Tiểu luận phương pháp tính

Học Phần Phương Pháp Tính

GV: TS Võ Thanh Tùng

MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 2
NỘI DUNG ............................................................................................................... 3
CHƯƠNG I: GIẢI THEO PHƯƠNG PHÁP THÔNG THƯỜNG........................... 3
I. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH GẦN ĐÚNG .............................................................. 3
Bài 1: Phương pháp chia đôi .............................................................................. 3
Bài 2: Phương pháp lặp ...................................................................................... 3
Bài 3: Phương pháp Newton .............................................................................. 4
II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH ............................................................. 5
Bài 1: Phương pháp Gauss ................................................................................. 5
Bài 2: Phương pháp Gauss - Seidel .................................................................... 6
III. NỘI SUY VÀ HÀM XẤP XỈ. ......................................................................... 6
Bài 1: Phương pháp nội suy Lagrange ............................................................... 6
Bài 2: Phương pháp nội suy Newton .................................................................. 7
IV. TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN. ....................................... 8
Bài 1: Tìm đạo hàm gần đúng bằng phương pháp nội suy Newton ................... 8
Bài 2: Phương pháp hình thang và Simson. ....................................................... 9
V. GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN............................................ 9
Bài 1: Giải phương trình vi phân bằng cách khai triển chuổi Taylor................. 9
Bài 2: Giải phương trình vi phân bằng phương pháp Euler ............................. 10
CHƯƠNG II: KIỂM TRA LẠI BẰNG MATHEMATICA ................................... 11
KẾT LUẬN ............................................................................................................. 13
TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................... 14

Học viên: Kiều Quang Vũ
Khóa 2014 - 2016

1


Học Phần Phương Pháp Tính

GV: TS Võ Thanh Tùng

LỜI MỞ ĐẦU
Các bài toán ứng dụng trong vật lý thường là không “đẹp” và không thể giải
theo các phương pháp tính đúng. Đồng thời với đó là các kết quả thực nghiệm đo
đạc cần được xử lý cũng như từ những số liệu này ta cần biểu diễn qua một hàm toán
học như thế nào? từ đó mới rút ra được những qui luật chung được. Để giải quyết
các vấn đề này bộ môn phương pháp tính sẽ cung cấp cho ta những kiến thức cũng
như những công cụ giải quyết các bài toán thực tế này. Trên cơ sở đó nhằm chuẩn bị
những kiến thức bước đầu cho quá trình nghiên cứu và xử lý số liệu trong quá trình
nghiên cứu vật lý tôi chọn đề tài luận “ Giải một số bài toán giải tích theo các phương
pháp gần đúng”
Trong tiểu luận này tôi không đề cập đến các lý thuyết về các phương pháp
mà chỉ đề cập đến việc giải quyết một số bài toán cơ bản nhất mà ta thường gặp. Đề
tài thực hiện theo ý kiến chủ quan của cá nhân nên sẽ không tránh khỏi những sai
lầm thiếu sót trong quá trình thực hiện nên mong thầy và các bạn học viên đóng góp
ý kiến để đề tài ngày càng hoàn thiện.
Qua đây tôi xin chân thành cảm ơn sự hướng dẫn của Tiến sĩ Võ Thanh Tùng
và sự đóng góp ý kiến của các học viên chuyên ngành vật lý trường đại học khoa học
Huế để tiểu luận của tôi ngày càng hoàn thiện.

Học viên: Kiều Quang Vũ
Khóa 2014 - 2016

2

Học Phần Phương Pháp Tính

GV: TS Võ Thanh Tùng
NỘI DUNG

CHƯƠNG I: GIẢI THEO PHƯƠNG PHÁP THÔNG THƯỜNG
I. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH GẦN ĐÚNG
Bài 1: Phương pháp chia đôi
Bằng phương pháp chia đôi tìm nghiệm gần đúng phương trình: f(x) = x4
+ 2x3 – x – 1 biết khoảng cách ly nghiệm là: x ϵ [0,1] với sai số không quá 10-3
Giải:
Ta có: f(0)= -1 ; f(1) =1  f(0).f(1) =(-1).1 = -1 < 0.
Nên phương trình đã cho có một nghiệm x ∈ [0;1].
Áp dụng phương pháp chia đôi
Bảng kết quả:

an  bn
2

f(xn)

