CÁC DẠNG bài tập TRONG các đề THI đại học các năm
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (473.55 KB, 77 trang )
T NG H P CÁC D NG ÔN THI Đ I H C
www.VIETMATHS.com
1. Chứng minh rằng hàm số y = x3 − 3x2 + 3x không có cực trị.
2. Chứng minh rằng hàm số y = x2 + |x| có cực tiểu tại x = 0, mặc dù nó không có đạo hàm ngay
tại điểm đó.
3. Xác định các hệ số a, b, c, d của hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d, biết rằng đồ thị của nó có hai
điểm cực trị là (0; 0) và (1; 1).
4. Cho hàm số y = x3 − 3mx2 + 3(2m − 1)x + 1. Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
ĐS. m = 1.
5. (A, 2002) Cho hàm số y = −x3 + 3mx2 + 3(1 − m2 )x + m3 − m2 . Viết phương trình đường thẳng
đi qua hai diểm cực trị của đồ thị hàm số.
ĐS. y = 2x − m2 + m.
6. (B, 2002) Cho hàm số y = mx4 + (m2 − 9)x2 + 10. Tìm để m hàm số có ba điểm cực trị.
ĐS. m < −3; 0 < m < 3.
7. (Dự bị 2002) Cho hàm số y = (x − m)3 − 3x. Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm có
hoành độ x = 0.
ĐS. m = −1.
x2 + mx
.
1−x
Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu. Với giá trị nào của m thì khoảng cách giữa hai điểm
cực trị của đồ thị hàm số bằng 10?
8. (Dự bị 2002) Cho hàm số y =
ĐS. m = 4.
1
(m là tham số).
x
Tìm m để hàm số có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm ) đến tiệm cận xiên của
1
(Cm ) bằng √ .
2
ĐS. m = 1.
9. (A, 2005) Gọi (Cm ) là đồ thị của hàm số y = mx +
10. (ĐH, CĐ, khối B, 2005) Gọi (Cm ) là đồ thị của hàm số y =
x2 + (m + 1)x + m + 1
(m là tham
x+1
số).
Chứng minh rằng với m bất kỳ, đồ thị (Cm ) luôn luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu và khoảng
√
cách giữa hai điểm đó bằng 20.
x2 + 2mx + 1 − 3m2
11. (Dự bị 2005) Gọi (Cm ) là đồ thị của hàm số y =
(m là tham số).
x−m
Tìm m để đồ thị (Cm ) có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung.
ĐS. −1 < m < 1.
Đinh Xuân Th ch - THPT Yên Mô B
1
www.VIETMATHS.com
x2 + mx + 3
.
x+1
Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu đồng thời hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm
số ở về hai phía của đường thẳng (d) : 2x + y − 1 = 0.
√
√
ĐS. −3 − 4 3 < m < −3 + 4 3.
12. Cho hàm số y =
x2 − 2mx + 2
.
x−1
Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B. Chứng minh rằng khi đó đường thẳng AB
song song với đường thẳng 2x − y − 10 = 0.
3
ĐS. m < .
2
13. (Dự bị 2004) Cho hàm số y =
14. (Dự bị 2006) Cho hàm số y = x3 + (1 − 2m)x2 + (2 − m)x + m − 2. Tìm các giá trị của m để
đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
5
7
ĐS. m < −1; < m < .
4
5
15. Cho hàm số y = x4 − 2mx2 + m − 1. Tìm m để đồ thị của hàm số có ba điểm cực trị tạo thành
ba đỉnh của một tam giác đều.
√
ĐS. m = 3 3.
16. (Dự bị 2004) Cho hàm số y = x4 − 2mx2 + 1. Tìm m để đồ thị của hàm số có ba điểm cực trị
tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông cân.
17. (Dự bị 2004) Cho hàm số y = x3 − 3(m + 1)x2 + 3m(m + 2)x + 1. Chứng minh rằng hàm số
luôn có cực đại và cực tiểu. Xác định các giá trị của m để hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại các
điểm có hoành độ dương.
ĐS. m > 0.
x2 − (m + 3)x + 3m + 1
.
x−1
Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu và các giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số cùng âm.
1
ĐS. < m < 1; m > 5.
2
18. Cho hàm số y =
19. (A, 2007) Cho hàm số
y=
x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m
,
x+2
m là tham số.
(1)
Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị hàm số cùng
với gốc toạ độ O tạo thành một tam giác vuông tại O.
√
ĐS. m = 0, m = −4 ± 24.
20. (B, 2007) Cho hàm số
y = −x3 + 3x2 + 3(m2 − 1)x − 3m2 − 1 (m là tham số).
Đinh Xuân Th ch - THPT Yên Mô B
2
(2)
www.VIETMATHS.com
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (2).
b) Tìm m để hàm số (2) có cực đại và cực tiểu và các điểm cực trị của hàm số (2) cách đều gốc
toạ độ.
1
ĐS. b) m = ± .
2
21. (Dự bị A, 2007) Cho hàm số y = x + m +
m
có đồ thị là (Cm ).
x−2
(a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 1.
(b) Tìm m để đồ thị (Cm ) có các điểm cực trị A, B sao cho đường thẳng AB đi qua gốc toạ độ
O.
22. (Dự bị B, 2007) Cho hàm số y = −x + 1 +
m
có đồ thị là (Cm ).
2−x
(a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m = 1.
(b) Tìm m để đồ thị (Cm ) có điểm cực đại và điểm cực tiểu. Gọi A là điểm cực đại của (Cm ),
tìm m để tiếp tuyến của (Cm ) tại A cắt trục tung Oy tại điểm B sao cho tam giác OAB
là tam giác vuông cân.
23. Giải các phương trình sau
√
√
x2 − 6x + 6 = 2x − 1;
f) 2x2 + 5x + 2 − 2 2x2 + 5x − 6 = 1;
√
b) (Khối D, 2006) 2x − 1 + x2 − 3x + 1 = 0;
g) (Khối D, 2004)
√
√
√
c) (x + 5)(2 − x) = 3 x2 + 3x;
2 x + 2 + 2 x + 1 − x + 1 = 4;
√
√
√
d) (Dự bị 2005) 3x − 3 − 5 − x = 2x − 4;
√
√
x+3
√
√
h) x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 =
.
e) 7 − x2 + x x + 5 = 3 − 2x − x2 ;
2
√
24. Tìm m để phương trình 2x2 + mx = 3 − x có nghiệm duy nhất.
a)
√
25. (Khối B, 2004) Tìm m để phương trình sau có nghiệm
√
√
√
√
√
m( 1 + x2 − 1 − x2 + 2) = 2 1 − x4 + 1 + x2 − 1 − x2 .
√
√
√
26. (A, 2007) Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: 3 x − 1 + m x + 1 = 2 4 x2 − 1.
√
√
√
27. Giải phương trình 3 x + 1 − 3 x − 1 = 6 x2 − 1.
√
28. (Khối B, 2006) Tìm m để phương trình x2 + mx + 2 = 2x + 1 có hai nghiệm phân biệt.
29. (Khối B, 2007) Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của m, phương trình sau có hai nghiệm
thực phân biệt:
x2 + 2x − 8 = m(x − 2).
30. Tìm m để phương trình sau có nghiệm
Đinh Xuân Th ch - THPT Yên Mô B
3
www.VIETMATHS.com
(a)
√
√
x+3+
√
6−x−
(x + 3)(6 − x) = m;
√
x + 1 + 3 − x − (x + 1)(3 − x) = m;
√
(c) x2 − 4 − x2 + m = 0;
(b)
31. (A, 2008) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân
biệt:
√
√
√
√
4
2x + 2x + 2 4 6 − x + 2 6 − x = m (m ∈ R).
32. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt:
√
√
√
6
7 3 x − 1 − 5m2 . 3 8x − 32 = x2 − 5x + 4 (m ∈ R).
Đáp số. S =
2
−√ ; −
5
3
5
∪
3 2
;√ .
5 5
33. Tìm tất cả các giá trị của tham số b sao cho phương trình
√
√
√
10
3. 5 x + 2 − 16b2 . 5 32x + 32 = x2 + 3x + 2
có nghiệm duy nhất.
Đáp số. b ∈
1
1
1 1
∪ √ ; +∞ .
−∞; − √ ∪ − ;
4 4
2 2
2 2
34. Tìm tất cả các giá trị của tham số b sao cho phương trình
√
√
√
10
3. 5 x + 4 − 7b2 . 5 32x + 96 = x2 + 7x + 12
có nghiệm duy nhất.
Đáp số. b ∈
1 1
2
∪ −√ ; √ ∪
7
7 7
√
x−3−2 x−4+
35. (Dự bị D, 2007) Tìm m để phương trình
hai nghiệm.
36. (Dự bị B, 2007) Tìm m để phương trình
−∞;
√
4
x2 + 1 −
2
; +∞ .
7
√
x − 6 x − 4 + 5 = m có đúng
√
x = m có nghiệm.
√
4
x4 − 13x + m + x − 1 = 0 có đúng một nghiệm.
√
√
√
38. (Dự bị 2, khối D, 2006) Giải phương trình x + 2 7 − x = 2 x − 1 + −x2 + 8x − 7 + 1.
√
√
√
39. (Dự bị, khối B, 2006) Giải phương trình 3x − 2 + x − 1 = 4x − 9 + 2 3x2 − 5x + 2.
37. (Dự bị B, 2007) Tìm m để phương trình
40. (Dự bị 1, khối D, 2006) Giải phương trình 4x − 2x+1 + 2(2x − 1) sin(2x + y − 1) + 2 = 0.
41. Giải bất phương trình
4
www.VIETMATHS.com
a)
b)
c)
d)
e)
√
√
√
√
√
2x2 + 4x + 3 6 − 2x;
√
i) 2x2 + x2 − 5x − 6 > 10x + 15;
√
√
√
j) (A, 2005) 5x − 1 − x − 1 > 2x − 4;
√
√
√
k) 2x + 7 − 5 − x
3x − 2;
h) x2 +
x2 − 2x − 15 < x − 2;
−x2 + 6x − 5
8 − 2x;
8x2 − 6x + 1 − 4x + 1
x2 − 4x + 5 + 2x
0;
3;
2x−1 + 4x − 16
> 4.
x−2
√
m) x2 + 2x2 + 4x + 3
l)
(x + 5)(3x + 4) > 4(x − 1);
2(x2 − 16) √
7−x
√
+ x−3> √
x−3
x−3
2
√
n) 9x −2x − 2
g) (x + 1)(x + 4) < 5 x2 + 5x + 28;
f) (A, 2004)
√
42. (Dự bị A, 2007) Tìm m để bất phương trình m
√
x ∈ [0; 1 + 3].
1
3
6 − 2x;
2x−x2
3;
x2 − 2x + 2 + 1 + x(2 − x)
0 có nghiệm
43. Giải các phương trình sau
g) 8.41/x + 8.4−1/x − 54.21/x − 54.2−1/x = −101.
a) 3.16x + 37.36x = 26.81x .
b) 32x
2 +6x−9
x
x
+ 4.15x
2 +3x−5
2 +6x−9
= 3.52x
.
h) 53x + 9.5x + 27(5−3x + 5−x ) = 64.
x
c) 27 + 12 = 2.8 .
d) 5.23x−3 − 3.25−3x + 7 = 0.
√ x
√
5+2 6 +
5−2 6
e)
x
√
√
4 − 15 +
4 + 15
f)
i) 1 + 3x/2 = 2x .
x
x
= 10.
√
= (2 2)x .
j) 2x−1 − 2x
2 −x
= (x − 1)2 .
k) 3log2 x = x2 − 1.
44. (A, 2008) Giải phương trình log2x−1 (2x2 + x − 1) + logx+1 (2x − 1)4 = 4.
45. (B, 2008) Giải bất phương trình log0,7 log6
46. (D, 2008) Giải bất phương trình log 1
2
x2 + x
x+4
x2 − 3x + 2
x
< 0.
0.
47. (Cao đẳng 2008) Giải phương trình log22 (x + 1) − 6 log2
√
x + 1 + 2 = 0.
48. Giải phương trình log2√2+√3 (x2 − 2x − 2) = log2+√3 (x2 − 2x − 3).
Đáp số. x1 = 1 +
√
11 + 4 3, x2 = 1 −
√
11 + 4 3
49. Giải phương trình log2/√2−√3 (x2 + 4x − 2) = log1/(2−√3) (x2 + 4x − 3).
50. Giải phương trình 3 +
1
= logx/2
log32 (x/2)
75x 11
−
4
x
.
√
Đáp số. x =
5
11
.
4
www.VIETMATHS.com
1
2
51. Giải phương trình √
= (3x − 5)log1/25 (2+5x−x ) .
3x − 5
Đáp số. x = 2,
52. (D, 2007) Giải phương trình log2 (4x + 15.2x + 27) + 2 log2
x=
1
= 0.
−3
4.2x
53. (Dự bị D, 2007) Giải phương trình 23x+1 − 7.22x + 7.2x − 2 = 0.
54. (Dự bị B, 2007) Giải phương trình log3 (x − 1)2 + log√3 (2x − 1) = 2.
55. (Dự bị B, 2007) Giải phương trình (2 − log3 x). log9x 3 −
56. (Dự bị A, 2007) Giải phương trình log4 (x − 1) +
4
= 1.
1 − log3 x
1
log2x+1 4
=
√
1
+ log2 x + 2.
2
57. (Dự bị D, 2006) log3 (3x − 1) log3 (3x+1 − 3) = 6.
√
58. (Dự bị B, 2006) log√2 x + 1 − log 1 (3 − x) − log8 (x − 1)3 = 0.
2
√
59. (BKHN, 2000) log4 (x + 1)2 + 2 = log√2 4 − x + log8 (4 + x)3 .
60. (Dự bị, 2002)
1
1
log√2 (x + 3) + log4 (x − 1)8 = log2 (4x).
2
4
61. (Phân viện Báo chí Tuyên truyền, 2002)
log27 (x2 − 5x + 6)3 =
62. (Dự bị D, 2006) 2(log2 x + 1) log4 x + log2
1
log√3
2
x−1
2
+ log9 (x − 3)2 .
1
= 0.
4
63. (Dự bị A, 2006) logx 2 + 2 log2x 4 = log√2x 8.
64. (A, 2007) 2 log3 (4x − 3) + log 1 (2x + 3)
3
2.
65. (Dự bị A, 2007) Giải bất phương trình (logx 8 + log4 x2 ) log2
66. (Dự bị D, 2007) Giải bất phương trình log1/2
√
2x
0.
√
1
2x2 − 3x + 1 + log2 (x − 1)2
2
67. (CĐSP Quảng Bình) log1/2 (x − 1) + log1/2 (x + 1) − log1/√2 (7 − x) = 1.
68. (B, 2006) log5 (4x + 144) − 4 log5 2 < 1 + log5 (5x−2 + 1).
69. (CĐTCKT 2006) 3 log1/2 x + log4 x2 − 2 > 0.
70. (Dự bị B, 2003) log 1 x + 2 log 1 (x − 1) + log2 6
2
0.
