Một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp

một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp
Mt s cỏch gii bi toỏn cc tr trong Vt lý s cp

A. lý do chn ti:
T nm hc 2005 - 2006 B GD & T quyt nh chuyn t
hỡnh thc thi t lun sang thi trc nghim khỏch quan ó em li s
i mi mnh m trong vic dy v hc ca giỏo viờn cng nh hc
sinh.
Tuy nhiờn, qua thi gian thc t ging dy trng THPT
chỳng tụi ty cú mt s vn nh sau:
1.Vic dy hc v ỏnh giỏ thi c theo hỡnh thc TNKQ thỡ giỏo
viờn cng nh hc sinh phi cú s thay i ln v cỏch dy v hc.
Dy hc theo phng phỏp TNKQ ũi hi ngi giỏo viờn khụng
nhng phi u t theo chiu sõu m cũn phi u t kin thc theo
chiu rng, ngi dy phi nm c tng quan chng trỡnh ca
mụn hc. iu ny khụng phi tt c i ng giỏo viờn ca ta hin nay
u lm c, c bit l cỏc giỏo viờn tr mi ra trng.
2. Mt thc t na l khi chỳng ta chuyn sang dy hc v ỏnh
giỏ thi c theo phng phỏp TNKQ thỡ mt s GV mói m rng kin
thc theo chiu rng ỏp ng cho vn thi trc nghim thỡ vn
u t cho vic gii bi toỏn theo phng phỏp t lun cú th b m
nht i. iu ny nh hng khỏ ln n cht lng, mc hiu sõu
kin thc v vt lý ca hc sinh, c bit l i ng hc sinh gii ca
trng.
3. gúp phn ci tin thc trng trờn chỳng tụi quyt nh
thc hin ti Mt s cỏch gii bi toỏn vt lý s cp. Trong Vt
lý s cp THPT cú nhiu bi toỏn c gii theo phng phỏp tớnh giỏ
tr cc i, cc tiu cỏc i lng Vt lý. Mi loi bi tp ú u cú
Sáng kiến kinh nghiệm môn vật lý Nguyễn thọ hoài thpt yên thành 3

1

một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp
mt s cỏch gii nht nh, song chn cỏch gii phự hp l iu rt
khú khn cho hc sinh v mt s giỏo viờn bi l cỏc bi toỏn ny
mang tớnh n l, cha cú ti liu no vit cú tớnh cht h thng.
Qua nhiu nm bi dng hc sinh gii, dy bi dng cho hc
sinh thi i hc chỳng tụi ó tng hp v ỏp dng thỡ thy kt qu ca
hc sinh tin b vt bc. Hy vng rng ti ny s gúp phn vo
gii quyt nhng khú khn trờn.
Vi trỡnh cũn hn ch, kin thc thỡ mờnh mụng nờn bi vit
ny chc cũn cú sai sút. Kớnh mong c s gúp ý v trao i chõn
tỡnh ca quý ng nghip ti c hon thin hn v cú tỏc
dng hu ớch hn. Xin chõn thnh cm n.

2
Sáng kiến kinh nghiệm môn vật lý

Nguyễn thọ hoài thpt yên thành 3


một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp
B. Ni dung
I. C s lý thuyt:

Thc t khi gii cỏc Bi tp Vt lý tớnh giỏ tr cc i hoc
cc tiu ca cỏc i lng Vt lý thỡ chỳng ta thng dựng mt
s cụng thc, kin thc ca toỏn hc. Do ú gii c cỏc bi tp
ú cn phi nm vng mt s kin thc toỏn hc sau õy:
1. Bt ng thc Cụsi:

a + b 2 ab

(a, b dng)

a + b + c 3 3 abc

(a, b, c dng)

+ Du bng xy ra khi cỏc s bng nhau.
+ Khi Tớch 2 s khụng i tng nh nht khi 2 s bng nhau.
Khi Tng 2 s khụng i, Tớch 2 s ln nht khi 2 s bng
nhau.
* Phm vi ỏp dng: Thng ỏp dng cho cỏc bi tp in hoc
bi toỏn va chm trong c hc.
2. Bt ng thc Bunhia cụpxki
(a1b1 + a2b2)2 (a1 + a2)2 . (b1 + b2)2.
a b
Du bng xy ra khi 1 1
a2 b2
* Phm vi ỏp dng: Thng dựng trong cỏc bi tp v chuyn
ng c hc.
3. Tam thc bc 2.
y = f(x) = ax2 + bx + c.
+ a > 0 thỡ ymin ti nh Parabol.
+ a < 0 thỡ ymax ti nh Parabol.
b

