Bài tập đại số lớp 10

Lượng giác

Trần Sĩ Tùng

cos α = x = OH
sin α = y = OK
sin α
tan α =
= AT
cos α
cos α
cot α =
= BS
sin α

sin

I. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác
1. Định nghĩa các giá trị lượng giác
Cho (OA, OM ) = α . Giả sử M ( x; y ) .

tang

CHƯƠNG VI
VI
CHƯƠNG
GÓC –– CUNG
CUNG LƯỢNG
LƯỢNG GIÁC
GIÁC
GÓC

CÔNG THỨC
THỨC LƯỢNG
LƯỢNG GIÁC
GIÁC
CÔNG

B

K



π
 α ≠ + kπ ÷

2


cotang

S
M
α

O

( α ≠ kπ )

T

H

A

cosin

Nhận xét:
• ∀α , − 1 ≤ cos α ≤ 1; − 1 ≤ sin α ≤ 1
• tanα xác định khi α ≠

π
+ kπ , k ∈ Z
2

• cotα xác định khi α ≠ kπ , k ∈ Z

• sin(α + k 2π ) = sin α

• tan(α + kπ ) = tan α

cos(α + k 2π ) = cos α

cot(α + kπ ) = cot α

2. Dấu của các giá trị lượng giác
Phần tư
Giá trị lượng giác
cosα
sinα
tanα

cotα

I

II

III

IV

+
+
+
+

–
+
–
–

–
–
+
+

+
–
–
–

3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
0
00

π
6
300

π
4

π
3

π
2

2π
3

3π
4

π

3π
2

2π

450

600

900

1200

1350

1800

2700

3600

3
2

2
2

0

–1

0

–1

0

1

sin

0

1
2

2
2

3
2

1

cos

1

3
2

2
2

1

2

0

tan

0

3
3

1

3

3

1

3
3

cot

0

Trang 56

−

1
2

−

2
2

− 3

–1

3
3

–1

−

0

0
0


Lượng giác

Trần Sĩ Tùng

4. Hệ thức cơ bản:

sin 2α + cos2α = 1 ;

tanα .cotα = 1 ;

1 + tan 2 α =

1

cos2 α
5. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
Góc đối nhau

Góc bù nhau

cos(−α ) = cos α

sin(π − α ) = sin α

sin(−α ) = − sin α

cos(π − α ) = − cos α

tan(−α ) = − tan α

tan(π − α ) = − tan α

cot(−α ) = − cot α

cot(π − α ) = − cot α

Góc hơn kém π

; 1 + cot 2 α =

1
sin2 α

Góc phụ nhau
π

sin  − α ÷ = cos α
2

π

cos  − α ÷ = sin α
2

π

tan  − α ÷ = cot α
2

π

cot  − α ÷ = tan α
2


Góc hơn kém

π
2

sin(π + α ) = − sin α

π

sin  + α ÷ = cos α
2


cos(π + α ) = − cos α

π

cos  + α ÷ = − sin α
2


tan(π + α ) = tan α

π

tan  + α ÷ = − cot α
2


cot(π + α ) = cot α

π

cot  + α ÷ = − tan α
2


II. Công thức lượng giác
1. Công thức cộng
sin(a + b) = sin a.cos b + sin b.cos a
sin(a − b) = sin a.cos b − sin b.cos a
cos(a + b) = cos a.cos b − sin a.sin b
cos(a − b) = cos a.cos b + sin a.sin b
Hệ quả:

tan a + tan b
1 − tan a.tan b
tan a − tan b
tan(a − b) =
1 + tan a.tan b
tan(a + b) =

π
 1 + tan α
tan  + α ÷ =
,
4
 1 − tan α

π
 1 − tan α

tan  − α ÷ =
4
 1 + tan α

2. Công thức nhân đôi
sin 2α = 2sin α .cos α
cos 2α = cos2 α − sin 2 α = 2 cos2 α − 1 = 1 − 2sin 2 α
tan 2α =

2 tan α
1 − tan 2 α

;
Trang 57

cot 2α =

cot 2 α − 1
2 cot α


Trần Sĩ Tùng

Lượng giác
Công thức hạ bậc

Công thức nhân ba (*)