Sai số

1.0

1.0000

0.50000

1.000

0.75

-0.5898 0.25000

1.0

1.000

0.875

0.0510

-0.59

0.875

0.051

0.8125

-0.3039 0.06250

0.8125

-0.30

0.875

0.051

0.8438

-0.1356 0.03125

5

0.8438

-0.14

0.875

0.051

0.8594

-0.0446 0.01563

6

0.8594

-0.04

0.875

0.051

0.8672

0.0026

7

0.8594

-0.04

0.8672

0.003

0.8633

-0.0211 0.00391

8

0.8633

-0.02

0.8672

0.003

0.8653

-0.0093 0.00195

9

0.8653

-0.01

0.8672

0.003

0.8663

-0.0033 0.00098

n

an

f(an)

bn

f(bn)

0

0.5

-1.19

1.5

9.313

1

0.5

-1.19

1.0

2

0.75

-0.59

3

0.75

4

xn =

0.12500

0.00781

Áp dụng công thức tính sai số tính sai số tại n = 9
 b  a  = 0.00098< 0,001
Δxn =
2n1
Vậy nghiệm gần đúng của bài toán là: x = 0.866
Bài 2: Phương pháp lặp
Giải phương trình x5- 40x + 3 = 0; x ∈ [0,1], bằng phương pháp lặp với
sai số không quá 10-7
Giải:
Ta có: f(0) = 3; f(1) = -36  f(0).f(1) =3.(-36)= -108 < 0
Nên phương trình trên có nghiệm thuộc [0,1]
Học viên: Kiều Quang Vũ
Khóa 2014 - 2016

3


Học Phần Phương Pháp Tính

GV: TS Võ Thanh Tùng

Ta đưa phương trình đã cho về dạng: x =

x5  3
.
40

x5  3
40
Ta thấy g(x) thoả mãn: 0 ≤ g(x) ≤ 1
1
x4
/
0 ≤ g (x) =
≤ g/(1) = = q < 1 với x ∈ [0,1]
8
8
 x0  0.5

Xây dựng phép lặp với: 
xn41  3
x

 n
40

Đặt: g(x) =

Lập bảng:
Sai số

N

xn

0

0.5

1

0.07656250

6.10-2

2

0.07500086

2,23.10-4

3

0.07500079

0,097.10-7

q
| x3  x2 | = 0,097.10-7
1 q
Vậy nghiệm của bài toán là x = 0.07500079
Bài 3: Phương pháp Newton
Bằng phương pháp dây cung tìm nghiệm gần đúng phương trình: f(x) =
4
x - 2x – 4 = 0 biết khoảng cách ly nghiệm là: [1; 1,7], với sai số không quá 10-3
Giải:
Ta có: f(1)= - 5 < 0; f(1,7)= 0,9521 >0

f(x) liên tục trên [1 ;1,7]
f /(x) = 4x3 – 2 ≥ 0 và f //(x) = 12x2 > 0 với ∀ x ∈ [1;1,7];
nên chọn x0 = 1,7 thì phương pháp lặp Newton sẽ hội tụ
Xây dựng phép lặp Newton:
 x0  1,7

xn41  2 xn1  4

x

x

n 1
 n
4 xn31  2

Ta có
Sai số: 3 

x

1

1,7

f / (x)

Học viên: Kiều Quang Vũ
Khóa 2014 - 2016

4


Học Phần Phương Pháp Tính

GV: TS Võ Thanh Tùng

 m  min | f '( x) | 2
1 X 1,7
| f ( xn ) | | xn4  2 xn  4 |

m
2
Lập bảng ta có :
| xn  x |

Sai số

N

xn

0

1.7

1

1.646062769

0,0164624

2

1.642944913

5,2612.10-5

Do mức độ sai số không quá 10-3 nên nghiệm của bài toán là: x = 1,643
II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Bài 1: Phương pháp Gauss
 x1  2 x2  x3  1

