Các bài toán liên quan khảo sát hàm số

Nguyễn Vũ Minh

Các chuyên ñề về Hàm Số

CHƯƠNG I :CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KSHS
@@@@@@@

VẤN ĐỀ 1:TIẾP TUYẾN VỚI ĐỒ THỊ

Cho hàm số y = f ( x) ( C ) .Tìm phương trình tiếp tuyến với ñồ thị ( C ) ta có 2 cách :
Cách 1 : dùng ý nghĩa hình học của ñạo hàm
Định lý : Đạo hàm của hàm số y = f ( x) tại ñiểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến
với ñồ thị tại ñiểm M ( xo ; yo = f ( xo )) : k
Dạng Tiếp Tuyến (yêu cầu bài toán)

= f '( xo )
Phương trình tiếp tuyến ( cách tìm )

y = f '( xo ).( x − xo ) + yo
k = f '( xo ) :hệ số góc

Tiếp tuyến tại M ( xo ; yo ) ∈ (C )

_Gọi M ( xo ; yo ) ∈ (C )

Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

_Giải pt : f '( xo )
_Áp Dụng (1)

= k ⇒ xo ⇒ yo

Tiếp tuyến song song với ñường thẳng (d)
cho trước : y = kd x + b

_Gọi M ( xo ; yo ) ∈ (C )

Tiếp tuyến vuông góc với ñường thẳng (d)
trước : y = kd x + b

_Gọi M ( xo ; yo ) ∈ (C )

_Giải pt : f '( xo ) =
_Áp Dụng (1)

_Giải pt : f '( xo ) = −

kd ⇒ xo ⇒ yo

1
⇒ xo ⇒ yo
kd

_Áp Dụng (1)
_Gọi M ( xo ; yo ) ∈ (C ) ,tt tại M là (∆) : (1)
_ (∆) qua A: thay tọa ñộ A vào
(1) ⇒ xo ⇒ yo ⇒ PTTT

Tiếp tuyến ñi qua ñiểm A( x A ; y A ) ∉ (C ) cho
trước

 y = f ( x)
Cách 2 : dùng ñk tiếp xúc :hai ñths 
tiếp xúc với nhau
 y = g ( x)
Dạng Tiếp Tuyến (yêu cầu bài toán)

 f ( x) = g ( x)
⇔
 f '( x) = g '( x)

Phương trình tiếp tuyến ( cách tìm )

y = f '( xo ).( x − xo ) + yo
k = f '( xo ) :hệ số góc

Tiếp tuyến tại M ( xo ; yo ) ∈ (C )

(1)

_PTTT có dạng y = kx + C (*)
 f ( x) = kx + C
_ĐKTX 
 f '( x) = k
_Giải hệ ⇒ C

Tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước



(1)

1




Nguyễn Vũ Minh

Các chun đề về Hàm Số

Tiếp tuyến song song với đường thẳng (d) cho_PTTT có dạng y = ax + C (*)
trước : y = ax + b
 f ( x) = ax + C
_ĐKTX 
 f '( x) = a
_Giải hệ ⇒ C
Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d) cho
1
_PTTT có dạng y = − x + C (*)
trước : y = ax + b

a

1

 f ( x) = − a x + C
_ĐKTX 
 f '( x) = − 1

a

_Giải hệ ⇒ C
_PTTT có dạng: y = k ( x − xA ) + y A

Tiếp tuyến đi qua điểm
A( x A ; y A ) ∉ (C ) cho trước

 f ( x) = k ( x − x A ) + y A
_ĐK TX 
 f '( x) = k
_Thế pt dưới vào trên ⇒ x ⇒ k
ứng với 1 giá trị x sẽ có 1 giá trị k

 y = k1 x + c1
Lưu ý : hai đt : 
vng góc với nhau ⇔ k1.k2 = −1 ,song song ⇔ k1 = k2
 y = k2 x + c2
Với k1 , k2 là hệ số góc
Bài tập có HD

x 2 − 3x + 4
Bài toán 1: Cho hàm số (C) y =
. M là một điểm tuý ý trên (C) Tiếp
2x − 2
tuyến của (C) tại M cắt đường tiệm cận xiên và đứng tại A và B .
Chứng tỏ rằg M là trung điểm của AB, và tam giác IAB (I là giao điểm
của hai đường tiệm cận) có diện tích không phụ thuộc vào M

x 2 − 3x + 4 x
1
= −1 +

(x ≠ 1) (C)
Giải: y =
2x − 2
2
x −1
M (a; b ) ∈ (C ) ⇒ tiếp tuyến tại M là (d) y = y(′a ) ( x − a ) + b
a
1 

b = −1+

2
a −1

1
a
1 
1
−1+
⇔ y= −
2 ( x − a ) +
2
a −1
 2 (a − 1) 



1
2 
+


2 a −1
x
3

Tiệm cận xiên của (C) là (d2) : y = − 1 ⇒ (d ) ∩ (d 2 ) = B 2a − 1; a − 
2
2


Tiệm cận đứng của (C) là (d1) : x = 1 ⇒ (d ) ∩ (d1 ) = A1;−



2




Nguyễn Vũ Minh
Ta có :

Các chun đề về Hàm Số

1
( x A + xB ) = 1 (1 + 2a − 1) = a = xM
2
2
1
( y A + yB ) = 1 − 1 + 2 + a − 3  = a − 1 + 1 = yM