1 − cos2α
2

1 + cos 2α
2
cos α =
2
1 − cos 2α
2
tan α =
1 + cos 2α

sin 3α = 3sin α − 4sin3 α
cos3α = 4 cos3 α − 3cos α
3tan α − tan3 α
tan 3α =
1 − 3tan 2 α

sin2 α =

3. Công thức biến đổi tổng thành tích
sin(a + b)
cos a.cos b
sin(a − b)
tan a − tan b =
cos a.cos b
sin(a + b)
cot a + cot b =
sin a.sin b
sin(b − a)
cot a − cot b =
sin a.sin b

a+b
a−b
.cos
2
2
a+b
a−b
cos a − cos b = − 2sin
.sin
2
2
a+b
a−b
sin a + sin b = 2sin
.cos
2
2
a+b
a−b
sin a − sin b = 2 cos
.sin
2
2
cos a + cos b = 2 cos

tan a + tan b =



π

π
sin α + cos α = 2.sin  α + ÷ = 2.cos  α − ÷
4
4




π
π
sin α − cosα = 2 sin  α − ÷ = − 2 cos  α + ÷

4

4
4. Công thức biến đổi tích thành tổng

Trang 58


Lượng giác

Trần Sĩ Tùng

VẤN ĐỀ 1: Dấu của các giá trị lượng giác
Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm nhọn
của cung (tia cuối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các GTLG.
Bài 1. Xác định dấu của các biểu thức sau:

21π

7
 2π 
3π
4π
π
4π
9π
.sin  −
c) C = cot
d) D = cos
.sin .tan
.cot
÷
5
 3 
5
3
3
5
Bài 2. Cho 0 0 < α < 900 . Xét dấu của các biểu thức sau:
a) A = sin 500.cos(−300 0 )

b) B = sin 2150.tan

a) A = sin(α + 900 )

b) B = cos(α − 450 )

c) C = cos(2700 − α )

d) D = cos(2α + 900 )

π
. Xét dấu của các biểu thức sau:
2
a) A = cos(α + π )
b) B = tan(α − π )


2π 
3π 
c) C = sin  α +
d) D = cos  α −
÷
÷

5 

8 
Bài 4. Cho tam giác ABC. Xét dấu của các biểu thức sau:
a) A = sin A + sin B + sin C
b) B = sin A.sin B.sin C
A
B
C
A
B
C
c) C = cos .cos .cos
d) D = tan + tan + tan

2
2
2
2
2
2
Bài 3. Cho 0 < α <

Bài 5.

a)

VẤN ĐỀ 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung)
Ta sử dụng các hệ thức liên quan giữa các giá trị lượng giác của một góc, để từ giá trị
lượng giác đã biết suy ra các giá trị lượng giác chưa biết.
I. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại
1. Cho biết sinα , tính cosα , tanα , cotα

• Từ sin 2 α + cos2 α = 1 ⇒ cos α = ± 1 − sin2 α .
– Nếu α thuộc góc phần tư I hoặc IV thì cos α = 1 − sin 2 α .
– Nếu α thuộc góc phần tư II hoặc III thì cos α = − 1 − sin2 α .
sin α
1
• Tính tan α =
; cot α =
.
cos α
tan α
2. Cho biết cosα , tính sinα , tanα , cotα

• Từ sin 2 α + cos2 α = 1 ⇒ sin α = ± 1 − cos2 α .
– Nếu α thuộc góc phần tư I hoặc II thì sin α = 1 − cos2 α .
– Nếu α thuộc góc phần tư III hoặc IV thì sin α = − 1 − cos2 α .
sin α
1
• Tính tan α =
; cot α =
.
cos α
tan α
Trang 59


