Tuyển tập chuyên đề bồi dưỡng ôn tập toán lớp 9 chọn lọc

đề cơng ôn tập học kì 2 toán 9

A. Phần Đại số
I. Lý thuyết

1. Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn
- Giải hệ bằng PP thế: nắm vững quy tắc thế
4 x + y = 2
Ví dụ: Giải hệ
8 x + 3 y = 5
1

y = 24
y = 1

4x
+
y
=
2
y
=
2

x
y
=
2

4x

4



Giải:





1
8x + 37 = 5
8x + 3(2 4x) = 5
4x = 1
x = 1
x = 4

4
- Giải hệ bằng PP cộng đại số: nắm vững quy tắc cộng đại số
y = 1
4 x + y = 2
8 x + 2 y = 4
y = 1

Ví dụ: Giải hệ
1
x=
8 x + 3 y = 5
8 x + 3 y = 5
4 x + y = 2


4

- Giải hệ bằng PP đặt ẩn phụ
1
x 2 +

Ví dụ: Giải hệ
2

x 2

1
1

=2
u=

y 1
x2

HD: Đặt
3

v = 1
=1

y 1
y 1

II. Bài tập
Bài 1 : Giải các hệ PT sau :
2 x y = 3
a.
x + 2 y = 4
2 x y = 3
y = 2x 3

Ta có:
x + 2 y = 4
x + 2(2 x 3) = 4
y = 2x 3 y = 2x 3
x = 2



5 x 6 = 4
x = 2
y =1
2( x + y ) + 3( x y ) = 4
c.
( x + y ) + 2( x y ) = 5

2

x=

5 x + 2 y = 4

3
................
b.
6 x 3 y = 7
y = 11

3


1 1 1
x + y = 4
d.
9 + 1 =1
x 4


u =
HD : Đặt
v =


1
x
1
y

2. Giải bài toán bằng cách lập hệ PT
- Toán tìm số
Ví dụ: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phơng trình:
Tháng trớc mẹ bạn Linh đi chợ mua một quả trứng gà và một quả trứng vịt chỉ hết 5000 đồng. Thời
điểm này mỗi quả trứng gà tăng thêm 1000 đồng còn mỗi quả trứng vịt tăng thêm 500 đồng nên mẹ bạn
Linh mua 3 quả trứng gà và 4 quả trứng vịt hết 22000 đồng. Hỏi số tiền mua mỗi quả trứng gà và mỗi
quả trứng vịt trớc khi tăng giá là bao nhiêu?
Giải: Gọi x (đồng) là số tiền mua một quả trứng gà, y (đồng) là số tiền mua một quả trứng vịt trớc khi
tăng giá. ĐK: x > 0, y > 0
Trớc khi tăng giá: x + y = 5000
Sau khi tăng giá: 3(x+1000) + 4(y+500) = 22000
Hay 3x + 4y = 17000
x + y = 5000
x = 3000
Theo bài ra ta có hệ phơng trình
Giải hệ ta đợc
3 x + 4 y = 17000
y = 2000
Vậy số tiền mua một quả trứng gà trớc khi tăng giá là 3000 đồng, số tiền mua một quả trứng vịt trớc khi
tăng giá là 2000 đồng
Chú ý hai dạng toán cơ bản:
- Toán chuyển động
- Toán năng suất, làm chung-làm riêng
BT:
Bài 1: Một ngời đi xe máy từ Chu Lai đến phố cổ Hội An. Nếu đi với vận tốc 45 km /h thì đến nơi sớm
hơn dự định 13phút 20giây . Nếu đi với vận tốc 35km/h thì đến nơi chậm hơn so với dự định là 2/7 h.
Tính quảng đờng Chu Lai - Hội An và vận tốc dự định ?
HD giải: Thông thờng các bài toán giải bằng cách lập hệ PT có hai điều kiện; mỗi đk giúp ta lập đợc

một PT. Trong các bài toán về chuyển động cần nhớ công thức liên hệ giữa quảng đờng, vận tốc và thời
gian là: s = v.t; chú ý đến đơn vị của mỗi đại lợng (thông thờng s tính bằng km, v là km/h còn t là
giờ(h); ta cần phải đổi đơn vị cho phù hợp với bài toán).
Gọi x (km) là quảng đờng Chu Lai - Hội An (đk: x > 0)
y (km/h) là thời gian dự định (đk: y > 0)
13.60 + 20 2
= h
Chú ý: Đổi 13phút 20giây =
3600
9
Các em có thể dựa vào bảng tóm tắt sau để lập hệ phơng trình
Điều kiện
Dự định

Quảng đờng
x

Vận tốc
x/y

Điều kiện 1

x

45

Điều kiện 2

x

35

Thời gian
y
x
45
x
35

Quan hệ
x
2
= (Do đến sớm hơn)
45 9
x
2
y
= (Do đến muộn hơn)
35
7
y

x 2

y 45 = 9
Ta có hệ PT :
y x = 2

35
7

Giải hệ ra ta đợc : y = 2 ; x = 80 (TMĐK)
Vậy quảng đờng Chu Lai - Hội An là 80 km; và thời gian dự định là 2 giờ .
Bài 2: Nếu hai đội công nhân cùng làm chung sẽ hoàn hành công việc trong 8h; nếu đội thứ nhất chỉ
4
làm trong 3 h rồi đội thứ hai cùng làm tiếp trong 4 h nữa thì chỉ xong đợc công việc. Hỏi nếu mỗi đội
5
làm riêng thì sau bao lâu hoàn thành công việc ?


HD giải: GV hớng dẫn HS làm nh sau :
Gọi thời gian đội 1 làm một mình xong việc là x(h);
thời gian đội 2 làm một mình xong việc là y (h) (đk: x, y > 8 )
Mỗi giờ đội 1 làm đợc 1/x (công việc).
Mỗi giờ đội 2 làm đợc 1/y (công việc).
1 1 1
Mổi giờ cả hai đội làm đợc 1/8 (công việc). Ta có PT: + =
x y 8
Mặt khác đội 1 làm trong 3h; đội 2 đến cùng làm trong 4h nữa thì chỉ xong 0,8 (=4/5) công việc nên ta
3 4 4 4
7 4 4
có PT: + + = + =
x x y 5
x y 5
1 1 1
1

1

a=
a+b =

x + y = 8


x



8
Ta có hệ PT:
Đặt
Ta có hệ mới :
1
7
4
4
1
+ =
b =
3a + = 0,8



y
2

x y 5
Giải ra ta có : a= 1/10; b= 1/40. Suy ra : x = 10; y = 40 (thoã mãn bài toán)
Vậy nếu đội 1 làm một mình thì sau 10 h mới xong công việc, đội 2 làm một mình thì sau 40 h mới xong
công việc.

