Phương trình bất phương trình chứa căn thức

Phương trình - bất phương trình chứa căn thức
I. Phương pháp biến đổi tương đương
1. Kiến thức cần nhớ:
1.

 a
n

n

a

2. a  b  a 2 n  b 2 n

 ab  0 
 a, b 

3. a  b  a 2 n 1  b2 n 1
4. a  b  0  a 2 n  b 2 n
5. a  b

 a 2 n 1  b2 n 1

  a, b 

2. Các dạng cơ bản:

* Dạng 1:

 g  x   0
f  x  g  x  

(Không
2
 f  x   g  x 

cần đặt điều

kiện f  x   0 )
* Dạng 2:

f  x  g  x

TH1:

* Dạng 3:

xét 2 trường hợp:

 g  x   0

 f  x   0

TH2:

 g ( x)  0

2
 f  x   g  x 

 f ( x)  0


f  x   g  x  g  x  0

2
 f  x   g  x

Lưu ý: + g(x) thường là nhị thức bậc nhất (ax+b) nhưng có một số trường
hợp g(x) là tam thức bậc hai (ax2+bx+c), khi đó tuỳ theo từng bài ta có thể


mạnh dạn đặt điều kiện cho

g  x  0

rồi bình phương 2 vế đưa phương

trìnhbất phương trình về dạng quen thuộc.
+

Chia

đa

thức

a0 x n  a1 x n 1  a2 x n  2    an 1 x  an  0

tìm

nghiệm:

Phương

trình

có nghiệm x= thì chia vế trái cho cho x–

 ta được  x     b0 xn1  b1 xn 2    bn2 x  bn1   0 , tương tự cho bất phương
trình.
* Phương trìnhbất phương trình bậc 3: Nếu nhẩm được 1 nghiệm thì
việc giải theo hướng này là đúng, nếu không nhẩm được nghiệm thì ta có thể
sử dụng phương pháp hàm số để giải tiếp và nếu phương pháp hàm số không
được nữa thì ta phải quay lại sử dụng phương pháp khác.
* Phương trìnhbất phương trình bậc 4, lúc này ta phải nhẩm được 2
nghiệm thì việc giải phương trình theo hướng này mới đúng, còn nếu nhẩm
được 1 nghiệm thì sử dụng như phương trìnhbất phương trình bậc 3 và nếu
không ta phải chuyển sang hướng khác.
Ví dụ 1: Giải phương trình: 2 x  1  x 2  3x  1  0 (ĐH Khối D – 2006)
Biến đổi phương trình thành:

2 x  1   x2  3x  1

(*), đặt điều kiện rồi bình

phương 2 vế ta được: x 4  6 x 3  11x 2  8 x  2  0 ta dễ dạng nhẩm được
nghiệm x = 1 sau đó chia đa thức ta được:
(*) (x – 1)2(x2 – 4x + 2) = 0.
Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 4  x  12   2 x  10  1 

2

3  2x

 , ĐK:

x

3
2






pt  x 2  2 x  1   x  5 2  x  3  2 x  ( x  5) 3  2 x  9  5 x

(1), Với

x

3
2

hai

vế (1) đều không âm nên ta bình phương 2 vế: x3 – x2 – 5x – 3
2

 0   x  3 x  1  0

b) Tương tự với 2 dạng: *
Ví dụ 1: Giải bất phương trình

*

f  x  g  x

f  x  g  x

2 x 2  6 x  1  x  2  0 1

Giải

1 

2 x2  6 x  1  x  2

bất phương trình tương đương với hệ:

x  2
x  2  0

3 7
3 7
3 7
 2

 x 
 x


 x3
2 x  6 x  1  0
2
2
2
 2

2 x  6 x  1  x  2
1  x  3


Ví dụ 2: Tìm m để phương trình

x 2  2mx  1  m  2 có

nghiêm.

Giải
* Nếu m < 2  phương trình vô nghiệm.
* Nếu m  2  phương trình  x22mxm2+4m3=0. Phương trình này có
=2m24m+3>0 với mọi m.
Vậy với m  2 thì phương trình đã cho có nghiêm.
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình

2 x 2  mx  3  x  1

có hai nghiệm phân biệt.