Trần Sĩ Tùng

Lượng giác

3. Cho biết tanα , tính sinα , cosα , cotα
1
• Tính cot α =
.
tan α
1
1
= 1 + tan2 α ⇒ cos α = ±
• Từ
.
cos2 α
1 + tan 2 α
– Nếu α thuộc góc phần tư I hoặc IV thì cos α =

1

.
1 + tan2 α
1
– Nếu α thuộc góc phần tư II hoặc III thì cos α = −
.
1 + tan 2 α
• Tính sin α = tan α .cos α .
4. Cho biết cotα , tính sinα , cosα , tanα
1
• Tính tan α =
.
cot α
1
1
= 1 + cot 2 α ⇒ sin α = ±
• Từ
.
sin 2 α
1 + cot 2 α
1
– Nếu α thuộc góc phần tư I hoặc II thì sin α =
.
1 + cot 2 α
1
– Nếu α thuộc góc phần tư III hoặc IV thì sin α = −
.
1 + cot 2 α

II. Cho biết một giá trị lượng giác, tính giá trị của một biểu thức
• Cách 1: Từ GTLG đã biết, tính các GTLG có trong biểu thức, rồi thay vào biểu thức.
• Cách 2: Biến đổi biểu thức cần tính theo GTLG đã biết
III. Tính giá trị một biểu thức lượng giác khi biết tổng – hiệu các GTLG
Ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi:
A2 + B2 = ( A + B)2 − 2 AB

A4 + B 4 = ( A2 + B 2 )2 − 2 A2 B 2

A3 + B3 = ( A + B)( A2 − AB + B 2 )
A3 − B3 = ( A − B)( A2 + AB + B2 )
IV. Tính giá trị của biểu thức bằng cách giải phương trình
• Đặt t = sin 2 x , 0 ≤ t ≤ 1 ⇒ cos2 x = t . Thế vào giả thiết, tìm được t.
Biểu diễn biểu thức cần tính theo t và thay giá trị của t vào để tính.
• Thiết lập phương trình bậc hai: t 2 − St + P = 0 với S = x + y; P = xy . Từ đó tìm x, y.
Bài 1. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại, với:

4
, 2700 < a < 3600
5
5 π
c) sin a = , < a < π
13 2
3π
e) tan a = 3, π < a <
2
a) cos a =

b) cos α =

2

,−

π
<α < 0
2

5
1
d) sin α = − , 1800 < α < 2700
3
π
f) tan α = −2, < α < π
2
3π
g) cot150 = 2 + 3
h) cot α = 3, π < α <
2
Bài 2. Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức, với:
Trang 60


Lượng giác

Trần Sĩ Tùng

cot a + tan a
3
π

khi sin a = , 0 < a <
cot a − tan a
5
2
2
8 tan a + 3cot a − 1
1
b) B =
khi sin a = , 90 0 < a < 180 0
tan a + cot a
3

25
7
8
ĐS:
3

a) A =

c) C =
d)
e)
g)
h)
Bài 3.

a)

sin 2 a + 2sin a.cos a − 2 cos2 a

2

2

ĐS:

khi cot a = −3

2sin a − 3sin a.cos a + 4 cos a
sin a + 5cos a
D=
khi tan a = 2
sin3 a − 2 cos3 a
8cos3 a − 2sin3 a + cos a
E=
khi tan a = 2
2 cos a − sin3 a
cot a + 3tan a
2
G=
khi cos a = −
2 cot a + tan a
3
sin a + cos a
H=
khi tan a = 5
cos a − sin a
5
Cho sin a + cos a = . Tính giá trị các biểu thức sau:
4

A = sin a.cos a
b) B = sin a − cos a c) C = sin3 a − cos3 a

ĐS: −
ĐS:

23
47

55
6

3
2
19
ĐS:
13
3
ĐS: −
2
ĐS: −

9
7
41 7
b) ±
c) ±
32
4
128

Bài 4. Cho tan a − cot a = 3 . Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = tan2 a + cot 2 a
b) B = tan a + cot a c) C = tan 4 a − cot 4 a
ĐS: a)

ĐS: a) 11

b) ± 13

c) ±33 13

Bài 5.

