300 bài tích phân có đáp án

CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN
A. BẢNG ĐẠO HÀM – NGUYÊN HÀM CƠ BẢN.
Đạo hàm
Mở rộng
Nguyên hàm
(c ) ' = 0
∫ dx = x + C

(c.x ) ' = c

(x ) ' = n .x
n

∫ k .dx = k .x + C
n −1

'

(u ) = n .u '.u
n '

'

'

1

'

 c  −c.u '
u  = u2

 
'
u'
u =
2 u

(e ) = e

(e ) = u '.e

( )

x

(a ) = a .ln a
x

=

1
x

( loga x )

=

( ln x )

'

( sin x )

'

( cos x )

( cot x )

'

1
x .ln a

= cos x

'

( t an x )

'

= − sin x
'

( )
u '

=

1

cos2 x

=−

u

( ln u )

=

u'
u

( loga u )

=

u '

'

( sin u )

'

'

u'
u .ln a

= u '.cos u

( cos u ) ' = −u '.sin u
u'
cos u

1
sin 2 x

( cot u ) ' = −

k

∫ x .dx = k .ln x
∫e

x

+C

.dx = e x + C

n +1

k

k

ax +b

1
.dx = .e ax +b + C
a

∫ ax + b .dx = a .ln ax + b + C
∫e

x

.u '.ln a

( t an u ) ' =

+C

1 (ax + b )
.
ax
+
b
dx
=
+C
(
)
∫
a
n +1
1
1

∫ ax + b .dx = a .ln ax + b + C
n

ax
∫ a .dx = ln a + C

u

(a ) = a

x n +1
x
.
dx
=
+C
∫
n +1
n

∫ x .dx = ln x

c
c 
x  = −x2
 
'
1
x =
2 x

x '

n −1

 1  −u '
 u  = u2
 

1
1
x  = −x2
 

x '

Mở rộng

u'
sin 2 u

1
sin
ax
+
b
.
dx
=
−

cos (ax + b ) + C
(
)
∫
a
1
∫ cos x .dx = sin x + C
∫ cos (ax + b ) .dx = a sin (ax + b ) + C
Một số công thức LG thường sử
1
dụng
để tính nguyên hàm.
∫ cos2 x .dx = t an x + C
1
cos a .cosb = cos (a − b ) + cos (a + b ) 
2
1
∫ sin x 2x .dx = − cot x + C
1
sin a .sin b =  cos (a − b ) − cos (a + b ) 
2
∫ t an x .dx = − ln cos x + C sin a.cosb = 1 sin (a − b ) + sin (a + b )
2
1 − cos2a
1 + cos2a
sin 2 a =
; cos2 a =
2
∫ cot x .dx = ln sin x + C sin 2a = 2sin2a .cosa
 cos2 a − sin 2 a


cos2a = 2cos2 a − 1
1 − 2sin 2 a


∫ sin x .dx = − cos x + C

cos2 a = 1 − sin 2 a
 2
2
sin a = 1 − cos a

Qui tắc đạo hàm.
'
1. (u .v ) = u '.v + u .v '
'

 u  u '.v − u .v '
2.   =
v2
v 
Trang 1


B. TÍCH PHÂN.
1.
b
b
∫ f (x ) .dx = F (x ) a = F (b ) − F (a )
a

2. Tính chất.
a

b

b

a

a) − ∫ f ( x ) .dx = ∫ f ( x ) .dx

b

b

a
a

a

b) ∫ k . f ( x ) .dx = k .∫ f ( x ) .dx

b

b

b

a

a

a

c) ∫  f ( x ) ± g ( x )  .dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x )dx
b

b

b

a

a

a

d) ∫ f ( x )dx = 0

e) m ≤ f ( x ) ≤ M ⇒ ∫ m .dx ≤ ∫ f ( x ) .dx ≤ ∫ M .f ( x )dx

a
c

b

c

a

a

b

f) ∫ f ( x ) .dx = ∫ f ( x ) .dx + ∫ f ( x ) .dx

3. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍCH TÍCH PHÂN
3.1. Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản để tính tích phân.
b
f (x )
3.2. Tích phân hàm hữu tỷ: ∫
dx
g
x
(
)
a
- Nếu bậc f ( x ) ≥ bậc g ( x ) → Chia đa thức.

- Nếu bậc f ( x ) < bậc g ( x ) : Ta sử dụng hệ số bất định.

ax + b
A
B
=
+
( x − x 1 )(x − x 2 ) (x − x 1 ) (x − x 2 )

ax + b

(x − x 0 )

2

=

A
B
+
( x − x 0 ) ( x − x 0 )2

b

3.3. Phương pháp đổi biến số: A = ∫ f u ( x )  .u ' ( x )dx .
a

Dạng 1:
Đặt t = u ( x ) ⇒ dt = u ' ( x ) .dx ; đổi cận:
Ta được: A =

u (b )

∫ f (t ) .dt = F (t )

u (a )

u (b )

x

t

b

Dạng

)

m
n
∫ sin x .cos x dx

b
u (b )

u (a )

* Một số thủ thuật đặt t .
b
Dạng b
u (x )
f
u
x
dx
(
)
∫a
∫a v n (x ) dx
t

t = v (x )
u (x )

(

a
u (a )

m lẻ

a

n chẳn

b

sin x .dx
∫a f ( cos x )

t = f ( cos x )

t = cos x m chẳn
t = sin x

n chẳn

b

∫e

u (x )

