Bài tập liên quan đến phương trình sóng

x

Bài tập liên quan đến phương trình sóng:

M
x
O

M

x

1 –Kiến thức cần nhớ :

u 0 = A cos(ωt + ϕ )

O +Tổng quát: Nếu phương trình sóng tại nguồn O là
2π x
x
u M = A cos(ω t + φ m
)

λ

+ Phương trình sóng tại M là
* Sóng truyền theo chiều dương của trục Ox thì:
ω

x
v

2π

x
v

2π

uM = AMcos(ωt + ϕ ) = AMcos(ωt + ϕ * Sóng truyền theo chiều âm của trục Ox thì:
ω

x
λ

thì

.

) t ≥ x/v

x
λ

uM = AMcos(ωt + ϕ +
) = AMcos(ωt + ϕ +
)
+Lưu ý: Đơn vị của , x, x1, x2, λ và v phải tương ứng với nhau.
2-Các bài tập có hướng dẫn:
Bài 1: Một sợi dây đàn hồi nằm ngang có điểm đầu O dao động theo phương đứng
với biên độ A=5cm, T=0,5s. Vận tốc truyền sóng là 40cm/s. Viết phương trình
sóng tại M cách O d=50 cm.

A.
C.

uM = 5cos(4π t − 5π )(cm)

uM = 5cos(4π t − π )(cm)

Giải: Phương trình dao động của nguồn:

B
D

uM = 5 cos(4π t − 2, 5π )(cm)

uM = 5cos(4π t − 25π )(cm)

uo = A cos(ωt )(cm)

a = 5cm

Với :

ω=

uM = A cos(ωt −

2π 2 π
=
= 4π ( rad / s ) uo = 5cos(4π t )(cm)
T 0,5

.Phương trình dao động tai M:

2π d
)
λ

λ = vT = 40.0,5 = 20 ( cm )

uM = 5cos(4π t − 5π )(cm)

Trong đó:
;d= 50cm
.
.
Chọn A.
Bài 2: Một sóng cơ học truyền theo phương Ox với biên độ coi như không đổi. Tại
O, dao động có dạng u = acosωt (cm). Tại thời điểm M cách xa tâm dao động O là


1
3

bước sóng ở thời điểm bằng 0,5 chu kì thì ly độ sóng có giá trị là 5 cm?. Phương
trình dao động ở M thỏa mãn hệ thức nào sau đây:
uM = a cos(ωt −

A.
uM

C.

Chọn C

2λ
)cm
3

uM = a cos(ω t −

πλ
)cm
3

uM = a cos(ω t −

π
)cm
3

B.

2π
= a cos(ω t −
)cm
3

D.

Giải : Sóng truyền từ O đến M mất một thời gian là :t =
uM = a cos ω (t −

Phương trình dao động ở M có dạng:
ω
2π
2π
=
=
λ
v
λ
T.
T

uM = a cos(ω t −

1.λ
)
v.3

2π .λ
)
λ .3

d
v

=

λ
3v

.Với v =λ/T .Suy ra :

u M = a cos(ωt −

2π
)cm
3

Ta có:
Vậy
Hay :
Bài 3. Một sóng cơ học truyền dọc theo trục Ox có phương trình u=28cos(20x 2000t) (cm), trong đó x là toạ độ được tính bằng mét, t là thời gian được tính bằng
giây. Vận tốc truyền sóng là
A. 334m/s
B. 314m/s
C. 331m/s
D.
100m/s
Giải: Chọn D HD: U = 28cos (20x – 2000t) = 28cos(2000t – 20x) (cm)
ω = 2000

⇒  ωx
⇔
=
20x

 v

ω = 2000
2000


⇒v=
= 100 ( m / s )

ω
20
v
=


20

Chọn D
Bài 4: Một sóng cơ ngang truyền trên một sợi dây rất dài có phương trình
u = 6 cos( 4πt − 0,02πx )

; trong đó u và x có đơn vị là cm, t có đơn vị là giây. Hãy xác
định vận tốc dao động của một điểm trên dây có toạ độ x = 25 cm tại thời điểm t =
4 s.
π

A.24 (cm/s)
π

π

B.14 (cm/s)

D.44 (cm/s)
Giải : Vận tốc dao động của một điểm trên dây được xác định là:

π

C.12 (cm/s)


v = u ' = −24π sin( 4πt − 0,02πx ) (cm / s )

;

Thay x = 25 cm và t = 4 s vào ta được :
Chọn A

v = −24π sin(16π − 0,5π ) = 24π ( cm / s )

Bài 5: Một sóng cơ học lan truyền trên một phương truyền sóng với vận tốc 5m/s.

