.

Vì vậy trong 5 năm học từ năm 2005 - 2006 đến năm 2009 - 2010
kết quả cho thấy những bài toán đưa ra các em rất tích cực học tập,
làm được tương đối tốt đạt 65% - 70% và ngày càng gây niềm tin cho
học sinh. Đặc biệt trong kỳ thi học sinh giỏi các cấp ở khối 8 và khối
9 ở trường THCS tôi đã đạt học sinh giỏi các cấp có cả cấp quốc gia
kết quả cụ thể như sau:
- Năm học 2005 – 2006: Đạt 8 em học sinh giỏi cấp huyện và 4 em
học sinh giỏi cấp tỉnh.
- Năm học 2006 – 2007: Đạt 8 em học sinh giỏi cấp huyện và 4 em
học sinh giỏi cấp tỉnh.
- Năm học 2007 – 2008: Đạt 6 em học sinh giỏi cấp huyện và 3 em
học sinh giỏi cấp tỉnh.
- Năm học 2008 – 2009: Đạt 4 em học sinh giỏi cấp tỉnh, trong đó
có một em đạt giải nhì và được thi tiếp Quốc gia vào ngày 13/3/2009
đạt giải khuyến khích cấp Quốc gia.
- - Năm học 2008 – 2009: Đạt 5 em học sinh giỏi cấp tỉnh, trong đó
có một em đạt giải nhất và được thi tiếp Quốc gia vào ngày 19/3/2010
đạt giải ba cấp Quốc gia.
PHẦN III: PHẦN KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ
III.1.Kết luận
- Khi chưa được tiếp cận với các bài toán không chính tắc, hầu hết
học sinh đều tỏ ra lúng túng, mất phương hướng tìm ra lời giải. Khi
Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II
“Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “
làm quen với sự phân tích sâu sắc, hầu hết các em đều thích thú và say
mê bởi sự mới lạ, sáng tạo, không máy móc.
- Với kiến thức như vậy các em nắm bài tốt hơn, liên hệ các kiến

thức với nhau mật thiết hơn, thực sự bồi bổ các “chất toán” cho các
em tốt hơn trong các môn học khác cũng như trong cuộc sống.
- Nhiều học sinh của huyện khi được học, đã thành công nhiều
trong kỳ thi học sinh giỏi toán, thi vào các trường chất lượng cao trong
những năm gần đây.
Phương trình, hệ phương trình không chính tắc là một dạng toán
khó, đa dạng, thường được dùng trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi
các cấp, cũng như thi vào các lớp chất lượng cao. Các bài toán như
vậy luôn là vấn đề nan giải đối với hầu hết học sinh nói chung, học
sinh khá giỏi nói riêng.
Trong một số năm qua, bằng sự trăn trở để tìm ra ý tưởng cho
những bài toán hay và khó này,tôi đã tìm tòi, phân dạng để giảng dạy
nhằm mục đích truyền đạt hiệu quả nhất đến với học sinh.
Thật bất ngờ, khi giảng dạy chuyên đề này, tôi thấy học sinh rất
say mê mỗi khi tự mình khám phá ra lời giải. Bước đầu đã làm cho
học sinh khám phá, tự tìm các kiến thức có liên quan để giải. Qua đây,
tôi cũng thấy kiến thức toán học sinh được nâng nhiều phần khác
nhau.
Sử dụng bất đẳng thức và tính chất của nó vào giải phương trình,
hệ phương trình là một ứng dụng lớn. Sự phân chia như trên chỉ là ý
tưởng của tôi còn nhiều phần chưa nêu hết, Đề tài này hy vọng giúp
Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II
“Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “
chúng ta phần nào khó khăn trong giảng dạy và hy vọng các bạn đồng
nghiệp nêu tiếp những ứng dụng mà bài viết này chưa nêu được.
Mặc dù đã giành nhiều thời gian, công sức, tìm hiểu, rút kinh
nghiệm và cố gắng để cho bản đề tài song do nhiều lí do, trong đó lí
do còn hạn chế về kiến thức cũng như phương pháp nên bản đề tài
chắc không thể tránh khỏi thiếu xót.Tôi mong được sự đóng góp, bổ
sung.

Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II
“Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “
III.2- Kiến nghị:
- Với nhà trường: Cần khuyến khích động viên mỗi giáo viên
thực hiện và áp dụng những sáng kiến hay để đẩy mạnh phong trào
chuyên môn trong nhà trường.

- Với Phòng, Sở giáo dục: Đề nghị quan tâm đầu tư mở nhiều
chuyên đề bồi dưỡng các chuyên đề có liên quan đến môn Toán đặc
biệt bồi dưỡng giáo viên ôn học sinh giỏi để nâng cao trình độ,
phương pháp, năng lực sư phạm cho giáo viên dạy học.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Mạo Khê, ngày 20 tháng 4 năm 2010
NGƯỜI VIẾT
Nguyễn Thị Hạnh
Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II
“Dùng bất đằng thức để giải phương trình, hệ phương trình “
ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC
TRƯỜNG THCS
MẠO KHÊ II
PHÒNG GD - ĐT
HUYỆN ĐÔNG
TRIỀU
SỞ GD - ĐT TỈNH
QUẢNG NINH
Nguyễn Thị Hạnh – Trường THCS Mạo Khê II