Giải hệ phương trình 2 x1  5 x2  x3  6 bằng phương pháp Gauss
 x  4x  2  2
2
 1
Giải

 1 2 1
1


 
A =  2 5 1  và b =  6 
 1 4 2 
 2


 

Ta có detA ≠ 0
Thực hiện phép biến đổi Gauss để chuyển về ma trận tam giác :
 1 2 1 1
 1 2 1 1

 h  2h


  0 1 1 4 
[A|b] =  2 5 1 6  
 1 4 2 2 
 1 4 2 2 




1

2

1 2 1 1
1 2 1 1 




h 2  h

  0 1 1 4    0 1 1 4 
 0 2 3 3 

 0 0 1 11




 x1  2 x2  x3  1  x1  40


  x2  x3  4   x2  15
 x  11

x3  11
 3

Vậy nghiệm của bài toán là: x1 = - 40; x2 = 15; x3 = 11.
h1 1 h3

Học viên: Kiều Quang Vũ
Khóa 2014 - 2016

2

3

5


Học Phần Phương Pháp Tính

GV: TS Võ Thanh Tùng

Bài 2: Phương pháp Gauss - Seidel
1,5 x1  0,2 x2  0,1x3  0,4

Giải hệ phương trình 0,1x1  1,5 x2  0,1x3  0,8 bằng phương pháp
0,3x  0,2 x  0,5 x  0,2
1
2
3

Gauss – Seidel
Giải
15 x1  2 x2  x3  4

Phương trình trên có thể viết lại như sau:  x1  15 x2  x3  8
9 x  6 x  15 x  6
2
3
 1

 15 2 1 


Ta có: A =  1 15 1
 9 6 15 


Áp dụng phương pháp Gauss – Seidel ta suy ra được
 (m) 1
2 x2( m1)  x3( m1)

 x1  15 (

 (m) 1
x1( m )
 x3( m1)
 x2  (
15

 (m) 1
(m)
6 x2( m )
 x3  15 ( 9 x1

||C||∞ = max(0 +

4)
8)
6)

2
1 1
1
9
6
+ , + 0 + , 1 15 + 15 + 0) = 1
15
15 15
15

Chọn vecto x0 = (0, 0, 0) tìm nghiệm gần đúng đến x(6). Ta có bảng sau:

n
0
1
2
3
4
5
6

x1 n 

x3 n 

x3 n 

0
0.266666667
0.362785185
0.364898818
0.364542125
0.364504536
0.364503666

0
0.551111111
0.534881975
0.530745366
0.530526732
0.530532664
0.530534267

0
-0.339555556
-0.403718321
-0.406641144
-0.406514582
-0.406489656
-0.406488492

Vậy nghiệm x1 = 0.364503666, x2 = 0.530534267, x3 = -0.406488492
III. NỘI SUY VÀ HÀM XẤP XỈ.
Bài 1: Phương pháp nội suy Lagrange
Cho hàm số f(x) thoả mãn:
Học viên: Kiều Quang Vũ
Khóa 2014 - 2016

6


Học Phần Phương Pháp Tính

GV: TS Võ Thanh Tùng

xi

1

2

3

4

5

f(xi)

3

2

7

-1

0

Tìm hàm nội suy Lagrange của f(x); tính f(3,5).
Giải:
Áp dụng phương pháp nội suy Lagrange ta có bảng sau
ym
Dm

ym

xm

1

2

3

4

5

Dm

3

1

x-1

-1

-2

-3

-4

24(x-1)

2

2

1

x-2

-1

-2

-3

-6(x-2)

7

3

2

1

x-3

-1

-2

4(x-3)

-1

4

3

2

1

x-4

-1

-6(x-4)

0

5

4

3

2

1

x-5

24(x-5)

3

24  x  1
1
3 x  2 
7
4  x  3
1
6  x  4
0

ωm(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)

Hàm nội suy Lagrange của f(x) được cho bởi:
n
y
Ln  x     x   m
m  0 Dm
= (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)[

