tu chon 9: Phan tich thanh nhan tu

CHUYÊN ĐỀ TỰ CHỌN MÔN ĐẠI SỐ LỚP 9
Tiết 1+2
Tên chuyên đề: PHÂN TÍCH BIỂU THỨC THÀNH TÍCH VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN
CÓ LIÊN QUAN
A/ MỤC TIÊU :
Đây là một dạng toán quan trong trong hệ thống toán bậc phổ thông trung học .
Giúp hs :
+Rèn luyện tư duy logich ( tách , nhóm , thêm , bớt )và hằng đẳng thức .
+Giúp học sinh thêm một phương tiện giải toán phương trình và bất phương
trình.
B/ CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO :
1) Phân tích đa thức thành nhân tử của Tôn Tân.
2) Những Bài toán biến đổi căn thức của nhóm giáo viên trường Lê Hồng
Phong thành phố Hồ Chí Minh .
C/ NỘI DUNG :
I) Ôn lại một số phương pháp phân tích biểu thức thành tích :
Phân tích các biểu thức sau thành tích :
1/ (x
2
+y
2
-5)
2
-4 x
2
y
2
-16xy-16 =(x
2
+y
2

-5)
2
-y(x
2
y
2
+4xy+4)
=(x
2
+y
2
-5)
2
-[2(xy+2)]
2
=(x+y+1)(x+y-1)(x-y+3)(x-y-3)
2/x
2
y
2
(y-x)+y
2
z
2
(z-y) -x
2
z
2
(x-z)=A
Nhận xét : z-x= (z-y)+(y-x)

⇒
A = x
2
y
2
(y-x)+y
2
z
2
(z-y) -x
2
z
2
[(z-y)+(y-x)]
= x
2
y
2
(y-x)+y
2
z
2
(z-y) -x
2
z
2
(z-y)- x
2
z

2
(y-x)
= (y-x) x
2
(y-z)(y+z) - (y-z) z
2
(y-x)(y+x)
=( y-x)(y-z)(x-z)(xy+yz+xz)
3/ x
3
–7x-6= x
3
-x-6x-6=(x+1)(x
2
-x-6)=(x+1)(x+2)(x-3)
Hay x
3
–7x-6= x
3
+8–7x+14 =(x+2)(x
2
-2x+4)-7(x+2)
=(x+2)(x
2
-2x-3)= (x+1)(x+2)(x-3)
4/(x
2
+x+1)
2
(x

2
+x+2)-12
Đặt x
2
+x+1=y . Ta có :
y(y+1)-12= y
2
+y-12= (y-3)(y+4)
Ta có : A = (x
2
+x+2) (x
2
+x+5)= (x-1)(x+2)( x
2
+x+5)
II)Một số bài toán liên quan :
1) Cho a là một số nguyên .CMR:
M=(a+1)(a+2)(a+3)(a+4)+1 là bình phương của một số nguyên
Giải: M=[(a+1) (a+4)][ (a+2)(a+3)]+1= (a
2
+5a+4) (a
2
+5a+6)+1
Đặt a
2
+5a+4 =x
⇒
M =x(x+2)+1=x
2
+2x+1=(x+1)

2
=k
2
với x+1=k ,
x z k z∈ ⇒ ∈
2) CMR: A
≥
0 với
∀
x

( ) ( ) ( )
4 3 2
2 2 2 2
1 9 1 21 1 31A x x x x= + + + + + − −
Đặt
2
1x y+ =
, ta có :
4 3 2
9 21 31 ( 1)( 2)( 3)( 5)A y y y y y y y y= + + − − = − + + +

2 2 2 2
( 3)( 4)( 6) 0,x x x x x= + + + ≥ ∀
3) CMR:
3 2
5 15 10 30,P n n n n z= + + ∀ ∈M
5 ( 1)( 2)P n n n= + +
trong đó
( 1)( 2) 6n n n+ + M