3
. Tính A = sin 4 x + 3cos4 x .
4
1
b) Cho 3sin 4 x − cos4 x = . Tính B = sin 4 x + 3cos4 x .
2
7
c) Cho 4sin 4 x + 3cos4 x = . Tính C = 3sin 4 x + 4 cos4 x .
4
a) Cho 3sin 4 x + cos4 x =

ĐS: A =

7
4

ĐS: B = 1

ĐS: C =

7
57
∨C=
4
28

Bài 6.

1
. Tính sin x , cos x , tan x, cot x .
5
b) Cho tan x + cot x = 4 . Tính sin x , cos x , tan x, cot x .
a) Cho sin x + cos x =

ĐS: a)

4 3 4
3
;− ;− ;−
5 5 3
4

b)

1
2 2− 3

;

2− 3
; 2 + 3; 2 − 3
2

hoặc 2 − 3; 2 + 3;
Bài 7.

a)

Trang 61

2− 3
1
;
2
2 2− 3


Trần Sĩ Tùng

Lượng giác

VẤN ĐỀ 3: Tính giá trị lượng giác của biểu thức bằng các cung liên kết
Sử dụng công thức các góc (cung) có liên quan đặc biệt (cung liên kết).
Bài 1. Tính các GTLG của các góc sau:

a) 1200 ; 1350 ; 1500 ; 210 0 ; 2250 ; 240 0 ; 300 0 ; 3150 ; 330 0 ; 390 0 ; 4200 ; 4950 ; 25500
7π 13π
5π 10π

5π 11π
16π 13π 29π
31π
;
;−
;
;−
;
;−
;
;
;−
2
4
4
3
3
3
3
6
6
4
Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau:
π

a) A = cos  + x ÷+ cos(2π − x ) + cos(3π + x )
2

 7π


 3π

− x ÷+ cot 
− x÷
b) B = 2 cos x − 3cos(π − x ) + 5sin 
 2

 2

π

 3π

π

+ x ÷+ cos  + x ÷
c) C = 2sin  + x ÷+ sin(5π − x ) + sin 
2

 2

2

 3π

 3π

+ x ÷+ tan 
− x ÷+ cot(3π − x )
d) D = cos(5π − x ) − sin 

 2

 2

Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau:
sin(−3280 ).sin 9580 cos(−5080 ).cos(−1022 0 )
−
a) A =
ĐS: A = –1
cot 5720
tan(−2120 )
b) 9π ; 11π ;

b) B =

sin(−2340 ) − cos 2160
0

sin144 − cos126

0

.tan 36 0

ĐS: B = −1

c) C = cos 200 + cos 400 + cos 60 0 + ... + cos160 0 + cos180 0
d) D = cos2 100 + cos2 200 + cos2 30 0 + ... + cos2 180 0
e) E = sin 20 0 + sin 40 0 + sin 60 0 + ... + sin 340 0 + sin 360 0

f) 2sin(790 0 + x ) + cos(12600 − x ) + tan(6300 + x ).tan(1260 0 − x )

ĐS: C = −1
ĐS: D = 9
ĐS: E = 0
ĐS: F = 1 + cos x

Bài 4.

a)

VẤN ĐỀ 4: Rút gọn biểu thức lượng giác – Chứng minh đẳng thức lượng giác
Sử dụng các hệ thức cơ bản, công thức lượng giác để biến đổi biểu thức lượng giác.
Trong khi biến đổi biểu thức, ta thường sử dụng các hằng đẳng thức.
Chú ý: Nếu là biểu thức lượng giác đối với các góc A, B, C trong tam giác ABC thì:
A B C π
A + B + C = π và
+ + =
2 2 2 2
Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) sin 4 x − cos4 x = 1 − 2 cos2 x
b) sin 4 x + cos4 x = 1 − 2 cos2 x.sin 2 x
c) sin 6 x + cos6 x = 1 − 3sin 2 x.cos2 x
Trang 62