+ To nh: x = - ; y
2a
4a

( = b2 - 4ac)

+ Nu = 0 thỡ phng trỡnh y = ax2= bx + c = 0 cú nghim
kộp.
+ Nu > 0 thỡ phng trỡnh cú 2 nghim phõn bit.
3
Sáng kiến kinh nghiệm môn vật lý

Nguyễn thọ hoài thpt yên thành 3


một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp
* Phm vi ỏp dng: Thng dựng trong cỏc bi tp v chuyn
ng c hc v bi tp phn in.
4. Giỏ tr cc i, Hm s sin hoc cụsin
(cos )max = 1



= 00

(sin )max = 1



= 900

* Thng dựng trong cỏc bi toỏn c hc - in xoay chiu.
5. Kho sỏt hm s.

- Dựng o hm
- Lp bng xột du tỡm giỏ tr cc i, cc tiu.
Thng ỏp dng cho cỏc bi toỏn in xoay chiu (vỡ lỳc ú hc
sinh ó c hc o hm).
* Ngoi ra trong quỏ trỡnh gii bi tp chỳng ta thng s dng
a c a c a c
mt s tớnh cht ca phõn thc

b d b d b d
II. Cỏc vớ d ỏp dng

1. ỏp dng Bt ng thc Cụsi
* Vớ d 1: Cho mch in nh hỡnh v
E = 12V; r = 4
R l bin tr.
Hóy tỡm Rx cụng sut mch ngoi cc i.
E,r

HDG:
E
rR
E2
E2
E2
2
- Cụng sut: P = I R = 2

2
2
r

y
r


R 2r R

R
R


- Dũng in:

I=

R

- Pmax ymin.
Theo BT Cụsi tớch hai s khụng i, tng nh nht khi hai s
bng nhau.
Ymin

r
. Vy khi R = r = 4
R
R

thỡ Pmax =

E2
9(W)

4r

4
Sáng kiến kinh nghiệm môn vật lý

Nguyễn thọ hoài thpt yên thành 3


một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp
* Vớ d 2: Cho mch in nh hỡnh v

L,r

A

UAB = 200 2 sin(100nt)
(v)
4
1
10
L = (H); c
(F). R thay i
n
2n

C

R

B

Hỡnh v 2.2

a) Tỡm R cụng sut trờn R cc i khi r = 0
b) Tỡm R cụng sut trờn R cc i khi r = 5
HDG:
a) + Cm khỏng: ZL = L = 100
1
Dung khỏng: ZC =
200
C
+ Tng tr:
Z = R 2 (Z L Z C )2
U2
+ Cụng sut:
P=IR=
(Z L Z C )2
Rx
R
2
(Z Z )
t y = R + L C .
R
2

+ ỏp dng BT Cụsi: ymin R = ZL - ZC = 100
U2
Lỳc ú PR(Max) =
200(W)

2 ZL ZC
b) Tng t ta cú: Z =

(R r)2 (Z L Z C )2

U2
u2

r 2 (Z L Z C )
y
R
2r
R
+ ỏp dng BT cụsi
ymin R = r 2 (Z L Z C )2

PRx = I2Rx =

PRMax

U2
2(r r 2 (Z L Z C )2

124(W)

* M rng: Khi tớnh P ca mch:
+ Nu ZL - ZC > r thỡ PMax khi R = ZL - ZC - r
+ Nu ZL - ZC r thỡ PMax khi R = 0.
Vớ d 3: Cú hai in tớch im q1 = q2 = q > 0 t ti hai im
A, B trong khụng khớ (

= 1). Cho bit AB = 2d. Hóy xỏc nh cng

5
Sáng kiến kinh nghiệm môn vật lý

Nguyễn thọ hoài thpt yên thành 3


một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp
in trng ti M trờn ng trung trc AB cỏch ng
thng AB

EM
mt khong x. Tỡm x EM t cc i.