2
2  2 a −1
2 2
a −1

Vậy M là trung điểm của AB




1
2

Giao điểm của 2 tiệm cận là I 1;−  ⇒ S IAB =

1
y A − y I xB − xI
2
1 2
. 2a − 2 = 2
= .
2 a −1

Vậy SIAB không phụ thuộc vào M
Bài toán 2: Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 9x + 5 (C) .
Tìm tiếp tuyến của đồ thò (C) có hệ số góc nhỏ nhất
2
Giải : Gọi M(x0; y0) ∈ (C ) : hệ số góc tiếp tuyến tại M : k = f’(x0) = 3 x0 + 6 x0 − 9
Ta có k = 3( x0 + 1) − 12 ≥ −12 . Dấu “=” xảy ra khi x0 = – 1
2

Vậy Min k = – 12 ⇔ M(–1; 16)
Do đó trong tất cả các tiếp tuyến của (C) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số
góc nhỏ nhất
Bài toán 3: Cho hàm số y = x3 + mx2 + 1 (Cm)
Tìm m để (Cm) cắt (d) y = – x + 1 tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C sao
cho các tiếp tuyến của Cm) tại B và C vuông góc nhau
Giải: Phương trình hoành độ giao điểm (d) và (Cm)
x3 + mx2 + 1 = – x + 1
⇔ x(x2 + mx + 1) = 0
(*)
2
Đặt g(x) = x + mx + 1 . (d) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt
⇔ g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0

∆g = m 2 − 4 > 0
m > 2
⇔
⇔
m < −2
 g (0) = 1 ≠ 0

Vì xB , xC là nghiệm của g(x) = 0

S = xB + xC = − m
⇒
 P = xB xC = 1

Tiếp tuyến tại B và C vuông góc

⇔ f ′( xC ) f ′( x B ) = −1
⇔ xB xC (3 xB + 2m )(3 xC + 2m ) = −1
⇔ xB xC [9 xB xC + 6m( xB + xC ) + 4m 2 ] = −1
⇔ 1[9 + 6m(− m ) + 4m 2 ] = −1
⇔ 2m 2 = 10



3




Nguyễn Vũ Minh

⇔m=± 5

Các chun đề về Hàm Số
(nhận so với điều kiện)

Bài toán 4: Cho hàm số y = x3 – 3x – 2 (H)
Xét 3 điểm A, B, C thẳng hàng thuộc (H). Gọi A1, B1, C1 lần lït là giao
điểm của (H) với các tiếp tuyến của (H) tại A, B, C. Chứng minh rằng
A1, B1, C1 thẳng hàng.
Giải: Gọi M(x0; y0) thuộc (H). Phương trình tiếp tuyến của (H) tại M

(d )

y = 3(x02 − 1)( x − x0 ) + x 3 − 3x0 − 2 = 3(x02 − 1)x − 2(x 3 + 1)

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (H)

x 3 − 3x − 2 = 3(x02 − 1)x − 2(x 3 + 1)
2
⇔ ( x − x0 ) ( x + 2 x0 ) = 0
 x = x0 (nghiệm kép )
⇔
 x = −2x0

Gọi A(a; yA) , B(b; yB) , C(c; yC)
⇒ giao điểm A1, B1, C1 của các tiếp tuyến tại A, B, C với (H)

A1 = (− 2a;−8a 3 + 6a − 2)
B1 = (− 2b;−8b 3 + 6b − 2)
C1 = (− 2c;−8c 3 + 6c − 2)

* A, B, C thẳng hàng :

b − a b 3 − a 3 − 3(b − a )
⇔
=
c − a c 3 − a 3 − 3(c − a )
b 2 + a 2 + ab − 3
⇔1= 2
c + a 2 + ac − 3
⇔ c 2 + ac = b 2 + ab
⇔ (c − b )(a + b + c ) = 0
⇔ a+b+c = 0
(c ≠ b)

* A1, B1, C1 thẳng hàng :

2a − 2b 8(a 3 − b 3 ) − 6(a − b )
⇔
=
2a − 2c 8(a 3 − c 3 ) − 6(a − c )
4(a 2 + ab + b 2 ) − 3
⇔1=
4(a 2 + ac + c 2 ) − 3
⇔ c 2 + ac = b 2 + ab
⇔ (b − c )(a + b + c ) = 0
⇔ a+b+c = 0
(c ≠ b)
Vậy : A, B, C thẳng hàng ⇔ A1, B1, C1 thẳng hàng

Bài Tập :
Bài 1 : Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị là ( C ) .Tìm hệ số góc và viết pttt với ( C ) tại điểm M o


4




Nguyễn Vũ Minh

Các chuyên ñề về Hàm Số

x 2 + 3x + 3
với M o ∈ (C ) có hoành ñộ xo = 2

x −1
2) ( C ) : y = x3 + x + 1 với M o (−2; −9) ∈ (C )
1) ( C ) : y =

3) ( C ) : y = x 4 − 2 x 2 + 5 với M o ∈ (C ) có tung ñộ yo = 8
x+2
, M o là giao ñiểm của ( C ) và Oy
4) ( C ) : y =
− x −1
x 2 − 3x + 2
5) ( C ) : y =
, M o là giao ñiểm của ( C ) và Ox
x−3
6) ( C ) : y = x3 − 2 x + 2, M o là giao ñiểm của ( C ) với ñt y = 2
7) ( C ) : y = 2 x 3 − x, với M o là giao ñiểm của ( C ) và Oy
8) ( C ) : y = 2 x 4 − 5 x 2 + 3 với M o ∈ (C ) là giao ñiểm của ( C ) và Ox
x−3
( C ),viết pttt với ñths :
Bài 2 : Cho hàm số y =
x+2
1) Tại giao ñiểm của ( C ) với 2 trục tọa ñộ
2) Biết tiếp tuyến song song với ñt y = 5 x + 2
Bài 3 : Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 + 4 ( C ),viết pttt với ñths :
1) Tại M o ∈ (C ) có hoành ñộ xo = −2
2) Biết tiếp tuyến của ( C ) ñi qua ñiểm A(2; 0)
Bài 4 : Viết pttt trong các trường hợp sau :
x 2 + 3x + 6
1
, biết tiếp tuyến vuông góc với ñt y = x
1) y =