.v ( x )dx

a

b

∫
a

f ( ln x )
x

b

dx

t = u (x )

t = f ( ln x )

Hạ bậc

m=0

1 − cos 2a
sin 2 a =
2
1 + cos2a

2
cos a =
2

n chẳn âm
n=0

∫

f ( t an x )

cos2 x
a
t = t an x

dx

t = t an x
t = cot x

m chẳn âm
Dạng 2:
Dạng
a2 + x 2
Đặt

 π π
t = a t an t , t ∈  − ; 
 2 2

a2 − x 2
 π π
x = a sin t , t ∈  − ; 
 2 2

x 2 −a2
a
 π π
x=
, t ∈  − ;  \ {0}
sin t
 2 2
Trang 2


b

b

3.4. Phương pháp từng phần : B = ∫ u .dv = u .v a − ∫ v .du
b

a

a

Cách đặt u và dv :
b

 sin x 

∫a f (x ) . cos x  .dx

∫ f (x ) .e dx

u

f (x )

f (x )

dv

sin x 
cos x  .dx



b

Dạng

C. BÀI TẬP
Bài 1 : Tính các tích phân sau :
Sử dụng bảng nguyên hàm cơ
bản.
2

(

)

1. ∫ x 3 + 2x 2 + 3 dx

b

x

a

e xdx

f ( x ) .dx

1
dx
 sin 2 x 
 2 
 cos x 

∫(

)

1

2

e x + 1 dx

0

1

0
ln 3

14.

∫
0

(

)

2

16. ∫ x 2 ( 3 − x ) dx

1

2

0
2

17.

2

∫ ( 3sin x − 3 cos x + 2 )dx

0
2

 3

7. ∫ 
+ x  dx
2x − 1

1
π

π
2

∫ ( 2 − sin 3x )dx
0
1

∫ ( 2e

x

)

+ 1 dx

0
ln 2

11.

3

∫ (e

2x

)

+ 1 dx

2

25.

∫ (3

x

)

+ 1 dx

π
4
 2

19. ∫ 
− 1 dx

2
cos x

0

2


dx
x 

4



4

∫

26. e x  1 −

e −x
cos2 x


dx



 e −x 

27. ∫ e x  2 + x dx
e 

0
2
2

28. ∫  2x + dx
x
1
0
ln 2

29. x 2 ( x − 1) dx

∫

30.

1

2x − 1
21. ∫
dx
x +1
0

32.

3x 3 + x + 2

22. ∫
dx
3x + 1
0

33.

1

2 x + 5 − 7x
dx
x
1

1

∫ x . (x + 1) dx

2

31.

1

2

0
2

x 3 + 2x + x 2

20. ∫
dx
2
x
1

∫

( 2x − 1)

2

x

1

dx

π
4

∫ cos 3x .cos x dx
0
4

∫x

2

3

1
2

2

∫

2

π

0

23.



∫  1 − sin
π

1

2

2
π

8. ∫ cos  − 2x dx
4


0

10.

∫ ( 2x − 1) dx
1
1

18.

π

e 2x + e x
dx
ex

2

∫

∫

24. ( x − 1)(x + x + 1)dx
0

13. ∫ e x 2e x − 1 dx

π

9.

x

x + x. x + x
.dx
2
x
1
3

2

4. ∫  + x 3 dx
x

1
2
1

5. ∫ x 2  + 2x dx
x

1
6.

ln x 
log x 
 a 

2

15. ∫  e x + dx
x
1

4

3.

x
∫a cos2 x  dx
 2 
sin x 

ln 2

12.

1
4

1
 1

2. ∫  3 + 2 + x . x dx
x
x

1

 ln x 
∫a f (x ) . loga x  .dx
b

34.

∫x
0

2

1
dx
−4
1
dx
− 3x + 2

0

Trang 3


3x 2 + x x + x
35. ∫
dx
x
1

π

4

ln 2

36.

∫(

)

2

51. ∫ cos x .dx
4

2

0
ln 2

4

∫ sin 3x .sin x dx
0

38.

∫

(e

−1

x

)

dx

∫
π sin

2

1
dx
x .cos2 x

2

56.

dx

0
4

x 2 − 6x + 9.dx

2
4

43.

∫x

2

− 3x + 2 dx

−1

π

44.
45.
46.

∫

1 + cos 2x dx

1

57. ∫  x +  dx
x
2
1 2

x − 3x + 3
58. ∫
dx
x +1
0

61. ∫

2

∫

−1 ( 3 − 5x )

− x dx

74.

3

∫

63.

π
2

0

64.

π

1

∫ (

dx

65.

1

∫ (x − 2 )(x + 1)

2

50. ∫ sin x .dx
4

5x − 13
dx
x
−
5
x
+
6
0

66. ∫

1
2

2

x4
67. ∫ 2 dx
x −1
0

4

∫

dx

1 − x 2 .x 3dx

0
4

78.

4x − 1
dx
2x + 1 + 2

∫

0
6

79.

1
∫2 2x + 1 + 4x + 1 dx
2 3

80.

∫

x +4

64

dx

81.

∫

1
ln 3

82.

∫e

ln 2
ln 2

83.

∫
0

x
2

5

3
1

0

π

3

1

77.