Lượng giác

Trần Sĩ Tùng

d) sin8 x + cos8 x = 1 − 4sin 2 x.cos2 x + 2sin 4 x.cos4 x
e) cot 2 x − cos2 x = cos2 x.cot 2 x
f) tan 2 x − sin 2 x = tan 2 x.sin2 x
g) 1 + sin x + cos x + tan x = (1 + cos x )(1 + tan x )
h) sin 2 x.tan x + cos2 x.cot x + 2sin x.cos x = tan x + cot x
sin x + cos x − 1
2 cos x
=
1 − cos x
sin x − cos x + 1
2
1 + sin x
k)
= 1 + tan2 x
2
1 − sin x
Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau:
tan a + tan b
a) tan a.tan b =
cot a + cot b
i)

sin 2 a
cos2 a
−
= sin a.cos a
1 + cot a 1 + tan a
1 + cos a  (1 − cos a)2 
e)

1 −
 = 2 cot a
sin a 
sin2 a 
c) 1 −

sin a
cos a
1 + cot 2 a
−
=
sin a − cos a cos a − sin a 1 − cot 2 a
sin 2 a
sin a + cos a
d)
−
= sin a + cos a
sin a − cos a
tan2 a − 1
b)

f)

tan 2 a
1 + tan2 a

.

1 + cot 2 a
cot 2 a

=

1 + tan 4 a
tan 2 a + cot 2 a

2



tan2 a − tan2 b sin2 a − sin 2 b
g)  1 + sin a − 1 − sin a ÷ = 4 tan 2 a h)
=
2
2
tan
a
.tan
b
sin 2 a.sin 2 b
1
−
sin
a
1
+
sin
a



i)

sin2 a − tan 2 a
cos2 a − cot 2 a

= tan 6 a

k)

tan3 a
sin2 a

−

1
cot 3 a
+
= tan3 a + cot 3 a
2
sin a.cos a cos a

sin8 x cos8 x
1
sin 4 x cos4 a
1
+
=
Bài 3. Cho
.
+

=
, vôùi a, b > 0. Chứng minh:
3
3
a
b
a+b
a
b
(a + b)3
Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:
a) (1 − sin 2 x ) cot 2 x + 1 − cot 2 x
b) (tan x + cot x )2 − (tan x − cot x )2
c)
e)
g)
i)
Bài 5.

a)

cos2 x + cos2 x.cot 2 x
2

2

2

sin x + sin x.tan x
sin 2 x − tan 2 x

cos2 a − cot 2 x

d) ( x.sin a − y.cos a)2 + ( x.cos a + y.sin a)2
f)

sin 2 x − cos2 x + cos4 x

cos2 x − sin2 x + sin 4 x
1 + cos x
1 − cos x
−
; x ∈ (0, π )
sin 2 x (1 + cot x ) + cos2 x(1 + tan x ) h)
1 − cos x
1 + cos x
 π 3π 
 π π
1 + sin x
1 − sin x
2
2
+
; x ∈ − ; ÷ k) cos x − tan x − sin x ; x ∈ ; ÷
2 2 
1 − sin x
1 + sin x
 2 2
Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x:
ĐS: 1
3(sin 4 x + cos4 x ) − 2(sin 6 x + cos6 x )

b) 3(sin8 x − cos8 x ) + 4(cos6 x − 2sin 6 x ) + 6sin 4 x

ĐS: 1

c) (sin 4 x + cos4 x − 1)(tan2 x + cot 2 x + 2)

ĐS: –2

d) cos2 x.cot 2 x + 3cos2 x − cot 2 x + 2 sin 2 x

ĐS: 2

e)