3. Hàm số y = ax2 (a 0)
- Tính chất
- Vẽ đồ thị số y = ax2 (a 0)
1
Ví dụ: Đồ thị hàm số y = - x2
2

Bài 1: Cho hai ham sụ y = 2x + 4 va y = 2x2
a) Ve ụ thi cua hai ham sụ nay trong cung mụt mt phng toa ụ.
b) Tim toa ụ giao iờm cua hai ụ thi.
c) Goi A va B la giao iờm cua hai ụ thi. Tinh SAOB ?


4. Phơng trình bậc hai một ẩn
- Dạng tổng quát, dạng khuyết của PT, xác định các hệ số a, b, c của PT
- Giải PT dạng ax2+ bx = 0; PT dạng ax2 + b = 0

5. Công thức nghiệm tổng quát và công thức nghiệm thu gọn
Cho PT bậc hai ax2 + bx + c = 0

(1)

(a 0)

Công thức nghiệm tổng quát
Đặt (Delta) = b2 4ac
+ Nếu > 0, PT (1) có hai nghiệm p.b :
b +
b
x1 =

;
x2 =
2a
2a
+ Nếu = 0, PT (1) có nghiệm kép :
b
x1 = x2 =
2a
+Nếu < 0, PT (1) vô nghiệm

Công thức nghiệm thu gọn
Đặt
b = 2b
' = b2 ac.
*Nếu ' > 0, PT (1) có hai nghiệm p.b: x1 =
b '+ '
b ' '
;
x2 =
a
a
*Nếu ' = 0, PT (1) có nghiệm kép :
b '
x1 = x2 =
a
*Nếu ' < 0 thì phơng trình vô nghiệm

6. Hệ thức Vi-et. ứng dụng
b

x1 + x 2 = a
a. Nếu PT bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a 0) có hai nghiệm x1 và x2 thì
x .x = c
1 2 a
Nhẩm nghiệm PT bậc hai theo hệ thức Vi-et

x1 + x 2 = 7
Ví dụ: Cho PT x2 - 7x + 10 = 0 có hai nghiệm
nên x1 = 5; x2= 2
x1 .x 2 = 10
b. Cho PT ax2 + bx + c = 0 (a 0)
c
+ Nếu a + b + c = 0 thì x1 = 1; x2 = .
a
c
+ Nếu a - b + c = 0 thì x1 = -1; x2 = - .
a
5
Ví dụ: 1. PT 2x2 - 7x + 5 = 0 có 2 + (-7) + 5 = 0 nên có x1 = 1; x2 = .
2
2. PT x2 - 3x - 4 = 0 có 1 - (-3) - 4 = 0 nên có x1 = -1; x2 = 4.
c. Tìm hai số khi biết tổng và tích của nó
Nếu hai số u và v cần tìm có tổng u + v = S và tích u.v = P (với S2 - 4P 0)
thì chúng là nghiệm của PT x2 - Sx + P = 0
Ví dụ: Tìm hai số u và v biết u + v = -8 và tích u.v = 15
Giải: Hai số u và v là nghiệm của PT: x2 - (-8)x + 15 = 0
hay x2 + 8x + 15 = 0. Giải ra ta có x1 = -3, x2 = -5

7. Giải PT quy về PT bậc hai
a. PT trùng phơng ax4 + bx2 + c = 0 (a 0)

PP giải: Đặt x2 = t (t 0) đa PT về ẩn t: at2 + bt + c = 0
Ví dụ: Giải pt: x4 - 13x2 + 36 = 0
Đặt x2 = t (t 0). Ta đợc pt: t2 13t + 36 = 0
= (-13)2 4.1.36 = 25 nên

=5

13 + 5
13 5
= 9 (TMĐK);
t2 =
= 4 (TMĐK)
2
2
+) Với t1 = 9 x2 = 9 x = 3
+) Với t2 = 4 x2 = 4 x = 2
Vậy pt đã cho có 4 nghiệm: x1 = - 2; x2 = 2; x3 = - 3; x4 = 3

t1 =

II. Bài tập
Bài 1: Giai phng trinh sau:
a. x2 - x - 6 = 0
b. 3x2 + 2x - 8 = 0
c. x 2 x + 2 2 = 0
Bài 2:
a.
d.

Bài 3:

d. 3x2 - 4x - 4 = 0
e. 2x2 - x - 6 = 0
f. x2 - 2x - 8 = 0

Giai phng trinh sau:
-3x2 + 14x 8 = 0
b. -7x2 + 4x = 3
2
2x 8 = 0
e. 3x2 7x = 0
Nhõm nghiờm cua cac phng trinh sau:
Bài 7.1
a. 2x2 - 5x + 3 = 0
b. x2 + 7x + 6 = 0
c. 2x2 - 5x + 3 = 0
d. x2 + 4x + 3 = 0
e. x2 - 3x - 4 = 0

Bài 4: Tìm hai số u và v trong các trờng hợp sau:
a. u + v = 8; u.v = 15
b. u + v = -7; u.v = -18

c. 9x2 + 6x +1 = 0

a.
b.
c.
d.

e.