1
1
7
1
+
+
+
]
8  x  1 3  x  2  4  x  3 6  x  4 

521x 1963x 2 81x3 41x 4




= 70 4
24
24
24

 f(3,5) = (3,5 – 1)(3,5 – 2)(3,5 – 3)(3,5 – 4)(3,5 – 5)[


1
1

8  3,5  1 3  3,5  2 

7
1

] ≈ 4.21094
4  3,5  3 6  3,5  4 

Bài 2: Phương pháp nội suy Newton
Cho hàm f(x) và bảng xác định một số giá trị của hàm f(x):
x
f(x)

1,01

1,09

1,14

1,21

1,28

1,17520 1,30254 1,38631 1,50946 1,21730

Tính gần đúng f(1,134).
Học viên: Kiều Quang Vũ
Khóa 2014 - 2016

7


Học Phần Phương Pháp Tính

GV: TS Võ Thanh Tùng

Giải
Áp dụng phương pháp nội suy Newton ta có bảng sai phân:
xn

f(xn)

1.01

1.1752

f(xn,xn+1)

f(xn,xn+1,xn+2)

f(xn,xn+1,xn+2,xn+3)

f(xn,xn+1,xn+2,xn+3,xn+4)

1.5918
1.09 1.30254

0.6435
1.6754

1.14 1.38631

0.2779
0.6990

-838.6903

1.7593
1.21 1.50946

-226.7243
-42.3786

-4.1737
1.28

1.2173

Theo công thức Newton tiến ta có:
f(x) = -1276,04 + 4609,04x -6231,13x2 + 3739,58x3 - 840,31x4
f(1.134) = -1276,04 + 4609,04×1.134 -6231,13×1.1342 + 3739,58×1.1343 840,31×1.1344
Vậy f(1.134) = 1.37398
IV. TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN.
Bài 1: Tìm đạo hàm gần đúng bằng phương pháp nội suy Newton
Tính giá trị đạo hàm cấp 1 và cấp 2 tại x = 1.1, nếu giá trị của hàm được
cho trong bảng sau:
xi
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
yi = f(xi) 1.266
1.326
1.393
1.469
1.553
1.647
Giải
Ta sử dụng phương pháp nội suy Newton tìm hàm y = f(x)
Ta có bảng sai phân như sau:
n
1

Xn
1

f(Xn)
1.266

Δn

𝛥2𝑛

𝛥3𝑛

𝛥4𝑛

𝛥5𝑛

0.06
2

1.1

0.007

1.326
0.067

3

1.2

0.002
0.009

1.393
0.076

4

1.3

-0.001
0.008

1.469
0.084

5

1.4

-0.003
0.006
0.003
0.002

0.01

1.553
0.094

6
1.5
1.647

Học viên: Kiều Quang Vũ
Khóa 2014 - 2016

8


Học Phần Phương Pháp Tính

GV: TS Võ Thanh Tùng

Áp dụng công thức :
(1)
( x )  y0 
n

y0
2 y0
 n y0
( x  x0 ) 
(
x

x
)(x

x
)

...


( x  x0 )...(x x n1 ) (1)
0
1
1!h
2!h2
n!h n

trong đó h = x2 - x1 = 0,1
Thay các giá trị vào (1) ta có:
125 𝑥 4

f(x) = 5 𝑥 5 −

4

+

f / (x) = 25 𝑥 4 − 125

8371 𝑥 3

−

68449 𝑥 2

+

108
720
2

8371
𝑥
68449 𝑥
𝑥3 +
−
36
360

3142423 𝑥

−

14758

54000
3142423

+

1125

54000

 f (1.1) = 0.6294074074074
/

f // (x) = 100 𝑥 3 − 375 𝑥 2 +

8371 𝑥
18

−

68449
360

 f (1.1) = 0.775
Bài 2: Phương pháp hình thang và Simson.
//

𝟏

𝟏

Cho tích phân: I = ∫𝟎 𝟐 𝒅𝒙 . Hãy chia đoạn [0,1] thành n = 10 đoạn con
𝒙 +𝟏
bằng nhau rồi tính gần đúng tích phân theo công thức hình thang và công thức
Simson.
Giải:
Hàm f(x) =

1
𝑥 2 +1

∀ x ∈ [0,1]

