Các phương pháp biện luận tam thức bậc hai toán lớp 9

Phần I

TÓM

TẮT VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
VÀ TAM THỨC BẬC HAI

I. Định nghĩa và cách giải
Phương trình: ax2 + bx + c = 0
(a ¹ 0) gọi là phương trình bậc 2
(PTBH).
Đa thức: f(x) = ax2 + bx + c = 0 được gọi là tam thức bậc 2 (TTBH).
*. Nghiệm của PTBH (nếu có) cũng được gọi là nghiệm của TTBH.
*. Dạng chính tắc của TTBH:
ax2 + bx + c = a[(x +

b 2 b 2 - 4ac
) ]
2a
4a 2

(1)

Từ dạng (1) ta đưa ra cách giải và công thức nghiệm như SGK đã trình bày.
II. Sự phân tích TTBH
Nếu D > 0 thì f(x) = ax2 + bx + c = a(x - x1)(x - x2) với x1, x2 là các nghiệm.
III. Định lý Vi-ét
Nếu D > 0 thì phương trình f(x) = ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm phân biệt
và:

S = x1 + x2 = -

b
a

c
a

P = x1x2 =

Ngược lại: Nếu x + y = S và x.y = P thì x, y là các nghiệm của phương trình
bậc hai: t2 - St + P = 0
IV. Đồ thị hàm số bậc 2:

4

2

a>0
D>0

4

a>0
D<0

4

a>0
D=0

2
5

2
-2

5

-4

6

4

2

a<0
D>0

a<0
D<0

a<0
D=0

-5

-2

PHƯƠNG PHÁP TA M THỨC BẬC 2

1


V. GTLN, GTNN:

D
D
Þ Min f ( x) = 4a
4a
D
D
Nếu a < 0 Þ f(x) £ - Þ Max f ( x) = 4a
4a

Nếu a > 0 Þ f(x) ³ -

GTLN (GTNN) đạt được Û x= -b/2a

VI. Dấu tam thức bậc 2:
Cho f(x) = ax2 + bx + c (a ¹ 0)
Nếu D < 0 thì af(x) > 0 " x ÎR.
Nếu D = 0 thì af(x)³ 0 " x Î R. Đẳng thức khi x = -b/2a
Nếu D > 0 thì af(x) < 0 " x Î(x1;x2).
af(x) ³ 0 " x Î (-¥; x1] U [x2; +¥)
Đảo lại:
1) Nếu $ a sao cho: af(a) < 0 thì f(x) có 2 nghiệm phân biệt và x1< a 2) af(a) > 0
af(a) > 0
D>0

D>0
Û a < x 1 < x2
Û x1 < x2 < a;
S
2

S
>a
2

Hệ quả trực tiếp:
1') Cho a < b, f(x) = ax2 + bx + c (a ¹ 0)
x1 < a < x2 < b
Û f(a).f(b) < 0
a < x 1 < b < x2
2') a < x1 < x2 < b Û D > 0
af(a) > 0
af(b) > 0

[

a<

S
2

Trên đây là 6 nội dung cơ bản nhất về PTBH và TTBH mà SGK ĐS-10 đã
trình bày khá kỹ.

Sau đây là các ví dụ ứng dụng.

˜š›™

PHƯƠNG PHÁP TA M THỨC BẬC 2

2


Phần II

CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG CƠ BẢN
1.GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Phép giải phương trình bậc 2 với hệ số bằng số khá đơn giản. Ở đây ta chỉ
đề cập đến các phương trình chứa tham số. Một chú ý quan trọng ở đây là: Ta
thường quên mất không xét đến trường hợp hệ số a = 0.
VD1: Cho phương trình:
(m2 - 4)x2 + 2(m + 2)x +1 = 0 (1)
a) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm duy nhất.
Giải: a) Thông thường HS hay mắc sai lầm là chỉ xét đến trường hợp: D ³ 0
mà bỏ quên trường hợp a = 0
* Nếu m2 - 4 = 0 Û m = ±2. Giá trị m = -2 không thoả mãn.
* Nếu m ¹ ±2:
pt(1) có nghiệm Û
m ¹ ±2
Û -2 < m ¹ 2
D' ³ 0
Tóm lại pt(1) có nghiệm Û m > -2