Giải:

Cách 1:

x1 

 x  1
PT   2
,
 x   m  2  x  4  0, (*)

phương trình (*) luôn có 2 nghiệm:

2  m  m2  4m  20
2  m  m 2  4m  20
 0, x2 
0.
2
2

Phương trình đã cho có

2 nghiệm  (*) có 2 nghiệm
 m  4
x  1  x2  1  4  m  m 2  4m  20  
 m  1
2
2
 4  m   m  4m  20

Chú ý:

+ x1 > 0, x2 < 0 vì x1 > x2 và a.c < 0 nên pt có 2 nghiệm

trái dấu.
+ Cách 1 thường dùng khi hệ số a luôn dương hoặc luôn âm.
+ Cách 2: Đặt t = x + 1 suy ra x = t – 1, khi đó với

x  1  t  0 .

(*) trở thành:  t  12   m  2  t  1  4  0 (**). Để (*) có 2 nghiệm

x  1 thì

(**) phải có 2 nghiệm t  0 .
Ví dụ 4: (ĐH Khối B – 2006). Tìm m để phương trình có hai nghiệm thực
phân biệt:

Giải:

x 2  mx  2  2 x  1 ,

(1)

2 x  1  0
pt   2
3x   m  4  x  1  0,  2 

có hai nghiệm lớn hơn hoặc bằng

để (1) có hai nghiệm thực phân biệt thì (2)



1
hay
2


2
   m  4   12  0

9
  1
m .
 f    0
2
2

 
S
1
 
2
2


Chú ý : Cách 2: đặt


1
2

tx

1
,
2

khi đó để (2) có hai nghiệm lớn hơn hoặc bằng

2

thì

 1
 1
3  t     m  4  t    1  0
2
2



có hai nghiệm thực lớn hơn hoặc bằng 0.

3. Các kỹ năng:
a. Để bình phương 2 vế phương trình – bất phương trình thì một
là ta biến đổi cho 2 vế không âm hai là đặt điều kiện cho 2 vế không âm.
Ví dụ 1: Giải bất phương trình:

5x  1  x  1  2x  4

(ĐH Khối A – 2005)

Vế phải không âm, nhưng vế trái chưa nhận xét được do đó ta phải biến đổi
thành:

5x  1  x  1  2 x  4

khi đó ta bình phương 2 vế rồi đưa về dạng cơ

bản để giải.
Ví dụ 2: Giải phương trình:

x  x  1  x  x  2   2 x 2

1 .

Giải
Điều kiện:
x 1
 x  2 *
 

 x  0

1  2 x2  x  2

x 2  x  1 x  2   4 x 2  2 x 2  x  1 x  2   x  2 x  1

 4 x 2  x 2  x  2   x 2  2 x  1

2

 x2 8x  9  0

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x=0,

x

9
.
8

(Hãy tìm thêm cách giải khác)
Ví dụ 3: Tìm m để phương trình

2 x 2  mx  x 2  4  0

có nghiệm.


HD: Chuyển vế, đặt điều kiện, bình phương hai vế tìm được
x1,2 

m  m 2  16
2

. Kết hợp với điều kiện ta tìm được |m|  4.

b. Chuyển về phương trình – bất phương trình tích:
- Đặt nhân tử chung, hằng đẳng thức

Lưu ý: Để sử dụng phương pháp này ta phải chú ý đến việc thêm, bớt, tách,
phân tích...
Ví dụ 4: Giải phương trình:

x2  x  7  7 .

HD:
 Bình phương hai vế.
 Dùng hằng đẳng thức a2  b2=0.
 Nghiệm

x  2, x 

1  29
2

.

Ví dụ 5: Giải các bất phương trình: a.

x2



1 1 x

x

2

 3x  2 x 2  3 x  2  0

ĐS: a. 1x<8, b.

1

 ;    2  3;   .
2




2

x4

b.