π
uO = 6 cos(5π t + )cm
2
Phương trình sóng của một điểm O trên phương truyền đó là:
.

Phương trình sóng tại M nằm trước O và cách O một khoảng 50cm là:
A. u M = 6 cos 5πt (cm)
u M = 6 cos(5πt −

π
)cm
2

B.

u M = 6 cos(5πt +

π
)cm
2

uM = 6 cos(5pt + p)cm

C.
D.
Giải :Tính bước sóng λ= v/f =5/2,5 =2m
Phương trình sóng tại M trước O (lấy dấu cộng) và cách O một khoảng x là:
uM = A cos(ωt +

π 2π x
+
)
2
λ

=> Phương trình sóng tại M nằm trước O và cách O một khoảng x= 50cm= 0,5m
là:
uM = 6 cos(5π t +

π 2π 0,5
+
)(cm) = 6 cos(5π t + π )(cm)

2
2

(cm) .Chọn D
Bài 6: Một sóng cơ học lan truyền trên mặt nước với tốc độ 25cm/s. Phương trình
sóng tại nguồn là
u = 3cosπt(cm).Vận tốc của phần tử vật chất tại điểm M cách O một khoảng 25cm
tại thời điểm t = 2,5s là:
A: 25cm/s.
B: 3πcm/s.
C: 0.
D:
-3πcm/s.
λ=

v.2π 25.2π
=
= 50cm / s
ω
π

Giải: Bước sóng:
Phương trình sóng tại M (sóng truyền theo chiều dương ) là:
uM = 3cos(π t − 2π

25
) = 3cos(π t − π )cm
50

Vận tốc thì bằng đạo hàm bậc nhất của li độ theo t:

vM = − A.ω sin(ω t + ϕ ) = −3.π .sin(π .2, 5 − π ) = −3.sin(1,5π ) = 3π cm / s

Chọn B


Bài 7: Với máy dò dùng sóng siêu âm, chỉ có thể phát hiện được các vật có kích
thước cỡ bước sóng siêu âm. Siêu âm trong một máy dò có tần số 5MHz. Với máy
dò này có thể phát hiện được những vật có kích thước cỡ bao nhiêu mm trong 2
trường hợp: vật ở trong không khí và trong nước.
Cho biết tốc độ âm thanh trong không khí và trong nước là 340m/s và 1500m/s
Giải : a. Vật ở trong không khí: có v = 340m/s
λ=

v
f

340
5.10 6

=
0.068mm

= 6,8.10 – 5 m = 0,068mm Quan sát được vật có kích thước >
λ=

v
f

1500

5.10 6

b. Vật ở trong nước có v= 1500m/s,
=
= 3.10 – 4 m = 0,3mm
Quan sát được vật có kích thước > 0.3mm
Bài 8: Một sóng ngang có biểu thức truyền sóng trên phương x là :
u = 3cos(100π t − x)cm , trong đó x tính bằng mét (m), t tính bằng giây (s). Tỉ số giữa
tốc độ truyền sóng và tốc độ cực đại của phần tử vật chất môi trường là :
A:3

B

( 3π )

−1

C 3-1.

.

2πx
λ

D

2π

.

Giải: Biểu thức tổng quát của sóng u = acos(ωt ) (1)
Biểu thức sóng đã cho ( bài ra có biểu thức truyền sóng...) u = 3cos(100πt x)
(2).
Tần số f = 50 Hz;Vận tốc của phần tử vật chất của môi trường: u’ =
-300πsin(100πt – x) (cm/s) (3)
2πx
λ

So sánh (1) và (2) ta có :
= x ---> λ = 2π (cm)
Vận tốc truyền sóng: v = λf = 100π (cm/s) Tốc độ cực đại của phần tử vật chất
v

u ' max

=

100π 1
= = 3 −1
300π 3

của môi trường u’max = 300π (cm/s). Suy ra:
Chọn C
Bài 9: Nguồn sóng ở O dao động với tần số 10Hz, dao động truyền đi với vận tốc
0,4m/s theo phương Oy; trên phương này có hai điểm P và Q với PQ = 15cm. Biên
độ sóng bằng a = 1cm và không thay đổi khi lan truyền . Nếu tại thời điểm t nào đó
P có li độ 1cm thì li độ tại Q là
A. 1cm
B. -1cm
C. 0