ĐS:

sin 4 x + 3cos4 x − 1

6

6

4

sin x + cos x + 3cos x − 1
Trang 63

2
3

Trần Sĩ Tùng
f)
g)

Lượng giác

tan2 x − cos2 x

+

cot 2 x − sin2 x

sin 2 x
sin 6 x + cos6 x − 1
4

ĐS: 2

cos2 x

ĐS:

4

sin x + cos x − 1

Bài 6. Cho tam giác ABC. Chứng minh:

a) sin B = sin( A + C )
A+B
C
c) sin
= cos
2
2

b) cos( A + B) = − cos C

e) cos( A + B − C ) = − cos 2C

f) cos

g) sin

A + B + 3C
= cos C
2

3
2

d) cos( B − C ) = − cos( A + 2C )
−3 A + B + C
= − sin 2 A
2
A + B − 2C
3C
h) tan

= cot
2
2

Bài 7.

a)

VẤN ĐỀ 5: Công thức cộng
sin(a + b) = sin a.cos b + sin b.cos a
tan a + tan b
tan(
a
+
b
)
=
sin(a − b) = sin a.cos b − sin b.cos a
1 − tan a.tan b
cos(a + b) = cos a.cos b − sin a.sin b
tan a − tan b
tan(a − b) =
cos(a − b) = cos a.cos b + sin a.sin b
1 + tan a.tan b
Hệ quả:

π
 1 + tan α
tan  + α ÷ =
,

4
 1 − tan α

π
 1 − tan α
tan  − α ÷ =
4
 1 + tan α

Bài 1. Tính các giá trị lượng giác của các góc sau:

π 5π 7π
;
;
12 12 12
Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:

π
3 π
38 − 25 3
tan  α + ÷ khi sin α = , < α < π
ĐS:

3
5 2
11
π

12 3π
(5 − 12 3)

cos  − α ÷ khi sin α = − ,
< α < 2π
ĐS:
3

13 2
26
1
1
119
ĐS: −
cos(a + b).cos(a − b) khi cos a = , cos b =
3
4
144
8
5
sin(a − b), cos(a + b), tan(a + b) khi sin a = , tan b =
và a, b là các góc nhọn.
17
12
21 140
21
ĐS:
;
;
.
221 221 220
π
π

tan a + tan b, tan a, tan b khi 0 < a, b < , a + b =
và tan a.tan b = 3 − 2 2 . Từ đó
2
4

a) 150 ; 750 ; 1050
Bài 2.

a)
b)
c)
d)

e)

b)

Trang 64


Lượng giác

Trần Sĩ Tùng
ĐS: 2 2 − 2 ; tan a = tan b = 2 − 1, a = b =

suy ra a, b .

π
8

Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau:

a) A = sin 2 20o + sin 2 100o + sin2 140o
b) B = cos2 10o + cos110o + cos2 130o
c) C = tan 20o.tan 80o + tan 80o.tan140o + tan140o.tan 20o
d) D = tan10o.tan 70o + tan 70o.tan130o + tan130 o.tan190o
e) E =

cot 225o − cot 79o.cot 71o

3

ĐS: −

1 − tan15o
1 + tan15

ĐS: –3
ĐS:

cot 259o + cot 251o

f) F = cos2 75o − sin2 75o
g) G =

3
2
3
ĐS:
2

ĐS: –3
ĐS:

ĐS:

0

3
2

3
3

h) H = tan150 + cot150
ĐS: 4
HD: 40 0 = 600 − 20 0 ; 800 = 60 0 + 200 ; 50 0 = 600 − 100 ; 70 0 = 600 + 100
Bài 4. Chứng minh các hệ thức sau:
a) sin( x + y ).sin( x − y ) = sin 2 x − sin 2 y
2sin( x + y )
cos( x + y ) + cos( x − y )