x +1
3
2
2) y = x + 3 x, biết tiếp tuyến qua A(1; 4)
1
3) y = x 3 − 3 x 2 , biết tiếp tuyến ñó vuông góc với ñt y = x
3
2
x − 2x + 2
3
4) y =
, biết tiếp tuyến song song với ñt y = x + 15
x −1
4
3
x
5) y = − 2 x 2 + 3 x − 1 , biết tiếp tuyến ñó qua K (0; −1)
3
x 2 − 3x + 1
6) y =
, biết tiếp tuyến song song với ñt y = 2 x + 3
x−2
x2 − 4x
Bài 5 : cho ( C ) : y =
, tìm pttt với ( C ) trong các trường hợp sau :
x −1
1) Tiếp xúc với ( C ) tại A(2; −4)
2) Song song với (d1 ) : y = 13 x + 1
1
3) Vuông góc với (d 2 ) : y = − x

4
4) Vẽ từ M (1;5)
Bài 6 : cho ( C ) : y = x3 − 3 x 2 + 2
1) Lập pttt với ( C ) tại ñiểm có hòanh ñộ xo = −3
2) Lập pttt của ( C ) qua
i. A(2; −2)
ii. B(0;3)


5




Nguyễn Vũ Minh

Các chuyên ñề về Hàm Số

1
3) Lập pttt với ( C ) biết tt vuông góc với ñường thẳng y = − x + 19
9
4) Lập pttt tại ñiểm uốn của ( C ) .Hệ số góc là lớn nhất hay nhỏ nhất
5) (khó) Tìm trên ñt y = 2 các ñiểm mà từ ñó vẽ ñược 2 tiếp tuyến vuông góc nhau
x−2
Bài 7 : cho ( C ) y =
. Viết pttt với ( C ) biết tiếp tuyến :
x +1
1) Qua gốc tọa ñộ O
2) Qua ñiểm A(2;1)
3

2
Bài 8 : cho ( C ) y = − x + 3x − 5 x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) biết tiếp tuyến ñó :
3) Vuông góc với ñt : x − 29 y + 2 = 0
2) Song song với ñt : 2 x + y − 3 = 0
2x2
. Viết phương trình tiếp tuyến trong các trường hợp sau :
2x −1
1) Tại ñiểm có hoành ñộ xo = 1
2) Song song với ñt 8 x − 9 y + 1 = 0
3) Vuông góc với ñt 25 x + 24 y − 2 = 0
Bài 10 : cho ( C ) : y = x3 + 4 x 2 + 4 x + 1 và ñiểm A ∈ (C ) với xA = −1 . Viết pttt với ( C ) biết
tiếp tuyến qua A
x3
Bài 11 : cho ( C ) : y = − 2 x 2 + 3 x có ñồ thị là ( C ). Viết pttt với ( C ) tại ñiểm uốn. Chứng
3
minh tiếp tuyến tại ñiểm uốn có hệ số góc nhỏ nhất
m
1
1
Bài 12 : (Cm ) : y = x3 − x 2 + .Gọi M là ñiểm thuộc (Cm ) có hoành ñộ bằng -1 .Tìm m ñể
3
2
3
tiếp tuyến của (Cm ) tai ñiểm M song song với ñt 5 x − y = 0
Bài 9 : y =

x2 − x + 1
( C ) .Viết pt ñường thẳng ñi qua M (1; 0) và tiếp xúc với ñths ( C )
x −1
Bài 14 : cho hàm số (Cm ) y = x3 + 3 x 2 + m(m + 1) x + 1 .Tìm m ñể (Cm ) tiếp xúc với parabol (P)

Bài 13 : y =

: y = 3 x 2 + 2 x + 1 .( ñs : m = 1 ∨ m = −2 )
x2 − x + 1
và (P) y = x 2 + a .Định a ñể ( C ) tiếp xúc với (P)
x −1
Bài 16 : Định tham số m ñể ñồ thị
1) y = x 2 + 3 x + 3 và y = x + 2m − 1 tiếp xúc
2) y = − x 3 + 3x 2 − 2 x và y = mx tiếp xúc
3) y = x3 − (2m + 3) x 2 + (m + 2) x + m tiếp xúc với trục hoành ( Ox )
x+2
4) y =
và y = −3 x + a tiếp xúc
x −1
2 x 2 + (1 − m) x + m + 1
*Bài 17 : (Cm ) : y =
, CMR với mọi m ≠ −1 thì ñths luôn tiếp xúc với 1
x−m
ñường thẳng cố ñịnh tại một ñiểm cố ñịnh
*Bài 18 : Viết phương trình tiếp tuyến chung của hay ñồ thị sau :
1) (C1 ) : y = x 2 và (C2 ) : y = x 2 − 2 x − 1
Bài 15 : ( C ) : y =

2) (C1 ) : y = x 2 − 5 x + 6 và (C2 ) : y = − x 2 + 5 x − 11
Lưu ý :