Chia đoạn [0,1] thành 10 đoạn con bằng nhau nên h =

1−0
10

= 0.1

Ta lập bảng:
x
f(x)

0
1

0.1
0.990099

0.2
0.961538

0.3
0.917431

x
f(x)

0.7
0.671141

0.8
0.609756

0.9
0.552486

1.0
0.5

0.4
0.862069

0.5
0.8

0.6
0.735294

+ Áp dụng công thức bậc thang có:
ℎ

I = (y0 + 2(y1 + y2 + y3 + y4 + y5 + y6 + y7 + y8 + y9) + y10)
2

I ≈ 0.784981 với sai số: Δ = 0.0004
+ Áp dụng công thức Simson có:
ℎ

I = (y0 + y10 + 2( y2 + y4 + y6 + y8 ) + 4(y1+ y3 + y5 + y7 + y9))
3

I ≈ 0.785398 với sai số Δ = 0.0005625
V. GIẢI GẦN ĐÚNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN.
Bài 1: Giải phương trình vi phân bằng cách khai triển chuổi Taylor
Cho phương trình vi phân:y’ = x + y với y(0) = 1. Sử dụng khai triển chuổi

Talor tìm nghiệm của bài toán và tính gần đúng nghiệm tại x = ± 0.1 và x = ± 0.2
Giải
a) Tìm nghiệm bài toán theo khai triển Taylor
Học viên: Kiều Quang Vũ
Khóa 2014 - 2016

9


Học Phần Phương Pháp Tính
y = f(x) = f(x0) +

𝑓′ (𝑥0 )
1!

(𝑥 − 𝑥0 ) +

GV: TS Võ Thanh Tùng
𝑓′′ (𝑥0 )
2!

(𝑥 − 𝑥0 )2 + ⋯

Theo giả thiết bài toán: x0 = 0, y0 = f(x0) = 1
 𝑦 (1) (0) = 𝑓 ′ (0) = 1
𝑦 (2) = 𝑓 ′′ (𝑥) = 1 + 𝑦 (1)  𝑦 (2) (0) = 𝑓 ′′ (0) = 2
𝑦 (3) = 𝑓 ′′′ (𝑥) = 𝑦 (2)  𝑦 (3) (0) = 𝑓 ′′′ (0) = 2
𝑦 (4) = 𝑦 (3) = 2
……….
y(n) = y(n-1) = 2

y=1+

𝑥
1!

+ 2.

𝑥2
2!

1

𝑥

𝑥2

3!

1!

2!

-2. x3 +….. = 1 – x + 2×( +

1

- x3 +…..+1 - 1 )
3!

y = 2e – x – 1

x

y(-0.1) = 2𝑒 −0.1 + 0.1 − 1 = 0.909675
y(-0.2) = 2𝑒 −0.2 + 0.2 − 1 = 0.837462
y(0.1) = 2𝑒 0.1 − 0.1 − 1 = 1.11034
y(0.2) = 2𝑒 0.2 − 0.2 − 1 = 1.24281
Bài 2: Giải phương trình vi phân bằng phương pháp Euler
Cho phương trình vi phân: 𝒚′ = 𝒙 + 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 với y(0) = 0. Sử dụng
phương pháp Euler tìm nghiệm gần đúng của phương trình trong khoảng [-0.2,
0] bước nhảy h = - 0.05 tại x = - 0.15
Giải
Áp dụng công thức Euler cải tiến ta có:
y0 = 0
yn+1 = yn +

𝑘1 +𝑘2
2

;

k1 = h×f(xn, yn) = - 0.05×f(xn, yn);
k2 = h×f(xn + h, yn +k1) =- 0.05×f(xn - 0.05, yn - 0.05×f(xn, yn);)
Ta lập bảng tìm các giá trị nghiệm gần đúng ứng với các bước nhảy h = - 0.05:
n
xn
k1
k2
y(xn)
0
0

0
0.002375
0
1
-0.05 0.002375
0.004499
0.001187
2
-0.1 0.004499
0.006371
0.004625
3
-0.15 0.00637
0.007986
0.010059
4
-0.2 0.007985
0.009343
0.017238
Từ bảng ta thấy tại x = - 0.15 thì y có giá trị là 0,010059.