(tích của 3 số nguyên liên tiếp )
4) Tìm n
∈
Z sao cho
3 2
2P n n n= − − −
là số nguyên tố
3 2 2
2 ( 2)( 1)P n n n n n n= − − − = − + +
Với n
∈
Z thì
2
1 2n n n+ + > −

⇒
P là số nguyên tố
⇔
n-2=1
⇒
n=3
Vậy P=13
III)Phân tích thành tích các biểu thức có chứa căn bậc hai:

2 2
1) (1 )
2) ( 1)
3) ( )( )
x y x y x y x y
xy x x y

ay ax bx by x y a b
+ − − = + − −
− = −
+ + + = + +
4)Rút gọn
3 3
) . ( 0)
a b a b
a ab a b
a b
a b
 
− −
+ > >
 ÷
 ÷
−
+
 
ĐS:
a b+
*Chú ý:
( ) ( )
3 3
a b a b a b ab− = − + +

( ) ( )
( 0)a b a b a b a b− = − + > >

( )

2
1 1
) 1 : 1
1 1
x x x x
b B x x x
x x
 
  
− +
= − + − +
 
 ÷ ÷
 ÷ ÷
− +
 
  
 
ĐS:
2
1
B
x
=
−
*Chú ý:
( )
2
2 1 1x x x+ + = +
********************

Tiết 3+4
Tên chủ đề: PHÂN TÍCH THÀNH NHÂN TỬ TRONG CÁC BÀI TOÁN CÓ CHỨA
CĂN THỨC
A/ MỤC TIÊU :
-Rèn kó năng phân tích thành nhân tử để rút gọn các biểu thức có chứa căn thức
bậc hai .
-Sử dung kết quả rút gọn để chứng minh đẳng thức , so sánh giá trò của biểu thức
với một hằng số , giải phương tình …và các bài toán có liên quan .
B/ Các tài liệu tham khảo :
-Bài tập Đại số 9 (Ngô hữu Dũng –Trần Kiếu –Tôn Thân Đào Ngọc Nam)
-Nâng cao và phát triển toán 9-Tập 1-Vũ Hữu Bình
C/ NỘI DUNG :
Dạng 1: phân tích thành nhân tử trong các bài toán rýt gọn biểu thức , chứng minh
đẳng thức , so sánh giá trò của biểu thức , với 1 hằng số , tìm x… và các bài toán
liên quan .
VD1: Rút gọn biểu thức :
1
) : ( 0; 0; )
) 1 . 1 ( 0; 1)
1 1
a b b a
a a b a b
ab a b
a a a a
b a a
a a
+
> > ≠
−
   

+ −
+ − > ≠
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+ −
   
Giải :
1 ( )
) : .( )
( 1) ( 1)
) 1 . 1 1 1 (1 )(1 ) 1
1 1 1 1
a b b a ab a b
a a b a b
ab a b ab
a a a a a a a a
b a a a
a a a a
+ +
= − = −
−
       
+ − + −
+ − = + − = + − = −
 ÷  ÷
   
 ÷  ÷
+ − + −
       
VD2:Cho

0a ≥
chứng minh rằng :
2 2
2
1 ( 1)
1 1
a a a a
a a
a a a a
− +
− + + = −
+ + − +
Giải : ta có :
( )
( )
2
2
( 1) 1
( 1)
( 1)
1 1 1
( 1) 1
( 1)
( 1)
1 1 1
a a a a
a a a a a
a a a a
a a a a a a
a a a a

a a a a a
a a a a
a a a a a a
− + +
− −
= = = − = −
+ + + + + +
+ − +
+ +
= = = + = +
− + − + − +
( ) 1 2 1 ( 1)VT a a a a a a a a⇒ = − − + + + = − + = −
VD3:Xét biểu thức :
3 9 3 2 1
1
2 1 2
a a a
P
a a a a
+ − −
= − + −
+ − − +
Tìm a để
1P =