1
dx
x +1 − x + 6

∫

)

( 2x − 1)
76. ∫
6
0 ( x + 1)

3x + 1 dx

0
5

2

49. ∫ cos2 x .dx

3

0
3

2

48. ∫ sin x .dx

∫

dx

0

2x + 1 dx

7
3

3

75. x 5 x 2 + 1 dx
1

0

1 − cos 2x dx

x

∫ ( x + 1)
0

4

62.

0

0

4

x +2
dx
+ 4x + 7

2

1

1

0
0

∫x

3

x3
73. ∫
dx
1+x2
0

2
x
x

59. ∫  1 + sin  cos .dx

2
2
0

0
2

x
∫ 2 − 4 dx

3

4

0
1

π

60. ∫ ( −2x + 1) dx

3π
2

72.

2

4

∫ (1 + x ) x dx
0
1

7

0

47.

2 cos2 x + 1
∫0 1 − sin 2 x dx

0
3

∫x

71.

4

∫ 1 − x dx

∫

a
1

0

0
3

42.

A = ∫ f u ( x )  .u ' ( x )dx

2
∫ cos 2x dx

π

∫ 2x − x

2x + 1
dx
+
3
−
4
x
x
−1
2

b

8

55.

)

Bài 2: Tích các tích phân sau:
(Đổi biến số)
DẠNG 1:

2x − 1
54. ∫
dx
x
+
1
0

6
2

41.

)

+ 2x dx

π

4

40.

x

(

0

70. ∫

0
1

π

39.

∫ (e

53.

2

ex

0

x 2 − 3x + 2
∫1 x x 2 + 2x + 1 dx

52. ∫ sin 3x .cos x .dx

π

1

69.

2

π

x

0

37.

3x − 1
∫0 x 2 + 6x + 9 dx

0

e − 1 e dx
x

68.

1

2

dx

1
dx
x +3x
x

1
dx
−1

1
dx
1 + e −x
Trang 4


ln 5

84.

π

e 2x

∫

2

dx

ex − 1
x + e x + 2x 2e x
85. ∫
dx
x
+
e
1
2
0

100.

ln 2
1 2

ln 5

86.

∫

0
1

101.

(10 − e )

e −1
x

103.

1 + ln x
88. ∫
dx
x
1
89.

90.

1 + 3ln x .ln x
dx
x

)

π

91.

104.

∫ sin

dx

1 + ln x .x

∫

3

sin x .cos x
dx
2
+
x
1
cos
0

∫

cos x
105. ∫
dx
2
sin x − 5sin x + 6
0
4

∫x
1

107.

2

∫ (1 + sin x )

0

π

109.

2

3
∫ cos x .dx
0

1 + 3sin x .cos xdx

96.

∫

1 + 7 cos x .sin xdx

0

112.

π
2

97.

∫

1 + 3sin x .sin 2x .dx

0

98.

sin x .dx

∫ ( 2 + cos x )

3

113.
114.

0

π
2

99.

∫
0

cos x
dx
1 + 3 sin x

∫

4

1+x3

3

x 3dx
x2 +9
xdx

7

2x + 1

0

∫
1

π
2

1+2sin x

.cosxdx

6

123.

∫ sin 2x .cos x .dx

ln 8

∫

2

dx
124.

4

x .cos3 x .dx

0

2x

e dx

π

∫

3
2
125. I = sin x .cos x .dx

ex + 1

ln 3

∫ sin

0

π
4

2

∫

3

∫

1

126.

x

.dx

π

x +1 +1

4

x 3 (1 − x 2 )3dx

0

4

6

x .dx

0

1

∫
π sin

1
127. ∫ cos4 x .dx
0
π
2

π
2

∫

4

3

x 5 .dx

2
121. I = x x + 3dx

sin 2xdx

0

111.
3

∫

2

dx

π
2

e sin x sin 2xdx
110. ∫

0

π
2

x +1
3

0

π

x

2

∫

∫

x5

3

2

π

π

95.

e

4

∫

x dx

120.

x

108. 1

2

2

3

0

π

∫ sin

0

2

0

2

2
0

0

94.

(1 + x )

5
∫ cos x .sin xdx

5

∫

e −x xdx

e
122. ∫

dx

π

0

93.

119.

6

x .cos x dx

π

92.

118.

π

106.

2

4

4 sin x

∫0 1 + cos x dx

2

e

1

117.

dx

π

∫(
∫

2

3

1

1
dx
2
ln x − 3ln x + 2 .x

1

∫1+x

e3

3

e

5

2

102.

ln x
∫1 ( 2 + ln x ).x dx
e

x

116.

π

dx

e

87.

∫

1

0

ex

x

ln 2

sin x .cos x
dx
1 + 3 sin x

115.

3

∫

0

∫

x + 1 dx
2

sin 2x

128. ∫ cos2 x + 3 .dx
0
π

π

2
0

∫

x

5

0

e sin x cos xdx
x3

7
3

1+x

2

dx

2

sin 2x
129. ∫ 3 − sin 2 x .dx
0
2

130.

∫1+
1

x
x −1

.dx

Trang 5


π

ln 2

2

2 + sin x
.sin 2x .dx
131. ∫ e
2

0

e
132. ∫ 2e −x + 1 .dx
ln 2
ln 5

∫

133.

(

)

ex + 3 ex

ln 2

149.

sin 2x + sin x
152. ∫
dx
1 + 3cos x
0
sin 2x cos x
153. ∫
dx
1

cos
+
x
0

1
137. ∫ e x + 5 .dx
ln 3

∫

)

154. ∫ (e

∫

x

ln x . 2 + ln 2 x
.dx
141. ∫
x
1
e

π

sin x
142. ∫ 4 cos x − 3 .dx

π
π

sin 2x
143. ∫ cos 2x + 3 .dx
0
144.

