Bai tap dien hinh CM hinh phang doan tri dung

MỘT SỐ BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH
RÈN LUYỆN CHỨNG MINH HÌNH HỌC PHẲNG
Biên soạn: Đoàn Trí Dũng
Bài 1: Tam giác ABC, đường cao AK, BD và CE. I là tâm ngoại tiếp. Chứng minh rằng:
a) BDEC là tứ giác nội tiếp.

IA ⊥ DE

b)
.
c) IA là trung trực của MN.
AM = AN
d)
.
2
A M = A N 2 = A E .A B = A D .A C = A H .A K
e)
.
a) Học sinh tự chứng minh.
∠IA C = 900 − ∠A BC
⇒ IA ⊥ DE

∠A BC = ∠A DE
b)
.
c) Dây cung MN vuông góc với bán kính IA nên theo tính chất giữa
dây cung và tâm, ta có IA đi qua trung điểm của MN. Do đó IA
là trung trực của MN.
d) Vì câu c) nên ta có câu d).
1
1

∠A ME = sdA¼N , ∠A BM = sdA¼M
2
2
AM = AN
e)
mà
.
Như vậy

∠A ME = ∠A BM ⇒ ∆A ME ∽ ∆A BM ⇒ A M 2 = A E .A B

Vì BDEC là tứ giác nội tiếp nên
Vì BEHK là tứ giác nội tiếp nên

A E .A B = A D .A C

A E .A B = A H .A K

.

.
.

Kiến thức cần nhớ:
•
•

∠IA C = 900 − ∠A BC

Khái niệm góc dưới đáy ở tâm phụ với góc nội tiếp chắn cung:

.
2
∆A ME ∽ ∆A BM ⇒ A M = A E .A B
Tam giác đồng dạng chung góc với tỷ số bình phương:
.

Bài 2: Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AE. E trung điểm BD. Đường tròn cắt AC tại G.
EA = EG
a)
.
b)

EG

là tiếp tuyến của đường tròn tâm F.
EC .A D = EG .A C
c)
.


∠ A GE = ∠A DE

a) AGDE nội tiếp nên
. Mà
∠A DE = ∠A BE = ∠EA G ⇒ EA = EG
.
∠ EGD = ∠ EA D = ∠EA B = ∠DCG
b)
.
Mà

0
∠DCG = ∠FGC = 90 − ∠DGF
do
đó
0
∠EGD = 90 − ∠DGF ⇒ EG ⊥ GF
.
∠GEC = ∠GA D ⇒ ∆GEC ∽ ∆DA C
c)
. Ta có
điều phải chứng minh.
M,N,P
Bài 3: Trực tâm H, tâm ngoại tiếp I. Các đường cao hạ vuông góc là AD, BK, BE, CF.
là các trung
điểm. Chứng minh rằng:
DE ⊥ A C , DF ⊥ A B
a)
.
MP , MN
DE , DF
b)
là các trung trực của
.
DEF
c) M là tâm ngoại tiếp tam giác
.
d)

∆DEF ∽ ∆A BC

.

K ,E,M
e)

thẳng hàng.
a)

∠A DE = ∠A BE = 900 − ∠BA E = ∠A CD

mà

0

∠A CD = 90 − ∠DA C ⇒ DE ⊥ A C
Tương tự ta có

DF ⊥ A B
MP ⊥ DE

.

.

b) MP // AC nên
. Mặt khác P là tâm đường
tròn ngoại tiếp tứ giác AEDB nên P nằm trên trung trực
của DE. Vậy MP là trung trực của DE. Tương tự cho
MN.
c) Vì câu b) nên có câu c).

( )

∠DEF = ∠A B C , ∠DFE = ∠A CB ⇒ ∆DEF ∽ ∆A BC g.g
d)

Ta có
.
0
0
0
∠MEF = 90 − ∠EDF = 90 − ∠BA C = ∠A BK = ∠A EK = 180 − ∠KEF ⇒

e)

Bài 4: MD và ME vuông góc với AC và BC. P và Q lần lượt là trung điểm của AB và DE.
a)
b)

BM .DE = BA .EM
∆A PM ∽ ∆DQM

.
.

đpcm.