π
π
2π 
2π 
c) tan x.tan  x + ÷+ tan  x + ÷.tan  x +
÷+ tan  x +

÷.tan x = − 3

3

3

3 

3 
b) tan x + tan y =





π
π
π
3π 
2
d) cos  x − ÷.cos  x + ÷+ cos  x + ÷.cos  x +
(1 − 3)
÷=

3

4

6


4 
4
e) (cos 70o + cos 50o )(cos 230o + cos 290o ) +(cos 40o + cos160o )(cos 320o + cos380o ) = 0
f) tan x.tan 3 x =

tan2 2 x − tan2 x

1 − tan 2 2 x.tan 2 x
Bài 5. Chứng minh các hệ thức sau, với điều kiện cho trước:
a) 2 tan a = tan(a + b) khi sin b = sin a.cos(a + b)
b) 2 tan a = tan(a + b) khi 3sin b = sin(2a + b)
1
c) tan a.tan b = − khi cos(a + b) = 2 cos(a − b)
3
1− k
d) tan(a + b).tan b =
khi cos(a + 2b) = k cos a
1+ k
HD: a) Chú ý: b = (a+b)–a
b) Chú ý: b = (a+b)–a; 2a+b=(a+b)+a
c) Khai triển giả thiết
d) Chú ý: a+2b=(a+b)+a; a=(a+b)–b
Bài 6. Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a) sin C = sin A.cos B + sin B.cos A
sin C
b)
= tan A + tan B ( A, B ≠ 90 0 )
cos A.cos B
c) tan A + tan B + tan C = tan A.tan B.tan C ( A, B, C ≠ 90 0 )
d) cot A.cot B + cot B.cot C + cot C.cot A = 1

Trang 65


Trần Sĩ Tùng

Lượng giác

A
B
B
C
C
A
.tan + tan .tan + tan .tan = 1
2
2
2
2
2
2
A
B
C
A
B
C
f) cot + cot + cot = cot .cot .cot
2
2
2

2
2
2
cos C
cos B
g) cot B +
= cot C +
( A ≠ 90o )
sin B.cos A
sin C.cos A
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
h) cos .cos .cos = sin sin cos + sin cos sin + cos sin sin
2
2
2
2
2
2
2

2
2
2
2
2
A
B
C
A
B
C
i) sin 2 + sin 2 + sin 2 = 1 + 2sin sin sin
2
2
2
2
2
2
 A B C
HD: a, b, c, d) Sử dụng (A + B) + C = 1800
e, f) Sử dụng  + ÷+ = 900
2 2 2
A B C
g) VT = VP = tanA h) Khai triển cos  + + ÷
2 2 2
A B C
i) Khai triển sin  + + ÷.
2 2 2
B C
A

B
C
A
B
C
Chú ý: Từ cos  + ÷ = sin ⇒ cos .cos = sin + sin .sin
2 2
2
2
2
2
2
2
A
B
C
A
A
B
C
⇒ sin .cos .cos = sin 2 + sin .sin .sin
2
2
2
2
2
2
2
Bài 7. Cho tam giác A, B, C. Chứng minh:
a) tan A + tan B + tan C ≥ 3 3, ∀ ∆ ABC nhoïn.

e) tan

b) tan 2 A + tan 2 B + tan 2 C ≥ 9, ∀ ∆ ABC nhoïn.
c) tan 6 A + tan 6 B + tan 6 C ≥ 81, ∀ ∆ ABC nhoïn.
A
B
C
+ tan 2 + tan 2 ≥ 1
2
2
2
A
B
C
e) tan + tan + tan ≥ 3
2
2
2
tan
A + tan B + tan C = tan A.tan B.tan C và BĐT Cô–si
HD: a, b, c) Sử dụng
d) Sử dụng a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
d) tan 2

và tan

A
B
B
C

C
A
.tan + tan .tan + tan .tan = 1
2
2
2
2
2
2
2

e) Khai triển  tan A + tan B + tan C ÷ và sử dụng câu c)

2
2
2
Bài 8.

a)

Trang 66