6

Nguyễn Vũ Minh

Các chun đề về Hàm Số

•

Hai đồ thị tiếp xúc nhau khi và chỉ khi phương trình hòanh độ giao điểm của
chúng có nghiệm kép
• Tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc hoặc lớn nhất hoặc nhỏ nhất
x −3
Bài 19 : ( C ) : y =
. Viết pttt với ( C ) biết :
x +1
1) Tại M là giao điểm của ( C ) và Oy
2) Tại K có hồnh độ bằng -2
3) Tiếp tuyến song song với đt y = 4 x + 2
4) Vng góc với đt 4 x + y − 3 = 0
*Bài 20 : Tìm trên đt y = 2 mà qua đó có đúng ba tiếp tuyến với ( C ) : y = − x 3 + 3 x 2 − 2
Bài 21 : Tìm trên Ox những điểm mà qua đó có đúng một tiếp tuyến với ( C ) trong các trường
hợp sau :
2 x2 − 2 x + 2
x2 + x − 3
2) (C ) : y =
1) (C ) : y =
x −1
x+2

VẤN ĐỀ 2:SỰ TƯƠNG GIAO CỦA 2 ĐỒ THỊ

Lý Thuyết : cho hai hàm số y = f ( x) có đồ thị là (C) và y = g ( x) có đồ thị là (C’). Muốn xét sự tương
giao của 2 đồ thị trên ta xét phương trình hồnh độ giao điểm :
f ( x ) = g ( x ) (*)
số nghiệm của (*) là số giao điểm của 2 đồ thị C)
và (C’), hình bên cho ta thấy 3 giao điểm.
Nhận xét : nếu 2 đồ thị (C) và (C’) tiếp xúc nhau
tại M thì điểm xM chính là nghiệm kép của pt (*)
, và tại điểm M 2 đồ thị có chung tiếp tuyến

Bài tập có HD
Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 3x + 2 . (D) là đường thẳng qua A(2; 4) có
hệ số góc m. Biện luận theo m số giao điểm của (C) và (D)
Giải: (D) qua A(2; 4) , hệ số góc m : y = m(x – 2) + 4
(C) : y = x3 – 3x + 2
* Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D)
x3 – 3x + 2 = m(x – 2) + 4
(x – 2)( x2 + 2x + 1 – m) = 0 (1)
* Số giao điểm của (C) và (d) chính là số nghiệm của phương trình (1)
- Phương trình (1) luôn luôn có nghiệm x = 2
- Xét phương trình g(x) = x2 + 2x + 1 – m = 0 (2)
Nếu g(x) = 0 có nghiệm x = 2 thì 9 – m = 0 ⇔ m = 9
Do đó : m = 9 thì (1) có nghiệm kép x = 2, nghiệm đơn x = – 4
Nếu m ≠ 9 thì g(x) = 0 có nghiệm x ≠ 2
7

Nguyễn Vũ Minh

-

Các chun đề về Hàm Số

Ta có ∆′ = m
m<0
⇔ ∆′ < 0 : (2) vô nghiệm
m = 0 ⇔ ∆′ = 0 : (2) có nghiệm kép x = – 1
⇔ ∆′ > 0 : (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 2
0Kết luận:
m<0
: (D) cắt (C) tại 1 điểm
m = 0 : (D) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc đồ thò tại 1 điểm
0: (D) cắt (C) tại 3 điểm
m = 9 : (D) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc đồ thò tại điểm (2; 4)

x 2 + 4x + 1
(C)
x + 2
Tìm tất cả các giá trò m để đường thẳng (D) y = mx + 2 – m cắt đồ thò
(C) tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của đồ thò (C)
Giải: Phương trình hoàn độ giao điểm của (C) và (D) :
x2 + 4x + 1 = mx2 + 2x + mx + 4 – 2m
(với x ≠ – 2)
2
⇔ (1 – m)x + (2 – m)x + 2m – 3 = 0

(*)
(D) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc một nhánh của đồ thò (C)
⇔ (*) có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho x1 < x2 < – 2 V – 2 < x1 < x2

Bài toán 2: Cho hàm số y = f ( x) =

a = 1 − m ≠ 0

⇔ ∆ = 4 − 4m + m 2 − 4(1 − m )(2m − 3) > 0
af (− 2) = (1 − m )[4(1 − m ) − 2(2 − m ) + 2m − 3] > 0

9m 2 24m + 16 > 0
⇔
3( 1 − m) > 0
4

m ≠
⇔
3
m. > 1

(

)

4

m ≠
Kết luận : ⇔ 
3 thì (D) cắt đồ thò (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng

m. > 1
một nhánh của (C)

x2
Bài toán 3:Cho hàm số y =
. Tìm 2 điểm A , B nằm trên đồ thò (C) và đối
x −1
xứng nhau qua đường thẳng (d) y = x – 1
Giải: Vì A , B đối xứng nhau qua đường thẳng (d) y = x – 1. Suy ra A, B thuộc
đường thẳng (d’) y = –x + m
Phương trình hoành độ giao điểm của (d’) và (C)
x2 = (x – 1)( – x + m) (đk : x ≠ 1)
⇔ 2x2 – (m + 1)x + m = 0 (*)
8




Nguyễn Vũ Minh

Các chun đề về Hàm Số

Ta có ∆ = (m + 1)2 – 8m > 0
⇔ m2 – 6m + 1 > 0

m < 3 − 5
⇔
m > 3 + 5
Giả sử (d’) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B. Gọi I là trung điểm A, B:

x A + xB m + 1

x
=
=
I

2
4
⇒
 y = − x + m = 3m − 1
I
 I
4
A và B đối xứng qua (d)