Ví dụ 6: (Khối B – 2007): Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham
số

m,

phương

trình

sau

có

hai

nghiệm

thực

phân

biệt:

x 2  2 x  8  m  x  2  .(1)

Giải: ĐK: x  2 , do m > 0.
x  2
. Để chứng minh m  0 ,
pt   x  2  x  4   m x  2   3
2
x

6
x

32

m
,
(
2

)


phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt thì chỉ cần chứng minh phương trình
(2) có một nghiệm khác 2.
Thật

vậy:

đặt

f  x   x 3  6 x 2  32, x  2 ,

lim f  x   , f '  x   3x 2  12 x  0, x  2

x 

ta

có

f(2)

=

0,

nên f(x) là hàm liên tục trên  2;   và

đồng biến trên khoảng đó suy ra m  0 phương trình (2) luôn có nghiệm x0

mà 2 < x0 <   .
Một số dạng chuyển thành tích:
- Dạng:

ax  b  cx  d 

a - c  x  b - d 
m

Ta biến đổi thành: m( ax  b  cx  d )   ax  b    cx  d 
Ví dụ: Giải phương trình:

4 x  1  3x  2 

ĐS: x=2.
- Dạng: u+v=1+uv  (u-1)(v-1)=0

x3
.
5


Ví dụ: Giải phương trình:

3

x  1  3 x  2  1  3 x 2  3x  2 .

4

x  1  x  1  4 x3  x2

ĐS: x=0, x=1.
Ví dụ: Giải phương trình:

.

ĐS: x=0, x=1.
- Dạng: au+bv=ab+uv  (ub)(va)=0
Ví dụ 1: Giải phương trình:

x  3  2x x  1  2 x  x2  4 x  3 .

ĐS: x=0, x=1.
Ví dụ 2: Giải phương trình:

x 3  x 2  3x  3  2 x  x 2  3  2 x 2  2 x

.

ĐS: x=0.
- Dạng: a3b3  (ab)(a2+ab+b2)=0  a=b
Ví dụ: Giải phương trình:

2  3 3 9 x 2  x  2   2 x  3 3 3x  x  2 

2

.

ĐS: x=1.
c. Chuyển về dạng: A1 + A2 +....+ An = 0 với
tương đương với:

Ai  0, 1  i  n

khi đó pt

A1  0, A2  0,  An  0 .

Ví dụ 1: Giải phương trình: 4 x2  3x  3  4 x
HD: Phương trình tương đương

4x

2

x  3  2 2x  1 .





 4x x  3  x  3 1  2 2x  1  2x  1  0 .

ĐS: x=1.
Ví dụ 2: Giải phương trình:

4x  y 2  y  2  4x2  y

.


Giải
Bình phương hai vế ta được

 2 x  12   y  2 2  2  y  2   4 x 2  y   0  x 

1
, y  2.
2

d. Sử dụng lập phương:
Với dạng tổng quát

3

a3b3c

ta lập phương hai vế và sử dụng hằng đẳng

thức  a  b 3  a 3  b3  3ab  a  b  khi đó phương trình tương đương với hệ
 3 a  3 b  3 c
.

3
a  b  3 abc  c

Giải hệ này ta có nghiệm của phương trình.

Ví dụ: Giải bất phương trình
x  1; x  2; x 

3

x  1  3 x  2  3 2x  3 .

ĐS:

3
.
2

e. Nếu bất phương trình chứa ẩn ở mẩu:
- TH1: Mẩu luôn dương hoặc luôn âm thì ta quy đồng khử mẩu:

Ví dụ 1: Giải bất phương trình:

2  x 2  16 
x3

 x3 

7x
x3

1 (ĐH Khối

A2004)
Giải

ĐK:

x4.

1 

2  x 2  16   x  3  7  x  2  x 2  16   10  2 x


 x  4

 10  2 x  0

10  2 x  0

  2  x 2  16   10  2 x 2
 

 x5

 10  34  x  5

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là:

x  10  34 .

TH2: Mẩu âm dương trên từng khoảng thì ta chia thành từng

-

trường hợp:
Ví dụ 2: Giải các bất phương trình: a.  x  3

x 2  4  x2  9

b.

51  2 x  x 2
1.
1 x

HD: a. Xét ba trường hợp x=3, x>3 và x<3.

ĐS:

5
x    x  3.
6

b. Xét hai trừng hợp của x1.
1  52  x  5  x  1 .

Bài tập
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a.

x  2 x  1  x  x  1  x 2  x  0 .

HD: Bình phương 2 vế và biến đổi thành:
2 x x 2  x  4 x2  x  x3  4 x2  6 x  4  0 .

 ( x  2)(2 x 2  x  x 2  2 x  2)  0

ĐS: