Sáng kiến kinh nghiệm cách giải phương trình lượng giác

Nguyễn Quang Minh-THPT Buôn Hồ-Daklak-sáng kiến kinh nghiệm
LỜI MỞ ĐẦU
Trong các bài thi Đại học, Cao Đẳng hàng năm ở nước ta phần
phương trình lượng giác chiếm một phần quan trọng thường xuất hiện
như một bài toán bắt buộc trong kì thi.Ngoài ra trong các SGK hiện hành
việc giải các bài tập về phương trình lượng giác cũng gây ra không ít khó
khăn cho học sinh phổ thông hiện nay.Vì vậy để góp phần giúp các em
học sinh giải các phương trình lượng một cách có hiệu quả và nhẹ nhàng
hơn ,sau đây tôi xin đưa ra một số kinh nghiệm để phân tích các yếu tố về
góc,bậc trong phương trình lượng giác nhằm định hướng đưa đến việc
giải một phương trình lượng giác hiệu quả hơn.
I ) Phương pháp chung để giải các phương trình lượng giác:
- Người làm toán căn cứ vào mối quan hệ về bậc,góc trong
phương trình lượng giác đã cho.Bậc ở đây được hiểu là số mũ
lũy thừa của sin,cos,tan.cot trong phương trình lượng giác đó.Ví
dụ: sin2x,cos2x ta gọi là bậc hai.Mối quan hệ góc được hiểu là
tất cả các mối quan hệ sau đây:
+1:Mối quan hệ góc đối nhau,phụ nhau,bù nhau,hơn kém nhau π / 2
,khác nhau π , kπ …
+2:Mối quan hệ góc gấp đôi,gấp ba,gấp bốn,một nửa,một phần
ba,một phần bốn,…
+3 : Mối quan hệ tổng hiệu.Ví dụ trong phương trình có chứa tổng
hai góc này bằng với một góc khác,hiệu hai góc này bằng với một
góc khác,tổng hai góc này bằng tổng hai góc khác,tổng hai góc chia
hai bằng góc khác,hiệu hai góc chia hai bằng góc khác,….Khi có
quan hệ tổng hiệu ta hay sử dụng một trong ba loại công thức:tổng
thành tích,tích thành tổng hoặc công thức cộng.
Trình tự suy luận để giải một phương trình lượng giác người làm toán có
thể suy nghĩ theo cách sau:Căn cứ vào mối quan hệ bậc góc như trên để
giải bất cứ một phương trình lượng giác nào người làm toán sẽ phải làm
theo 4 hướng sau đây :

Hướng 1:Phân tích làm xuất hiện các số hạng đồng dạng theo
nguyên tắc góc giảm thì bậc tăng ,bậc giảm thì góc tăng.Dựa vào nguyên
tắc này người làm toán đưa các số hạng trong phương trình lượng giác về
các số hạng đồng dạng rồi đơn giản ,rút gọn để đưa về một trong 4
phương trình lượng cơ bản đó là các phương trình:
+1: sinu=sinv ⇔ u=v+k 2π hoặc u= π − v + k 2π .

1


Nguyễn Quang Minh-THPT Buôn Hồ-Daklak-sáng kiến kinh nghiệm
 u = v + k 2π
⇔
u = −v + k 2π
+2 :cosu=cosv
+3 : tanu=tanv ⇔ u = v + kπ .(cosv ≠ 0 )
+4 :cotu=cotv ⇔ u = v + kπ .(sinv ≠ 0 ). k∈ Z

Hướng 2: Phân tích biến đổi làm cho tất cả các góc trong phương
trình GIỐNG NHAU.Khi đó người làm toán sẽ đưa phương trình về một
trong các dạng thường gặp trong Sách giáo khoa,đó là một trong 4 dạng
sau đây:
Dạng 1: Phương trình bậc nhất đối với sin α ( x), cos α ( x) : a.sin
α ( x ) + b.cos α ( x ) = c
Dạng 2: Phương trình chứa một hàm số lượng giác.Phương trình này hiểu
theo nghĩa là sau khi biến đổi đưa về trong phương trình đó chỉ chứa một
hàm số lượng giác :sinx hoặc cosx hoặc tanx hoặc cotx.Các góc có thể là
α ( x ) .Có thể chứa cả phép tính căn thức,phân thức,giá trị tuyệt đối ….
Ví dụ: 2sin3x-3sin2x+4sinx-3=0;
tan 2 x + 3 tan x − 4 = 2 tan x + 8 ;