b) pt(1) có nghiệm duy nhất trong 2 trường hợp:
*Trường hợp 1: a = 0 Û m = 2
b¹0
*Trường hợp 2: a ¹ 0 Û m ¹ ±2
(Trường hợp này không xảy ra)
D' = 0
m = -2
Vậy với m = 2 pt(1) có nghiệm duy nhất.
VD2: Biện luận theo m số nghiệm pt:
(2)
x3 + m(x + 2) +8 = 0
Ta có: x3 + 8 - m(x + 2) = (x + 2)(x2 - 2x + 4 - m) = 0
Đặt f(x) = x2 - 2x + 4 - m Þ số nghiệm pt (2) phụ thuộc số nghiệm của f(x).
D' = m - 3 , f(-2) = 12 - m
Do đó ta có:
1) D' < 0 Û m < 3 Þ f(x) VN Þ pt(2) có 1 nghiệm duy nhất x = -2
2) D' = 0 Û m = 3. Khi đó f(-2) = 12 - m ¹ 0 nên f(x) có 1 nghiệm khác -2
Þ pt(2) có nghiệm phân biệt (x1 = -2; x2 = 1)
PHƯƠNG PHÁP TA M THỨC BẬC 2

3


3) D' > 0 Û m > 3
*Nếu
m > 3 Þ pt(2) có 3 nghiệm phân biệt.
m ¹ 12
* Nếu m =12 Þ pt(2) có 2 ngh 2 nghiệm: 1 nghiệm đơn và một nghiệm
kép.
VD3: Cho hàm số: y = (x - 2)(x2 + mx + m2 - 3) (3) có đồ thị (C). Tìm m

để:
a) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt.
b) (C) tiếp xúc với Ox.
Giải tóm tắt: Đặt f(x) = x2 + mx + m2 - 3
a) (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt Û
D>0
f(2) ¹ 0
b) (C) tiếp xúc với Ox Û f(2) = 0
D=0

[

VD4: Chứng minh rằng: Nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì
phương trình a2x2 + (a2 + b2 - c2)x + b2 = 0 (4) vô nghiệm
Thật vậy: D
= (a2 + b2 - c2)2 - 4a2b2
= (a2 + b2 - c2 - 2ab)( a2 + b2 - c2 + 2ab)
= [(a - b)2 - c2 ][(a + b)2 - c2]
= (a - b - c)(a - b + c)(a + b - c)(a + b + c) < 0
BÀI TẬP:
1.1. Giải phương trình:
(x + 1)(½x½ - 1) = -

1
2

1.2. Giả sử x1 và x2 là các nghiệm của phương trình: ax2 + bx + c = 0. Hãy
thiết lập phương trình với các nghiệm là: y1 =

1

1
và y2 =
x1
x2

1.3. Tìm tất cả các giá trị của k để phương trình:
x 2 - 2x + 3
= k ( x - 3)
x -1

có nghiệm kép không âm
1.4. Tìm tất cả các giá trị của p để parabol:
y = x2 + 2px + 13
có đỉnh cách gốc toạ độ một khoảng bằng 5

PHƯƠNG PHÁP TA M THỨC BẬC 2

4


2. BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG CỦA HAI NGHIỆM
HỆ THỨC GIỮA CÁC NGHIỆM PTBH

Đặt Sn = x1n + x 2n ,
x1x2 = P
Ta có
S1 = x1 + x2 = S
S2 = x12 + x 22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = S2 - 2P
.................
Sn được tính theo công thức truy hồi sau:

(*)

aSn + bSn-1 + cSn-2 = 0
Ta chứng minh (*) như sau: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình:
ax2 + bx + c = 0
(1)
Þ ax12 + bx1 + c = 0
ax22 + bx2 + c = 0

(2)

Nhân hai vế của (1) và (2) lần lượt với x1n- 2 và x 2n - 2 (nÎZ, n > 2) Ta có:
ax1n + bx1n -1 + cx1n -2 = 0

(3)

ax2n + bx2n -1 + cx 2n - 2 = 0

(4)

Cộng (3) và (4) vế với vế ta được
a( x1n + x 2n ) + b( x1n -1 + x 2n -1 ) + c( x1n -2 + x 2n - 2 ) = 0

Ta có điều PCM.
VD5: Cho A = (1 + 3 ) 5 + (1 - 3 ) 5 . Chứng minh A Î Z
HS: A = S5 = 152
VD6: Cho f(x) = 2x2 + 2(m+1)x + m2 + 4m + 3
Gọi x1, x2 là nghiệm của f(x). Tìm Max A
A=| x1x2 - 2x1 - 2x2 |
(*)

Giải: Để $ x1, x2 thì D ³ 0 Û -5 £ m £ -1
Khi đó: A =

m 2 + 8m + 7
2

Xét dấu của A ta có: m2 + 8m + 7 £ 0 "x thoả mãn (*)
ÞA=

- m 2 - 8m - 7 9 - ( m + 4) 2 9
9
=
£ Þ MaxA =
2
2
2
2

VD7: Tìm điều kiện cần và đủ để phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0)
có 2 nghiệm và nghiệm này gấp k lần nghiệm kia.
Giải: Xét: M = (x1 - kx2)(x2 - kx1) = . . . . . .
PHƯƠNG PHÁP TA M THỨC BẬC 2