⇒ I thuộc (d): y = x – 1
3m − 1 m + 1
−1
⇒
=
4
4
⇒ m=–1

Lúc đó (*) thành trở thành : 2x2 – 1 = 0 ⇔ x = ±
Vậy

 −1
2


;−1 +
A
2
2



 1
2

;−1 −
B
2
2



1
2

Bài toán 4:Cho (P) y = x2 – 2x – 3 và đường thẳng (d) cùng phương đường y = 2x sao
cho (d) cắt (P) tại 2 điểm A, B
a) Viết phương trình (d) khi 2 tiếp tuyến của (P) tại A và B vuông góc
b) Viết phương trình (d) khi AB = 10
Giải: Gọi (d): y = 2x + m là đường thẳng cùng phương với đường y = 2x
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P)
x2 – 2x – 3 = 2x + m
⇔ x2 – 4x – 3 – m = 0
(d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B

∆′ = 7 + m > 0
⇔
⇔ m > –7
Lúc đó gọi xA , xB là 2 nghiệm của (1) ta có
S = xA + xB = 4
P = xA xB = – 3 – m
a) Tiếp tuyến của (P) tại A, B vuông góc
f’(xA )f’(xB) = –1
⇔ (2 xA –2)(2 xB –2) = – 1
⇔ 4P – 4S + 5 = 0
⇔ 4(–3 –m) –16 + 5 = 0

⇔

m =−

23
(nhận vì m > –7)
4

b) A, B thuộc (d) ⇒ yA = 2 xA + m
yB = 2 xB + m


9




Nguyễn Vũ Minh

Ta có AB2 = 100

Các chun đề về Hàm Số

⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔

(xA – xB)2 + (yB – yA)2 = 100
(xA – xB)2 + (2 xA –2 xB)2 = 100
(xA – xB)2 = 20
S2 – 4P = 20
16 + 4(3+m) = 20
m = – 2 (nhận vì m > –7)

Bài toán 5 : Cho hàm số y = f ( x ) = x + 3 − m +

1
x+m

(H )

Tìm a để đường thẳng (∆ ) : y = a(x+1) + 1 cắt (H) tại 2 điểm có hoành
độ trái dấu
Giải:Phương trình hoành độ giao điểm cả (C) và (∆ ) :

1

= a( x + 1) + 1 (đk : x ≠ −1)
x +1
⇔ x 2 + 3 x + 3 = a (x 2 + 2 x + 1) + x + 1
(*)
⇔ g ( x ) = (1 − x )x 2 + 2(1 − a )x + 2 − a = 0
(∆ ) cắt (C) tại 2 điểm có hoành độ trái dáu
⇔ (*) có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 ≠ −1 Λ x1 < 0 < x2
(1 − a )g (0) < 0
(1 − a )(2 − a ) < 0

⇔  g (− 1) ≠ 0
⇔
⇔1< a < 2
(
)
(
)
1
−
a
−
2
1
−
a
+
2
−
a
=

1
≠
0

1 − a ≠ 0

x+2+

Bài 1 : tìm tọa độ giao điểm ( nếu có ) của đồ thị 2 hàm số sau
a) (C) : y = x 2 + 3 x + 1 và (d) : y = x + 1
b) (P1) : y = − x 2 + 1
và (P2) : y = x 2 + x
x +1
c) (C) : y =
và (d) : y = 2 x − 6
x −3
d) (C) : y = x3 − 2 x 2 + x + 1 và (d) : y = 2 x − 1
Bài 2 : định m để
a) y = ( x − 2)( x 2 + mx + m 2 − 3) cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt
b) y = x3 − 3 x 2 + 2 cắt (d) : y = mx + 2 tại 3 điểm phân biệt
Bài 3 : 1)cho hàm số y = 2 x 3 − 3 x 2 − 1 có đồ thị là (C), và đt (d) : y = kx − 1 . Tìm k để (C) cắt (d) tại 3
đểm phân biệt trong đó có 2 điểm có hồnh độ dương
2)Tìm k để đồ thị y=x3+x2-2x+2k và y=x2+(k+1)x+2 cắt nhau tại 3 điểm.
3)Tìm m để đồ thị y=x3-3x+2m (1) cắt đường thẳng y=x tại 3 điểm mà trong đó tại 2
trong 3 giao điểm đó các tiếp tuyến của (1) song song với nhau.
Bài 4 :
a) cho hàm số y = x3 − 3 x + 2 có đồ thị là (C), và đt (d) qua A(3; 20) có hệ số góc là m. Tìm m để
(C) cắt (d) tại 3 điểm phân biệt.

10




Nguyễn Vũ Minh

Các chuyên ñề về Hàm Số

x2 − x −1
(C), gọi (d) là ñường thẳng qua A(3;1) có hệ số góc là k, Tìm k ñể
x +1
(C) cắt (d) tại 2 ñiểm phân biệt
mx 2 + x + m
c) cho hàm số y =
(C). Tìm m ñể (C) cắt trục hoành tại 2 ñiểm phân biệt có hoành
x −1
ñộ dương .
x +1
(C)
Bài 5 : cho hàm số y =
x −1
a)Tìm m ñể (D) : y = mx + 1 cắt (C) tại hai ñiểm phân biệt
b)Tìm m ñể (D) : y = mx + 1 cắt (C) tại hai ñiểm phân biệt thuộc hai nhánh của (C)
2x +1
Bài 6 : cho hàm số y =
(C)
x+2
Tìm m ñể (C) cắt (d) : y = − x + m tại 2 ñiểm phân biệt A và B. Tìm m ñể ñoạn AB ngắn nhất
b) cho hàm số y =

VẤN ĐỀ 3 : BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG
PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ

Lý Thuyết : xét bài toán sau ñây : vẽ ñồ thị (C) của hàm số y = f ( x) sau ñó biện luận theo tham số m
số nghiệm của phương trình :

h ( x ; m ) = 0 (*)
Ta ñưa (*) về dạng f ( x) = ϕ ( m) trong ñó ϕ ( m) là biểu thức theo m, không chứa x
Số nghiệm của (*) chính là số giao ñiểm của (C) và ñường thẳng y = ϕ(m) mà ta nhìn thấy qua ñồ
thị

Chú ý : do m là tham số tùy ý nên ta không nên lầm tưởng y = ϕ(m) là 1 hàm số , ñường cong…..
mà nó mãi mãi chỉ là ñường thẳng mà thôi (các em hay có nhận ñịnh sai khi làm dạng này)
VD như hình bên , ta thấy (*) có :
3 nghiệm khi −5 < ϕ ( m) < −1
2 nghiệm khi
ϕ ( m ) = −1 ∨ ϕ ( m ) = −5
1 nghiệm khi
ϕ ( m) > −1

ϕ ( m) < −5

Bài tập có HD
Baøi toaùn 1: Cho haøm soá y = x3 – 3x (C)


11

Nguyễn Vũ Minh

Các chun đề về Hàm Số

a) Khảo sát và vẽ đồ thò
3
b) Tìm giá trò lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = − sin 3 x − 3 sin x
Giải: a) Đồ thò (C)
y
4

2

x
-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-2

-4

b) y = − sin 3 x − 3 sin x
3

⇔ y = (− 3 sin x + 4 sin 3 x ) − 3 sin 3 x
⇔ y = sin 3 x − 3 sin 3 x
Đặt t = sinx , t ∈ [− 1;1]
Xét y = t3 – 3t với t ∈ [− 1;1]
Nhìn vào đồ thò (C) ta thấy

Maxy = 2 ⇔ t = −1 ⇔ x = −
t∈[−1;1]

Miny = 2 ⇔ t = 1 ⇔ x =
t∈[−1;1]

Bài toán 2: Cho hàm số y =

Π
+ k 2Π
2

Π
+ l 2Π
2

(k, l ∈ Z)

2x2 + x + 1
(C)
x +1

a) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số
b) Tìm giá trò lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức

2 cos 2 x + cos x + 1
y=
cos x + 1
Giải: a)Đồ thò (C)


12




Nguyễn Vũ Minh

Các chun đề về Hàm Số
y
6
4
2

x

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

-2
-4
-6
-8
-10
-12

b) Đặt t = cos x ⇒ 0 ≤ t ≤ 1
Vậy A =

2t 2 + t + 1
với D = [0;1]
t +1

Nhìn vào đồ thò hàm số (1) ở trên khi xét t ∈ [0;1] ta thấy:

t = 1
cos x = 1
MaxA = 2 ⇔ 
⇔
⇔ sin x = 0 ⇔ x = kΠ
1
t = − (loại )
cos x = −1

2
Π
MinA = 1 ⇔ t = 0 ⇔ cos x = 0 ⇔ x = + lΠ
(k, l ∈ Z)
2
Bài toán 3: Cho hàm số y =

x2 + x − 3
x+2

(C)

a) Khảo sát và vẽ đồ thò
b) Biện luận theo m số nghiệm
4
2
của: f (t ) = t + (1 − m )t − 3 − 2m = 0
Giải: a)

13




Nguyễn Vũ Minh

Các chun đề về Hàm Số
2

y

x
-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

-2

-4

-6

b) t + (1 − m )t − 3 − 2m = 0
4

2

(

)

(*)

⇔ t4 + t3 − 3 = m t2 + 2
t4 + t2 − 3
⇔ 2
=m
t +2
x2 + x − 3
2
với x = t ≥ 0
Xét hàm số y =
x+2

3
Nhìn vào đồ thò ta thấy khi m ≥ − thì (d) cắt (C) tại 1 điểm có hoành độ
2
không âm

3
có nghiệm x = t2 = 0
2
(*) có nghiệm kép t1 = t 2 = 0
3
m > − thì (*) có 2 nghiệm
2
3
m < − thì () vô nghiệm
2

Vậy khi m = −

⇒

Bài toán 4:Cho hàm số y = f ( x ) =

2x
(C)
x −1

a) Khảo sát và vẽ đồ thò
b) Biện luận theo m số nghiệm của (m − 2 ) x − m = 0 với x ∈ [− 1;2]
Giải:a) Đồ thị (C)

14




Nguyễn Vũ Minh

Các chun đề về Hàm Số
y
6

4

2

x
-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

-2

b) Xét phương trình (m − 2 ) x − m = 0 với x ∈ [− 1;2]

⇔ m( x − 1) = 2 x

(*)

Vì x = 1 không là nghiệm của (*)
Vậy m =

2x
x −1

với x ∈ [− 1;2]

Xét đường y = m và y =

2x
x −1

với x ∈ [− 1;2]
y

4

2

x
-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-2

-4

Nhìn vào đồ thò ta thấy
m ∈ (− ∞;0) : (*) có 2 nghiệm
m ∈ {0} ∪ [4; + ∞ ) : (*) có 1 nghiệm

m ∈ (0;4) : (*) vô nghiệm

15




Nguyễn Vũ Minh

Các chun đề về Hàm Số

x2
(C)
Bài toán 5: Cho hàm số y = f ( x ) =
x −1
a) Khảo sát và vẽ đồ thò (C)

b) Biện luận số nghiệm của phương trình (1 − m )x − (1 − x )x + 1 = 0
Giải: a) Đồ thò (C)
2

y
6

y=-3x+1
4

2

x

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

-2

b) (1 − m )x − (1 − x )x + 1 = 0 (*)
2

x2
Ta thấy x = 1 không là nghiệm của (*) , ta có (*) ⇔
= mx + 1
x −1
Đặt (d) : y = mx + 1 , (d) luôn đi qua A(0;1)
Số nghiệm của phương trình (*) chính là số giao điểm của (C) và (d) :

x2
(C) : y =
x −1
(d) là tiếp tuyến của (C) khi (*) có nghiệm kép

1 − m ≠ 0
m ≠ 1
m = −3
⇔
⇔
⇔
 2
2
m = 1(loại )
m + 2m − 3 = 0
(1 − m ) − 4(1 − m ) = 0
⇔ m = −3
Vậy tiếp tuyến của (C) qua A(0;1) : y = –3x + 1
* Kết luận
m = −3 : (d) tiếp với (C) ⇔ phương trình (*) có nghiệm kép
m ∈ (− ∞;−3) ∪ (1;+∞ ) :(d) cắt (C) tại 2 diểm phân biệt ⇔ phương
trình