∫

x

)

+ 3 ex

e −1
x

ln 3

dx

π
4

1
145. ∫ sin 2 x .cot x .dx
π
6

π
2

146.

∫

π

cos3 x .dx
3

sin x

6

147.

∫

t an x .dx
cos2 x

2

168.

ln 2

∫

156.

0
1

157.

∫
0
2

∫

sin x

∫ 1 + 3cos x dx
0

169.

e

∫x

1
x
2

dx

1

π

sin x
dx
8cos x + 1

170. ∫
0
e3

1 − 2sin 2 x
∫0 1 + sin 2x dx
e

x

ex + 2
x5 +x3

(x

+1

)

8

x +x

5

3

)

(x

2

+2

2

dx

171.

1
∫2 x (1 − ln x ) dx
e
π
2

172. ∫ sin 3 x .cos x dx
π

6
1

dx

173. ∫ x ( x − 1) dx
7

0

π
2

dx

π
6

sin 2x
159. ∫
dx
2 sin 2 x + cos2x
0
π

174.

176.

dx

x −1
∫1 x − 2x − 3 dx
2

π
2

177.

cos x .dx

∫π (1 + sin x )

−

π

178.

e 2 ln x +1
dx
163. ∫
x
1

179.

∫

3xdx
3

0

e3

∫x
1

2

6

19

sin 2x
162. ∫
dx
2
(2
+
sin
x
)
0

2

x

0
2

cosxsin 3x
dx
2
1
+
sin
x
0

1 + ln 2 x
161. ∫
dx
x
1

2

175. ∫ 3 x ( x − 2 )dx

2

e

sin 2x

∫

π 1 + cos

2
1

160. ∫

e

π
4

155.

0

2

(e

+ cos x )cos xdx

π

158.

2

ln 5

sin x

4

(1 + e ) .e
.dx
ex − 1
ln 3
x 2

π

0

dx

1 + sin 2x
dx
2
cos
x
0

∫

2

2

ex + 2

0

140.

π

+ 4 e 2x

ln 4

167.

2

2

ln 4

sin(ln x )
dx
x
1

∫
π

π

1

136. ∫ x .ln 4 x .dx
e

138.

166.

4

2

2

1 + 3ln x ln x
dx
x

∫
1
e

π

1
135. ∫ e x + 3 .dx
ln 3

x

dx

sin 2x
151. ∫
dx
2
+
(2
sin
)
x
0

ln 4

(e

cos2 x + 4 sin 2 x
dx
150. ∫ x
e + 2e −x − 3
ln 3
2

e 2x
134. ∫ e x + 1 .dx
ln 2

ln 5

∫

165.

π

ln 5

e

sin 2x

0
ln 5

dx

e −1
x

1 + ln 2 x
164. ∫
dx
x ln x
e
e

2

−x

e2

π

0

ln 3

∫

148.

e x − e −x
dx
e x + e −x

x2 +8

dx
4 − ln x

Trang 6


1

1

180. ∫ x x 2 + 1 dx

∫π e

−

182. ∫

(

0

sin 2 x

.cos2xdx

4x
dx
2x 2 + 1

)

1

183. ∫ xe

1−x 2

4 −x2
1
197. ∫ 2
dx

x
−
x
+
1
0
198.

−1 (1 − x )

dx
4

ln x .dx
1 x ( ln x + 3 )

201.

e
7

187. ∫ x x + 1 dx
3

1−x2

0

∫x

−5
ln 3

∫
0
2

∫

4 − xdx

4 − x dx
2

1

215. ∫ x cos2 x dx

1

2 − x 2dx

0
2
2

∫

+ 1)dx

0
2

218.

1
)ln xdx
x

∫

202. (x +
1

x

dx

1

2x − x dx
2

∫

217. ∫ x (2cos2 x − 1)dx

ln(1 + x )
∫1 x 2 dx
1

219. ∫ x ln(1 + x 2 )dx

π

0

2

1

∫ (x + cosx)s inxdx

220. ∫ (x − 2)e 2xdx
0
e

221.

1
π

205. ∫ x cos x dx
0
1

206. ∫ xe xdx
0
1

207. ∫ x .e dx

ln x

∫ (x + 1)
0
e

223.

ln x
∫1 x dx

224.

∫ (3x + 2) ln xdx

225.

∫

e

∫

e2

∫

e2

π
2

208. ∫ (x − 1)cos xdx

226.

0

227.

209. ∫ (2 − x )sin 3xdx
0

π

e

1

1

ln x
dx
x3

1

1

1

x ln xdx
ln xdx
x

(

)

228. ∫ x ln 1 + x 2 dx
0

2

210. ∫ x .sin 2x dx
0
e

229.

∫

211. ∫ (1 − x ).ln x .dx

2

1

e

2

1

dx

222. ∫ (2x + 7)ln(x + 1)dx

3x

0

2

1
e
2

6

2

1−x2
1
1
194. ∫ 2
dx
x +x +1

0

0

2

π

0

∫

216.