5


= (k + 1)2ac - kb2
Þ Điều kiện cần: Nếu x1 = kx2 hoặc x2 = kx1 Þ M = 0
Û (k + 1)2ac = kb2
Điều kiện đủ: Nếu (k + 1)2ac = kb2 Û M = 0 Û x1 = kx2

x2 = kx1
2
2
2
VD8: Biết a, b, c thoả mãn:
a +b +c =2
(1)
ab + bc + ca = 1 (2)

[

4
3

Chứng minh: - £ a, b, c £

4
3

(3)

Nhận xét: Từ (1) và (2) ta thấy vai trò của a, b, c bình đẳng nên ta chỉ
cần chứng minh 1 trong 3 số a, b, c thoả mãn (3).
Đặt: S = a + b
P = ab
Từ (1) và (2) ta có:
2
S - 2P = 2 - c2
(4)
P + cS = 1

(5)
Từ (5) Þ P = 1 - cS thay vào (4) ta có
S2 - 2(1 - cS) = 2 - c2 Û S2 + 2cS + c2 - 4 = 0
Û
S = -c + 2
S = -c - 2
* Nếu S = -c +2 Þ P = c2 - 2c + 1 Þ a, b là nghiệm của phương trình:
t2 - (2 - c)t + c2 - 2c + 1 = 0
Phương trình này phải có nghiệm
Û D ³ 0 Û 0 £ c £ 4/3
* Nếu S = -c - 2
Tương tự ta có:
-4/3 £ c £ 0

[

4
3

Tóm lại: Ta có - £ a, b, c £

4
3

VD9: Tìm m để đồ thị hàm số y = x2 - 4x + m cắt Ox tại 2 điểm phân biệt
A, B sao cho: OA = 3 OB
HD: OA = | xA | ; OB = | xB | và xét 2 trường hợp:
xA= 3xB
và xA= - 3xB
BÀI TẬP:

2.1. Tìm tất cả các giá trị của m để tổng các bình phương các nghiệm của
phương trình: x2 - mx + m - 1 = 0 đạt giá trị nhỏ nhất.
2.2. Giả sử (x, y) là nghiệm của hệ phương trình:
x + y = 2a - 1
x2 + y2 = a2 + 2a - 3
Xác định a để tích xy nhỏ nhất
PHƯƠNG PHÁP TA M THỨC BẬC 2

6


3. QUAN HỆ GIỮA CÁC NGHIỆM CỦA HAI PTBH

1) Hai phương trình ax2 + bx + c = 0 và a'x2 + b'x + c = 0
có nghiệm chung Û Hệ
ax2 + bx + c = 0
(1) có nghiệm
a'x2 + b'x + c = 0
Ta có thể giải hệ (1) bằng phương pháp thế. Tuy nhiên nếu ta giải theo
phương pháp sau đây thì đơn giản hơn nhiều:
Đặt x2 = y ta có:
ay + bx = - c (2)
a'y + b'x = - c'
Þ Hệ (1) có nghiệm Û
Hệ (2) có nghiệm
y = x2
ìD ¹ 0
ï
Û í D y D x2
= 2

ï
îD
D

ìD ¹ 0
ï
Ûí
D x2
ïD y =
î
D

VD10: Chứng minh rằng nếu 2 phương trình x2 + p1x + q1 = 0
và x2 + p2x + q2 = 0
có nghiệm chung thì: (q1 - q2)2 + (p1 - p2)(q2p1 - q1p2) = 0
HD: Sử dụng phương pháp đã trình bày ở trên.
2) Hai phương trình bậc 2 tương đương.
Chú ý: HS hay bỏ sót trường hợp: Nếu 2 phương trình cùng vô nghiệm thì
tương đương (trên tập nào đó)
VD11: Tìm m để hai phương trình x2 -mx + 2m - 3 = 0
và
x2 -(m2 + m - 4)x +1 = 0
tương đương
*Trường hợp 1: D1 < 0
D2 < 0
*Trường hợp 2: Sử dụng Vi-ét
3) Hai phương trình có nghiệm xen kẽ nhau.
Chú ý rằng: Mọi phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) bao giờ cũng đưa
được về dạng: x2 + px + q = 0
Do đó ta có bài toán: Với điều kiện nào của p, q, p', q' để 2 phương trình:

PHƯƠNG PHÁP TA M THỨC BẬC 2

7