16




Nguyễn Vũ Minh

Các chun đề về Hàm Số

(*)có 2 nghiệm đơn
m ∈ (− 3;1] : (d ) ∩ (C ) = Φ phương trình vô nghiệm
Bài toán 6: Giải và biện luận theo m số nghiệm phương trình

4 x 2 − 16 x + 12 − x − 2m = 0
Giải: D = (− ∞;1] ∪ [3;+∞ )

4 x 2 − 16 x + 12 − x − 2m = 0 ⇒ x 2 − 4 x + 3 =

x
+m
2

x
+m
2
2
Xét (C) : y = x − 4 x + 3
Đặt (d) : y =

y

6

4

y=

x 1
−
2 2

y=

x 3
−
2 2 x

2

-2

-1

1

2

3

4

5

6

-2

* Dựa vào đồ thò ta có

3

m ∈  − ∞;−  : phương trình đã cho vô nghiệm
2

 3 1
m ∈ − ;−  : phương trình có 1 nghiệm
 2 2

 1
m ∈ − ;+∞  : phương trình có 2 nghiệm

 2
Bài toán 7: Cho hàm số y = 3 + 2 x − x (C)
2

4

a) Khảo sát và vẽ đồ thò
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x − 2 x = m − 2m
4



17

2

4



2


Nguyễn Vũ Minh

Các chun đề về Hàm Số

Giải: a) Đồ thò (C) : y = 3 + 2 x − x
2

4

y

y=4

4

y=3

3

2

1

x
-2

-1.5

-1

b) x − 2 x = m − 2m
4

2

4

-0.5

0.5

1

1.5

2

2

⇔ − x 4 + 2 x 2 + 3 = −m 4 + 2 x 2 + 3
4
2

Xét y = f ( x ) = − x + 2 x + 3 (C)
y = t = − m 4 + 2m 2 + 3 = f (m )

Nhìn vào đồ thò ta thấy :
Khi t = 4 ⇔ m = ±1 : (*) có 2 nghiệm kép x = ±1

t = 3 ⇔ m = 0 V m = ± 2 : (*) có 3 nghiệm ; 1 nghiệm kép x = 0
và 2 nghiệm đơn x = ± 2
− 2 < m < 2

3 < t < 4 ⇔ m ≠ ±1
: (*) có 4 nghiệm phân biệt
m ≠ 0

m < − 2
t <3⇔
: (*) có 2 nghiệm đơn
m > 2
Bài 1 : a) khảo sát và vẽ (C) : y = x3 − 3 x 2 − 1
b) dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình x3 − 3 x 2 − 1 = m (*)
Bài 2 : a) khảo sát và vẽ (C) : y = x3 − 12 x 2 + 5
b) dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình x3 − 12 x 2 + 5 = m + 3 (*)
1
Bài 3 : a) khảo sát và vẽ (C) : y = x +
x +1


18

Nguyễn Vũ Minh

Các chuyên ñề về Hàm Số

b) dùng ñồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình x − 2 +

1
= 2m (*)
x +1

Bài 4 : a) khảo sát và vẽ (C) : y = − x 4 + 2 x 2 + 1
b) dùng ñồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình − x 4 + 2 x 2 = 3m − 4 (*)
Bài 5 : cho hàm số y = x3 + 3 x 2 − 9 x + m (Cm )
a) khảo sát và vẽ (C) khi m = 6
b) với giá trị nào của m thì phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt :
x3 + 3 x 2 − 9 x + m = 0
(ñS : −27 < m < 5 )

VẤN ĐỀ 4 : ĐỒ THỊ HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI
Lý Thuyết :

A = A nếu A ≥ 0
A = − A nếu A < 0

Đồ thị hàm số y = f ( x) và y = − f ( x) ñối xứng nhau qua trục hoành
Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung (Oy) làm trục ñối xứng
Đồ thị hàm số lẽ nhận tâm O làm tâm ñối xứng
Bài toán : cho (C) y = f ( x)

Dạng 1: từ (C) suy ra (C1 ) : y = f ( x)
Ta có f ( x) = f ( x) nếu f ( x) ≥ 0 (1)

f ( x) = − f ( x) nếu f ( x) < 0 (2)
Cách vẽ :
Giữ nguyên phần (C) nằm trên Ox
Bỏ phần (C) nằm dưới Ox

(do (1))

Lấy ñối xứng qua Ox phần ñồ thị (C) nằm phía dưới Ox (do (2)) ta sẽ có (C1 ) : y = f ( x)
Lưu ý : f ( x) là hàm số không âm nên luôn nằm phía trên Ox

y = x3 − 3x + 2



y = x3 − 3x + 2

19




Nguyễn Vũ Minh

Các chuyên ñề về Hàm Số

Dạng 2: từ (C) suy ra (C2 ) : y = f ( x )
Ta có f ( x ) = f ( x) nếu x ≥ 0

(1)

f ( x ) = f (− x) nếu x < 0 (2)
Cách vẽ :
Giữ nguyên phần (C) nằm bên phải Oy
(do (1))
Bỏ phần (C) bên trái Oy (nếu có)
Lấy ñối xứng qua Oy phần (C) nằm phía bện phải trục Oy ( t/c hàm chẵn) ta sẽ có (C2 )

y = x −3 x +2
3

y = x − 3x + 2
3

Dạng 3: từ (C) suy ra (C3 ) : y = f ( x)

 f ( x) ≥ 0

Ta có : y = f ( x) ⇔   y = f ( x);(1)
  y = − f ( x);(2)