4

2

Bài 3: Tính các tích phân sau:
(Đổi biến số)
Dạng 2:
a2 + x 2
a2 − x 2
x = a t an t
x = a sin t
1
1
191. ∫
dx
3+x2

0

∫

∫ x ln(x

x + sin x
dx
cos2 x
0

3

π

204. ∫ ln(x + x )dx

0

π

∫ x ln xdx

2

4x + 1 dx

dx

0

0
2

dx
1 + e −x

5

2

2

0
e

203.

ln x

∫x
π

1
1

0
0

195.

∫

e

186. ∫

193.

213. ∫ x .ln(3 + x 2 ).dx

dx

Bài 4: Tính các tích phân sau
(Tích phân từng phần)
200.

1
e

192.

1
1

214.

x2

0

2

1 + ln 2 x
dx
x

e

185. ∫

190.

212. ∫ 4x .ln x .dx

2

2
2

199. ∫ x

dx

x2

184. ∫

189.

dx

1

0
0

188.

∫

4

1

3

1

0
1

0
0

181.

196.

∫

x log 2 xdx

3
x

230. (2x − )ln xdx
1

Trang 7


231.

1

∫ x ln(x
0

+ x + 1)dx

ln ( x + 1)

1

232.

2

∫ (x + 2 )

3

dx

3 + ln x

252.

235. ∫ (x − 2)e 2xdx
0
1

236. ∫ ( x + 1)e xdx

(

)

237. ∫ 2x e − 1 dx
0

π
2

0

∫ (1 − x ) cos xdx

−π
e

π
4

239. ∫ ( 2x − 1) cos xdx
0
e

240. ∫ ( 2x + 1) ln xdx
1
3

(

)

241. ∫ x 2 + 1 e 2xdx
0
1

242. ∫ ( 2x − 1)e dx

1 −ex
xe x + 1
0

1

1
3

254. ∫ 2x ln ( x − 1)dx

−x
∫ (x − 1)e dx
0

π

255. ∫ e x dx

2

(

)

256. ∫ e x 3.e −x − 5x dx
0
2

x + ln x
257. ∫
dx
x
1

261. ∫ x ( x + cos x )dx

π

4

π

1
2

247. ∫ ( ln x − 2 ) x dx
1

π

248. I = ∫ e x sin xdx

0

π

(

2

)

274. ∫ cos2 x 1 − sin 3 x dx
0
1

275.

∫
0
1

3xe x + e x + 2
dx
xe x + 1

π

∫
π

279.

2x cos x + ( x − 2 ) sin x

∫x
1

) dx

x cos x − sin x

dx

ln 3 xdx
1 + 3ln 2 x

e2

0

π

1 − sin x
dx
1 + cos x
0

2

264. ∫

1 + x ln x
dx
x
1

265. ∫

x +1

0

4
e

∫ (x + cos x ) sin xdx

dx

(

∫

dx

4

x +1 −x
2

0

278.

x

x

∫

2

4

e

dx

277.
1
x 2 + 2x + ( x + 1) ln 1 + x 2

∫

2 x

π

263.

x2 −x +1

x e +1
dx
x
1
2

260.

∫

2x 3 − 3x 2 + x

276.

0

246. ∫ 2x ( ln x − 1)dx

273.

xe + 1 + x
dx
x
e
+
1
0

∫

x +e
262. ∫
x
1

0
e

0
2

x

0

245. ∫ ( x + 1) sin 2xdx

272. ∫ ln (1 + cos x ) .sin 2xdx

e

258. ∫ ( x ln x + 1)dx
259.

1
2

x .dx
3
2x + 2

π

Bài 5: Tính các tích phân sau:
(TỔNG HỢP)

1
1

∫
−

2

244. ∫ 2x .sin xdx

3

271.

2
4

x

0
ln 2

1 − sin 3 x
dx
2
x
1
−
sin
0
4

269. ∫
270. ∫

253. ∫ ln x .dx

1

)

π

1

238. ∫ 2x cos x dx

(

1

0
0

1

x

2

268. ∫ 1 + 2xe x dx

4

2

1

243.

1 + x ln x
dx
2
x
1

)

251. ∫ x sin 2x .dx

∫ (x + 1) dx

0
1

(

e

π

cos xdx

)

267. ∫

0
x

0

3

234.

2

(

0

250. ∫ 1 + e x xdx

2

∫e

233.

2

266. ∫ x x 2 + e x dx

0

0

π

1

249. ∫ xe 2x −1dx

2

1 + x 2 ln 3 x
280. ∫
dx
x .ln x
e
π

2 
sin 3 x 
x
−

 dx
2
sin
x
3cos
x
+
1


0

2

281. ∫

0

Trang 8


x + ln ( x + 1)

2

282. ∫

x2

1

1

dx

π

1 − 2x + t an 2014 x
283. ∫
dx
cos2 x

0
4

π

t an x ln ( cos x )

3

284.

∫

cos x

0

dx

π

t an 2 x + 3 t an x + 2
285. ∫
dx
2 + sin 2x
0

cos2x 

2012

∫0 sin x  sin x + 1 + 3cos x dx
D. TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ
THI TỐT NGHIỆP.
NĂM
ĐỀ THI
2

x cos2x + 1
dx
x
x
cos
+
sin
0

287.

∫

)

+ 2x + 1 e x

2 x

xe x + 1

0
4

288. ∫ e

2013

2012

e

2x +1 −2

dx

2011

4.

π

3cot x + 1 + x
dx
sin 2 x

289. ∫
π

4
1

ln 8

∫

2e − e
2x

e +1

ln 3

dx

cos x
∫0 4 − sin 2 x dx
π

293. ∫ e 2x sin 2 xdx
0

∫ ( 4x + 1)e dx
x

298.