D. 2cm
λ=

Giải Cách 1:

v 40
=
f 10

= 4cm; lúc t, uP = 1cm = acosωt → cosωt =1
1

P
Q


uQ = acos(ωt -

2πd
λ

) = acos(ωt -

2π.15
4

)
= acos(ωt -7,5π) = acos(ωt + 8π -0,5π)
= acos(ωt - 0,5π) = asinωt = 0

PQ 15
= = 3,75
λ
4

Giải Cách 2:
→ hai điểm P và Q vuông pha
Mà tại P có độ lệch đạt cực đại thi tại Q có độ lệch bằng 0 : u Q = 0 (Hình vẽ)
Chọn C
π
u = 2 cos(20π t + )
3

Bài 10: Một nguồn O phát sóng cơ dao động theo phương trình:
( trong đó u(mm), t(s) ) sóng truyền theo đường thẳng Ox với tốc độ không đổi
1(m/s). M là một điểm trên đường truyền cách O một khoảng 42,5cm. Trong
khoảng từ O đến M có bao nhiêu điểm dao động lệch pha
A. 9
B. 4
C. 5
Giải: Xét một điểm bất kì cách nguồn một khoảng x
20π

Ta có độ lệch pha với nguồn:

π
6

với nguồn?
D. 8

x π
v 1
1
= + kπ ⇒ x =
( + k ) = 5( + k )
v 6
20 6
6
1
1
⇔ 0 p 5( + k ) p 42,5 ⇔ − p k p 8,333
6
12

Trong khoản O đến M, ta có : 0 < x < 42,5
Với k nguyên, nên ta có 9 giá trị của k từ 0 đến 8, tương ứng với 9 điểm. ĐÁP ÁN
A
Bài 11. Một sóng cơ học lan truyền dọc theo một đường thẳng có phương trình
u O = A sin (

sóng tại nguồn O là:
t=

sóng ở thời điểm
4 / 3 (cm).

A.
4(cm)

T
2

có ly độ

2π
t)(cm).
T

Một điểm M cách nguồn O bằng

u M = 2(cm).

B.

2 3 (cm ).

1
3

bước

Biên độ sóng A là:
C. 2(cm).

D.


Giải: Chọn A. HD:
U

T
M ÷
2

2n 
 2n
U M = Asin  .t −
÷
3 
 T

→

4
 2n T 2n 
= A.sin 
. −
=2⇒A=
÷
3 
3
 T 2

Bài 12. Sóng truyền từ O đến M với vận tốc v=40cm/s, phương trình sóng tại O là
π
2

u= 4sin t(cm). Biết lúc t thì li độ của phần tử M là 3cm, vậy lúc t + 6(s) li độ của
M là

A. -3cm
B. -2cm
C. 2cm
D.
3cm
Giải: Chọn A.T= 4s => 3T/2 =6s ⇒ Li độ của M lúc t + 6 (s) là -3cm.
Bài 13: Một sóng cơ lan truyền từ nguồn O, dọc theo trục Ox với biên độ sóng
không đổi, chu kì sóng T và bước sóng

λ

. Biết rằng tại thời điểm t = 0, phần tử tại

O qua vị trí cân bằng theo chiều dương và tại thời điểm t =
cách O một đoạn d =
A. 4/

3

cm

λ
6

5T
6

phần tử tại điểm M

có li độ là -2 cm. Biên độ sóng là

B. 2

2

π
5π


u0 = A cos  ωt − ÷⇒ uM = A cos  ωt −
2
6



C. 2

3

cm

5π
4

= −2 ⇒ A =
÷⇒ A cos
6
3


D. 4 cm

Giải:
Bài 14: Sóng cơ truyền trong một môi trường dọc theo trục Ox với phương trình
u = cos(20t - 4x) (cm) (x tính bằng mét, t tính bằng giây). Vận tốc truyền sóng này
trong môi trường trên bằng
A. 5 m/s.
B. 4 m/s.
C. 40 cm/s.
D. 50 cm/s.
T=

Hướng dẫn:+ Ta có:

2π π
2πx
π
λ
= ( s );
= 4 x ⇒ λ = (m) ⇒ v = = 5(m / s )
ϖ 10
λ
2
T

λ

Bài 15: Một sóng cơ có bước sóng , tần số f và biên độ a không đổi, lan truyền
λ

trên một đường thẳng từ điểm M đến điểm N cách M 19 /12. Tại một thời điểm

M

nào đó, tốc độ dao động của M bằng 2πfa, lúc đó tốc độ dao động của điểm N
u
bằng:
2

u/

O

3



A.
πfa
B. πfa
C. 0
D.
πfa
Giải:Dùng trục Ou biểu diễn pha dao động của M ở thời điểm t (vec tơ quay của
M)
N M có tốc độ dao động M bằng 2πfa
Tại thời điểm t, điểm
⇒
⇒

d=

M ở vị trí cân bằng (hình vẽ): MN =

19
7
λ =1 λ
12
12

Ở thời điểm t: N trễ pha hơn M một góc :
Quay ngược chiều kim đồng hồ một góc
3 /
u max
2