2 cos x − 1 = 4 cos 2 x − 1

,…
Dạng 3:Phương trình đẳng cấp bậc hai,bậc ba đối với sinx,cosx.Đó là các
phương trình có một trong các dạng sau:
asin2x+bsinxcosx+ccos2x=d.( a,b,c,d ∈ R)
asin3x+bsin2xcosx+csinxcos2x+dcos3x=0 .( a,b,c,d ∈ R)
asin3x+bsin2xcosx+csinxcos2x+dcos3x+esinx+fcosx=0.
( a,b,c,d,e,f ∈ R)
Các góc có thể là α ( x) .
Dạng 4: Phương trình đối xứng đối với hai hàm số lượng giác như
:sinx,cosx hoặc tanx,cotx.Phương trình phản đối xứng đối với
sinx,cosx.Phương trình đối xứng đối với sinx,cosx được hiểu trong
phương trình đó nếu thay sinx bỡi cosx,thay cosx bỡi sinx thì phương trình
không thay đổi.Tương tự cho phương trình đối xứng đối với tanx,cotx mà
các dạng đơn giản đưa ra trong SGK là:
a(sinx+cosx)+bsinxcosx+c=0
a(sinx-cosx)+bsinxcosx+c=0 (phản đối xứng)
a(tanx+cotx)+b(tan2x+cot2x)+c(tan3x+cot3x)=d.
Nếu đã biến đổi đưa về tất cả các góc giống nhau nhưng không có
4 dạng thường gặp nói trên,hoặc không thể biến đổi để làm cho tất cả
các góc giống nhau ta thường sử dụng hướng 3 sau đây:
Hướng 3: Làm cho một phần số hạng trong phương trình giống nhau để
2


Nguyễn Quang Minh-THPT Buôn Hồ-Daklak-sáng kiến kinh nghiệm
đưa về dạng tích.Tức là nhóm thành :tích các số hạng bằng không trong
đó mỗi số hạng sẽ là dạng cơ bản hoặc dạng thường gặp nói trên.
Trong trường hợp gặp những phương trình quá phức tạp như

phương trình chứa nhiều số hạng mà các hàm số lượng giác chứa nhiều
loại góc không có mối quan hệ đặc biệt như các quan hệ nói trên hoặc
bậc trong phương trình quá lớn ta sử dụng hướng 4 sau đây:
Hướng 4: Giải phương trình bằng phương pháp bất đẳng thức.Để giải
một phương trình chứa căn thức,chứa giá trị tuyệt đối hay phương trình
lượng giác hoặc phương trình mũ,logarít bằng phương pháp bất đẳng
thức đều thường chỉ sử dụng một trong 3 cách mà ta sẽ trình bày sau đây
là đủ để giải nó.
Giả sử ta cần giải phương trình: f(x)=g(x) (1) có tập xác định là D
 f ( x) ≤ k , ∀x ∈ D

Cách 1:Ta chứng minh :  g ( x) ≥ k , ∀x ∈ D

Khi đó để phương trình

 f ( x) = k

(1) có nghiệm thì:  g ( x) = k .Ta giải hệ này thì được nghiệm của phương

trình (1).
 f ( x ) ≤ g ( x)(2), ∀x ∈ D

Cách 2: Ta chứng minh:  f ( x) ≥ g ( x)(3), ∀x ∈ D
Khi đó để phương
trình (1) có nghiệm thì ta chỉ cần tìm x ∈ D để dấu bằng ở (2) hoặc (3)

xảy ra thì những giá trị x đó là nghiệm của phương trình (1).
Cách 3: Ta biến đổi (1) về dạng:
A(x)+B(x)+C(x)+….+Z(x)=0 sao cho trong đó :
 A( x) ≥ 0; B ( x) ≥ 0; C ( x) ≥ 0;...Z ( x) ≥ 0

 A( x) ≤ 0; B ( x) ≤ 0; C ( x) ≤ 0;...Z ( x) ≤ 0

 A( x) = 0
 B ( x) = 0

⇔  C ( x) = 0
...............