∫x
1

(

)

x + ln x dx

A

x 2 + e x + 2x 2e x
∫0 1 + 2e x dx

Cđ

e

B

2

dx

1

D



3

∫  2x − x  ln xdx
1

π

∫ ( cos
2

A

3

)

x − 1 cos2 xdx

0

3

2009
B

x −1
ln xdx
2
x
1

∫1+
∫x
1

D

ln x

∫ x ( 2 + ln x )
e

3

D

dx
2x − 1
2 − x 2dx

∫
0

∫e

( x + 1)

x2 +1

1

A
2008
D

dx

2

dx

dx
−1

x

π

t an 4 x
∫0 cos2x dx
6

2

2

3 + ln x

∫ ( x + 1)
1

0

ln xdx

2x − 1

∫ x + 1 dx
0

2010

2

∫
1
1

3

1 + 3ln 2 x

∫ (x + 1) sin 2x .dx

5

B

4x − 1
dx
2x + 1 + 2

∫

4

2

2013

∫

1

0

Cđ

1 + x sin x
dx
cos2 x
0

3

0

E. TÍCH PHÂN TRONG ĐỀ
THI ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG.
Năm
ĐỀ THI
Kh
B 2 x 2 + 3x + 1
∫1 x 2 + x dx
2014

A

2x + 1

∫ x (x + 1) dx

D

π

 2 1−x2 
295. ∫  x +
dx
x +x3 
1
1
3x + 2ln ( 3x + 1)
296. ∫
dx
2
(x + 1)
0

dx

1

0

D

x sin x + cos x

4

6. ∫ x (1 + cos x )dx

2

1
e

4 + 5ln x
dx
x

π

dx
∫3 x ln x 1 + ln x
e

297. ∫ x

B

2

e8

x sin x + ( x + 1) cos x

π

2011

0

2008

6

4

− 1 e dx
x

5. ∫ x 2 ( x − 1) dx

7.

∫

1

2

1

π

294.

Cđ

0

x

x

2010
2009

x 3 − 2x
290. ∫ 4
dx
x +1
0

292.

∫
1
1

2

)

4

2

0

0

291.

∫ (e

∫ x (1 + sin 2x )dx
0

2. ∫ ( x + 1) cos x .dx
3.

4

0

0

dx

D

2

x

x3
∫0 x 4 + 3x 2 + 2 dx
π

A

ln 2

∫

π

π

286. ∫

B

x

0

2

dx

x
dx

x +1

0

∫ (1 − xe )dx

1.

x2

1

1

2014

∫

1 + ln ( x + 1)

1
3

Cđ

π

(x e

A

π

4

1

3

2 

299. ∫ x e x +
 sx
x
1
+


0
300.

ln x

∫x

3

dx

1

Trang 9


F. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN.
1. ỨNG DỤNG 1:
Diện tích hình phẳng.
a) Hình ( H ) được giới hạn bởi:

Thể tích vật thể do hình ( H ) xoay quanh trục Ox :
b

V Ox = π ∫  f ( x )  − g ( x )  dx
2

2

a

y = f ( x )

x = a

x = b
Truïc Ox

Diện tích hình ( H )

BÀI TẬP
Bài 1: Tính diện tích của hình ( H ) được giới hạn

bởi:
1. y = x 3 − 3x + 2 ; x = −1; x = 3 và trục Ox
2. y = −4 − x 2 và y = 2x 2 − x 4
3. y = x 3 − 2x và tiếp tuyến của nó tại điểm có
b
hoành độ bằng −1
S (H ) = ∫ f ( x ) dx
a
4. y = x 3 − x và y = x − x 2
b) Hình ( H ) được giới hạn bởi:
1
2
5. y = − x 3 + x 2 − ;x = 0; x = 2 và trục Ox
3
3
y = f ( x )
3
2

6. y = 2x − 3x ; x = 0;x = 2 và trục Ox
y = g ( x )
7. y = x 4 − 2x 2 − 3;y = x 2 + 1; x = 0; x = 2

x = a
2x − 1

8. y =
; tiệm cận ngang; x = 0;x = 2
=
x

b

x +1
9. y = x 3 − 12x ; y = x 2
Diện tích hình ( H )
b
10. y = x 3 − 1 và tiếp tuyến của nó tại điểm có hoành
S (H ) = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx
độ bằng −2
a
11. y = x 3 − 3x + 2 và trục hoành
2. ỨNG DỤNG 2:
1
 3
Thể tích vật thể tròn xoay.
12. y = 1 + ; tiếp tuyến tại A  2;  và x = 5
x
 2
a) Hình ( H ) được giới hạn bởi:
3
13. y = x − 3x ;y = x
y = f ( x )
2x − 4
x

14.
y
=
;
y

=
−
+ 1 và trục Ox
x = a
x
−
4
4

1
x = b
15. y = x 3 − x 2; y = ( x − 1)
Truïc Ox
9

−1
Thể tích vật thể do hình ( H ) xoay quanh trục Ox :16. y = ln x ; x = e ; x = e và trục Ox
ln x
b
17. y = x +
;y = x ; x = e
2
V Ox = π ∫  f ( x )  dx
x
a
18. y = 2x ; x + y = 4 và trục hoành.
b) Hình ( H ) được giới hạn bởi:
19. y = x 2 − 2x ; x = −1; x = 2 và trục Ox
y = f ( x )
20. y = −x 3 − 3x 2 và trục hoành.