E
E
2
M
1M
HDG:

M
* Xỏc nh E M :


a
+ E M E 1M E 2 M

x
q1
q
d
d
Vi E1M = E2M = k 2 2



A
H
B
d x
Hỡnh v 2.3

+ Dựng quy tc tng hp vect E M AB hng ra xa AB.
2kq
x
x
+ EM = 2E1M cos = 2 2 .
2kq.
3
d x
d2 x 2
(d 2 x 2 ) 2
(*)
* Tỡm v trớ M:

- Theo BT Cụsi ta cú:
3

d2 d2
d4x2
3 3 2
2
2
2
3
Ta cú d + x =
x 3
d2 x 2 2
.d .x (**)
2 2
4
2
4kq
4kq
d
+ T (*) v (**) EM
. Vy EM(Max) =
khi x =
.
2
2
3 3d
3 3d
2

Vớ d 4: Vt m1 chuyn ng vi vn tc V1 ti A v ng thi
va chm vi vt m2 ang nm yờn ti ú. Sau va chm m1 cú vn tc

V1'
V1 ' ; hóy xỏc nh t s
ca m1 gúc lch gia V1 v V1 ' ln
V1
nht. (

Max).

Cho m1 > m2.


P1 '

HDG:
+ ng lng h trc va chm:


PT P1 m1 V1 .


PS P1

a

+ ng lng
h sauva
chm:

' '
'
Ps P1 P2 m1 V1 m 2 V2' .


P2 '


+ H kớn nờn ng lng h bo ton: PS PT P1
'

+ Gi = (V1 V1 ) (P1 PS )

Hỡnhv 2.4

6
Sáng kiến kinh nghiệm môn vật lý

Nguyễn thọ hoài thpt yên thành 3


một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp
Ta cú: P2' 2 P1'2 P12 2P1' P12 cos
(1)
Vỡ va chm n hi nờn ng nng bo ton:
m1v12 m1v1' 2 m 2 V2' 2


2
2

2
2
'2
'2
P
P
P
m
1 1 2 P12 P1'2 1 P2' 2
(2)
2m1 2m1 2m 2
m2
m2 P1 m 2 P1'
+ T (1) v (2) 1
' 1
2cos.
m1 P1 m1 P1
m 2 V1 m2 V1'
V1'
1
0.
' 1
2cos. t x =
m
V
m
V
V

1 1

1 1
1
m
m 1
1 2 x 1 2 2cos
m1
m1 x

Max thỡ (cos )min . Theo BT cosi: (cos )min khi:
m2
m2 1
m1 m 2
1

x



1
x
m1 m 2
m1
m1 x


V'
m1 m 2
Vy khi 1
thỡ gúc lch gia V1 v V1' cc i.
V1

m1 m 2
m12 m22
Vi cos Max =
.
m1
Vớ d 5: Mt thu kớnh hi t c t song song vi mn nh

E .Trờn trc chớnh cú im sỏng A v mn E c gi c nh.
Khong cỏch t A n mn E l a = 100 cm. Khi tnh tin thu kớnh
trong khong gia mn E v A, ngi ta thy vt sỏng trờn mn khụng
bao gi thu li mt im. Nhng khi L cỏch mn E mt on b =
40cm thỡ vt sỏng trờn mn cú kớch thc nh nht. Tớnh tiờu c ca
thu kớnh.
HDG:
Theo bi thỡ im hi t ca chựm tia lú phi nm sau mn nh E,
ng i ca tia sỏng nh hỡnh v 2.5:
Theo tớnh cht ng dng ca tam giỏc ta cú:
7
Sáng kiến kinh nghiệm môn vật lý

Nguyễn thọ hoài thpt yên thành 3


một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp

r ' d ' b
b
ad
a d

1 1
1
r
d'
b'
d'
d' d'


1 1 d
a d
r'
a
1 a. 1
r
d f
f
f
f
d

Mt khỏc theo nh lý Cụsi ta cú:

a
d

2.
d
f
do ú

a
f

vy r/r t min khi

a. f a b f

a b



a d
d a. f
d
f

2

a

thay s ta cú f = 36 cm.

a
b
r
A

r

O
d

A
d

Hỡnh v 2.5
2. ỏp dng Bt ng thc Bunhia Cụpxki:
Vớ d 6: Hai chuyn ng
trờn AO v BO cựng hng v 0.
V
Vi
V2 = 1 ; 30 0 . Khi
3
A

khong cỏch gia hai vt cc tiu
l dmin thỡ khong cỏch vt 1 n 0
l d1' 30 3(m) .
Hóy tỡm khong cỏch vt 2

A'
b


B

d1 '
a

0

d2 '

B'

n 0 lỳc ny?
HDG:

Hỡnh v 2.6
8

Sáng kiến kinh nghiệm môn vật lý

Nguyễn thọ hoài thpt yên thành 3


một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp
Gi d1, d2 l khong cỏch cỏc vt 1 v vt 2 n 0 lỳc u ta xột
d
d v t d v t
v
(t = 0) ta cú:
1 1 2 2 . Vỡ v 2 1
sin sin
sin
3
d
d v t
3d 2 v1t

d
3d 2 d1

1 1


.
sin sin
sin
3 sin
3 sin sin
= sin(1800 - ) = sin ( + sin300 + )
d
3d 2 d1
3d 2 d1
3d 2 d1


d

;
0
sin30
y
3
1
3cos sin
cos sin
2
2

sin

dmin khi ymax
ỏp dng BT Bunhia cụpxki y (3 1) (sin 2 cos2 ) 2.
sin 1
YMax = 2

tg 30 0 v 1200
cos
3
d1'
d'2
sin120 0 '
'
Lỳc ú

d2
.d1 3d1' 90(m)
0
0
0
sin 30 sin120
sin 30
Vớ d7: Hai tu thu chuyn ng trờn hai ng OA v OB
bit

AB = 40km; VA = 40km/h; VB = 40 3 km. Chiu chuyn

ng cỏc tu c biu din nh hỡnh v.
= 300;

Tớnh khong cỏch ngn nht gia 2 tu, bit

= 600.
0


HDG:
+ +


VA

= 300

Ta cú: AO = d1; BO = d2
d1
d
AB
2
sin sin sin

A

A'
a

a'
b
B

b'
B'


VB

Hỡnh v 2.7
d1 AB 3 40 3 (km)
d1
d2
AB





sin60 0 sin30 0 sin30 0 d 2 AB 40(km)
* Khi tu A n A' thỡ d1' = d1 - v1t = 40 3 - 40t
d2 = d2+ v2t = 40 + 40 3 t.
9
Sáng kiến kinh nghiệm môn vật lý

Nguyễn thọ hoài thpt yên thành 3


một số cách giải bài toán cực trị trong vật lý sơ cấp
d'
d1'
d '2
Khong cỏch gia 2 tu d' = A'B'. Cú

sin sin ' sin '



d' 120 40 3t 40 40 3t
160



( ' ' 1500 )
sin
sin '
3sin '
3sin ' sin '

d'

80
3sin ' sin '

d'min khiy 3sin ' sin ' ymax

ỏp dng BT Bunhia cụpxki a1b1 + a2b2
y 3 sin ' sin(150 0 ')
y Max

(a12 a 22 ).(b12 b 22 )

3 3'
1
sin ' cos ' 7
2
2

80
7 d'min
30,2(km)
7


F

a

m
M

Vớ d 8: Cho c h nh hỡnh v 2.8.1
H s ma sỏt gia M v sn l K2

Hỡnh 2.8.1

H s ma sỏt gia M v m l K1

Tỏc dng lc F lờn M theo phng hp vi phng ngang 1
(

gúc

thay i).

Hóy tỡm Fmin m thoỏt khi M. Tớnh
HDG:


* Vt m: P1 N1 F ms21 ma1

(1)

tng ng.

Fms12

N1


Fms


Fms 21
F

P1

Hỡnh v 2.8.2
Chiếu lên Ox:

E ms21 m a1

Chiếu lên Oy: N1 P1 0

a1 =

Fms21
m

a1 K1g (*) Khi m bt u trt a1 = k1g



* Xột vt M: F P2 P1 N 2 F ms12 Fms Ma 2
Chiu lờn Ox: F cos
F cos Fms12 Fms
M
Oy: F sin

(2)

- Fms12 - Fms = Ma2 a2 =

- (P1 + P2) + N2 = 0 N2 = P1 + P2 -

Fsin .
M Fms = K2N2 a2 =

Fcos K1mg K 2 (P1 P2 Fsin )
M

Sáng kiến kinh nghiệm môn vật lý

(**)

Nguyễn thọ hoài thpt yên thành 3

10