rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai

tuần 1/10: Căn bậc hai - hằng đẳng thức
2
A A
=
.
I, Mục tiêu:
* Kiến thức - Kĩ năng:
- HS đợc củng cố đ/n, phân biệt cách tìm CBH, CBHSH của một số thực.
- Nắm vững và tìm đợc đkxđ của
A

- áp dụng khai triển HĐT
2
A A=
, vận dụng rút gọn đợc biểu thức.
* Thái độ: Rèn tính cẩn thận, chính xác.
II, Lí thuyết cần nhớ:
Căn bậc hai của một số a không âm là một số x sao cho
2
x
= a.
Số a > 0 có hai CBH là
a
và
a
.
Số a

0 ,
a
đợc gọi là CBHSH của a.

a, b là các số không âm, a < b


a
<
b
.

A
xác định (hay có nghĩa)

A

0 (A là một biểu thức đại số).
III, Bài tập và h ớng dẫn:
Bài 1. Tính:
a,
9
;
4
25
;
2
3
;
2
6
;
2
( 6)

;
25
16



;
9
25


.
b,
2
5
;
2
( 7)
;
2
3
4


ữ
ữ

;
2
3

4

ữ

.
c,
4
5
;
4
(2)
;
( Sử dụng HĐT
2
A A=
).
Bài 2. So sánh các cặp số sau:
a, 10 và
3
;
10
và 3;
3 5
và
5 3
;
b,
8 1
và 2; -2
5

và -5
2
;
3
và
16
2
.
( Sử dụng a, b là các số không âm, a < b


a
<
b
).
Bài 3. Tính:
a,
2
(3 2)+
;
2
(2 3)
;
( )
2
2 3+
;
( )
2
3 2

.
b,
2
a
(a

0);
4
2 a
(a < 0) ;
2
2 x
;
6
3 x
;
2
(2 )x
;

2
6 9x x +
( x > 3);
2
2 1x x+ +
;
2
4( 2)a
(a < 2);
2

(3 11)
.

4
9( 5)x
;
2 2 2
( 2 )b a ab b+ +
(b > 0);
2 2 2
3 4
( )
( 0; 0; )
a b a b
b a a b
bc a

> <
.
c,
2
(2 5)+
;
2
(3 15)
;
3 2 2+
;
4 2 3+
;

11 6 2
;
28 10 3
.
( Chú ý ĐK của các chữ trong biểu thức )
Bài 4. Tìm điều kiện xác định của các CTBH sau:
a,
3a
;
3a
;
2a
;
5 a
;
3 6a +
;
4 2a
;
2 5a
;
7 3a
.
b,
2
2 1a
;
4
3 b
;

2
2 1a


;
2
1 8 16b b +
;
3 4
5
a

.
c,
2
2x
;
2
2x
;
2
2 1x +
;
2
5
1x

+
.
d,

2
2 x
;
2
5 3
x
x
;
2
4 4 1x x +
;
2
1
2x x+
.
( Chú ý ĐK để biểu thức dới căn không âm, mẫu khác 0).
Bài 5. Tìm x biết:
a,
2
16 0x =
;
2
1
9
x =
;
2
16 0x + =
;
2

9 0x + =
.
b,
5x =
;
1
2
x =
;
5x =
;
3
2
x =
;
2 2 0x =
.
c,
3
2
x
=
;
2 0
3
x
+ =
;
2
4

x
=
;
1
0
2
x =
.
( Chú ý sử dụng định nghĩa CBH
2
0x
a x
x a


=

=

).
tuần 1/10:
Hệ thức giữa cạnh và đờng cao trong tam giác vuông.
I, Mục tiêu:
- HS đợc củng cố, ghi nhớ hệ thống các hệ thức giữa cạnh và đờng cao trong tam giác vuông.
- áp dụng các hệ thức đó vào làm đợc bài thập cơ bản tính toán các độ dài của các yếu tố
trong tam giác vuông.
II, Nhắc lại lí thuyết:
Hệ thức giữa cạnh và đờng cao trong tam giác vuông:

2 ,
2 ,
2 2 2
.
.
b a b
c a c
a b c
=
=
= +

2 , ,
2 2 2
. .
.
1 1 1
a h b c
h b c
h b c
=
=
= +
III, Bài tập.
1, Tìm x, y trong các hình vẽ sau:
B
C
H
A
B