α

7π
6

2π

=

d 7π
=
λ 6

ta được véc tơ quay của N

3
2πfa
2

3

Chiếu lên trục Ou/ ta có u/N =
=
=
πfa. Chọn D
Nếu M ở vị trí cân bằng đi theo chiều dương thì tốc độ của N cũng có kết quả như
trên.
Bài 16: Sóng lan truyền từ nguồn O dọc theo 1 đường thẳng với biên độ không
đổi. Ở thời điểm t = 0 , điểm O đi qua vị trí cân bằng theo chiều (+). Ở thời điểm
bằng 1/2 chu kì một điểm cách nguồn 1 khoảng bằng 1/4 bước sóng có li độ 5cm.
Biên độ của sóng là
A. 10cm

B. 5

3

cm

C. 5

2

Giải: Biểu thức của nguồn sóng tại O: u0 = acos(

cm

2π
T

t-

π
2

2π
T

D. 5cm
) (cm)
π
2

Biểu thức của sóng tại M cách O d = OM uM = acos( t Với : dấu (+) ứng với trường hợp sóng truyền từ M tới O;
dấu (-) ứng với trường hợp sóng truyền từ O tới M
Khi t = T/2; d = λ/4 thì uM = 5 cm => acos(

2π
T

t-

π
2

±

2πd
λ

)

±

2πd
λ

) (cm)


=> acos(
Chọn D

2π T
T 2

-

π
2

±

2πλ

λ.4

) = a cos(

π
2

±

π
2

) = ± a = 5 Do a > 0 nên a = 5 cm.

Bài 17: Một sóng cơ học lan truyền dọc theo 1 đường thẳng có phương truyền
sóng tại nguồn O là :
2π
T

π
2

uo = Acos( t + ) (cm). Ở thời điểm t = 1/2 chu kì một điểm M cách nguồn
bằng 1/3 bước sóng có độ dịch chuyển uM = 2(cm). Biên độ sóng A là
A. 4cm.

B. 2 cm.

C. 4/

3

cm.

Giải: Biểu thức của nguồn sóng tại O: uo = Acos(

2π
T

t+

2π
T

π
2

D. 2

uM = Acos(
=> Acos(
=> Acos(

13π
6

5π
6

t+

π
2

±

2πd
λ

π
6

) = Acos(

2π T
T 2

+

π
2

±

) = Acos( ) = 2 (cm) => A= 4/

2πλ
λ .3

3

cm

) (cm).

Biểu thức của sóng tại M cách O d = OM: uM = Acos( t +
Với : dấu (+) ứng với trường hợp sóng truyền từ M tới O;
dấu (-) ứng với trường hợp sóng truyền từ O tới M
Khi t = T/2; d = λ/3 thì uM = 2 cm
2π
T

3

π
2

) = Acos(

±

3π
2

2πd
λ

±

) (cm)

2π
3

) = 2 cm

cm. Chọn C

) = 2 (cm) => A < 0 (Loại)

Bài 18: Một sóng cơ học lan truyền trên một phương truyền sóng với vận tốc v =
50cm/s. Phương trình sóng của một điểm O trên phương truyền sóng đó là : u0 =
2π
T

acos( t) cm. Ở thời điểm t = 1/6 chu kì một điểm M cách O khoảng λ/3 có độ
dịch chuyển uM = 2 cm. Biên độ sóng a là
A. 2 cm.

B. 4 cm.

C. 4/

3

cm

D. 2

3

cm.


Giải: Biểu thức của nguồn sóng tại O: uo = acos(

2π
T

t ) (cm).

Biểu thức của sóng tại M cách O d = OM uM = acos(
Với : dấu (+) ứng với trường hợp sóng truyền từ M tới O;
dấu (-) ứng với trường hợp sóng truyền từ O tới M
Khi t = T/6; d = λ/3 thì uM = 2 cm
2π
T

2π T
T 6

2πd
λ

uM = acos( t ±
) = acos(
±
=> acosπ = - a = 2 cm => a < 0 loại

2πλ

λ .3

2π
T

t±

2πd
λ

) (cm)

)

π
3

=> acos(- ) = 2 (cm) => a = 4cm. Chọn B
3–Trắc nghiệm Vận dụng :
Câu 1 : Một sóng truyền theo trục Ox với phương trình u = acos(4πt – 0,02πx) (u
và x tính bằng cm, t tính bằng giây). Tốc độ truyền của sóng này là :
A. 100 cm/s.
B. 150 cm/s.
C. 200 cm/s.
D. 50
cm/s.
2π (

Câu 2: Cho một sóng ngang có phương trình sóng là u= 8cos
đó x tính bằng cm, t tính bằng giây. Bước sóng là

A.