Khi đó phương trình (1)  Z ( x) = 0

II ) Minh họa cho các phương pháp và hướng giải trên:
A.Những bài toán giải phương trình lượng giác bằng phương pháp
dùng hướng 1,2,3:
Để minh chứng cho bốn hướng giải phương trình lượng giác nói

3


Nguyễn Quang Minh-THPT Buôn Hồ-Daklak-sáng kiến kinh nghiệm
trên,ta sẽ lần lượt đưa ra các ví dụ và phân tích nó để minh hoạ ,việc giải
một phương trình có thành công hay không phụ thuợc rất nhiều vào sự
phân tích để tìm hướng giải nó.
*Ví dụ 1: Tìm x thuộc đoạn [0;14] nghiệm đúng phương trình :
cos3x-4cos2x+3cosx-4=0 (1)
( Đề thi tuyển sinh Đại Học,Cao Đẳng năm 2002-khối D)
ố 1-Phân tích: Xét mối quan hệ về góc : trong phương trình có chứa 3
loại góc:x,2x,3x.
ạ 2- Giải:Có quan hệ góc gấp đôi,gấp ba .Vì vậy ta dùng các công
thức nhân đôi,nhân ba đưa về tất cả góc GIỐNG NHAU là góc
x.Và vì hàm bậc nhất đối với biến x là cosx nên ta đưa về phương

trình chỉ chứa môt hàm số lượng giác là cosx.Ap dụng các công thức
: cos2x=2cos2x-1;cos3x=4cos3x-3cosx ta được kết quả sau:
(1) ⇔ 4cos3x-3cosx –4(2cos2x-1)+3cosx-4=0
⇔ 4cos3x-8cos2x=0
⇔ 4cos2x(cosx-2)=0
⇔ cosx=0 ⇔ x=k2 π .Vì x ∈ [0;14] nên chọn được k=0,1,2.
Kết luậc các nghiệm x phải tìm là :x=0;x=2 π ;x=4 π .
*Ví dụ2: Giải phương trình: cos23x.cos2x-cos2x=0. (2)
( Đề thi tuyển sinh Đại Học,Cao Đẳng năm 2005-khối
A)
1-Phân tích: Trong phương trình đã cho chứa các góc x,2x,3x có
quan hệ góc gấp đôi,gấp ba và chứa các lũy thừa bậc 2.
Hướng 1: Nếu đưa tất cả các góc trong phương trình đã cho về các
góc giống nhau là góc x thì từ góc 3x về góc x bậc sẽ tăng lên bậc 3 mà
lũy thừa của cos3x là bậc 2 thì khi đưa cos23x về góc x thì bậc sẽ tăng lên
bậc 6 nghĩa là bậc quá cao.
Hướng 2: Theo hướng thứ nhất thì bậc của phương trình nếu đưa tất
cả các góc về góc x thì bậc sẽ lên bậc 6.Vì lý do cần giảm bậc ta sẽ tăng
góc để giảm bậc ta sẽ đưa về tất cả góc giống nhau là góc 2x để giảm từ
bậc 6 xuống còn bậc 3.
Ta dùng các công thức sau:
cos 2 3 x =

1 + cos 6 x 1 + 4 cos3 2 x − 3cos 2 x
=
2
2

* Giải:

1 + cos 2 x
2
cos2x=

1 + 4 cos3 2 x − 3cos 2 x
1 + cos 2 x
2
2
(2) ⇔ (
)cos2x=0
⇔ 4cos4(2x)-3cos2(2x)-1=0