PQ ⊥ QM
c)

.

a)

∠EMD = ∠DCB = ∠A MB
⇒ ∆EMD ∽ ∆BMA

∠DEM = ∠DCM = ∠A BM
suy ra

BM .DE = BA .EM

do đó ta

.
∆A PM ∽ ∆DQM

b) Từ câu a) ta suy ra
.
∆A PM ∽ ∆DQM ⇒ ∆A DM ∽ ∆PQM ⇒ ∠PQM = ∠A DM
c)
.
PQ ⊥ QM
Vậy
.
Kiến thức cần nhớ: Kỹ thuật co dãn tam giác đồng dạng và kỹ thuật đổi
đỉnh chéo tam giác đồng dạng.
Bài 5: Hình vuông ABCD. E là điểm bất kỳ trên đoạn BC. Đường tròn đường kính AE cắt BD tại F. Tiếp
tuyến tại A của đường tròn cắt CD tại G. Chứng minh rằng:

a)

∆FA E

vuông cân.
FA = FE = FC
b)
.
·FA G = 450
A GDF
c)
đồng thời
nội tiếp.
G, F, E
d)
thẳng hàng.
e)

F

là trung điểm

GE

.
a) FABE nội tiếp đường tròn đường kính AE do
đó tam giác FAE vuông. Lại có
∠FEA = ∠FBA = 450
do vậy tam giác FAE
vuông cân.

b) Vì F nằm trên trung trực của AC nên
FA = FE = FC
.
∆EA B = ∆GA D ⇒ GA E
c)
là tam giác vuông
0
∠FA G = 90 − ∠FA E = 450
cân do đó
nên

A GDF
d)

A GDF

nội tiếp.
∠GFA = ∠GDA = 900

nội tiếp nên
G, F, E
. Do đó ta có
thẳng hàng.
e) GAE vuông cân nên ta có đpcm.

Bài 6: Trực tâm H, tâm ngoại tiếp I, AD là đường kính. AE kéo dài cắt đường tròn tại K, J là trung điểm BC.


G là trọng tâm tam giác ABC.
a) BHCD là hình bình hành.

uuuur
uur
A H = 2IJ
b)
.
EH = EK
c)
.
·
BKM
KA
d)
là phân giác góc
.
uuur
uuur
IH = 3IG
e)
.

BH ⊥ A C ,CD ⊥ A C ⇒ BH
a)

// CD. Tương tự BD // CH do đó
BHCD là hình bình hành.
b) BHCD là hình bình hành cho nên J là trung điểm của HD. Do
đó ta có điều phải chứng minh.
∠EBH = ∠EA C = ∠EBK
c)
. Ta có điều phải chứng minh.

d)

∠ BKA = ∠BCA = ∠A KM

. Ta có điều phải chứng minh.

AG 2
=
AJ
3

e) Ta có:
mà J là trung điểm của HD do đó G là trọng
tâm tam giác AHD. Ta có điều phải chứng minh.

Bài 7: Tam giác OAB vuông cân tại O. Kẻ đường thẳng bất kỳ qua A cắt OB tại M. Kẻ đường thẳng qua B
vuông góc AM tại H cắt đường tròn đường kính OB tại K và cắt OA tại I.

IM ⊥ A B

a)
.
b) OMI là tam giác vuông cân.
·
MHI
c) HO là phân giác góc
.
d) OKH là tam giác vuông cân.
a) M là trực tâm tam giác ABI do đó ta có điều phải chứng minh.
∠MIO = 900 − ∠OA B = 450

IM ⊥ A B
b)
do đó
. Ta có điều phải chứng
minh.

OM = OI

·
MHI

c) OMHI nội tiếp có
nên HO là phân giác góc
.
0
0
∠OHK = ∠OMI = 45
∠OK H = 90
d)
và
do đó ta có điều phải chứng
minh.

Bài 8: Tam giác vuông ABC có I là trung điểm của BC. Phân giác góc A cắt đường tròn tại D, hạ DE và DF
vuông góc với các cạnh của tam giác.


a)

FA ED

là hình vuông.

E,I,F
b)

thẳng hàng.
a) Vì có ba góc vuông nên DEAF là hình chữ nhật. Mặt khác vì
DE = DF
FA ED
AD là phân giác nên
vì vậy
là hình vuông.
0
0
∠EIB = ∠EDB = 90 − ∠EBD = 90 − ∠DCF = ∠ CDF
b)

= ∠CIF

do đó ta có điều phải chứng minh.

A D, BF , CE
Bài 9: Tam giác ABC cân.
Hạ

JK
a)
b)
c)

d)

là các đường cao. I là trung điểm AH và điểm J thỏa mãn

DJ = DB

.

vuông góc với BF. G là trung điểm AB.
IG ⊥ GD, IE ⊥ ED
.
IGED
nội tiếp.
JKF là tam giác vuông cân.
·
JDF
DK là phân giác góc
.