λ = 0,1m

B.

λ = 1m

λ = 50cm

C.

t
x
− )
0,1 50

mm, trong

λ = 8mm

D.

Câu 3: Một sóng cơ học lan truyền trong môi trường vật chất tại một điểm cách
u = 4 cos(2πt −

π
x )cm
4
. Vận tốc truyền sóng trong

nguồn x(m) có phương trình sóng:
môi trường đó có giá trị:
A. 8m/s
B. 4m/s
C. 16m/s
D. 2m/s
Câu 4: Sóng truyền tại mặt chất lỏng với bước sóng 0,8cm. Phương trình dao động
ω

tại O có dạng u0 = 5cos t (mm). Phương trình dao động tại điểm M cách O một
đoạn 5,4cm theo hướng truyền sóng là
ω

A. uM = 5cos( t + π/2) (mm)
ω

C. uM = 5cos( t – 13,5π ) (mm).

ω

B. uM = 5cos( t+13,5π) (mm)
ω

D. uM = 5cos( t+12,5π) (mm)


Câu 5.(ĐH_2008) Một sóng cơ lan truyền trờn một đường thẳng từ điểm O đến
điểm M cách O một đoạn d. biên độ a của sóng không đổi trong quá trình sóng
truyền. Nếu phương trình dao động của phần tử vật chất tại điểm M có dạng

uM(t) = acos2πft thì phương trình dao động của phần tử vật chất tại O là:
d
d
u 0 (t) = acos2π(ft - )
u 0 (t) = acos2π(ft + )
λ
λ
A.
B.
d
u 0 (t) = acosπ(ft - )
λ

d
u 0 (t) = acosπ(ft + )
λ

C.
D.
Câu 6: Một sóng cơ học lan truyền trên một phương truyền sóng với vận tốc 4m/s.
u 0 = 10 cos(πt +

Phương trình sóng của một điểm 0 có dạng :
tại M nằm sau 0 và cách 0 một khoảng 80cm là:
A.

π
u M = 10 cos(πt − )cm
5

u M = 10 cos(πt −

8π
)cm
15

u M = 10 cos(πt +

B.

π
)cm
5

π
)cm
3
. Phương trình sóng

u M = 10 cos(πt +

C.

2π
)cm
15

D.

Câu 7: Nguồn phát sóng được biểu diễn: u o = 3cos(20πt) cm. Vận tốc truyền sóng

là 4m/s. Phương trình dao động của một phần tử vật chất trong môi trường truyền
sóng cách nguồn 20cm là
π
2

π
2

A. u = 3cos(20πt - ) cm.
B. u = 3cos(20πt + ) cm.
C. u = 3cos(20πt - π) cm.
D. u = 3cos(20πt) cm.
Câu 8: Lúc t = 0 đầu O của dây cao su căng thẳng nằm ngang bắt đầu dao động đi
lên với biên độ 1,5cm, chu kì T = 2s. Hai điểm gần nhau nhất trên dây dao động
cùng pha cách nhau 6cm.Phương trình dao động tại M cách O 1,5 cm là:
A.

π
uM = 1,5cos(π t + )cm
4

π
uM = 1,5cos(π t − )cm
2

(t > 0,5s)

B.

π

uM = 1,5 cos(2π t − )cm
2

uM = 1,5cos(π t − π )cm

(t > 0,5s)

C.
(t > 0,5s)
D.
(t > 0,5s)
Câu 9: Người ta gây một dao động ở đầu O của một sợi dây cao su căng thẳng
theo phương vuông góc với phương của sợi dây, biên độ 2cm, chu kì 1,2s. Sau 3s
dao động truyền được 15m dọc theo dây.Nếu chọn gốc thời gian là lúc O bắt đầu
dao động theo chiều dương từ VTCB, phương trình sóng tại một điểm M cách O
một khoảng 2,5m là:


2 cos(

A.
C.

5π
π
t − )cm
3
6

2 cos(

(t > 0,5s).

10π
5π
2 cos(
t + )cm
3
6

(t > 0,5s).

B.
D.

5π
5π
t − )cm
3
6

(t > 0,5s).

5π
4π
2 cos( t −
)cm
3
3

(t > 0,5s).