21. y = (e + 1) x ; y = 1 + e x x
y = g ( x )

−3x − 1
x = a
22. y =
; x = 0 và trục Ox

x
−
1
x = b
23. y = x 2 − 2x ; y = −x 2 + 4x

(

24. y = 4 −

)

x2
x2
;y=
4
4 2
Trang 10


25. y = x 3 ; x = −2; x = 2 và trục Ox

26. y = x 3 ; y = −x 2
x (1 − x )
27. y = 2
;y =0
x +1
28. y = −x 2 + 6x và trục hoành
29. y = − 4 − x 2 ; x 2 + 3y = 0

10. 2e − 1 11.
13. e (e − 1 )
16.
21.

30. y = x ; y = 2 − x và trục Ox
Bài 2: Tính thể tích vật thể được giới hạn bởi24.
hình ( H ) khi quay quanh trục Ox .

1
1. y = x 3 − x 2; x = 0; x = 3 và trục Ox
3
2. y = x ln x ; x = e; y = 0
3. y = xe x ; x = e; y = 0
4. y = 4 − x 2; y = x 2 + 2
5. y = ln x ; x = 2; y = 0
6. y = e x ; y = e 2−x ; x = 0; x = 2
7. y = sin x ; x = 0; x =

π

và trục Ox

2
8. y = −3x + 10; y = 2; y = x 2 ( x > 0 )
9. y = x 3 − 3x ; x = 0; x = 2; Ox
10. y = t an x ; x = 0; x =

π
4

; Ox

2
; x = 0; x = 1; Ox
2−x
= 2x − x 2;y = x
= x 3 − 3x 2 ; y = x − 3
2x − 4
4 −x
=
;y =
; Ox
x −4
4
= 2x ; x + y = 4; Oy
= cos x ; x = 0; x = π ; Ox
= 1 − e x ; x = 1; Ox

11. y =
12. y
13. y
14. y

15. y
16. y
17. y

18. y = e x x ; x = 1; Ox
19. y = 2 − x 2 ; y = 1
20. y = x ; y = x − 2; Ox
ĐÁP SỐ
2179
137
19
15
1.
2.
3.
4.
+ ln 4
+ 2ln 2
12
160
2
4
1
2
3 3
9. − + π
5. 9 6. π 7. + ln 3 8.
2 2
2
3

29.
33.

2ln ( 2 ) + 3

12.

2ln ( 2 ) + 7

2
2
14. 2 + ln 3 15. 2ln ( 2 ) + e 2 − e

π
17
2 + ln 3
5
+ 2ln 2
17. 10 18.
19. 2 −
20.
2
10
ln 3
4
11 28
2 − 3ln 2 22.
+ ln 2 23. −11 + 4 2 + 5ln 2
8 27

π
π
3
5
1
)
− 25. − 2 26. e 4 − 2 27. 28. 2(ln 2 +
4
ln 2
5
2
1
1
30. 2ln ( 2 ) − ln 3 31. 2 + 2ln 2
32.
30
4
1 5
3
181
1
ln
34. ln
35.
36.
4 3
2
6
3

1
−e 2 + 2e + 1
2 3
8
37.
38.
39.
40. 1 41.
42. 1
4
e
3
3
17
1 + 4 ln 2
π
43.
44. 2 2 45.
46. 1 47. 3 2 48.
2
ln 2
4
3π
3π
1
π
49.
50.
51.
52.

53. 1 + ln 2 2
4
16
16
2
1 π
275
π
54. 2 − 3ln 2 55. +
56. 1 +
57.
8 16
2
12
7
1
11
26
58. − + 7 ln 2 59. + 2 60. 0 61.
62.
2
2
288
3
15
68 4
1
63.
64. −
+

6 65. ln 2 66. − ln 18
4
15 5
3
13 1
64 5
8
67.
− ln 3 68. ln
− 69. ln − 1
24 2
27 6
3
11
7
70. ln 2 − ln 3
5
5
15
1 3
1 1
1
37
72. ln + ln 2 73. − ln 2
74.
75.
2 2
2 2
4
16

8
11
2
34
3
3 1
76.
77.
78. + 10 ln
79. ln −
80. 1
2 12
160
15
3
5
2
4
3
8 10
81. 11 + 6 ln 82. ln 83. ln 84. − +
2
2
3
3
3 3
1 1 + 2e 1
1 5
4
5

3
116
85. ln
+ 86. ln 87. ln + 1 88. 89. 90.
4
2
2
3
3
3 3
9
135
3π
8
8
2
14
45
232
5
92.
93.
94. 95.
96.
97.
98.
91.
16
15
15

3
9
28
135
72
2
8
1
1
1 1
99. 100.
101. ln 2 − 102. 2 103. 2 104. − ln 2
2
4
2 2
3
27
10
16
7
32
106. ln
107. 108. 2e 2 − 2e 109.
110. e − 1
105. ln
3
3
9
9
5

1
848
141
1 1
111. 112.
113.
114. e − 1 115.
116. −
3
40
105
20
2 2e
71.