Bài 7.2
23x2 9x 32 = 0
4x2 11x + 7 = 0
x2 3x 10 = 0
x2 + 6x + 8 = 0
x2 6x + 8 = 0

c. u + v = 5; u.v = -24
d. u - v = 10; u.v = -21

Bi 5: Cho phng trỡnh : 2x2 11x + 15 = 0, khụng gii phng trỡnh hóy tớnh :
a) x1 + 3x1x2 + x2
b) x12 + x22x12 + x22
c) x1 x2
Bài 6: Giải các phơng trình quy về phơng trình bậc hai sau đây
Bài 9.1: PT trùng phơng
a. x4 9x2 + 8 = 0
b. x4 - 29x2 + 100 = 0
c. x4 - 7x2 - 18 = 0
Bài 9.2: PT chứa ẩn ở mẫu
2x
x
8x + 8
4
x2 x + 2
=

=

a.
b.
x + 1 ( x + 1) ( x + 2 )
x 2 x + 4 ( x 2)( x + 4)
Bài 7: PT tích
a. 3x3 + 6x2 - 4x = 0
b. x 3 + 3x 2 2 x 6 = 0
c. x3 7x2 + 6 = 0
d. (4x-5)2 6(4x-5) + 8 = 0

Các bài toán có liên quan đến tham số m
Bài 1 Cho phơng trình x 2 + 2(m 1) x + m 2 = 0 với m là tham số.


a. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt
b. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn x1 + x2 = 9
Bài 2 Cho phng trỡnh: x2 2x m2 4 = 0
a. Gii phng trỡnh trờn khi m = 2
b. Tỡm iu kin ca m phng trỡnh trờn cú nghim kộp, vụ nghim.
c. Tỡm m sao cho phng trỡnh cú hai nghim x1, x2 tha món:
x12 + x22 = 20
x1 - x2 =10
2
2
Bài 3 Cho phng trỡnh: (m -1)x 2m x 3(m+1) = 0
a. Tỡm m bit phng tỡnh cú nghim x = -1
b. Khi ú hóy tỡm nghim cũn li ca phng trỡnh

Bài tập tơng tự
BT1: Cho phng trỡnh: 5x2 + 2x 2m 1 = 0

1. Gii phng trỡnh khi m = 1
2. Tỡm m phng trỡnh cú nghim kộp. Tớnh nghim kộp ú?
BT 2: Cho phng trỡnh: x2 + mx + 3 = 0
1. Tỡm m phng trỡnh cú nghim?
2. Tỡm m phng trỡnh cú nghim bng 3. Tớnh nghim cũn li?
BT 3: Cho phng trỡnh: x2 2(k 1)x + k 3 = 0
1. Gii phng trỡnh khi k = 2
2. Chng minh rng phng trỡnh luụn cú nghim vi mi k.
BT 4: Cho phng trỡnh: x2 2x + m = 0
Tỡm m bit rng phng trỡnh cú nghim bng 3. Tớnh nghim cũn li.
BT 5: Cho phng trỡnh: x2 + (m 1)x 2m 3 = 0
1.Gii phng trỡnh khi m = - 3
2.Chng t phng trỡnh luụn cú nghim vi mi m.
BT 6: Cho phơng trình : x2 + 4mx + 4m - 1 = 0
1. Giải phơng trình với m = -2
2. Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
3. Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 và x2 thoả mãn x1 2 + x 2 2 = 4
BT 7: Cho phơng trình : 2x2 - 6x + (m +7) = 0
1. Giải phơng trình với m = -3
2. Với giá trị nào của m thì phơng trình có một nghiệm x = - 4
3. Với giá trị nào của m thì phơng trình đã cho vô nghiệm
BT 8: Cho phơng trình : x2 - 2(m - 1 ) x + m + 1 = 0
1. Giải phơng trình với m = - 4
2. Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt
BT 9: Biết rằng phơng trình : x2 - 2(m + 1 )x + m2 + 5m - 2 = 0 (với m là tham số ) có một nghiệm x =
1. Tìm nghiệm còn lại
BT 10: Biết rằng phơng trình : x2 - 2(3m + 1 )x + 2m2 - 2m - 5 = 0 (với m là tham số) có một nghiệm x
= -1 . Tìm nghiệm còn lại
BT 11: Cho phơng trình: x2 - mx + 2m - 3 = 0
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép

b) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
BT 12: Cho phơng trình: x2 - 2(m- 1)x + m2 - 3m = 0
Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = - 2. Tìm nghiệm còn lại
BT 13: Cho phơng trình bậc hai (m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0
a) Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = - 2
b) Khi phơng trình có một nghiệm x = -1 tìm giá trị của m và tìm nghiệm còn lại


8. Giải bài toán bằng cách lập PT
Nêu các bớc giải bài toán bằng cách lập PT?
Ví dụ: Chuẩn bị cho ôn tập học kì 2, bạn Nga lập kế hoạch làm 70 btập trong một số ngày nhất định. Để
hoàn thành sớm hơn dự kiến, mỗi ngày bạn Nga làm thêm 2 btập nữa so với dự định nên trớc khi đến hạn
2 ngày bạn đã làm đợc 60 btập. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày bạn Nga làm đợc bao nhiêu btập.
Giải: Gọi số btập bạn Nga làm trong một ngày theo kế hoạch là x (đk x > 0)
70
Thời gian để bạn Nga làm xong hết số btập theo kế hoạch là
(ngày)
x
Trên thực tế mỗi ngày bạn Nga làm đợc x + 2 (btập)
60
Nên thời gian để bạn Nga làm xong 60 bài tập là
(ngày)
x+2
Thời gian để bạn Nga làm xong 60 b.tập trớc thời gian đến hạn 2 ngày nên ta có PT
70
60
= 2 x2- 3x - 70 = 0
x
x+2
x1 = -7 (loại); x2 = 10 (TMĐK)

Vậy số btập bạn Nga làm trong một ngày theo kế hoạch là 10 bài.
Bài 11. Giải các Bài toán sau bằng cách lập PT
Các bớc giải bài toán bằng cách lập phơng trình
B1: Chọn ẩn và đặt điều kiện cho ẩn
B2: Lập phơng trình
B3: Giải phơng trình
B4: Kết luận: đối chiếu nghiệm vừa tìm đợc với đk ban đầu rồi rút ra kết luận
Bài 11.0 Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng 5m, diện tích hình chữ nhật
300m2. Tính chiều dài và chiều rộng.
ĐS: 15m và 20m
Bài 11.1 Lp 9A c phõn cụng trng 120 cõy xanh. Lp d nh chia u cho s hc sinh, nhng khi
lao ng cú 6 bn vng nờn mi bn cú mt phi trng thờm mt cõy mi xong. Tớnh s hc sinh lp
9A?
120 120
=
+1
Hớng dẫn:
PT
x
x6
Giải PT ta đợc x = -24 (loại) và x = 30 (TMĐK)
Bài 11.2 Tớch ca hai s t nhiờn liờn tip ln hn tng ca chỳng l 89. Tỡm 2 s ú.
Hớng dẫn:
PT x(x+1) (x+x+1) = 89
ĐS: 10 và 11
Bài 11.3 Mt tam giỏc vuụng cú chu vi 30cm, cnh huyn 13cm. Tớnh mi cnh gúc vuụng.
Hớng dẫn: áp dụng đlí Pitago cho tam giác vuông
ĐS: 5cm, 12cm, 13cm
Bài 11.4 Mt khu vn hỡnh ch nht cú din tớch 54m2, nu tng chiu di 2m v gim chiu rng i
2m thỡ din tớch gim 10m2. Tớnh chiu di v chiu rng ca khu vn.