C
H
A
B
C
H
A
B
C
H
A
B
C
H
A
B
C
H
A
B
C
H
A
2, Cho tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài là 5 và 7. Kẻ đờng cao ứng với cạnh
huyền. Tính đờng cao và hai đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền.
3, Đờng cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là 3
và 4.Tính các yếu tố còn lại của tam giác vuông này.
4, Cho một tam giác vuông. Biết tỉ số hai cạnh góc vuônglà 3 : 4 và cạnh hguyền là 125 cm, Tính độ
dài các cạnh góc vuông và hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
5, Cho tam giác ABC vuông tại A, biết

5
6
AB
AC
=
. đờng cao AH = 30 cm. Tính HB, HC?
6, Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đờng cao AH. Biết hai cạnh góc vuông là 7 và 8. Tính các yếu
tố còn lại của tam giác vuông đó.
7, Cho tam giác MNP vuông tại M, kẻ đờng cao MH. Biết hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông là
7 và 12. Tính các yếu tố càon lại của tam giác vuông đó.
8, Cho tam giác PRK vuông tại R. Kẻ đờng cao RH, biết đờng cao RH = 5, một hình chiếu
là 7.Tính các yếu tố còn lại của tam giác vuông đó.
tuần 2/10: Căn bậc hai - hằng đẳng thức
2
A A
=
.
I, Mục tiêu:
* Kiến thức - Kĩ năng:
- HS đợc củng cố đ/n, phân biệt cách tìm CBH, CBHSH của một số thực.
- Nắm vững và tìm đợc đkxđ của
A

- áp dụng khai triển HĐT
2
A A=
, vận dụng rút gọn đợc biểu thức.
* Thái độ: Rèn tính cẩn thận, chính xác.
II, Lí thuyết cần nhớ:
Căn bậc hai của một số a không âm là một số x sao cho

2
x
= a.
Số a > 0 có hai CBH là
a
và
a
.
Số a

0 ,
a
đợc gọi là CBHSH của a.
a, b là các số không âm, a < b


a
<
b
.

A
xác định (hay có nghĩa)

A

0 (A là một biểu thức đại số).
III, Bài tập và h ớng dẫn:
Bài 6. Phân tích thành nhân tử:
a,

2
5x
; 7 - x (x > 0); 3 + 2x (x < 0).
b,
2
3 16x
; x - 9 (x > 0).
c,
4 2 3
;
3 2 2
;
6 2 5
;
7 2 6
.
( Rút ra HĐT
2
( 1) 2 ( 1)a a a+ = +
)
Bài 7. Rút gọn:
a,
( , 0; )
a b
a b a b
a b

>

;

2 1
( 0; 1)
1
x x
x x
x
+


;
( Chú ý sử dụng HĐT
2 2
( )( )a b a b a b = +
và HĐT
2
A A=
).
b,
4 7 4 3+ +
;
5 3 5 48 10 7 4 3+ + − +
;
13 30 2 9 4 2+ + +
.
c,
2 1 2 1( 1)x x x x x+ − + − − ≥
.
( Chó ý sö dông H§T
2
( 1) 2 ( 1)a a a+ ± = +

vµ H§T
2
A A=
).
Bµi 8. Gi¶i c¸c PT sau:
1,
2
4 4 3x x− + =
;
2
12 2x − =
;
x x=
;
2
6 9 3x x− + =
;
2,
2
2 1 1x x x− + = −
;
2
10 25 3x x x− + = +
.
3,
5 5 1x x− + − =
( XÐt §K
∃⇒
pt v« nghiÖm);

2
2 1 1x x x+ + = +
( ¸p dông:
0( 0)A B
A B
A B
≥ ≥

= ⇔

=

).
4,
2 2
9 6 9 0x x x− + − + =
(¸p dông:
0
0
0
A
A B
B
=

+ = ⇔

=

) .

5,
2 2
4 4 0x x− − + =
( §K, chuyÓn vÕ, b×nh ph¬ng 2 vÕ).

2 2 2
4 5 4 8 4 9 0x x x x x x− + + − + + − + =
(
1 4 5 3 5VT ≥ + + = +
;
2
( 2) 0 2x x=⇔ − = ⇔ =
)

2 2 2
9 6 2 45 30 9 6 9 8x x x x x x− + + − + = − +
(
2 2 2
(3 1) 1 5(3 1) 4 9 (3 1)x x x− + + − + = − −
;
vt
≥
3; vp
3≤

⇒
x = 1/3) .