Trang 11


8
32
134
10
8 7
1
1
7 122. e 3 − e
118. 119.
120.
121. +
2

2
3 3
9
9
3
3
2 1
2
4
4
4
4
3 124.
125. 126. 2 3 − 127. 128. ln
123. −
3 4
3
3
35
15
3
3
11
1
6
129. ln 130. − 4 ln 2 131. e 3 − e 2 132. ln 133. 1 + ln 16
2
3
2 5
1

7
3
134. 3 − ln 2 135. ln 2 − ln 7 136.
137. ln 2 − ln 3
24
3
5
3
13
3
2
1 3
2 + 3 142. ln
138. 20 + 4 ln 140. + 4 ln 141. −
2
2
7
3
4 7
1
1
9 45 3
2
2 147.
143. ln 2 144. 2 + 4 ln 2 145. ln 3 146. −
2
2
3
8 64
5

2
3
9 2
34
148. ln 149. 150. ln 151. ln − 152.
153. −1 + ln 4
4
2
4 3
3
27
π
1
1 1
44
154. + e − 1 155. ln 2 156. 4 − 2 3 157. − ln 2 158. − ln 5
2
2 2
4
15
3
5
1 1
4
9 2
e −e
159. ln 160. − ln 2 161. 162. ln − 163.
4
2 2
2

4 3
3
3
116
2
166. 1 − cos1 167. ln 2 + 1 168. ln 2
164. + ln 2 165.
2
3
135
1
15
1
15
169. e − e 170. 171. − ln 2 172.
173. − 1 74. ln 2 175. −
2
4
64
72
3
1
45
1 2
2
176. − ln 2 + ln 3 177. 178. 179. 2 180. − +
4
4
6
3 3

1 1
1
1
1
13
181. −
182. ln 3 183. e − 184.
185.
186. 2 − 3 ln 2
2
2
24
24
2 2e
117.

187.

1 1
1
7
+ e 250. 3 + e 2 251. 252. −2 253. 1 254. − + 8ln 2
2
4
4e 4
1
3
1
255. 2e 2 256. −2 257. 1 + ln 2 2 258. − + e 2 + e
2

4 4
3
14
π3
262.
− 2e + 2e 2
259. ln 2 − ln (e + 1) + 260. e 2 + ln 2 261. −2 +
2
3
3
249.

1
2π 1
5 1
3 1
2 264. 1 − ln 2 265. + e 2 266. 5 + e 2 267. −
−
+
4 4
2 e
4
8
2
3
12
1
4
2 270. 1 − ln (e + 1) 271. 272. 273.
268. 1 + 2e 2 269. 3 −

2
2
5
3
263.

π 1
2 π
2 2
277. −
274. − + 275. 2 + ln (e + 1) 276.
2 2
5 4
3
 2 π
4
1 2
1 4
10

+ ln 
 − 1   279. 280. − 2 e + ln 2 + 2 e 281.
2
27
3
 
 2  4
3
2016
1 1

π
282. 4 ln 2 −
283.
+ ln 2 − 284. 1 − 2 ln 2 285. + ln 3
2 2
2 ln 3
2015
2

278.

π

π

(

)

2
ln 3 + 2 2 287. 1 + ln (e + 1) 288. 2e
2
π 1
π
4
2
1
58
1 5
2 + + ln 2 − 290. ln 2 − 291.

289.
292. ln
4
4
3
3
4 2
3
4 3
1 1 2π
3
7
4
3
293. − + e 294. ln 295. + ln 296. − + 4 ln 2
2
2
5 5
3
5
173
4
118 π
297.
299. 3 − 2 ln 2 300.
+
+ 16 ln 2 298.
27
405 4
20

286. −1 +

2

+

1209
506
13
3π
1 π
188. −
189. ln 2 190.
191.
192. +
2 4
28
15
3
18

π 1
π
π
π 1
3π
2 3π
− 194.
195. 196. 197.
198. −

4
8 4
9
9
8 4
6
3 2π
1 1
1
3 1
3
199.
+
200. + e 2 201. − + ln 2 202. + e 2 203.
4 4
4 4
2
2
4
3
π
π
1 2 3
5
204. −2 + 3 ln 3 205. − 1 206. 1 207. + e 208. − 2 209.
2
2
9 9
9
π

8 2 3
3
1
210. 211. − e 212. −8 + 18 ln 3 213. − ln 3 − + 4 ln 2
4
2
2
9 9
193.

15
1
1 π2
3π
1 π
− ln 2 215. − +
216. 1 +
− ln 2 217. − +
256 64
4 16
3
4 8
3
1
5 3
218. 3 ln 2 − ln 3 219. − + ln 2 220. − e 2 221. 0
2
2
4 4
11 3 2

1 3
222. −14 + 24 ln 3 223. 4 − 2 e 224. + e 225. − 2
4 4
4 4e
4 8 3
1
−3 + 8 ln 2
1
226. + e 227. 4 228. − + ln 2 229.
230. −1 + e 2
2
4 ln 2
2
9 9
214.

3π 3
1 17
1
1 1 π
+ ln 3 232. − + ln 2 − ln 3 233. − + e 2
12 4
2 2
12 18
2
4
2 1
5 3
234. ln 3 + − ln 5 235 . − e 2 236.e 237. 1 238. π − 2
4 4

5
5 2
3 1
3 15
1
239. π − 3 240. + e 2 241. − + e 6 242. 3 − e 243. − ln 2
2 2
4 4
2
3
3 1
15
1 1
+ 2 ln 2 248. + e π
244. 2 245. 246. − e 2 247.
4
2 2
4
2 2
231. −

Trang 12