Phương pháp 4 sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử

Phương pháp 4: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THÀNH
NHÂN TỬ
Giả sử chứng minh an  k
Ta có thể phân tích an chứa thừa số k hoặc phân tích thành các thừa số
mà các thừa số đó chia hết cho các thừa số của k.
Ví dụ 1: CMR: 36n - 26n  35 Với  n  N
Giải: Ta có 36n - 26n = (36)n - (26)n = (36 - 26)M
= (33 + 23) (33 - 23)M
= 35.19M  35 Vậy 36n - 26n  35 Với  n  N

Ví dụ 2: CMR: Với  n là số tự nhiên chăn thì biểu thức
A = 20n + 16n - 3n - 1  232
Giải: Ta thấy 232 = 17.19 mà (17;19) = 1 ta chứng minh
A  17 và A  19 ta có A = (20n - 3n) + (16n - 1) có 20n - 3n = (20 - 3)M 
17M
16n - 1 = (16 + 1)M = 17N  17 (n chẵn)
 A  17 (1)


ta có: A = (20n - 1) + (16n - 3n)
có 20n - 1 = (20 - 1)p = 19p  19
có 16n - 3n = (16 + 3)Q = 19Q  19 (n chẵn)
 A  19 (2)
Từ (1) và (2)  A  232

Ví dụ 3: CMR: nn - n2 + n - 1  (n - 1)2 Với  n >1
Giải: Với n = 2  nn - n2 + n - 1 = 1
và (n - 1)2 = (2 - 1)2 = 1
 nn - n2 + n - 1 (n - 1)2
với n > 2 đặt A = nn - n2 + n - 1 ta có A = (nn - n2) + (n - 1)
= n2(nn-2 - 1) + (n - 1)

= n2(n - 1) (nn-3 + nn-4 + … + 1) + (n - 1)
= (n - 1) (nn-1 + nn-2 + … + n2 +1)
= (n - 1) [(nn-1 - 1) + … +( n2 - 1) + (n - 1)]
= (n - 1)2M  (n - 1)2


Vậy A  (n - 1)2 (ĐPCM)
BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: CMR: a. 32n +1 + 22n +2  7
b. mn(m4 - n4)  30
Bài 2: CMR: A(n) = 3n + 63  72 với n chẵn n  N, n  2
Bài 3: Cho a và b là 2 số chính phương lẻ liên tiếp. CMR: a. (a - 1) (b - 1) 
192
Bài 4: CMR: Với p là 1 số nguyên tố p > 5 thì p4 - 1  240
Bài 5: Cho 3 số nguyên dương a, b, c và thoả mãn a2 = b2 + c2. CMR: abc 
60
HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ
Bài 1: a. 32n +1 + 22n +2 = 3.32n + 2.2n
= 3.9n + 4.2n
= 3(7 + 2)n + 4.2n
= 7M + 7.2n  7
b. mn(m4 - n4) = mn(m2 - 1)(m2 + 1) - mn(n2 - 1) (n2 + 1)  30
Bài 3: Có 72 = 9.8 mà (8, 9) = 1 và n = 2k (k  N)


có 3n + 63 = 32k + 63
= (32k - 1) + 64  A(n)  8
Bài 4: Đặt a = (2k - 1)2; b = (2k - 1)2 (k  N)
Ta có (a - 1)(b - 1) = 16k(k + 1)(k - 1)  64 và 3
Bài 5: Có 60 = 3.4.5

Đặt M = abc

Nếu a, b, c đều không chia hết cho 3  a2, b2 và c2 chia hết cho 3 đều
dư 1  a2  b2 + c2. Do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 3. Vậy M  3
Nếu a, b, c đều không chia hết cho 5  a2, b2 và c2 chia 5 dư 1 hoặc 4
 b2 + c2 chia 5 thì dư 2; 0 hoặc 3.
 a2  b2 + c2. Do đó có ít nhất 1 số chia hết cho 5. Vậy M  5
Nếu a, b, c là các số lẻ  b2 và c2 chia hết cho 4 dư 1.
 b2 + c2  (mod 4)  a2  b2 + c2
Do đó 1 trong 2 số a, b phải là số chẵn.
Giả sử b là số chẵn
Nếu C là số chẵn  M  4
Nếu C là số lẻ mà a2 = b2 + c2  a là số lẻ


2

b
a  c  a  c 
 b = (a - c) (a + b)     


2
 2  2 
2



b

chẵn  b  4  m  4
2

Vậy M = abc  3.4.5 = 60