Cách vẽ :
Giữ nguyên phần (C) nằm phía trên Ox
(do (1))
Bỏ phần (C) nằm dưới Ox
Lấy ñối xứng qua Ox phần (C) nằm phía trên ta sẽ có (C3 )

20




Nguyễn Vũ Minh

Các chun đề về Hàm Số

y = x3 − 3x + 2

y = x3 − 3x + 2

Dạng 4: từ (C) suy ra (C4 ) : y =

P( x )
Q( x)

Ta có P ( x) = P( x) khi P( x) > 0
và P( x) = − P( x) khi P( x) < 0
Cách vẽ :
Giữ ngun phần (C) khi P( x) > 0
Lấy đối xứng qua Ox phần (C) khi P( x) < 0
Tương tự ta cũng sẽ làm được dạng (C5 ) : y =

y=

x +1
x −1

y=

P( x)
Q ( x)

x +1
x −1

y=

x +1
x −1

Bài tập có HD
Bài toán 1 : (Phép suy thứ nhất)

x2
a) Khảo sát và vẽ đồ thò (C ) : y =
x −1


21




Nguyễn Vũ Minh

Các chun đề về Hàm Số

b) Suy ra đồ thò (C1 ) : y =

x2
x −1

Giải: Đồ thò (C)
y
6
5
4

y=x+1

3
2
1

x
-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1

x=1

-2
-3

Đồ thò (C1)
y
6
5
4

y=x+1

3
2

y=-x-1
1

x
-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

-1

x=1
-2
-3

Bài toán 2: (Phép suy thứ hai)

x2
Vẽ đồ thò (C2 ) : y =
x −1
Đồ thò (C2)

22




Nguyễn Vũ Minh

Các chun đề về Hàm Số
y
6

4

y=-x+1

y=x+1

2

x
-4

-3

-2

-1

1

x=-1

2

3

4

x=1
-2

Bài toán 3: (Phép suy thứ ba)
2

x
Vẽ đồ thò (C3 ) : y =
x −1
Đồ thò (C3)
y

6

4

y=x+1

y=-x+1
2

x
-4

-3

-2

-1

x=-1

1

-2

2

3

4

x=1

Bài toán 4 :(Phép suy thứ tư)

x2
Vẽ đồ thò (C4 ) : y =
x −1
Đồ thò (C4)

23




Nguyễn Vũ Minh

Các chun đề về Hàm Số
y
6

4

y=-x-1

y=x+1

2

x
-4

-3

-2

-1

1

x=-1

2

3

4

x=1
-2

Bài toán 5: (Phép suy thứ năm)

x2
Vẽ đồ thò (C5 ) : y =
x −1
y
8
6
4

y=-x-1

y=x+1

2

x

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

x=1

-2
-4
-6
-8
-10

Bài 1 :
a) khảo sát và vẽ (C) : y = − x 3 + 3 x
b) từ (C) suy ra các đồ thị sau : (C1 ) : y = − x3 + 3x ; (C2 ) : y = − x + 3 x ;
3

(C3 ) : y = − x3 + 3x

c) biện luận theo m số nghiệm pt sau : − x3 + 3 x = m − 1 (*)
Bài 2 :


24




Nguyễn Vũ Minh

Các chuyên ñề về Hàm Số

a) khảo sát và vẽ (C) : y =

x +1
x−2

b) từ (C) suy ra các ñồ thị sau : (C1 ) : y =
(C4 ) : y =

x +1
x +1
x +1
; (C2 ) : y =
; (C3 ) : y =
x−2
x−2
x−2

x +1
x +1
; (C5 ) : y =
x−2
x −2

Bài 3 :
a) khảo sát và vẽ (C) : y =

x 2 − 3x + 3
x−2

b) từ (C) suy ra các ñồ thị sau : (C1 ) : y =
x 2 − 3x + 3
(C3 ) : y =
x−2

x 2 − 3x + 3
x 2 − 3x + 3
; (C2 ) : y =
;
x−2
x−2

x2 − 3 x + 3
(C4 ) : y =
x −2

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Công Thức Cũ :
x A + xB

 xI = 2
1) Trung ñiểm I ( xI ; yI ) của ñoạn thẳng AB : 
 y = y A + yB
 I
2
2) Khoảng cách giữa 2 ñiểm A,B là AB = ( xB − x A ) 2 + ( yB − y A ) 2
3) Khoảng cách từ ñiểm M ( xM ; yM ) ñếm ñường thẳng (D): Ax + By + C = 0 :
r
AxM + ByM + C
d [ M ; D] =
với n = ( A; B) là pháp vector
A2 + B 2
A = 0

4) Điểm cố ñịnh : f ( x; m) = y ⇔ f ( x; m) − y = 0 ⇔ A.m2 + B.m + C = 0 ⇔  B = 0 ∀m
C = 0

5) Tọa ñộ nguyên : chia hàm số ra , sau ñó cho mẫu là các số mà tử chia hết
6) Bất ñăng thức Cachy : a + b ≥ 2 a.b ,dấu “ = “ xảy ra ⇔ a = b



25