2 2 2
2 4 3 3 6 7 2 2x x x x x x− + + − + = − +

(®¸nh gi¸ t¬ng tù).
6,
2 2
4 5 9 6 1 1x x y y− + + − + =
(x =2; y=1/3);
2 2
6 5 6 10 1y y x x− − − − + =
(x=3; y=3).
tuần 3/10:
Các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai.
I, Mục tiêu:
* Kiến thức - Kĩ năng:
- HS đợc củng cố các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai .
Vận dụng tính toán,rút gọn đợc biểu thức chứa căn thức bậc hai.
* Thái độ: Rèn tính cẩn thận, chính xác, linh hoạt.
II, Lí thuyết cần nhớ:
Căn bậc hai của một số a không âm là một số x sao cho
2
x
= a.
Số a > 0 có hai CBH là
a
và
a
.
Số a

0 ,
a
đợc gọi là CBHSH của a.

a, b là các số không âm, a < b


a
<
b
.

A
xác định (hay có nghĩa)

A

0 (A là một biểu thức đại số).
Các công thức biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai.(GV cùng HS nhắc lại).
III, Bài tập và h ớng dẫn:
Bài 1. Tính.
1,
20 5
;
12 27
;
3 2 5 8 2 50+
;
2 5 80 125 +
;
3 12 27 108 +
;

2 45 80 125+

;
75 48 300+
;
8 50 18 +
;
32 50 98 72 +
;

1
2 20 18 6 200
2
+
;
0,09 0, 64 0,81 0,01 0,16 0, 25+ +
.
2,
10. 40
;
5. 45
;
52. 13
;
2. 162
;
5 18
.
8 5
;
8. 18. 98
;

2 3
. 6
3 2

+
ữ
ữ

.
3,
45.80
;
75.48
;
90.6,4
;
2,5.14,4
.
4,
( 12 27 3) 3+
;
( )
20 45 5 5 +
;
9 1
2 2
2 2

+
ữ

ữ

;
5,
( ) ( )
2 1 2 1+
;
7 4. 4 7+
;
4 3 2. 4 3 2+
;
3 5 2 . 3 5 2 + + +
.
6,
3
3
;
2
2 1−
;
3 3
3
+
;
5
3 20
;
3 2
2 1
−

−
;
5 3
5 2
−
+
;
2 3
2 3
−
+
;
3 2
3 2
−
+
.
7,
2 2
2 1
−
−
;
10 2
1 5
−
−
;
15 6
2 5

−
−
;
3 2 2 3
2 3
−
−
.
8,
8 2 15+
;
12 2 35+
;
8 60+
;
17 12 2−
;
9 4 2+
;
(Chó ý rót ra H§T:
( )
2
2a ab b a b
± + = ±
)
Bµi 2. Rót gän
1,
3
9
a

a
−
−
;
2 1
1
a a
a
− +
−
;
4 4
4
a a
a
− +
−
;
5 4
1
a a
a
− +
−
;
5 6
3
a a
a
− +

−
;
2,
6 24 12 8 3+ + + −
;
5 3 29 12 5− − −
;
6 2 2 12 18 128− + + −
.
3,
a a b b
ab
a b
+
−
+
(a > o; b > 0).
4,
x y y x
xy
+
(x > 0; y > 0).
5,
1
:
a b b a
ab a b
+
−

( )
, 0;a b a b> ≠
.
6,
1 1
1 1
a a a a
a a
  
+ −
+ −
 ÷ ÷
 ÷ ÷
+ −
  

( )
0; 1a a≥ ≠
.
7,
1 1 4
4
2 2
x
x x
+ −
−
− +
(
0; 4x x≥ ≠

).
tuần 4/10

rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai.
I, Mục tiêu:
* Kiến thức - Kĩ năng:
- HS đợc củng cố các phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai .
Vận dụng tính toán,rút gọn đợc biểu thức có chứa căn thức bậc hai.
* Thái độ: Rèn tính cẩn thận, chính xác, linh hoạt.
II, Lí thuyết cần nhớ:
* Cách tìm ĐKXĐ của các căn thức, phân thức.
- Biểu thức dới căn không âm.
- Mẫu thức khác 0.
* Phân tích đa thức thành nhân tử thành thạo.
* Nắm vững thứ tự thực hiện các phép tính.
( )
[ ]
{ }
.
;
,: ,
n
a ì +

và các phép tính về đơn thức, đa thức, phân thức, căn thức.
* Vận dụng linh hoạt các HĐT:
2
( 1) 2 ( 1)a a a
+ = +
;

( )
2
2a ab b a b
+ =

( ) ( )
a a b b a b a ab b = +m
;
( ) ( )
a b a b a b = +
.
III, Bài tập và h ớng dẫn:
* Ph ơng pháp: - Tìm ĐKXĐ(BT dới căn có nghĩa, mẫu

0).
- Rút gọn từng phân thức trong biểu thức (Nếu có thể).
- Biến đổi, rút gọn cả biểu thức.
- Kết luận.
* Bài tập. Rút gọn các biểu thức sau:
1
1 1 1 1 1
:
1 1 1 1 1
A
x x x x x

= + +
ữ ữ
+ +

kq:
1
x x
2
1 1 2
:
2
a a a a a
A
a
a a a a

+ +
=
ữ
ữ

+

kq:
2 4
2
a
a

+
3
1 2
1 :
1

1 1
x x
A
x
x x x x x
   
= + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+
− + − −
   
kq:
1
1
x x
x
+ +
−
4
1 1 2
:
1
1 1
x
A
x
x x x x
 
 

= − +
 ÷
 ÷
 ÷
−
− − +
 
 
kq:
1x
x
−
( )
5
2
:
a a b b b
A a b
a b a b
+
= − +
+ +
kq:
a ab b
a b
+ −
−
6
:
2

a a a a a
A
b a
a b a b a b ab
   
= + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
+ + + +
   
kq:
( )
a b
a b a
+
−
7
1
1 1 :
1 1 1
a a a a a
A
a a a
  
+ − +
= + −
 ÷ ÷
 ÷ ÷
+ − −

  
8
1 1 8 3 2
: 1
9 1
3 1 3 1 3 1
x x x
A
x
x x x
   
− −
= − + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
− + +
   
kq:
3 1
x x
x
+
−
9
2 9 3 2 1
5 6 2 3
x x x
A
x x x x

− + +
= − −
− + − −
kq:
1
3
x
x
+
−
10
:
x x y y
x y
A xy
x y x y
 
+
−
= −
 ÷
 ÷
+ +
 
tuần 01/11:
Bài ON tập tổng hợp.
* Các dạng toán có sử dụng kết quả của bài toán rút gọn.
1. Tính giá trị của biểu thức sau khi rút gọn.
+ Hớng dẫn: - Nếu biếu thức đã rút gọn chứa căn, giá trị của biến chứa căn, ta biến đổi giá
trị của biến về dạng HĐT.

- Nếu giá trị của biến chứa căn ở mẫu, ta trục căn thức ở mẫu trớc khi thay vào
biểu thức.
+ Ví dụ: Tính
1
A
khi
7 4 3x = +
. ( ta biến đổi
( )
2
7 4 3 2 3+ = +
rồi hãy thay vào tính).
2. Tìm giá trị của biến để biểu thức đã rút gọn bằng một số.
+ Hớng dẫn: - Thực chất là giải PT A = a.
- Sau khi tìm x phải đối chiếu với ĐK đầu bài để KL.
+ Ví dụ: Tìm x để
4
5A =
. (Ta giải PT:
1
5
x
x

=
. ĐK:
0; 1x x>
).
3. Tìm giá trị của biến để biểu thức đã rút gọn lớn hơn, hoặc bé hơn một số ( một biểu
thức).

+ Hớng dẫn: - Thực chất là giải BPT A > a(P) ( hoặc A < a(P)).
- Sau khi tìm x phải đối chiếu với ĐK đầu bài để KL.
+ Ví dụ: Tìm x để
4
1A >
. (Ta giải BPT:
1
5
x
x

>
. ĐK:
0; 1x x>
).
4. Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức đã rút gọn nhận giá trị nguyên.
+ Hớng dẫn: - Tách phần nguyên, xét ớc.
- Sau khi tìm x phải đối chiếu với ĐK đầu bài để KL.
+ Ví dụ: Tìm giá trị nguyên của biến x để biểu thức
9
A
nhận giá trị nguyên.
( Ta có
9
1 4
1
3 3
x
A
x x

+
= =

.
9
A
nguyên


3x
là ớc của 4. Sau đó xét ớc của 4, rồi
đối chiếu với ĐK để KL).
5. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức đã rút gọn.
+ Hớng dẫn: Có thể đánh giá bằng nhiều cách, tuỳ bài toán cụ thể mà ta chọn cách nào đó
cho phù hợp.
6. So sánh biểu thức đã rút gọn với một số hoặc một biểu thức.
+ Hớng dẫn: Xét hiệu A - m
- Nếu A - m > 0 thì A > m.
- Nếu A - m < 0 thì A < m.
- Nếu A - m = 0 thì A = m.
+ Ví dụ: So sánh
4
A
với 1. ( Lập hiệu
1
1
x
x