Giải:
( ) ( )
( ) ( )
3 9 3 2 1
1

2 1 2
3 3 3 2 1
1
2 1 2
3 3 3 4 1
1
1 2
2 4 2 1
1 1
1 1
1 2
1 1 1 1 1 0
a a a
P
a a a a
a a a
a a a a
a a a a
a a
a a a a
a a
a a
P P P a a a
+ − −
= − + −
+ − − +
+ − −
= − + −
+ − − +
+ − − + + −

= −
− +
+ +
= − = − =
− −
− +
≠ ⇒ = ⇔ = − ⇔ + = − ⇔ =
Bài tập tương tự :
1)Chứng minh đẳng thức :
2 2 1 2
) . ( 0; 1)
1 1
2 1 1
2 3 6 9
)
9
2 3 6 2 3 6
a a a
a a a
a a
a a a
a b ab a
b
a
ab a b ab a b
 
+ − +
− = > ≠
 ÷
 ÷

− −
+ + −
 
+ − +
− =
−
+ − − + + +
HD: phân tích thành thừa số :
2 3 6 ( 3)( 2)
2 3 6 ( 3)( 2)
ab a b a b
ab a b a b
+ − − = − +
+ + + = + +
Mẫu chung là :
( 3)( 3)( 2)a a b+ − +
2)Xét biểu thức:
1 2
1 :
1
1 1
a a
A
a
a a a a a
   
= + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+

− + − −
   
a)Rút gọn A.
b)Tìm các giá trò của a sao cho A>1
HD: a)ĐK:
1
0; 1;
1
a a
a a A
a
+ +
≥ ≠ =
−
b)
1 1A a> ⇔ >
(Thỏa ĐK)
3) Xét biểu thức :
15 11 3 2 2 3
2 3 1 3
x x x
P
x x x x
− − +
= + −
+ − − +
a)Rút gọn P.
b)Tìm các giá trò của x sao cho
1
2

P =
c)So sánh P với
2
3
HD:

a)DK: 0; 1; : 2 3 ( 1)( 3)
2 5
3
x x MSC x x x x
x
P
x
≥ ≠ + − = − +
−
=
+

1 1
)
2 121
b P x= ⇔ =
2
)
3
c P ≤
, dấu “=” xảy ra khi x=0
Dạng 2: Phân tích thành các lũy thừa bậc hai để sử dụng hằng đẳng thức
2
A A=

trong việc rút gọn các biểu thức , so sánh các số , giải phương trình chứa căn thức :
VD1: Rút gọn biểu thức:
11 2 10−
Giải :
2
11 2 10 10 2 10 1 ( 10 1) 10 1 10 1− = − + = − = − = −
VD2: So sánh các cặp số sau:
4 7 4 7 2 & 0+ − − −
Giải : Đặt P=
4 7 4 7 2+ − − −
, ta có :
( ) ( )
2 2
2 8 2 7 8 2 7 7 1 7 1 7 1 ( 7 1) 2
2
P
P
= + − − = + + − = + − − =
⇒ =
Vậy :
4 7 4 7 2 0+ − − − =
VD3: Cho a,b,c là các số khác 0 sao cho a+b+c=0
a) Chứng minh rằng :
2 2 2
1 1 1 1 1 1
a b c a b c
+ + = + +
b) Rút gọn biểu thức :
2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1
...
1 2 3 1 3 4 1 99 100
S = + + + + + + + + +
Giải :
2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
) 2 2
a b c
a
a b c a b c ab ac bc a b c abc
+ +
     
+ + = + + + + + = + + +
 ÷  ÷  ÷
     


2 2 2
1 1 1
a b c
= + +
Do đó :
2
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
a b c a b c a b c
 
+ + = + + + +

 ÷
 
b)Ta có :
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1
1
1 ( 1) 1 ( 1) 1k k k k k k
+ + = + + = + −
+ − − +
Do đó :
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 ... 1 98 98,99
2 3 3 4 99 100 2 100
S
     
= + + + + − + + + − = + − =
 ÷  ÷  ÷
     
VD4: Giải pương trình :
1
1 2 ( )(1)
2
x y z x y z+ − + − = + +
Giải: Với
0; 1; 2x y z≥ ≥ ≥