4


Nguyễn Quang Minh-THPT Buôn Hồ-Daklak-sáng kiến kinh nghiệm

⇔

*Ví dụ3:

 cos 2 2 x = 1
 2
cos 2 x = −1/ 4

kπ
⇔ cos22x=1
⇔ cos2x= ±1 ⇔ 2x=k π ⇔ x= 2 (k ∈ Z )
π
π 3

Giải phương trình:cos4x+sin4x+cos(x- 4 )sin(3x- 4 )- 2 =0 (3)

( Đề thi tuyển sinh Đại Học,Cao Đẳng năm 2005-khối

D)

π
π
1-Phân tích: Trong phương trình đã cho chứa các góc x, (x- 4 ),(3x- 4 )

và chứa các lũy thừa bậc 4 của biến x.Để tạo sự đồng dạng giữa các góc
ta nhận thấy:Tổng 2 góc:

π
π
π
(x- 4 ),(3x- 4 ) là 4x- 2 mà góc này có quan hệ với góc 4x bỡi quan hệ hơn
π
π
π
kém nhau 2 .Hiệu các góc:(x- 4 ),(3x- 4 ) là 2x hoặc –2x.vì vậy suy nghĩ
π
của chúng ta là dùng công thức tích thành tổng để biến đổi nhóm :cos(x- 4
π
)sin(3x- 4 ) đưa về hàm số lượng gíc của các góc 4x,2x.Sau đó trong nhóm:

cos4x+sin4x ta dùng công thức hạ bậc để đưa về góc 2x.Đồng thời trong
nhóm chứa góc 4x ta dùng công thức nhân đôi để đưa về góc 2x vậy ta
dùng phương pháp đưa về tất cả các góc giống nhau là 2x.
Giải:

π
3
(3) ⇔ (sin2x+cos2x)2-2sin2xcos2x+1/2(sin(4x- 2 )+sin 2x)- 2 =0.
3
(3) ⇔ 1-2(sinxcosx)2+1/2[-cos(4x)+sin 2x]- 2 =0.
1
1
3
(sin 2 x )]2
⇔ 1-2[ 2
+ 2 [-(1-2sin2(2x))+sin2x]- 2 =0
1
1
3
(sin 2 2 x)
⇔ 1- 2
+ 2 [-(1-2sin2(2x))+sin2x]- 2 =0
2
⇔ 2- (sin 2 x) +[-(1-2sin2(2x))+sin2x]-3=0

⇔ sin2(2x)+sin2x-2=0

 sin 2 x = 1

⇔ sin 2 x = −2

5

⇔ sin2x=1

⇔ 2x=


Nguyễn Quang Minh-THPT Buôn Hồ-Daklak-sáng kiến kinh nghiệm
π
π
+ k 2π ⇔ x = + kπ ; k ∈ Z
2
4
.

*Ví dụ 4:

Giải phương trình:1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0 (4)
( Đề thi tuyển sinh Đại Học,Cao Đẳng năm 2005-khối

B).
1-Phân tích: Trong phương trình đã cho chứa các góc x, 2x và chứa các
lũy thừa bậc 1 của biến x,biến 2x.Hướng suy nghĩ thứ nhất ta đưa tất cả
các góc trong phương trình đã cho về góc x bằng cách sử dụng công thức
sin2x=2sinxcosx và công thức cos2x=cos2x-sin2x=2cos2x-1=1-2sin2x.Khi đó
ta đưa về tất cả các góc trong phương trình giống nhau,cụ thể khi đó (4)
⇔ 1+sinx+cosx+2sinxcosx+cos2x-sin2x=0
hoặc:
1+sinx+cosx+2sinxcosx+2cos2x-1=0
hoặc:
1+sinx+cosx+2sinxcosx+1-2sin2x=0. Ta thấy
3 phương trình trên đều không có 1 trong 4 dạng thường gặp là : phương
trình bậc nhất theo sin α ( x), cos α ( x) ;phương trình đối với một hàm số
lượng giác,phương trình đẳng cấp hoặc phương trình đối xứng (hoặc

phản đối xứng).Vì vậy ta biến đổi đưa phương trình đã cho về dạng
tích.,Để ý trong phương trình (4) có chứa 2 số hạng đồng dạng
là:sinx+cosx và cos2x=cos2x-sin2x=(cosx-sinx)(cosx+sinx);Vì vậy ta biến
đổi nhóm 1+2sinxcosx=sin2x+cos2x+2sinxcosx=(sinx+cosx)2.
Giải: (4) ⇔ (sinx+cosx)+(sinx+cosx)2+(cosx-sinx)
(cosx+sinx)=0
⇔
(sinx+cosx)[1+sinx+cosx+cosx-sinx]=0
π

 2 cos( x − 4 ) = 0

sin x + cos x = 0
 cos x = − 1
 2 cos x + 1 = 0
2
⇔
⇔ 
⇔

 π π
 x − 4 = 2 + kπ ; k ∈ Z

 x = ± 2π + k 2π ; k ∈ Z

3

3π

 x = 4 + kπ ; k ∈ Z


 x = ± 2π + k 2π ; k ∈ Z
3
⇔ 
.

*Ví dụ 5:

Giải phương trình:2sin22x+sin7x-1=sinx (5)
6


Nguyễn Quang Minh-THPT Buôn Hồ-Daklak-sáng kiến kinh nghiệm
( Đề thi tuyển sinh Đại Học,Cao Đẳng năm 2007-khối
B).
1-Phân tích: Trong phương trình đã cho chứa các góc x, 2x ,7x và
chứa các lũy thừa cao nhất là lũy thừa bậc 2 của biến sin2x.Nếu giải
quyết phương trình theo hướng đưa về tất cả các góc trong phương trình
giống nhau thì ta phải đưa về góc x vì số hạng chứa sinx là bậc nhất và
tối giản và như vậy với góc lớn nhất trong phương trình là 7x nên nếu
đưa về góc x thì ta sẽ đi đến phương trình bậc 7, bậc này quá cao.Mặt
khác hiện thời 3 góc tham gia trong phương trình là:x,2x,7x tạm thời chưa
thấy có mối quan hệ đặc biệt gì.Ta tìm mối quan hệ qua trung gian như
sau: cụ thể nếu ta sử dụng công thức hạ bậc để đưa góc 2x về thành 4x
(7 x + x)
= 4x
và nhận xét rằng: 2
.Như đã nói trong phần đầu vì các góc trong

đề bài có dạng tổng ,hiệu nên ta sẽ sử dụng một trong 3 công thức: công

thức biến đổi tổng thành tích,biến đổi tích thành tổng hoặc công thức
cộng.Nhưng đề bài đang cho ở dạng tổng nên ta sẽ sử dụng công thức
tổng thành thành tích như vậy sau khi biến đổi ta làm xuất hiện một phần
góc trong phương trình giống nhau là góc 4x vậy ta sẽ đưa phương trình
về dạng tích.
Giải: (5) ⇔ (1-cos4x)+sin7x-1=sinx ⇔ sin7x-sinx-cos4x=0
⇔ 2cos4xsin3x-cos4x=0
⇔ cos4x(2sin3x1)=0

cos 4 x = 0

sin 3 x = 1
2
⇔

*Ví dụ 6:

⇔

π

 4 x = 2 + kπ ; k ∈ Z

 3x = π + k 2π ; k ∈ Z

6

3 x = 5π + k 2π ; k ∈ Z
6


π
π

 x = 8 + k 4 ;k ∈Z

 x = π + k 2π ; k ∈ Z

18
3

 x = 5π + k 2π ; k ∈ Z
18
3
⇔ 
3
2
2
Giải phương trình: sin3x- 3 cos x = sin x cos x − 3 sin x cos x (6)

( Đề thi tuyển sinh Đại Học,Cao Đẳng năm 2008-khối

B).
7