Hớng dẫn: Bài này quá dễ, tự làm đi nhé.
Bài 11.5 Hai i cụng nhõn cựng lm mt quóng ng thỡ 12 ngy xong vic. Nu i th nht lm
mt mỡnh ht na cụng vic, ri i th hai lm nt phn vic cũn li thỡ ht tt c 25 ngy. Hi mi i
lm mt mỡnh thỡ bao lõu xong cụng vic.
Hớng dẫn : Bài này có thể giải bằng cách lập hệ PT hoặc lập PT bậc hai đều đợc
Gọi thời gian để đội I làm một mình xong việc là x (ngày), 12 < x < 50.
Đội I làm một mình hết nữa công việc trong x/2 ngày, đội II làm một mình hết nữa công việc trong 25 x/2 ngày => cả công việc là 2(50-x/2)
1
1
Mỗi ngày đội I làm đợc công việc còn đội II làm đợc
x công việc
2(25 )
x
2
Vì hai đội cùng làm trong 12 ngày thì xong việc nên trong một ngày hai đội làm đợc 1/12 công việc.
1
Suy ra : 12(50 x ) + 12 x = x (50 x )
1
1
1
1
1
+
=
Ta có pt:
+
x =
2(25 )

x 2 50 x + 60 = 0
x
12
x 50 x 12
2
Giải ra ta có: x = 20, x = 30 (TMĐK)
Bài 11.6: Khong cỏch gia hai bn sụng A v B l 30km. Mt ca nụ i t bn A n bn B, ngh 40
phỳt bn B ri quay li bn A. K t lỳc khi hnh n khi v ti bn A ht tt c 6 gi. Tỡm vn tc
ca ca nụ lỳc nc yờn lng, bit vn tc dũng nc l 3km/h.
30
30
2
+
+ = 6 Giải ra đợc vận tốc v = 12 km/h
Lập PT:
x+3 x3 3


B. Phần Hình học
I. Lý thuyết

1. Đờng kính vuông góc với dây
C

C

OI CD IC = ID
CD không đi qua tâm
(CD không là đờng kính)
IC = ID OI CD

A

I

O

O

I

D

D

2. Tiếp tuyến của đờng tròn
x

B

O
O

I

A

Ax là tiếp tuyến Ax OA tại A

3. Vị trí tơng đối của hai đờng tròn

Cho hai đờng tròn (O; R) và (O; R)
a. Hai đtròn cắt nhau

A

C

Các t/c của hai tiếp tuyến cắt nhau
AB và AC là hai tiếp tuyến của (O)
+ AB = AC
+ OAB = OAC
+ AOB = AOC
+ OA là đờng trung trực của BC

A


A

A
O'

O

O

B

O'
B

+ OO’ lµ ®êng trung trùc cña
AB
+ R – R’ < OO’ < R + R’

b. Hai ®trßn tiÕp xóc nhau

O O'

A

A

O'

O

+ OO’ ®i qua A
+ TiÕp xóc trong
OO’ = R – R’
+ TiÕp xóc ngoµi
OO’ = R + R’

c. Hai ®trßn kh«ng giao nhau

O

O'

O

O'

II. Bài tập

Phần bài tập Trắc nghiệm - củng cố kiến thức
CHƯƠNG II. ĐƯỜNG TRÒN
1.Cho tam giác MNP và hai đường cao MH, NK. Gọi (O) là đường tròn nhận MN làm đường kính.
Khẳng định nào sau đây không đúng ?
A.Ba điểm M, N, H cùng nằm trên đường tròn (O).
B.Ba điểm M, N, K cùng nằm trên đường tròn (O).


C.Bốn điểm M, N, H, K không cìng nằm trên đường tròn (O).
D.Bốn điểm M, N, H, K cùng nằm trên đường tròn (O).
2. Đường tròn là hình:
A.không có trục đối xứng.
B.có một trục đối xứng.
C.có hai trục đối xứng.
D.có vô số trục đối xứng.
3.Khi nào không xác định duy nhất một đường tròn ?
A.Biết ba điểm không thẳng hàng.
B.Biết một đoạn thẳng là đường kính.
C.Biết ba điểm thẳng hàng.
D.Biết tâm và bán kính.
4.Cho đường thẳng a và điểm O cách a một khoảng 2,5 cm. Vẽ đường tròn tâm O, đường kính 5 cm. Khi
đó đường thẳng a
A.không cắt đường tròn (O).
B.tiếp xúc với đường tròn (O).
C.cắt đường tròn (O).

D.kết quả khác.
5.Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông nằm ở
A.đỉnh góc vuông.
B.trong tam giác.
C.trung điểm cạnh huyền.
D.ngoài tam giác.
6.Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 18; AC = 24. Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó
bằng
A. 30.
B. 20.
C. 15.
D. 15 2 .
7.Cho (O; 1 cm) và dây AB = 1 cm. Khoảng cách từ tâm O đến AB bằng
1
1
B. 3 cm.
3 cm.
A.
cm.
C.
D.
cm.

2

2

3

8.Cho đường tròn (O; 5). Dây cung MN cách tâm O một khoảng bằng 3. Khi đó:

A. MN = 8.
B. MN = 4.
C. MN = 3.
D.kết quả khác.
9.Nếu hai đường tròn (O); (O’) có bán kính lần lượt là 5 cm và 3 cm và khoảng cách hai tâm là 7 cm thì
hai đường tròn
A.tiếp xúc ngoài.
B.tiếp xúc trong.
C.không có điểm chung.
D.cắt nhau tại hai điểm.
10.Trong các câu sau, câu nào sai ?
A.Tâm của đường tròn là tâm đối xứng của nó.
B.Đường thẳng a là tiếp tuyến của (O) khi và chỉ khi đường thẳng a đi qua O.
C.Đường kính vuông góc với dây cung thì chia dây cung ấy thành hai phần bằng nhau.
D.Bất kỳ đường kính nào cũng là trục đối xứng của đường tròn.
11.Cho ∆ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Phát biểu nào sau đây đúng ?
Tiếp tuyến với đường tròn tại A là đường thẳng
A.đi qua A và vuông góc với AB.
B.đi qua A và vuông góc với AC.
C.đi qua A và song song với BC.
D.cả A, B, C đều sai.
12.Cho (O; 6 cm), M là một điểm cách điểm O một khoảng 10 cm. Qua M kẻ tiếp tuyến với (O). Khi đó
khoảng cách từ M đến tiếp điểm là:
A. 4 cm.
B. 8 cm.
D. 18 cm.
C. 2 34 cm.
13.Cho hình vuông MNPQ có cạnh bằng 4 cm. Khi đó bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông đó
bằng
A. 2 cm.

B. 2 2 cm.
C. 2 3 cm.
D. 4 2 cm.
14.Đường tròn là hình có
A.vô số tâm đối xứng.
B.có hai tâm đối xứng.
C.một tâm đối xứng.
D.không có tâm đối xứng.
15.Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Trung tuyến AM cắt đường tròn tại D. Trong
các khẳng định sau khẳng định nào sai ?
B.AD là đường kính của (O).
A. ∠ ACD = 900.
D. CD ≠ BD.
C. AD ⊥ BC.
16.Cho (O; 25cm). Hai dây MN và PQ song song với nhau và có độ dài theo thứ tự bằng 40 cm, 48 cm.
Khi đó:
16.1.Khoảng cách từ tâm O đến dây MN là:


A. 15 cm.
B. 7 cm.
C. 20 cm.
D. 24 cm.
16.2.Khoảng cách từ tâm O đến dây PQ bằng:
A. 17 cm.
B. 10 cm.
C. 7 cm.
D. 24 cm.
16.3.Khoảng cách giữa hai dây MN và PQ là:
A. 22 cm.

B. 8 cm.
C. 22 cm hoặc 8 cm.
D. kết quả khác.
17.Cho (O; 6 cm) và dây MN. Khi đó khoảng cách từ tâm O đến dây MN có thể là:
A. 8 cm.
B. 7 cm.
C. 6 cm.
D. 5 cm.
18.Cho tam giác MNP, O là giao điểm các đường trung trực của tam giác. H, I, K theo thứ tự là trung
điểm của các cạnh NP, PM, MN. Biết OH < OI = OK. Khi đó:
A.Điểm O nằm trong tam giác MNP.
B.Điểm O nằm trên cạnh của tam giác MNP.
C.Điểm O nằm ngoài tam giác MNP.
D.Cả A, B, C đều sai.
19.Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(2; 5). Khi đó đường tròn (M; 5)
A.cắt hai trục Ox, Oy.
B.cắt trục Ox và tiếp xúc với trục Oy.
C.tiếp xúc với trục Ox và cắt trục Oy.
D.không cắt cả hai trục.
20.Cho tam giác DEF có DE = 3; DF = 4; EF = 5. Khi đó
A.DE là tiếp tuyến của (F; 3).
B.DF là tiếp tuyến của (E; 3).
C.DE là tiếp tuyến của (E; 4).
D.DF là tiếp tuyến của (F; 4).
21.Hãy nối mỗi ý ở cột A với một ý ở cột B để được khẳng định đúng.
Bảng 1.
A
B
1.Nếu đường thẳng a và đường tròn (O; R) cắt nhau
A.thì d ≥ R.

2.Nếu đường thẳng a và đường tròn (O; R) tiếp xúc nhau
B.thì d < R.
3.Nếu đường thẳng a và đường tròn (O; R) không giao nhau
C.thì d = R.
D.thì d > R.
Bảng 2.
A
B
1.Tâm của đường tròn nội tiếp tam giác
A.là giao điểm của các đường trung tuyến.
2.Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác
B.là giao điểm của hai đường phân giác các góc
ngoài tại B và C.
3.Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác trong
C.là giao điểm của các đường phân giác trong của
góc A
tam giác.
4.Tâm của đường tròn bàng tiếp tam giác trong
D.là giao điểm của đường phân giác trong góc B
góc B
và đường phân giác ngoài tại C.
E.là giao điểm các đường trung trực của tam giác.
Bảng 3.
A
B
1.Nếu hai đường tròn ở ngoài nhau
A.thì có hai tiếp tuyến chung.
2.Nếu hai đường tròn tiếp xúc ngoài
B.thì không có tiếp tuyến chung.
3.Nếu hai đường tròn cắt nhau

C.thì có một tiếp tuyến chung.
4.Nếu hai đường tròn tiếp xúc trong
D.thì có bốn tiếp tuyến chung.
5.Nếu hai đường tròn đựng nhau
E.thì có ba tiếp tuyến chung.
22. Hãy điền từ (cụm từ) hoặc biểu thức vào ô trống sao cho đúng.
Bảng 1.Xét (O; R) và đường thẳng a, d là khoảng cách từ O đến a.
Vị trí tương đối
d
R
Tiếp xúc nhau
3 cm
4 cm
5 cm
Không giao nhau
6 cm
Bảng 2.Xét (O; R); (O’; r); d = OO’ và R > r.
Vị trí tương đối
Số điểm chung
Hệ thức
Cắt nhau
d=R+r
1


Đựng nhau
d=0
0
4. Gãc ë t©m

+ ĐN: Là góc có đỉnh trùng với tâm của đường tròn
+ TC: Số đo cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó
Số đo cung lớn bằng 3600 trừ đi số đo cung nhỏ
(có chung hai điểm mút)

B

A

5. Góc nội tiếp:
+ ĐN: Là góc có đỉnh nằm trên đ.tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đ.tròn đó.
+ TC: Trong một đ.tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn
+ Hệ quả: Trong một đường tròn
- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau
- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung
hoặc hai cung bằng nhau thì bằng nhau
- Các góc nội tiếp không quá 900 có số đo bằng
nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.
- Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.

6. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung:
+ TC: Số đo của góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
bằng nửa số đo của cung bị chắn.
+ Hệ quả: Trong một đường tròn,
góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp
cùng chắn một cung thì bằng nhau.
7. Góc có đỉnh ở trong và ngoài đường tròn:
+ Số đo của góc có đỉnh ở bên trong đ.tròn bằng nửa tổng số đo của hai cung bị chắn.
+ Số đo của góc có đỉnh ở bên ngoài đ.tròn bằng nửa hiệu số đo của hai cung bị chắn.

CHƯƠNG III. GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN

C

O

x

B

O

A


Cho c¸c h×nh vÏ sau:

C

D

D

M

Q

O

A

O

O

O

A

C

P

B
(h.1)

A

C

B

B

N

(h.4)

(h.3)

(h.2)

1. Trong hình 1, biết AC là đường kính, góc BDC = 600. Số đo góc ACB bằng
A. 400.
B. 450.
C. 350.
D. 300.
2. Trong hình 2, góc QMN bằng 600, số đo góc NPQ bằng
A. 200.
B. 250.
C. 300.
D. 400.
3. Trong h.3, biết AB là đường kính của đ.tròn, góc ABC = 600.
khi đó số đo cung BmC =?
A. 300.
B. 400.
C. 500.
D. 600.
0
4. Trong h.4, biết AC là đường kính của đ.tròn, góc ACB = 30 .
Khi đó số đo góc CDB =?
A. 400.
B. 500.
C. 600.
D. 700.
Cho c¸c h×nh vÏ sau:
A

A

A

P
M

B

O

O
D

D

C

B
I

x
B

C
(h.6)

O

O

M

(h.5)

M

Q
N

(h.7)
(h.8)

5. Trên h.5, biết số đo cung AmD = 800, số đo cung BnC = 300. Số đo của góc AED =?
A. 250.
B. 500.
C. 550.
D. 400.
0
0
6. Trong h.6, số đo góc BIA = 60 , số đo cung nhỏ AB = 55 . Số đo cung nhỏ CD là
A. 750.
B. 650.
C. 600.
D. 550.
7. Trên hình 7, có MA, MB là các tiếp tuyến tại A và B của (O). Số đo góc AMB bằng 580. Khi đó số đo
góc OAB là
A. 280.
B. 290.
C. 300.
D. 310.
0

0
8.Trên hình 8, số đo góc QMN = 20 , số đo góc PNM = 10 . Số đo của góc x bằng
A. 150.
B. 200.
C. 250.
D. 300
Cho c¸c h×nh vÏ sau:


B
A
D

C

B

O

O

O

C
D

A

A

M

M

(h.9)

B

E

(h.10)

D

O

A

F

(h.11)

C
(h.12

9.Trên hình 9, số đo cung nhỏ AD = 800. Số đo góc MDA bằng
A. 400.
B. 500.
C. 600.
D. 700.

10.Trong hình 10, MA, MB là tiếp tuyến của (O), BC là đường kính, góc BCA = 700. Số đo góc AMB
bằng
A. 700.
B. 600.
C. 500.
D. 400.
11. Trong h.11, có góc BAC = 200, góc ACE = 100, góc CED = 150. Số đo góc BFD bằng
A. 550.
B. 450.
C. 350.
D. 250.
0
0
12.Trong hình 12, có AD//BC, góc BAD = 80 , góc ABD = 60 . Số đo góc BDC bằng
A. 400.
B. 600.
C. 450.
D. 650.

8. Tứ giác nội tiếp
+ Định nghĩa: Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đ.tròn thì được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn
(đường tròn đó gọi là đường tròn ngoại tiếp tứ giác).
Tứ giác ABCD nội tiếp (O)
ó A + C =1800 (B + D =1800)
+ Định lý: Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai gúc đối diện bằng 1800.
+ Định lý đảo: Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180 0 thì tứ giác đó nội tiếp được
một đường tròn.
+ Các cách chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp:
- Cách1: Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cách đều một điểm O nào đó.
OA = OB = OC = OD

- Cách 2: * Chứng minh tổng hai góc đối diện của tứ giác bằng 1800
Aˆ + Cˆ = 180 0 hoặc Bˆ + Dˆ = 180 0
* Chứng minh góc trong bằng góc ngoài của đỉnh đối diện.
- Cách 3: Chứng minh 2 đỉnh liên tiếp của tứ giác cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau.
(Trường hợp đặc biệt: hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn một cạnh dưới một góc vuông thì cạnh đó
chính là đường kính của đường tròn).
13.Hãy chọn ra tứ giác nội tếp được đường tròn trong các tứ giác sau
C
C

D
A
j

D
65 °

60°

D

C
60 °

65 °

D

75°

130 °

B

80°

90 °

C

B
(A)

A

B
(B)

B

A
(C)

14.Cho hình 14. Trong các khẳng định sau, hãy chọn khẳng định sai:

70 °

A

(D)

A. Bốn điểm MQNC nằm trên một đường tròn.
B. Bốn điểm ANMB nằm trên một đường tròn.
C. Đường tròn qua ANB có tâm là trung điểm đoạn AB.
D. Bốn điểm ABMC nằm trên một đường tròn.
15.Tứ giác nào sau đây không nội tiếp được đường tròn ?

A

Q

B

C

M
(h.14)
90 °

55°
90 °

N

50 °
130 °

90 °
55 °

(A)

(B)

90 °

(C)

(D)

16.Tứ giác nào sau đây nội tiếp được đường tròn ?
A. Hình bình hành.
B. Hình thoi.
C. Hình chữ nhật.
D. Hình thang.
17.Hãy chọn khẳng định sai. Một tứ giác nội tiếp được nếu:
A. Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
B. Tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800.
C. Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α.
D. Tứ giác có tổng hai góc bằng 1800.

9. Độ dài đường tròn, cung tròn. Diện tích hình tròn, hình quạt tròn
a) Công thức tính độ dài đường tròn: C = 2πR (R: bán kính đường tròn)
Công thức tính diện tích hình tròn: S = πR2

π Rn
(R: bán kính đường tròn)
180
π Rn

l .R
=
Công thức tính diện tích quạt tròn n0: S q =
360
2
c) Công thức tính diện tích hình viên phân: SVP= Squat - S∆
)
b) Công thức tính độ dài cung tròn n0 : l =

10. Một số công thức liên quan đến tam giác và đường tròn.
a) Bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác đều cạnh a
a 3
+ Đường cao của tam giác đều h =
3
a
+ Bán kính đường tròn ngoại tiếp: R =
3
a
+ Bán kính đường tròn nội tiếp: r =
2 3
b) Độ dài cạnh của các đa giác đều nội tiếp đường tròn (có bán kính R):
+ Cạnh tam giác đều: a = R 3
+ Cạnh hình vuông: a = R 2
+ Cạnh lục giác đều: a = R
c) Công thức tính diện tích tam giác:
+ Diện tích tam giác thường : S =(a.h):2( a là độ dài cạnh, h là chiều cao tương ứng).
+ Diện tích tam giác vuông: S = a.b
(a, b là độ dài 2 cạnh góc vuông)
2
a 3

+ Diện tích tam giác đều : S =
(a là độ dài cạnh tam giác đều)
4
BT:


18.Độ dài cung 600 của đường tròn có bán kính 2cm là:
A.

1
π cm.
3

B.

2
cm.
3π

C.

π
cm.
5

C. 5π cm.

3
π cm.
2

D.

1
π cm.
2

19.Độ dài cung tròn 1200 của đường tròn có bán kính 3 cm là:
A. π cm.
D. Kết quả khác.
B. 2π cm.
C. 3π cm.
20.Nếu chu vi đường tròn tăng thêm 10cm thì bán kính đường tròn tăng thêm:
A.

5
cm.
π

B.

21.Nếu bán kính đường tròn tăng thêm

1
cm.
2

B.

A. 25π cm2.

B.

A.

D.

1
cm thì chu vi đường tròn tăng thêm:
π

π cm.

D.

1
cm.
π

5π
cm2.
2

D.

25π
cm2.
4

π

cm2.
3

D.

C. 2cm.

22.Diện tích hình tròn có đường kính 5 cm bằng:

25π
cm2.
2

C.

2
cm2.
3π

C.

l.R 2
m.
2

C.

23.Diện tích hình quạt tròn cung 600 của đường tròn có bán kính bằng 2 cm là:
A.

2π
cm2.
3

B.

1
cm.
5π

3
cm2.
π

23.Một cung tròn của đường tròn bán kính R có độ dài là l (m). Khi đó diện tích hình quạt tròn ứng với
cung đó là:
A.

l .R 2
m.
4

B.

l 2 .R 2
m.
4

D.

l 2 .R 2
m.
2

π ( R2 − r 2 ) .

D. Kết quả khác.

24.Cho hai đường tròn đồng tâm O có bán kính lần lượt là R và r (R > r). Diện tích phần nằm giữa hai
đường tròn này – hình vành khăn được tính như thế nào ?
A.

π ( r 2 − R2 ) .

B.

π ( R2 + r 2 ) .

C.

25.Cho hình vuông cạnh bằng a, vẽ vào phía trong hình vuông các cung tròn 900 có tâm lần lượt là các
đỉnh của hình vuông. Hãy cho biết diện tích của phần tạo bởi 4 cung tròn đó và hình vuông ?




A. a  1 −
2

π

÷.
2




B. a  1 −
2

π
÷.
4

C. a ( 1 − π ) .
2

D. a −
2

π
.
4

11. Hình không gian
a) Hình trụ:
+ Diện tích: Sxq= 2πrh
Stp = Sxq + 2 Sd = 2πrh + 2πr2
+ Thể tích hình trụ
:
V = Sđ.h = πr2h

(Trong đó: r là bán kính đáy; h là chiều cao hình trụ; Sđ là diện tích đáy)
b) Hình nón:
+ Diện tích: Sxq = πrl
Stp = Sxq + Sd = πrl + πr2
1
1
+ Thể tích hình nón :
V = Sđ.h = πr2h
3
3
(Trong đó: r là bán kính đáy; h là chiều cao hình nón; l là độ dài đường sinh)
c) Hình cầu:
+ Diện tích mặt cầu: S = πd2 = 4πR2
4 3
+ Thể tích hình cầu : V= πR
3
(Trong đó: R là bán kính; d là đường kính hình cầu


CHƯƠNG IV. HÌNH KHÔNG GIAN
1. Trong bảng sau, gọi h là đường cao, l là đường sinh, R là bán kính đáy của hình nón. Hãy nối mỗi ý ở
cột A với một ý ở cột B để được khẳng định đúng.
A
B
1.Công thức tính thể tích hình nón cụt là
A) πRl .
2.Công thức tính diện tích xung quanh hình nón cụt là
B) πRl + πR 2 .
3.Công thức tính thể tích hình nón là
C) R 2 + h 2 .

4.Công thức tính diện tích toàn phần hình nón là
5.Công thức tính diện tích xung quanh hình nón là
1 2
D) πR h .
6.Công thức tính độ dài đường sinh hình nón là

3
E) π ( R 1 + R 2 ) l .
1
2
2
D) πh ( R 1 + R 2 + R 1R 2 )
3

2. Trong bảng sau, gọi R là bán kính, d là đường kính của hình cầu.
Hãy viết mỗi hệ thức ở cột B vào vị trí tương ứng phù hợp ở cột B.
A
1.Công thức tiính diện tích mặt cầu là
4 3
A) πR .
2.Công thức tính thể tích hình cầu là

B

3
1 2
B) πR .
3
C) 4πR 2 .
D) πd 2 .

3. Hãy nối mỗi ý ở cột A với một ý ở cột B để được một khẳng định đúng.
A
1.Khi quay hình chữ nhật một vòng quanh cạnh cố định của nó ta
được
2.Khi quay tam giác một vòng quanh một cạnh góc vuông cố định
của nó ta được
3.Khi quay nửa hình tròn một vòng quanh đường kính cố định của
nó ta được
4.Khi quay một hình thang vuông một vòng quanh cạnh bên cố định
vuông góc với hai đáy của nó ta được

A)
B)
C)
D)
E)

B
một hình nón.
một hình cầu.
một hình nón cụt.
hai hình nón.
một hình trụ.

4. Gọi R là bán kính của đường tròn đáy hình trụ, h là chiều cao của hình trụ. Hãy nối mối ý ở cột A với
một ya ở cột B sao cho đúng.
A
1.Công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ là
2.Công thức tính diện tích hai đáy của hình trụ là

3.Công thức tính diện tích toàn phần của hình trụ là
4.Công thức tính thể tích hình trụ là

B
A) πR h .
B) 4πR 2 .
C) 2πR 2 .
D) 2πRh + 2πR 2 .
E) 2πRh .
2

Phần bài tập Tự luận
1) Cho hai đường tròn (O; 4cm); (O’; 3cm), biết OO’ = 7cm. Cho biết vị trí tương đối của hai đường
tròn đó.