, rồi xét xem hiệu này > 0; < 0; = 0

KL).
BAỉI TAP
Bài 1. Cho biểu thức:
1 1 3
: 1
1
x x x x x
A
x x x x x

+
=
ữ ữ
ữ ữ
+ +

kq:
1
1
x
x
+


1, Tìm ĐK XĐ của biểu thức A.
2, Rút gọn A.
3, Tính giá trị của biểu thức A khi
1

6 2 5
x =

4, Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên.
5, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A bằng -3.
6, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A nhỏ hơn -1.
7, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A lớn hơn
2
1x

+
8, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức A - 1 Max
9, So sánh A với
1x +

Bài 2. Cho biểu thức:
4 1 2
1 :
1 1
1
x x x
B
x x
x


= +
ữ
ữ

kq:
3
2
x
x


1, Tìm x để biểu thức B xác định.
2, Rút gọn B.
3, Tính giá trị của biểu thức B khi x =
11 6 2
4, Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức B nhận giá trị nguyên.
5, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức B bằng -2.
6, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức B âm.
7, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức B nhỏ hơn -2.
8, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức B lớn hơn
1x

Bài 3. Cho biểu thức:
3
3
2 1 1
1 1
1
x x x
C x
x x x
x

+ +
=
ữ
ữ
ữ
ữ
+ + +



kq:
1x

1, Biểu thức C xác định với những giá trị nào của x?
2, Rút gọn C.
3, Tính giá trị của biểu thức C khi x =
8 2 7
4, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức C bằng -3.
5, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức C lớn hơn
1
3

.
6, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức C nhỏ hơn
2 3x +
.
7, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức C nhỏ nhất.
8, So sánh C với

2
x

.
tuần 02/11:
Bài ON tập tổng hợp.
Bài 4. Cho biểu thức:
2 4 2 3
1 :
4
6 3 2
x x x x x
D
x
x x x x


=
ữ ữ
ữ ữ

+

kq:
2
3x

1, Tìm ĐK XĐ của biểu thức D.
2, Rút gọn D.
3, Tính giá trị của biểu thức D khi x =

13 48
.
4, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức D bằng 1.
5, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức D âm.
6, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức D nhỏ hơn -2 .
7, Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức D nhận giá trị nguyên.
8, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức D lớn nhất.
9, Tìm x để D nhỏ hơn
1
x
.
Bài 5. Cho biểu thức:
1 1 8 3 1
:
1 1
1 1 1
a a a a a
E
a a
a a a

+
=
ữ ữ
ữ ữ

+

kq:

1, Tìm a để biểu thức E có nghĩa.
2, Rút gọn E.
3, Tính giá trị của biểu thức E khi a =
24 8 5
4, Tìm giá trị của a để giá trị biểu thức E bằng -1.
5, Tìm giá trị của a để giá trị biểu thức E dơng.
6, Tìm giá trị của a để giá trị biểu thức E nhỏ hơn
3a +
.
7, Tìm giá trị của a để giá trị biểu thức E nhỏ nhất.
8, So sánh E với 1 .
Bài 6. Cho biểu thức:
1 1 1
4
1 1
a a
F a a
a a a

+

= +
ữ
ữ
ữ
+


kq: 4a
1, Tìm ĐK XĐ của biểu thức F.

2, Rút gọn F.
3, Tính giá trị của biểu thức F khi a =
6
2 6+
4, Tìm giá trị của a để giá trị biểu thức F bằng -1.
5, Tìm giá trị của a để giá trị biểu thức E nhỏ hơn
1a
.
6, Tìm giá trị của a để giá trị biểu thức E nhỏ nhất.
7, Tìm giá trị của a để
F F>
. (
2
1
0 0
4
F F a > < <
).
8, So sánh E với
1
a
.
Bài 7. Cho biểu thức:
2
2 2 2 1
1 2
2 1
x x x x
M
x

x x

+ +
=
ữ
ữ

+ +

kq:
x x +

1, Tìm x để M tồn tại. 2, Rút gọn M.
3, CMR nếu 0 <x < 1 thì M > 0. (
1 0; 0 0x x M > > >
)
3, Tính giá trị của biểu thức M khi x = 4/25.
4, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức M bằng -1.
5, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức M âm ; M dơng.
6, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức M lớn hơn -2 .
7, Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M nhận giá trị nguyên.
8, Tìm giá trị của x để giá trị biểu thức M lớn nhất.
9, Tìm x để M nhỏ hơn -2x ; M lớn hơn
2 x
.
10, Tìm x để M lớn hơn
2 x
.