Chuyên đề i giá trị tuyệt đối của một số

Chuyên đề:
I. GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ
A.KIẾN THỨC:
Giá trị tuyệt đối của một số lưu ý các tính chất sau trong giải toán :

1/ GTTĐ của một số thì không âm / x /  x
2/ GTTĐ của một số thì lớn hơn hoặc bằng số đó / x /  x
3/ GTTĐ của một tổng không lớn hơn tổng các GTTĐ /x + y /  / x /  / y /
Hiệu không nhỏ hơn hiệu các GTTĐ / x-y/  /x/ - /y/
4/ GTTĐ : Với a > 0 thì:

/x / = a <=> x =  a
x  a

/ x / > a <=> 
x  a
/ x/

< a <=> -a< x< a

B. LUYỆN TẬP:
1. Dạng: Tính giá trị của một Biểu thức :
Bài 1 : Tính Gía trị biểu thức A = 3 x 2 2 x  1 với /x / = 0,5
Giải: / x / = 0,5 <=> x = 0,5 hoặc x = - 0,5


- Nếu x = 0,5 thì A = 0,75
- Nếu x = - 0,5 thì A = 2,75

2. Dạng : Rút gọn Biểu thức có chứa dấu Giá trị tuyệt đối

Bài 2 : Rút gọn biểu thức A = 3 ( 2x - 1 ) - / x - 5 /
Giải : với x - 5  0 <=> x  0 thì / x -5 / =

x - 5

với x –5 < 0 <=> x < 5 thì / x – 5 / = - x + 5
Xét cả 2 trường hợp ứng với hai khỏang giá trị của biến x
a/ Nếu x  5 thì A = 3 (2x – 1 ) – ( x – 5 ) = 5x + 2
b/ Nếu x < 5 thì A = 3 ( 2x – 1 ) – ( -x + 5 ) = 7x – 8
3. Dạng: Tính giá trị của biến trong Đẳng thức có chứa dấu GTTĐ:

Bài 3 : Tìm x . Biết 2 / 3x – 1 / + 1 = 5
Giải : Ta có / 3x - 1 / = 2 Nên 3x – 1 = +2 và -2
Xét cả hai trường hợp :
a/ 3x – 1 = 2 => x = 1


b/ 3x - 1 = 2 => x = -

1
3

Bài4 : Với giá trị nào của a,b ta có đẳng thức : /a ( b – 2 ) / = a ( 2 – b )?
Giải : Ta biến đổi /a (b – 2 )/ = / a ( 2 – b )/ (1) vì /A/ = /-A/
/ A / = A <=> A  0

Do đó (1) xảy ra 4 trường hợp :

a/

a = 0 thì b tùy ý

b/

b = 2 thì a tùy ý

c/

a > 0 thì b < 2

d/

a < 0 thì b > 2

Bài 5 : Tìm các số a , b sao cho

a + b = / a / - / b / (1)

HD: Xét 4 trường hợp :
a/ a  0, b > 0 thì (1) a + b = a – b <=> b = - b (không xảy ra )
b/ a  0, b  0 thì (1) a = b = a + b <=> Đẳng thức nầy luôn luôn
đúng.Vậy : a  0, b  0 thỏa mãn bài toán .


c/ a < 0 , b > 0 thì (1) a + b = -a – b <=> a = - b . Vây a < 0 và
b = -a thỏa mãn bài toán .
d/ a < 0 , b  0 thì (1) a + b = -a + b <=> a = -a ( không xảy ra )
Kết luận : Các giá trị a,b phải tìm là a  0, b  0 hoặc a < 0 , b > 0

4. Dạng Tìm GTNN , GTLN của biểu thức chứa dấu GT tuyệt đối :

Bài 6: a/Tìm GTNN của A = 2 / 3x – 1 / - 4
Với mọi x ta có / 3x – 1 /  0 => 2 / 3x – 1 /  0
Do đó 2 / 3x - 1 / - 4  - 4
Vậy GTNN của A = -4 tại 3x – 1 = 0 <=> x = 1/3

b/ Tìm GTNN của B= 1,5 + /2 - x /
HD: B đạt GTNN bằng 1,5 tại=2

c/ Tìm GTNN của C = /x-3/


HD:Ta có x  0  / x  3 /  0  GTNN  0

Bài 7:

a/ Tìm GTLN của B = 10 - 4 / x - 2 /
Với mọi x ta có / x – 2 /  0

=> - / 4 / x - 2 /  10

Do đó 10- - 4 / x - 2 /  10
Vậy GTLN của B = 10 tại x = 2

b/ Tìm GGLN của B = -/ x+2 /
HD: C= - /x+2/  0  GTLN  0khix  2

c/ Tìm GTLN của C= 1 - /2x-3/
HD: D = 1-/2x-3/  1  GTLNlla0khix  3 / 2

Bài 8:

Tìm GTNN của C =

6
với x là số nguyên
/ x / 3

- Xét / x / > 3 => C > 0


-

Xét / x / < 3 => / x / = 0;1hoặc 2 => c = -2 ;-3 hoặc -6
Vậy GTNN của C = -6 <=> x = 2 ; -2 .

Bài 9 Tìm GTLN của C = x - / x /
- Xét x  0 => C = x - x = 0

(1)

- Xét x < 0 => C = x – (- x ) = 2x < 0

(2)

Từ (1) và (2) ta thấy C  0
Vậy GTLN của C = 0 <=> x  0

Bài 10 :

Tìm giá trị biểu thức :

a/ A = 6 x 3 3x 2  2 / x /  4

với x = -2/3

(đs 20/9)

b/ B = 2/x/ - 4/y/

với x = ½ và y = - 3

(đs -8 )


Bài 11 :

Rút gọn biểu thức :

a/ 3 (x - 1 ) – 2 / x + 3 /

(đs :x – 9 với x  3 ;5x+ 3 với x < 3)

b/ 2 / x – 3 / - / 4x - 1 /

(đs: = 2x+5 với x < ¼ ; Bằng -6x+7 với
¼  x < 3và bằng -2x -5 với x  3.

Bài 12 :

Tìm GTNN của các biểu thức :

a/

A = 2 / 3x – 2 / - 1

=>

GTNN của A = -1 <=> x = 2/3

b/

B = 5 / 1 – 4x / - 1

=>

GTNN của B = -1 <=> x = 1/4

c/

C = x2 + 3 / y – 2 / - 1

=> GTNN của C = -1 <=> x = 0 ; y = 2

d/

D = x + / x / ( xét x > 0 ;c < 0) => GTNN của D = 0 <=> x  0

Bài 13:

Tìm GTLN của các biểu thức :

e/

E = 5 - / 2x - 1 /

f/

F =

1
/ x  2 / 3

=> GTLN của E = 5 <=> x = 1/2

=> GTLN của F =1/3 <=> x =2