4
71. (Dự bị, 2006) logx+1 (−2x) > 2.
72. (CĐ Y tế Thanh Hoá, 2006)
log20,5 x + 4 log2
6
√
x
√
2(4 − log16 x4 ).
1
.
2
5+
√
2
13
.
www.VIETMATHS.com
x2 −2x
73. (Dự bị, 2005) 9
−2
74. (Dự bị, 2002) log 1 (4x + 4)
75. (D, 2006) 2
x2 −x
− 4.2
3.
log 1 (22x+1 − 3.2x ).
2
x2 +x
2x−x2
1
3
2
− 22x + 4 = 0.
76. (A, 2006) 3.8x + 4.12x − 18x − 2.27x = 0.
√
√
√
77. (B, 2007) ( 2 − 1)x + ( 2 + 1)x − 2 2 = 0.
78. (D, 2003) 2x
2 −x
2
− 22+x−x = 3.
2 +x−1
79. (Dự bị B, 2006) 9x
− 10.3x
√
80. (CĐSPHN, A, 2002) 4x−
x2 −5
2 +x−2
+ 1 = 0.
√
− 12.2x−1−
81. (Cao đẳng khối A, D, 2006) 32x
2 +2x+1
x2 −5
− 28.3x
+ 8 = 0.
2 +x
+ 9 = 0.
2
82. (ĐHSPHCM, 2002) 4log2 2x − xlog2 6 = 2.3log2 4x .
√
83. (Dự bị, 2004) log π4 log2 (x + 2x2 − x) < 0.
84. (CĐKT, 2005) Tìm tập xác định của hàm số y =
log√5 (x2 −
√
5x + 2).
√
log 1 ( 2x − 3 − 1) . log 1 (x − 2) .
85. 2.[log121 (x − 2)]2
11
11
86. (CĐSPHN, A, Dự bị, 2002) log1/3 (x − 1) + log1/3 (2x + 2) + log√3 (4 − x) < 0.
87. (CĐSP Vĩnh Phúc, 2002) log4 (3x − 1). log 1
4
88. (Dự bị, 2004)
3x − 1
16
2x−1 + 4x − 16
> 4.
x−2
1
89. (Dự bị, 2004) 2x 2 log2 x
3
2 2 log2 x .
2
90. (CĐSP Hà Tĩnh, 2002) 2(log2 x) + xlog2 x
4.
91. (Cao đẳng khối A, B, 2005) 32x+4 + 45.6x − 9.22x+2
92. (CĐKTĐN, 2007) 5.4x + 2.25x
93.
3
.
4
1
1
+
|7 − log3 3x| |4 − log9 9x2 |
0.
7.10x .
1
.
| log9 81x|
0
94.
1
1
+
2
|4 − log4 16x | |7 − log2 2x|
1, x =
1
.
81
1
.
| log4 8x|
0
7
1
1, x = .
8
www.VIETMATHS.com
95. (4x − 2.2x − 3). log2 x − 3
4
x+1
2
− 4x .
0
96. (9x − 2.3x+1 − 7). log3 x + 7
32x − 2.9
x+1
2
1/2,
log2 3.
.
0
97. x. log3 x + 1
x
log3 7,
x
3.
log3 x. log2 3 + x. log3 2.
S = (0; log2 3] ∪ [2; +∞).
98. x. log2 x + 1
log2 x. log3 2 + x. log2 3.
S = (0; log3 2] ∪ [3; +∞).
99. log√2+√3 (2 − |x − 1|) > log√10 (2x − x2 ).
S = (0; 2).
100. log√2+√3 (2 − |x|) > log√10 (1 − x2 ).
Đáp số. S = (−1; 1).
|x + 1| + |x − 5|
.
3
101. Tìm tập xác định của hàm số y = log16x−12−4x2
Đáp số. S = (−∞; 0) ∪ [1/2; +∞).
|x + 4| − |x + 3|
.
3
102. Tìm tập xác định của hàm số y = log2x+8−x2
Đáp số. S = (−∞; −1/2] ∪ (0; +∞).
103. Tìm tập xác định của hàm số f (x) =
log 4
x
1
1
− log2 (2x). log 8 .
x 2
2
Đáp số. S = (4; 8) ∪ {2}.
104. (3 − x) log2 (1 +
√
7)x
2 +3x+2
>
√
√
√
2 − x. log3 (8 + 2 7)(x+1) x+1 .
Đáp số. S = (−1; 2].
105. (4 − x) log3 (2 +
√
5)x
2 +5x+6
>
√
√
√
3 − x. log4 (9 + 4 5)(x+2) x+2 .
Đáp số. S = (−2; 3].
√
106. (Dự bị 2002) Tìm a để phương trình sau có nghiệm 91+
107. (Dự bị 1, B, 2003) Tìm m để phương trình 4(log2
(0; 1).
√
1−t2
√
− (a + 2)31+
1−t2
+ 2a + 1 = 0.
x)2 − log 1 x + m = 0 có nghiệm thuộc khoảng
2
2
2
108. (Cao đẳng Giao thông, 2003) Tìm m để phương trình 34−2x − 2.32−x + 2m − 3 = 0 có nghiệm.
109. (A, 2002) Cho phương trình
log23 x +
log23 x + 1 − 2m − 1 = 0.
8
(3)
www.VIETMATHS.com
(a) Giải phương trình (3) khi m = 2.
√
(b) Tìm m để phương trình (3) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [1; 3 3 ].
110. Tìm a để phương trình sau có nghiệm:
√
91+
1
1−x2
√
− (a + 2).31+
1−x2
+ 2a + 1 = 0.
Hệ đối xứng loại một, hệ phản xứng
1. Giải các hệ phương trình sau:
√
√
√
3( x + y) = 4 xy,
e)
xy = 9;
√
x + y − xy = 3,
√
f) (A, 2006)
√
x + 1 + y + 1 = 4;
x + y + xy = 11,
x2 + y 2 + 3(x + y) = 28;
a)
x + y = 4,
(x2 + y 2 ) (x3 + y 3 ) = 280;
√
√
x2 + y 2 + 2xy = 8 2,
√
√
x + y = 4;
b)
c)
x
y
5
+
= ,
y
x
2
d)
2
2
x + y + xy = 21;
g)
x2 + y 2 − x + y = 2,
xy + x − y = −1;
h)
x − xy − y = 1,
x2 y + xy 2 = 6.
x2 + y + x3 y + xy 2 + xy = − 5 ,
4
2. (A, 2008) Giải hệ phương trình
5
x4 + y 2 + xy(1 + 2x) = −
4
3. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
a) (D, 2004)
√
√
x + y = 1,
√
√
x x + y y = 1 − 3m;
b)
x + y + xy = m,
x2 + y 2 = m.
x + y + xy = m + 2,
x2 y + xy 2 = m + 1.
4. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
2
(x, y ∈ R).
Hệ đối xứng loại hai
1. Giải các hệ phương trình sau:
√
a)
xy + x2 = 1 + y,
xy + y 2 = 1 + x;
d)
√
x + 5 + y − 2 = 7,
√
√
y + 5 + x − 2 = 7;
b)
x3 = 3x + 8y,
y 3 = 3y + 8x;
e)
2x + y =
2y + x =
c)
x3 + 1 = 2y,
y 3 + 1 = 2x;
f) (B, 2003)
9
3
,
x2
3
;
y2
3y =
3x =
y 2 +2
,
x2
x2 +2
.
y2
www.VIETMATHS.com
2. Giải các phương trình sau:
√
a) x3 − 3 3 2 + 3x = 2;
√
b) x3 − 6 = 3 x + 6.
x − 1 = y − 1,
x
y
3. (A, 2003)
2y = x3 + 1.