BH ⊥ A C ⇒ GI ⊥ GD
a) IG // BH và GD // AC mặt khác
.
0
0
∠IEH = ∠IHE = ∠DHC = 90 − ∠ECD = 90 − ∠DEC

IE ⊥ ED

do đó

ta có
.
b) Từ câu a) ta có câu b).
B , E , J , F ,C
c)
cùng nằm trên đường tròn tâm D đường kính BC do
∠JFK = ∠JCB = ∠JBC = 450
đó
. Ta có điều phải chứng minh.
d) K và D cùng thuộc trung trực của JF nên ta có điều phải chứng
minh.
Bài 10: Hình vuông ABCD. N là trung điểm CD. Đường tròn đường kính BN cắt AC tại E. BE cắt AD tại M,
MN cắt đường tròn tại I.
a) MDNE nội tiếp.
b) BEN là tam giác vuông cân.
MF , NE , BI
c)
đồng quy tại H.
BI = BC
d)
.
e) FEI là tam giác vuông.


a) Học sinh tự chứng minh.
∠EBN = ∠ECN = 450

b) EBCN là tứ giác nội tiếp nên
ta có điều phải chứng minh.
MF , NE , BI

c)
là ba đường cao nên đồng quy.
d)

∠ IBN = ∠ NEC = ∠NBC

vậy

∆IBN = ∆CBN

do đó
do
đó ta có điều phải chứng minh.
∠EIB = ∠ECB = 450 ∠FIB = ∠FNE = ∠FCB = 450
e)
,
do đó ta có điều phải chứng minh.
Bài 11: Tam giác vuông ABC có đường cao AH. Đường tròn tâm H bán kính HA cắt AB và AC tại D và E.
Gọi M là trung điểm BC.
D, H , E
a)
thẳng hàng.
b)

A M ⊥ DE

.

a)

∠A HD = 1800 − 2∠HA B
⇒ D, H , E

0
∠A HE = 180 − 2∠HA E
∠A EH =

b)

thẳng hàng.

1
∠A HD = 900 − ∠HA B = ∠A BH
2

⇔ ∠A EH = 900 − ∠MCA = 900 − ∠MA C

.

Ta có điều phải chứng minh.
Bài 12: Trực tâm H, tâm ngoại tiếp I.
DG , DM , DJ , DK
Hạ các đường
vuông góc với các cạnh tương ứng.
Chứng minh rằng:
G, M ,J , K
a)
thẳng hàng.
b) JM // EF.
IA ⊥ JM

c)
.

∠GMB = ∠GDB = 900 − ∠A BD

∠DMJ = ∠DHJ = ∠A DG = ∠A BD
a)

b)

chứng minh.
∠ HJM = ∠ HDM = ∠ HA E = ∠ HFE

G, M ,J
do đó
do đó JM // EF.

thẳng hàng. Tương tự, ta có được điều phải


c)

FE ⊥ IA ⇒ IA ⊥ JM

.

Bài 13: Trực tâm H. Gọi M và N là các điểm đối xứng của D qua AB và AC.
M , F,E,N
a)
thẳng hàng.

b) GI // EF.
A, F , D, C , N
c)
cùng thuộc một đường tròn.
d) H là tâm nội tiếp của tam giác DEF.
∠MFG = ∠BFD = ∠BCA

0
∠CFE = ∠CBE = 90 − ∠BCA
a)
ta có điều phải
chứng minh.
b) Học sinh tự chứng minh.
c)

∠ DA N = 2∠ DA I = 2∠ DFC = ∠ DFN

phải chứng minh.
d) Học sinh tự chứng minh.
Bài 14: Hình vuông ABCD. E bất kỳ trên BC. Dựng
AF vuông góc AE. I là trung điểm EF. Kẻ EG // CD.
EF cắt AD tại J.
a) AECF nội tiếp.
b) AEF là tam giác vuông cân.
FA 2 = FK .FC
c)
.
d) EGFK là hình thoi.
EK = BE + DK
e)

.
f) Tam giác CKE có chu vi bằng nửa chu vi
ABCD.
g)

a)

GJK

là tam giác vuông cân.

Học sinh tự chứng minh.

∆ A BE = ∆ A DF

do đó ta có điều phải chứng minh.
FA = FI .FE = FK .FC
c)
.
∠GEI = ∠KFE = ∠KEI
d)
do đó ta có điều phải chứng minh.
b)

2

ta có điều


e)

EK = EG = FK = FD + DK = BE + DK

.

1
C ∆CKE = EC + CK + EK = BE + DK + CK + EC = C A BCD
2
f)
g)

.

Học sinh tự chứng minh.

Bài 15: Tâm nội tiếp là I. Đường tròn nội tiếp tiếp xúc các cạnh tại D và E. Đường thẳng qua I vuông góc AI
cắt các cạnh tại F và G. BI cắt DE tại H. M là trung điểm của đoạn thẳng BC.
a)

∆FIB ∽ ∆GCI

.
BF .CG = IF = IG 2
2

b)
c)

IHEC

.

nội tiếp.

BH ⊥ HC

d)
.
e) MH // AB.
∠GIC = ∠A IC − 900 = 1800 −
a)

A C
B
− − 900 =
2 2
2

.
Ta có điều phải chứng minh.
b) Từ câu a) ta có câu b).
B C
A
∠HIC = ∠DIB = + = 900 − = ∠HEA
2 2
2
c)
ta có
điều phải chứng minh.
d) Từ câu c) ta có câu d).

∠MHB = ∠MBH = R HBA
e)
do đó ta có điều phải
chứng minh.