Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

6. RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI
181. CMR, n  Z+ , ta có :

182. Cho A 

1
1
1
1


 ... 
 2.
2 3 2 4 3
(n  1) n

1
1
1
1
. Hãy so sánh A và


 ... 
1.1999
2.1998
3.1997
1999.1

1,999.
183. Cho 3 số x, y và

x  y là số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số

x ; y đều là số hữu tỉ

184. Cho a 

3 2
 2 6 ; b  3  2 2  6  4 2 . CMR : a, b là các số
3 2

hữu tỉ.


2 a
a  2  a a  a  a 1

. (a > 0
.
a
 a  2 a 1 a 1 

185. Rút gọn biểu thức : P  
; a # 1)

 a 1

a 1
1 


 4 a  a 
  4a .
a 1
a
 a 1


186. Chứng minh : 

 x  2

2

 8x
2
x
x

187. Rút gọn :



188. Rút gọn :  a 


(0 < x < 2)

b  ab  
a
b

ab


:

a  b   ab  b
ab  a
ab 

(a > 0 ; a # 1)




2

189. Giải bất phương trình : 2 x  x  a

2



5a 2
x2  a2

(a # 0)

 1  a a
 1  a a


 a 
 a  1
 1  a
 1  a
 

190. Cho A  1  a 2  : 

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tính giá trị của A với a = 9.

c) Với giá trị nào của a thì | A | = A.

191. Cho biểu thức : B 

a  b 1
a b
b
b 



.
a  ab
2 ab  a  ab a  ab 

a) Rút gọn biểu thức B.

b) Tính giá trị của B nếu a  6  2 5 .

c) So sánh B với -1.


1

1

 

ab 

192. Cho A  


 : 1 
a  ab  
ab 
 a  ab
a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm b biết | A | = -A.

c) Tính giá trị của A khi a  5  4 2 ; b  2  6 2 .
 a 1

a 1
1 

 4 a  a 


a 1
a
 a 1


193. Cho biểu thức A  

a) Rút gọn biểu thức A.


b) Tìm giá trị của A nếu a 

6
2 6

.

c) Tìm giá trị của a để

A  A.

 a
1  a  a a  a 



.
2
2

a
a

1
a

1




194. Cho biểu thức A  

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm giá trị của A để A = - 4
 1 a
1 a

1 a
 1 a

195. Thực hiện phép tính : A  

196. Thực hiện phép tính : B 

2 3



2  2 3

  1 a
1 a 

 :

1 a 
  1 a
2 3
2 2 3

197. Rút gọn các biểu thức sau :

x  y  1 1 
1
a) A 
:   .

xy xy  x y  x  y  2 xy



 1
1 
.

 
3 
 x

y
x y 


2





với x  2  3 ; y  2  3 .

b) B 

c) C 

x  x 2  y 2  x  x 2  y2
2(x  y)
2a 1  x 2
1 x2  x

với x > y > 0

1  1 a
a 


2 a
1 a 

với x  

; 0

d) D  (a  b) 

e) E 

a

2

 1 b 2  1

với a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 1

c2  1

x  2 x 1  x  2 x 1

. 2x  1

x  2x  1  x  2x  1

198. Chứng minh :

199. Cho a 

x2  4


x

x

x2  4
2x  4

x
x

x

với x ≥ 2.

1  2
1  2
,b
. Tính a7 + b7.
2
2

200. Cho a  2  1
a) Viết a2 ; a3 dưới dạng

m  m  1 , trong đó m là số tự nhiên.

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, số an viết được dưới dạng
trên.
201. Cho biết x =

2 là một nghiệm của phương trình x3 + ax2 + bx + c = 0

với các hệ số hữu tỉ. Tìm các nghiệm còn lại.
202. Chứng minh 2 n  3 

203. Tìm phần nguyên của số

1
1
1

 ... 
 2 n  2 với n N ; n ≥ 2.
2
3
n

6  6  ...  6  6

204. Cho a  2  3 . Tính a) a 2 
205. Cho 3 số x, y,
đều là số hữu tỉ

b)

(có 100 dấu căn).

 a 3  .

x  y là số hữu tỉ. Chứng minh rằng mỗi số

x, y


1
1
1
1


 ... 
2
2 3 2 4 3
(n  1) n

206. CMR, n # 1 , n  N :

207. Cho 25 số tự nhiên a1 , a2 , a3 , … a25 thỏa đk :
1
1
1
1


 ... 
 9 . Chứng minh rằng trong 25 số tự nhiên đó
a1
a2
a3

a 25

tồn tại 2 số bằng nhau.
122. Chứng minh các số sau là số vô tỉ :

3 2

;

2 2 3

126. Chứng minh rằng nếu các đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập được thành
một tam giác thì các đoạn thẳng có độ dài a , b , c cũng lập được thành
một tam giác.
5. BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN CĂN THỨC BẬC HAI

159. Tính giá trị của biểu thức sau với a 

3
1  2a
1  2a
.
: A

4
1  1  2a 1  1  2a

160. Chứng minh các đẳng thức sau :



a) 4  15





10  6

c) 3  5 3  5





4  15  2



b) 4 2  2 6 

10  2  8 d)

7  48 

2
2



27  6  48

b)





3 1

3  1 e) 17  4 9  4 5  5  2

161. Chứng minh các bất đẳng thức sau :

a)



2

5 5 5 5

 10  0
5 5 5 5




5 1
5  1 

1
c) 

 2  0, 2  1,01  0
 3  4
3
 1  5  3 1  3  5 

2  3 1
2 3
3
3  1


 3 2  0


2 6
2 6  2 6 2 6 
2

d)

e)

h)

2 2



2 1 

3

5

2 2



7 



2  1  1,9



3 5 7 3

162. Chứng minh rằng : 2 n  1  2 n 

2004  1 

i)

17  12 2  2  3  1

2  2  3 2 2

 0,8
4

1
 2 n  2 n  1 . Từ đó suy ra:
n

1
1
1

 ... 
 2005
2
3
1006009

163. Trục căn thức ở mẫu : a)

164. Cho x 

g)

2 3 4
2 3 6 84

b)

3
.

2 3 2  3 4

3 2
3 2
. Tính A = 5x2 + 6xy + 5y2.
và y=
3 2
3 2

165. Chứng minh bất đẳng thức sau :

2002
2003

 2002  2003 .
2003
2002

x 2  3xy  y 2
166. Tính giá trị của biểu thức : A 
với
xy2

x  3  5 và y  3  5 .


168. Giải bất các pt :
3 3  5x  72

a)

b)

1
10x  14  1 c) 2  2 2  2x  4 .
4

169. Rút gọn các biểu thức sau :

a) A  5  3  29  12 5

b) B  1  a  a(a  1)  a

a 1
a

211. Chứng minh rằng :



a) Số 8  3 7





b) Số 7  4 3

7

có 7 chữ số 9 liền sau dấu phẩy.
10



có mười chữ số 9 liền sau dấu phẩy.

212. Kí hiệu an là số nguyên gần
1  1  a1  1 ;

Tính :

n nhất (n  N*), ví dụ :

2  1, 4  a 2  1 ;

3  1,7  a 3  2 ;

4  2  a4  2

1 1 1
1
   ... 
.
a1 a 2 a 3
a1980

213. Tìm phần nguyên của các số (có n dấu căn) :

a)

a n  2  2  ...  2  2

b) a n  4  4  ...  4  4

c)

a n  1996  1996  ...  1996  1996

214. Tìm phần nguyên của A với n  N : A  4n 2  16n 2  8n  3