√
√
3
x − y = x − y,
4. (B, 2002)
√
x + y = x + y + 2.
5. (ĐHSP khối D, E, 2001) Cho hệ phương trình
√
√
√
x + 1 + y − 2 = m,
√
√
√
y + 1 + y − 2 = m.
a) Giải hệ (5) khi m = 9;
b) Tìm m để hệ phương trình (5) có nghiệm.
x + √x2 − 2x + 2 = 3y−1 + 1,
6. (Dự bị A, 2007) Giải hệ phương trình
y + y 2 − 2y + 2 = 3x−1 + 1.
2xy
= x2 + y,
x + √
3
2
x
−
2x
+
9
7. (Dự bị B, 2007) Giải hệ phương trình
2xy
= y 2 + x.
y + 3 2
y − 2y + 9
y
,
ex = 2007 −
2−1
y
8. (Dự bị B, 2007) Chứng minh rằng hệ phương trình
x
ey = 2007 − √
x2 − 1
có đúng hai nghiệm (x; y) thoả mãn x > 1, y > 1.
3
Phương pháp đặt ẩn phụ
1. Giải các hệ phương trình sau:
1 1
x + y + + = 5,
x y
d)
1
1
2
2
x +y +
+
= 9;
x2 y 2
x(x + 2)(2x + y) = 9,
a)
x2 + 4x + y = 6;
√
√
2x + y + 1 − x + y = 1,
b)
3x + 2y = 4;
x
x + y + = 5,
y
c)
x
(x + y) = 6;
y
111. Giải các hệ phương trình sau:
10
e)
x + y + x2 + y 2 = 8,
xy(x + 1)(y + 1) = 12;
f)
1 + x3 y 3 = 19x3 ,
y + xy 2 = −6x2 .
(4)
www.VIETMATHS.com
x2 + y + x3 y + xy 2 + xy = − 5 ,
4
a) (A, 2008) Giải hệ phương trình
(x, y ∈ R).
5
4
2
x + y + xy(1 + 2x) = −
4
b) (D, 2007) Tìm giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực:
1
1
x + + y + = 5,
x
y
1
1
3
3
x +
+ y + 3 = 15m − 10.
3
x
y
√
c) (Dự bị khối D, 2005)
2x + y + 1 −
3x + 2y = 4
√
x+y =1
x2 + y 2 + x + y = 4
x(x + y + 1) + y(y + 1) = 2
√
x + y − xy = 3
√
(x, y ∈ R)
√
x+1+ y+1=4
d) (Dự bị khối D, 2005)
e) (Khối A, 2006)
f) (Dự bị Khối A, 2006)
x2 + 1 + y(y + x) = 4y
(x, y ∈ R)
(x2 + 1)(y + x − 2) = y
g) (Dự bị Khối A, 2006)
x3 − 8x = y 3 + 2y
(x, y ∈ R)
x3 − 3 = 3(y 2 + 1)
h) (Khối D, 2006) Chứng minh rằng với mọi a > 0, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
ex − ey = ln(1 + x) − ln(1 + y),
y − x = a.
i) (Dự bị Khối D, 2006)
x2 − xy + y 2 = 3(x − y),
(x, y ∈ R)
x2 + xy + y 2 = 7(x − y)2
j) (Dự bị Khối D, 2006)
ln(1 + x) − ln(1 + y) = x − y,
x2 − 12xy + 20y 2 = 0.
k) (Dự bị Khối B, 2006)
(x − y)(x2 + y 2 ) = 13,
(x, y ∈ R).
(x + y)(x2 − y 2 ) = 25
l) (Dự bị, 2005)
m) (Dự bị 2002)
4
x2 + y = y 2 + x,
2x+y − 2x−1 = x − y
x − 4|x| + 3 = 0,
log4 x − log2 y = 0.
Hệ đẳng cấp
1. Giải các hệ phương trình sau:
11
www.VIETMATHS.com
a)
x2 + xy = 6,
x2 + y 2 = 5;
c)
(x − y)2 y = 2,
x3 − y 3 = 19;
b)
2x2 + 3xy + y 2 = 12,
x2 − xy + 3y 2 = 11;
d)
x2 − 5xy + 6y 2 = 0,
4x2 + 2xy + 6x − 27 = 0;
112. Giải các phương trình sau:
1) (A, 2008) Giải phương trình
2) (B, 2008) sin3 x −
√
1
+
sin x
1
sin x −
3 cos3 x = sin x cos2 x −
√
3π
2
= 4 sin
7π
−x .
4
3 sin2 x cos x.
3) (D, 2008) 2 sin x(1 + cos 2x) + sin 2x = 1 + 2 cos x.
√
4) (Cao đẳng A, B, D, 2008) sin 3x − 2 cos 3x = 2 sin 2x.
2(cos6 x + sin6 x) − sin x cos x
√
= 0.
5) (A, 2006)
2 − 2 sin x
6) (A, 2007) (1 + sin2 x) cos x + (1 + cos2 x) sin x = 1 + sin 2x.
7) (D, 2006) cos 3x + cos 2x − cos x − 1 = 0.
x
x 2 √
8) (D, 2007) sin + cos
+ 3 cos x = 2.
2
2
9) (B, 2007) 2 sin2 2x + sin 7x − 1 = sin x.
1
1
10) (Dự bị A, 2007) Giải phương trình sin 2x + sin x −
−
= 2 cot 2x.
2 sin x sin 2x
√
√
11) (Dự bị A, 2007) Giải phương trình 2 cos2 x + 2 3 sin x cos x + 1 = 3(sin x + 3 cos x).
√
5x π
3x
x π
−
−
= 2 cos .
12) (Dự bị B, 2007) Giải phương trình sin
− cos
2
4
2
4
2
sin 2x cos 2x
13) (Dự bị B, 2007) Giải phương trình
+
= tan x − cot x.
cos x
sin x
√
π
14) (Dự bị D, 2007) Giải phương trình 2 2 sin x −
cos x = 1.
12
15) (Dự bị D, 2007) Giải phương trình (1 − tan x)(1 + sin 2x) = 1 + tan x
16) (Dự bị B, 2006) (2 sin2 x − 1) tan2 2x + 3(cos2 x − 1) = 0.
17) (Dự bị B, 2006) cos 2x + (1 + 2 cos x)(sin x − cos x) = 0.
18) (Dự bị D, 2006) cos3 x + sin3 x + 2 sin2 x = 1.
19) (Dự bị D, 2006) 4 sin3 x + 4 sin2 x + 3 sin 2x + 6 cos x = 0.
20) 2 cos 2x + sin2 x cos x + sin x cos2 x = 2(sin x + cos x).
21) 3 − 4 sin2 2x = 2 cos 2x(1 + 2 sin x).
1
8
π
1
22) 2 cos x + cos2 (x + π) = + sin 2x + 3 cos x +
+ sin2 x.
3
3
2
3
2π
1
π
23) cos2 x +
+ cos2 x +
= (sin x + 1).
3
3
2
12
www.VIETMATHS.com
24) sin 3x +
25)
26)
27)
28)
π
4
= sin 2x. sin x +
π
.
4
√
2
+
3
2
(Dự bị A, 2006) cos 3x. cos3 x − sin 3x sin3 x =
.
8
π
(Dự bị A, 2006) 2 sin 2x −
+ 4 sin x + 1 = 0.
6
x
= 4.
(B, 2006) cot x + sin x 1 + tan x tan
2
(A, 2005) cos2 3x cos 2x − cos2 x = 0.
29) (B, 2005) 1 + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0.
π
π
3
30) (D, 2005) cos4 x + sin4 x + cos x −
sin 3x −
− = 0.
4
4
2
√
π
31) (Dự bị 2005) 2 2 cos3 x −
− 3 cos x − sin x = 0.
4
3π
x √
32) (Dự bị 2005) 4 sin2 − 3 cos 2x = 1 + 2 cos2 x −
.
2
4
33) (Dự bị 2005) sin x cos 2x + cos2 x(tan2 x − 1) + 2 sin3 x = 0.
34) (Dự bị 2004) 4(sin3 x + cos3 x) = cos x + 3 sin x.
35) sin x. sin 2x + sin 3x = 6 cos3 x.
√
1
π
1
−
= 2 2 cos x +
.
36) (Dự bị 2004)
cos x sin x
4
√
37) (Dự bị 2004) sin 2x − 2 2(sin x + cos x) − 5 = 0.
3
38) 1 + sin3 x + cos3 x = sin 2x.
1
√
39) cos 3x − sin 2x = 3(cos 2x − sin 3x).
√
40) sin x + sin 2x = 3(cos x + cos 2x).
√
41) 4(sin4 x + cos4 x) + 3 sin 4x = 2.
113. (A, 2008) Cho lăng trụ ABC.A B C có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông
√
tại A, AB = a, AC = a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A trên mặt phẳng (ABC) là trung
điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A .ABC và tính cosin của góc giữa hai đường
thẳng AA , B C .
114. (A, 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của
các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện
CM N P .
115. (B, 2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi E là
điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của
BC. Chứng minh M N vuông góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng
M N và AC.
13
www.VIETMATHS.com
√
116. (Dự bị A, 2007) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A1 B1 C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a 5
và BAC = 120◦ . Gọi M là trung điểm của cạnh CC1 . Chứng minh rằng M B ⊥ M A1 và tính
khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (A1 BM ).
117. (Dự bị A, 2007) Cho hình chóp S.ABC có góc tạo bởi hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng
60◦ , các tam giác ABC và SBC là các tam giác đều cạnh bằng a. Tính theo a khoảng cách từ
điểm B đến mặt phẳng (SAC).
118. (Dự bị B, 2007) Trong mặt phẳng (P ) cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm C
thuộc nửa đường tròn đó sao cho AC = R. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P ) tại
A, lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng 60◦ . Gọi H, K lần lượt
là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB, SC. Chứng minh rằng tam giác AHK là tam
giác vuông và tính thể tích của khối chóp S.ABC.
119. (Dự bị B, 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc
√
với đáy hình chóp. Cho AB = a, SA = a 2. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A
trên các cạnh SB, SD. Chứng minh rằng SC ⊥ (AHK) và tính thể tích của khối chóp O.AHK.
120. (Dự bị D, 2007) Cho lăng trụ đứng ABC.A1 B1 C1 có đáy ABC là tam giác vuông, AB = AC =
√
a, AA1 = a 2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AA1 và BC. Chứng minh rằng
M N là đường vuông góc chung của các đường thẳng AA1 và BC1 . Tính thể tích của khối chóp
M.A1 BC1 .
121. (Dự bị D, 2007) Cho lăng trụ đứng ABC.A1 B1 C1 có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M là trung
điểm của đoạn AA1 . Chứng minh BM ⊥ B1 C và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM
và B1 C.
122. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau, OA = a, OB = b,
OC = c. Gọi α, β, γ lần lượt là góc giữa OA, OB, OC với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng
sin2 α + sin2 β + sin2 γ = 1.
123. Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau. Gọi α, β, γ lần lượt là
các góc giữa mặt phẳng (ABC) với các mặt phẳng (OBC), (OAC), (OAB). Chứng minh rằng
cos α + cos β + cos γ
√
3.
124. (Khối B, 2002) Cho hình lập phương ABCD.A1 B1 C1 D1 có cạnh bằng a.
a) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng A1 B và B1 D;
b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh B1 B, CD, A1 D1 . Tính góc giữa hai đường
thẳng M P và C1 N .
125. (ĐH Ngoại thương HCM, 2002) Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a. Giả sử
M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và DD .
14
www.VIETMATHS.com
a) Chứng minh rằng M N//(A BD)
b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và M N.
126. (Học viện quan hệ quốc tế, khối D, 2001) Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D với AB =
a, BC = b, AA = c.
a) Tính diện tích tam giác ACD theo a, b, c.
b) Giả sử M, N lần lượt là trung điểm của AB và BC. Hãy tính thể tích tứ diện D DM N theo
a, b, c.
127. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với √
mặt
a. 6
.
phẳng đáy (ABC). Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) theo a, biết SA =
2
128. (Dự bị 2002) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với
mặt phẳng đáy (ABCD) và SA = a. Gọi E là trung điểm của cạnh CD. Tính theo A khoảng
cách từ điểm S đến đường thẳng BE.
129. (Dự bị 2002) Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền BC = a. Trên đường thẳng vuông
góc với mặt phẳng (ABC) tại điểm A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và
(SBC) bằng 60◦ . Tính độ dài đoạn thẳng SA theo a.
130. (Khối B, 2004) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và
mặt đáy bằng ϕ (0◦ < ϕ < 90◦ ). Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (SAB)
theo ϕ. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a và ϕ.
131. (Khối A, 2006) Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O , bán kính đáy bằng chiều
cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm B
sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO AB.
132. (Dự
√ bị, Khối A, 2006) Cho hình hộp đứng ABCD.A B C D có các cạnh AB = AD = a, AA =
a 3
và BAD = 60◦ . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh A D và A B . Chứng minh
2
rằng AC vuông góc với mặt phẳng (BDM N ). Tính thể tích khối chóp A.BDM N .
133. (Dự bị, Khối A, 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB =
◦
a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy,
√ cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 . Trên
a 3
cạnh SA lấy điểm M sao cho AM =
. Mặt phẳng BCM cắt SD tại điểm N . Tính thể tích
3
khối chóp S.BCM N .
134. (Khối A, 2006) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a
và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A
trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCN M .
135. (Dự bị, Khối D, 2006) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi SH là
đường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên (SBC) bằng b.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
15
www.VIETMATHS.com
136. (Dự bị, Khối D, 2006) Cho hình lập phương ABCD.A B C D có cạnh bằng a và điểm K thuộc
2
cạnh CC sao cho CK = a. Mặt phẳng (α) đi qua A, K và song song với BD chia khối lập
3
phương thành hai khối đa diện. Tính thể tích của hai khối đa diện đó.
137. (Khối B, 2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD =
√
a 2, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
AD và SC, I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với
mặt phẳng (SM B). Tính thể tích khối tứ diện AN IB.
138. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD = 60◦ , SA vuông góc với
mặt phẳng (ABCD), SA = a. Gọi C là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P ) đi qua AC và song
song với BD, cắt các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B và D . Tính thể tích khối chóp
S.AB C D .
139. Cho hình lăng trụ ABC.A B C có A .ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB = a, cạnh
bên A A = b. Gọi α là góc xen giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A BC). Tính tan α và thể tích
của khối chóp A .BB C C.
140. Cho hình chóp S.ABC có SA = 3a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tam giác ABC có
AB = BC = 2a, ABC = 120◦ . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (ABC).
141. Cho hình chóp S.ABC. Đáy ABC là tam giác vuông tại B, cạnh SA vuông góc với đáy ACB =
√
60◦ , BC = a, SA = a 3. Gọi M là trung điểm của cạnh SB. Chứng minh mặt phẳng (SAB)
vuông góc với mặt phẳng (SBC). Tính thể tích của khối tứ diện M ABC.
142. (Cao đẳng Tài chánh Kế toán, 2006) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a
và góc ASB = 60◦ . Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
143. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC.
144. (Khối B, 2003) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A B C D có đáy ABCD là một hình thoi cạnh
a, góc BAD = 60◦ . Gọi M là trung điểm của cạnh CC . Chứng minh rằng bốn điểm B , M, D, N
cùng nằm trên một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA theo a để tứ giác B M DN là hình
vuông.
√
145. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đường cao SO = 1 và đáy ABC có cạnh bằng 2 6. Các
điểm M, N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AC, AB. Tính thể tích hình chóp S.AM N
và bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp đó.
146. Trong không gian cho hai đường thẳng
d1 :
y+1
z
x
=
= và d2 :
1
2
1
3x − z + 1 = 0,
2x + y − 1 = 0.
a) Chứng minh rằng d1 , d2 chéo nhau và vuông góc với nhau;
16
www.VIETMATHS.com
b) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng cắt cả hai đường thẳng d1 , d2 và song song với
đường thẳng
x−4
y−7
z−3
∆:
=
=
.
1
4
−2
147. Cho hai điểm A(1; −1; 2), B(3; 1; 0) và mặt phẳng (P ) có phương trình x − 2y − 4z + 8 = 0.
a) Lập phương trình đường thẳng (d) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau: (d) nằm trong mặt
phẳng (P ), (d) vuông góc với đường thẳng AB và (d) đi qua giao điểm của đường thẳng AB
với mặt phẳng (P ).
b) Tìm toạ độ điểm C trong mặt phẳng (P ) sao cho CA = CB và mặt phẳng ABC vuông góc
với mặt phẳng (P ).
y−2
x−1
=
=
148. Cho tam giác ABC có điểm B(2; 3; −4), đường cao CH có phương trình ∆1 :
5
5
x−5
y−3
z+1
z
và đường phân giác trong góc A là AI có phương trình ∆2 :
=
=
. Lập
−5
7
1
2
phương trình chính tắc cạnh AC.
149. Cho tam giác ABC có điểm A(−1; −1; 2), đường cao BK và đường trung tuyến CM lần lượt
có phương trình
d1 :
x+1
y−1
z−4
=
=
,
2
3
4
d2 :
x−1
y+2
z−5
=
=
.
2
−3
1
Lập phương trình đường thẳng chứa các cạnh AB, AC của tam giác ABC.
150. (A, 2008) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho điểm A(2; 5; 3) và đường thẳng
d:
x−1
y
z−2
= =
.
2
1
2
(a) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng d.
(b) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (α) là lớn nhất.
151. (A, 2007) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng
x = −1 + 2t,
x
y−1
z+2
d1 : =
=
và d2 :
y = 1 + t,
2
−1
1
z = 3.
(a) Chứng minh rằng d1 và d2 chéo nhau.
(b) Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P ) : 7x + y − 4z = 0 và cắt cả
hai đường thẳng d1 , d2 .
152. (D, 2007) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2), B(−1; 2; 4) và đường thẳng
∆:
x−1
y+2
z
=
= .
−1
1
2
17
www.VIETMATHS.com
(a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với
mặt phẳng (OAB).
(b) Tìm toạ độ M thuộc đường thẳng ∆ sao cho M A2 + M B 2 nhỏ nhất.
153. (B, 2007) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho mặt cầu
(S ) : x2 + y 2 + z 2 − 2x + 4y + 2z − 3 = 0
và mặt phẳng (P) : 2x − y + 2z − 14 = 0.
(a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S ) theo một đường tròn có bán
kính bằng 3.
(b) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S ) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P)
lớn nhất.
154. (Dự bị A, 2007) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(−1; 3; −2), B(−3; 7; −18)
và mặt phẳng (P ) : 2x − y + z + 1 = 0.
(a) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng AB và vuông góc với (P ).
(b) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P ) sao cho M A + M B nhỏ nhất.
155. (Dự bị A, 2007) Trong không gian vớitoạ độ Oxyz, cho các điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(2; 4; 6)
6x − 3y + 2z = 0,
và đường thẳng (d) có phương trình
6x + 3y + 2z − 24 = 0
(a) Chứng minh rằng các đường thẳng AB và OC chéo nhau.
(b) Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với (d) và cắt các đường thẳng AB và OC.
156. (Dự bị B, 2007) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(−3; 5; −5), B(5; −3; 7) và
mặt phẳng (P ) : x + y + z = 0.
(a) Tìm toạ độ giao điểm I của đường thẳng AB và mặt phẳng (P ).
(b) Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt phẳng (P ) sao cho M A2 + M B 2 nhỏ nhất.
157. (Dự bị B, 2007) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2; 0; 0), M (0; −3; 6) và mặt
phẳng (P ) có phương trình x + 2y − 9 = 0.
(a) Gọi (S ) là mặt cầu có tâm là điểm M và có bán kính OM . Chứng minh rằng (P ) tiếp xúc
với (S ). Tìm toạ độ tiếp điểm của (P ) và (S ).
(b) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa các điểm A và M , đồng thời, (Q) cắt các trục
Oy, Oz tại các điểm tương ứng B, C sao cho thể tích của khối tứ diện OABC bằng 3
(đ.v.t.t.)
158. (Dự bị D, 2007) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d) :
và mặt phẳng (P ) có phương trình x + y + z + 2 = 0.
18
y+2
z+1
x−3
=
=
2
1
−1
www.VIETMATHS.com
(a) Tìm toạ độ giao điểm M của (P ) và (d).
(b) Viết phương trình đường thẳng ∆ thuộc (P ) sao cho ∆ vuông góc với (d) và khoảng cách
√
từ M đến ∆ bằng 42.
159. (Dự bị D, 2007) Trong không gian với toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : x − 2y + 2z − 1 = 0
và hai đường thẳng
(d1 ) :
x−1
y−3
z
=
= ,
2
−3
2
(d2 ) :
x−5
y
z+5
= =
.
6
4
−5
(a) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa (d1 ) và vuông góc với (P ).
(b) Tìm các điểm M thuộc (d1 ) và N thuộc (d2 ) sao cho đường thẳng M N song song với (P )
và đường thẳng M N cách (P ) một khoảng bằng 2.
160. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 4; 2) và B(−1; 2; 4) và đường thẳng
y+2
z
x−1
=
= .
d:
−1
1
2
(a) Tìm toạ độ điểm M thuộc d sao cho
# » # »
i) M A + M B nhỏ nhất;
Đáp số.M (−1; 0; 4).
ii) M A2 + M B 2 nhỏ nhất;
Đáp số. M (−1; 0; 4).
iii) M A + M B nhỏ nhất;
iv) Diện tích tam giác AM B nhỏ nhất.
Đáp số.
−
12 5 38
; ;
.
7 7 7
(b) Viết phương trình mặt phẳng (P ) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P ) là lớn nhất.
Đáp số. 5x + 13y − 4z + 21 = 0.
(c) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d và tạo với mặt phẳng (xOy) một góc nhỏ nhất.
Đáp số. x + y − z + 3 = 0.
(d) Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa d và tạo trục (Oy) một góc lớn nhất.
Đáp số. x + 5y − 2z + 9 = 0.
161. Cho mặt phẳng (α) : x − y + 2z = 0 và các điểm A(1; 2; −1), B(3; 1; −2), C(1; −2; 1). Tìm điểm
M thuộc (α) sao cho
4
13
; 1; − .
5
5
7 11
Đáp số. M
; ;1 .
2 2
(a) M A + M B nhỏ nhất;
Đáp số. M
(b) |M A − M B| lớn nhất;
(c) M A2 − M B 2 − M C 2 lớn nhất;
# » # » # »
(d) |M A + M B + M C| nhỏ nhất.
Đáp số. M (2; −2; −2).
5 1 2
Đáp số. M
; −
.
3 3 3
162. Trong số các đường thẳng ∆ đi qua A và cắt d, viết phương trình các đường thẳng sao cho
khoảng cách từ B đến nó là lớn nhất; nhỏ nhất.
x−1
y−4
z−2
x−1
y−4
z−2
Đáp số. ∆1 :
=
=
và ∆2 :
=
=
.
1
−4
−3
15
18
−19
19
www.VIETMATHS.com
163. Cho mặt phẳng (P ) có phương trình x − y − 2z = 0 và điểm M (2; −3; 1). Viết phương trình
mặt phẳng (Q) đi qua M , vuông góc với (P ) và tạo với mặt phẳng (yOz) một góc 45◦ .
Đáp số. x + y + 1 = 0 hoặc 5x − 3y + 4z − 23 = 0.
164. Cho hai điểm A(1; 0; 1) và B(0; 1; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua gốc toạ độ và tạo
với các đường thẳng OA, OB các góc bằng 30◦ .
√
√
√
√
Đáp số. (1 ± 5)x + y ∓ 5z = 0; (−1 ± 5)x + y ∓ 5z = 0.
165. Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua điểm M (1; 2; 3) và tạo với trục toạ độ Ox, Oy các góc
tương ứng bằng 45◦ và 30◦ .
√
√
Đáp số. 2(x − 1) + (y − 2) ± (z − 3) = 0; − 2(x − 1) + (y − 2) ± (z − 3) = 0
√
166. Viết phương trình của đường thẳng d đi qua điểm M (1; 0; 3) cắt trục Ox và tạo với trục Ox
một góc 45◦ .
x = 1 + t,
x = 1 + t ,
Đáp số.
y = 0,
√
z = 3 + t
hoặc
y = 0,
√
z = 3 − t .
x = t,
167. Viết phương trình của đường thẳng d đi qua điểm M (1; 1; 1) cắt đường thẳng (d) : y = t,
z = −t
1
và tạo với mặt phẳng z = 0 một góc α và sin α = √ .
3
Đáp số.
y
z
x
= = .
1
1
1
x+2
y−1
z+1
168. Viết phương trình của đường thẳng d cắt đường thẳng
=
=
tại A, cắt trục
1
3
−2
√
1
Oz tại B sao cho AB = 3 và d tạo và tạo với mặt phẳng z = 0 một góc α và sin α = √ .
3
Đáp số. A(1; −1; −2) và B(0; 0; −1); A(1; −1; −2) và B(0; 0; 3); A(−1; −1; 4) và B(0; 0; 3);
A(−1; −1; −4) và B(0; 0; −5).
x + 2y − z + 1 = 0,
2x + y − z + 1 = 0,
169. Cho hai đường thẳng ∆1 :
và ∆2 :
x − y + z + 1 = 0
x − y + 2z − 1 = 0.
Chứng minh rằng khi các điểm A và B lần lượt thay đổi trên các ∆1 và ∆2 thì trung điểm I
của đoạn AB luôn thuộc một mặt phẳng cố định. Viết phương trình mặt phẳng đó.
Đáp số. 6x + 2z + 3 = 0.
Hướng dẫn.
20
www.VIETMATHS.com
x = −1 + t,
• Phương trình tham số của ∆1 là y = −2t,
z = −3t.
x = u,
• Phương trình tham số của ∆2 là
y = −1 − 5u,
z = −3u.
• Với A ∈ ∆1 và B ∈ ∆2 , toạ độ trung điểm I của đoạn AB là
I
t + u − 1 −2t − 5u − 1 −3t − u
;
;
2
2
2
.
Để chứng minh I thuộc một mặt phẳng cố định, ta cần tìm các số m, n, n, p, q sao cho
m
t+u−1
2
+n
−2t − 5u − 1
2
+p
−3t − u
2
+ q = 0,
∀t, u.
hay
(m − 2n − 3p)t + (m − 5n − 3p)u − (m + n − 2q) = 0,
∀t, u.
Điều trên xảy ra khi và chỉ khi
m − 2n − 3p = 0,
m − 5n − 3p = 0,
m + n − 2q = 0.
2
Chọn q = 1, từ hệ trên ta có m = 2, n = 0, p = .
3
Cũng có thể giải như sau:
• ∆1 đi qua điểm M (−1; 0; 0).
• ∆2 đi qua điểm N (0; −1; 0).
• Mặt phẳng cần tìm chính là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn M N và song song với
∆1 và ∆2 .
x+1
170. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm A(1; −1; 2), song song với đường thẳng d :
=
1
y−1
z+1
=
và tạo với mặt phẳng (yOz) một góc 45◦ .
−1
1
√
√
√
√
√
√
1+ 5
−1 + 5
1+ 5
1− 5
1+ 5
1+ 5
Đáp số. x +
y+
z+
= 0; x +
y−
z+
= 0;
2
2
2
2
2
2
1
1; ; 0 , vuông góc với mặt phẳng (β) :
2
3y − 2z = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S ) : x2 + y 2 + z 2 = 1.
171. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M
Đáp số. 6x + 2y + 3z − 7 = 0 = 0.
21
www.VIETMATHS.com
172. Cho mặt phẳng (α) : x − y + z − 1 = 0 và các điểm A(1; 2; −1), B(1; 0; −1), C(2; 1; −2). Tìm
điểm M thuộc mặt phẳng (α) sao cho M A2 + M B 2 − M C 2 nhỏ nhất.
Đáp số. M
2 1 2
; ;
.
3 3 3
173. Cho mặt phẳng (α) : x − 3y + 3z − 11 = 0 và các điểm A(3; −4; 5), B(3; 3; −3). Tìm điểm M
thuộc mặt phẳng (α) sao cho |M A − M B| lớn nhất.
Đáp số. M
174. Cho đường thẳng (d) :
−
31 5 31
;− ;
.
7
7 7
x = 1 + t,
y = 0,
z = −t
và các điểm A(2; 1; −1), B(−1; 2; 0). Trong các đường thẳng ∆ đi qua B và cắt (d), viết phương
trình đường thẳng sao cho khoảng cách từ A tới ∆ là lớn nhất; nhỏ nhất.
x = −1,
y−2
z
x+1
Đáp số.
=
=
và y = 2 − 2t,
4
−2
−2
z = 2t.
175. Trong các mặt phẳng đi qua các điểm A(1; 2; −1) và B(−1; 1; 2). Viết phương trình của mặt
phẳng (α) tạo với mặt (xOy) một góc nhỏ nhất.
Đáp số. 6x + 3y + 5z − 7 = 0.
y−2
z+1
x+1
=
=
, viết
1
1
−1
phương trình của mặt phẳng (α) tạo với mặt (xOy) một góc nhỏ nhất.
176. Trong các mặt phẳng đi qua điểm A(2; −1; 2) và cắt đường thẳng
Đáp số. x + y + 2z − 1 = 0.
x = 1 + 2t,
177. Cho đường thẳng ∆ y = 1 + t,
z = 1 + 3t
và hai điểm A(2; 1; 1) và B(−1; 2; 0). Tìm điểm M thuộc
đường thẳng ∆ sao cho M A2 + M B 2 nhỏ nhất.
Đáp số. M
5 6 4
; ;
.
7 7 7
178. Trong số các mặt cầu đi qua điểm A(1; 2; −1) và tiếp xúc với mặt phẳng (α) : x+y +2z −13 = 0.
Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất.
x = 1 + t,
179. Cho hai đường thẳng (d) : y = −2 + t,
z = −t
Đáp số. (S ) : (x − 2)2 + (y − 3)2 + (z − 1)2 = 6.
x = t ,
và (d ) :
22
y =1−t,
z = 2t .
www.VIETMATHS.com
Tìm điểm A trên (d), điểm B trên (d ) và C trên trục Oz sao cho tam giácABC nằm trong mặt
phẳng song song với mặt phẳng Oxy và diện tích tam giácABC nhỏ nhất.
1 7 1
3 9 1
;− ;
;B
; ;
.
Đáp số. A
4 4 4
8 8 4
180. Cho mặt phẳng (P ) có phương trình x + y + z − 9 = 0 và đường thẳng (d) có phương trình
x = 1 + t,
y = −2 + t,
z = −t.
Tìm điểm A trên (d) và điểm B trong (P ) sao cho gốc toạ độ O là trung điểm của đoạn thẳng
AB.
Hướng dẫn. Phép đối xứng qua tâm O biến A thành B, nên biến (d) thành (d ) đi qua B. Do
đó, B là giao điểm của (d ) và (P ).
181. Cho tam giác ABC với A(1; −2; 3), B(2; 1; 4), C(0; −2; 1) và (d) có phương trình
x = 1 + t,
y = −2 + t,
z = −t.
Tìm điểm M trên (d) sao cho M A2 + 2M B 2 + 3M C 2 nhỏ nhất.
x = 1 + t,
182. Viết phương trình của mặt phẳng (α) đi qua điểm A(1; 2; 3), cắt đường thẳng ∆ : y = −2 + t,
z = −t
và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc 60◦ .
183. Viết phương trình mặt cầu (S ) đi qua ba điểm A(2; 1; 1), B(3; 1; 2), C(−1; −3; 2) và tiếp xúc
với mặt phẳng (P ) : x + 2y − 2z − 2 = 0.
Đáp số. (x − 1)2 + (y + 1)2 + (z − 3)2 = 9.
184. Cho mặt cầu (S ) có phương trình (x − 1)2 + (y + 1)2 + (z + 1)2 = 16 và hai đường thẳng
x = −1 + 2t,
d1 :
và
y = −t,
z = 1 + t
x = 2 − t ,
d2 : y = t ,
z = −1 + 7t .
23
www.VIETMATHS.com
Viết phương trình mặt phẳng song song với d1 và d2 và cắt mặt cầu (S ) theo một đường tròn
√
có bán kính r = 2.
Đáp số. −2x − 3y + z + 14 = 0 và −2x − 3y + z − 14 = 0.
185. Cho ba mặt phẳng
(P ) : x − y + z − 1 = 0; (Q) : −x + 2y + z − 3 = 0; (R) : 2x − 3y + z + 1 = 0.
1
Viết phương trình mặt cầu (S ) có bán kính r = √ , có tâm I nằm trên giao tuyến của hai
14
mặt phẳng (P ) và (Q) đồng thời (S ) tiếp xúc với (R).
1
1
Đáp số. (x + 1)2 + y 2 + (z − 2)2 = ; (x − 5)2 + (y − 4)2 + z 2 = .
14
14
186. Cho mặt cầu (S ) có phương trình (x − 3)2 + y +
1
3
2
+ (z − 1)2 = 1.
Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm K thuộc (S ) và (S ) đi qua ba điểm A(−1; 2; 1),
B(3; −4; 5), C(1; 2; −3), biết khoảng cách từ tâm K đến gốc toạ độ O lớn hơn 4.
2
1
274
Đáp số. (x − 4) + y +
.
+ (z − 1)2 =
3
9
√
187. Viết phương trình mặt cầu (S ) có tâm bán kính r = 19 và (S ) đi qua hai điểm M (−1; 2; −3),
N (3; −4; 1), đồng thời (S ) có tâm I thuộc mặt cầu (x − 3)2 + (y − 1)2 + z 2 = 9 và hoành độ
tâm I là một số dương.
2
188. Cho các điểm A(−3; 1; −1); B(−1; −3; 3); C(−4; 3; 1); D(−5; 2; 0). Điểm M di động trên đoạn
AB. Tìm giá trị lớn nhất của T = M C + M D.
√
Đáp số. max T = 7 + 5 2 khi M trùng với B.
189. Cho hai điểm A(7; −6; −3), B(3; 6; −1) và mặt cầu (S ) có phương trình
(S ) : (x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 2)2 = 9.
(a) Chứng tỏ rằng hai điểm A, B ở ngoài (S ).
(b) Viết phương trình (P ) đi qua hai điểm A, B và qua tâm I của (S ).
Đáp số. 13x + 2y + 14z − 37 = 0.
(c) Xác định tọa độ điểm M thuộc giao tuyến (v) của (P ) và (S ) sao cho:
i. Diện tích S của tam giác M AB đạt giá trị lớn nhất;
ii. Diện tích S của tam giác M AB đạt giá trị nhỏ nhất.
• Phương trình mặt phẳng (R) chứa AB và vuông góc với mặt phẳng (P ) là
2x + y − 2z − 14 = 0.
24
www.VIETMATHS.com
• Phương trình đường thẳng (d) qua tâm I và vuông góc với mặt phẳng (R) là
x = 1 − 2t,
y = −2 − t,
z = 2 + 2t.
• Tìm được giao điểm của (d) và (S ) là M1 (3; −1; 0); M2 (−1; −3; 4) và khoảng cách từ
M1 , M2 mặt phẳng (R) lần lươt là 3 và 9 . Điểm M di động trên đường tròn (v). Kẻ
M H là đường cao của tam giác M AB, ta có 3 M H 9. Do đó, khi M trùng M1 thì
tam giác M AB có diện tích nhỏ nhất. Khi M trùng M2 thì diện tích tam giác M AB
có diện tích lớn nhất.
190. Cho mặt phẳng (P ) : x − 2y + 2z + 2 = 0 và đường thẳng (d) có phương trình là
x = 1 − t,
y = 2 + t,
z = 1 + 2t.
Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong (P ); cắt (d) và tạo với (d) một góc nhỏ nhất.
Hướng dẫn. Đường thẳng cần tìm chính là hình chiếu vuông góc của (d) lên (P ).
x = 2 + 10t,
Đáp số.
y = 1 − 11t,
z = −1 − 16t.
x−4
y
z+1
=
=
và mặt phẳng (P ) : x − 2y + 2z − 1 = 0. Viết pt
3
−1
−2
đường thẳng ∆ qua điểm E(−1; 2; −2), ∆ (P ) và tạo với (d) một góc có giá trị nhỏ nhất.
191. Cho đường thẳng (d) :
Hướng dẫn.
• Bước 1. Tìm hình chiếu vuông góc của (d) xuống (P ), gọi là (do ).
• Bước 2. Viết phương ∆ qua E và song song với (do ).
192. Dựng mặt phẳng (P ) qua đỉnh A của tứ diện ABCD sao cho mặt phẳng (P ) không cắt khối tứ
diện ABCD thành hai tứ diện nhỏ và tổng các khoảng cách từ B, C, D đến mặt phẳng (P ) là
T để
(a) T đạt giá trị lớn nhất.
(b) T đạt giá trị nhỏ nhất.
SƠ LƯỢC CÁCH GIẢI
Gọi G là trọng tâm tam giác BCD; dựng BB , CC , DD , GG vuông góc với mặt phẳng (P ).
Dễ dàng thấy BB + CC + DD = 3GG . Dựng GG1 , GG2 , GG3 lần lượt vuông góc với các măt
25