Học viên: Kiều Quang Vũ
Khóa 2014 - 2016

10


Học Phần Phương Pháp Tính

GV: TS Võ Thanh Tùng

CHƯƠNG II: KIỂM TRA LẠI BẰNG MATHEMATICA
Để kiểm tra kết quả tính toán ở trên tôi viết các chương trình bằng ngôn ngữ
lập trình Mathematica. Những chương trình này được chứa trong thư mục
"Mathematica". Trong thư mục này gồm 5 thư mục con chứa các chương trình theo
thứ tự bố cục của phần giải theo lý thuyết nêu ở trên.
Một số lưu ý khi sử dụng chương trình:
- Chương trình được viết theo Font chữ VNI Window nên khi chạy chương
trình để thuận tiện trong việc quan sát kết quả chương trình nên thực hiện như sau:
+ Bôi đen tất cả: Ctrl + A.
+ Chọn: Format/font sẽ xuất hiện hộp thoại "Font" chọn font VNI - Times như
hình

- Để kết quả được chính xác sau mỗi lần nên làm như sau: chọn Valuation/Quit
Kernel/Local sẽ xuất hiện hộp thoại Quit Kernel chọn quit để xóa các dữ liệu lưu
trong bộ nhớ khỏi ảnh hưởng các lần tính sau.

Học viên: Kiều Quang Vũ
Khóa 2014 - 2016

11


Học Phần Phương Pháp Tính

GV: TS Võ Thanh Tùng

- Kết quả tính toán nằm ở cuối chương trình sau đường nét đứt.
- Khi làm việc với chương trình chỉ nên thay đổi phần được bôi đỏ không nên
thay đổi các câu lệnh không được bôi đỏ sẽ dẫn đến kết quả không chính xác hoặc

chương trình không chạy được.

Học viên: Kiều Quang Vũ
Khóa 2014 - 2016

12


Học Phần Phương Pháp Tính

GV: TS Võ Thanh Tùng

KẾT LUẬN
Trong quá trình giải các bài toán bằng phương pháp gần đúng tôi thấy mỗi
phương pháp đều có những ưu nhược điểm riêng. Song song với cách giải thông
thường tôi tiến hành viết một số chương trình bằng Mathematica để kiểm tra tính
đúng đắn của bài.
Đối với phần kiểm tra kết quả bằng Mathematica tôi viết một số chương trình
như sau:
- Giải gần đúng phương trình: phương pháp chia đôi, phương pháp newton.
- Giải hệ phương trình: giải chính xác và giải gần đúng bằng pháp lặp đơn.
- Bài toán nội suy: Nội suy hàm theo phương pháp Lagrange và Newton.
- Tính gần đúng tính phân: Phương pháp bậc thang (Truce) và phương pháp
Simson.
- Giải phương trình vi phân: Phương pháp Euler cải cải tiến và phương pháp
Runge - Kutta.

Học viên: Kiều Quang Vũ
Khóa 2014 - 2016

13


Học Phần Phương Pháp Tính

GV: TS Võ Thanh Tùng

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] M.P. Cherkasova, Collected Problems in Numerical Method, Translated and
edited from the Russian by Dr. G.L.THOMAS University of London King's College
and Dr. R. S.ANDERSSEN Computer Center, The Australian National University
Canberra, Australia.
[2] TS Võ Thanh Tùng, Bộ bài giảng phương pháp, Đại học Khoa học Huế.
[3] Tạ Văn Dĩnh, Phương pháp tính, Nhà xuất bản giáo dục, 1999.
[4] Trương Vĩnh An - Phạm Văn Hiển - Lê Xuân Trường, Giáo trình phương pháp
tính, Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật Tp. Hồ Chí Minh.
[5] Đỗ Thị Tuyết Hoa, Bài giảng môn phương pháp tính, Trường Đại Học Bách
Khoa Đà Nẵng.
[6] Các thông tin về phương pháp số và mathematica trên mạng internet.

Học viên: Kiều Quang Vũ
Khóa 2014 - 2016

14