2) Cho đường tròn (O; 13). Biết khoảng cách từ tâm O đến dây AB bằng 5.
Tính độ dài dây AB
3) Cho ∆MNP đều có cạnh bằng 5 3 cm.Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác
4) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 2cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp
của nó.
5) Trên (O), lấy các điểm A, B, C, D liên tiếp sao cho cung AB = 40 0, cung BC = 1000 , sđ cung CD =
1200 . Tính số đo góc ABD
6) Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn đó. Biết góc MAB =
700 . Tính số đo góc AOB.
7) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi K là giao điểm của AB và CD. Biết sđ cung AD =
1500 , sđ cung BC = 700 . Tính số đo góc AKD.
8) Trong các tứ giác sau, tứ giác nào nội tiếp đường tròn : Hình thang, hình thang cân, hình bình hành,
hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi. Giải thích vì sao ?
9) Cho góc nội tiếp AMB và góc ở tâm AOB của đường tròn (O). Biết góc AOB = 1200, tính góc AMB.

10) Cho góc nội tiếp BAC của đường tròn (O). Biết số đo cung BAC bằng 280 0 . Tính số đo góc nội tiếp
BAC.
11) Cho hai đường tròn đồng tâm O có bán kính lần lượt là 3cm và 5cm. Tính diện tích hình vành khăn
tạo bởi hai đường tròn đó.
12) Diện tích hình tròn thay đổi như thế nào khi bán kính
a) Tăng gấp 3 lần.
b) Giảm 2 lần
13) Cho ∆ABC có Â = 800 nội tiếp đường tròn (O; R).
Tính diện tích hình quạt tròn OBC theo R
14) Hình nón có bán kính đáy bằng 6cm và có đường sinh bằng 10cm.
Tính thể tích hình nón
15) Cho ∆ABC có ba góc nhọn, đường cao AH. Kẻ HM ⊥ AB ( M ∈ AB ), HN ⊥ AC (N ∈ AC)
Chứng minh rằng :
a) Tứ giác AMHN nội tiếp
b) AM.AB = AN.AC
c) ∆AMN
∆ACB.
d) Tứ giác BMNC nội tiếp
16) Cho ∆ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), kẻ đường cao BN và CM (N∈AC, M∈AB)
Chứng minh rằng :
a) Tứ giác BMNC nội tiếp
b) ∆AMN
∆ACB
c) OA ⊥ MN
d) Gọi I là giao điểm của BN và CM. Chứng minh IN . IB = IM . IC
17) Từ một điểm A bên ngoài đường tròn (O; 3cm) vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (O). ( B,
C ∈ (O) ).
a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp đường tròn
b) Qua A vẽ cát tuyến AMN. Chứng minh AB2 = AM . AN
c) Tính diện tích hình tròn và độ dài đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, biết AB = 4cm

18) Cho ∆ABC vuông tại A ( AB > AC ), đường cao AH. Đường tròn đường kính BH cắt AB tại E,
đường tròn đường kính HC cắt AC tại F. Chứng minh rằng :
a) Tứ giác AEHF là hình chữ nhật
b) BH.HC = EF2
c) EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn
d) Tứ giác BEFC nội tiếp
19) Cho hai đường tròn (O; 16cm) và (O’; 9cm) tiếp xúc ngoài tại A. Gọi BC là tiếp tuyến chung của hai
đường tròn ( B∈ (O); C∈(O’) ) .Tiếp tuyến tại A cắt BC tại M
a)Chứng minh ∆ABC vuông tại A b) Tính số đo góc OMO’ c) Tính độ dài BC.
20)Cho ∆ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD. Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H
a) Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp


b) Chứng minh AE.AC = AF.AB.
c) Chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành
d) Gọi I là giao điểm của AD và EF . Chứng minh tứ giác BDIF nội tiếp.
21) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn (O) đường kính AD. Đường cao của tam giác kẻ
từ đỉnh A cắt cạnh BC tại K và cắt đường tròn (O) tại E.
a) Chứng minh DE//BC
b) Chứng minh AB. AC = AK.AD.
c) Gọi H là trực tâm của ∆ABC. Chứng minh tứ giácBHCD là hình bình hành.
22) Ta giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm M, vẽ đường tròn đường kính MC.Kẻ BM cắt
đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S. CMR:
a) Tứ giác ABCD nội tiếp.
b) CA là tia phân giác của góc BCS.
c) Gọi giao điểm của đường tròn đường kính MC với cạnh BC là H.CMR 3 đường HM, BA, CD đồng
quy.
d) Cho biết AC =12cm, AB = 9cm. Tính chu vi và diện tích đ.tròn nội tiếp tứ giác ABCD.
23) Cho tam giác ABC cân tại A có cạnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp (O). Tiếp tuyến tại B và C của
đường tròn lần lượt cắt tia AC và AB ở D và E. CMR:

a) BD2 =AD.CD.
b) Tứ giác BCDE nội tiếp.
c) BC // DE.
24) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tâm O. BD,CE là các đường cao của tam giác, chúng cắt
đường tròn tâm O lần lượt tại D’, E’. CMR:
a) Tứ giác BEDC nội tiếp
b) DE song song D’E’.
c) OA vuông góc DE.
25) Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc BC. Qua B kẻ đường vuông góc với DE, cắt DE tại H và cắt
DC tại K.
a) CMR: Tứ giác BHCD nội tiếp.
b) Tính góc CHK.
c) CM: KH.KB = KC.KD.
26) Cho (O), kẻ hai đường kính AB,CD vuông góc với nhau. Trên cung nhỏ BD lấy điểm M (M khác B
và D), dây CM cắt AB tại N, tiếp tuyến của đ.tròn tại M cắt AB tại K, cắt CD tại F.
a) CMR: Tứ giác ONMD nội tiếp.
b) CM: MK2 =KA.KB.
c) So sánh góc DNM và góc DMF.
27) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn. P là điểm chính giữa của AB (phần không chứa C
và D). Hai dây PC và PD lần lượt cắt dây AB tại E, F. Các dây AD, PC kéo dài cắt nhau tại I. Các dây
BC, PD kéo dài cắt nhau tại K. CMR:
a) góc CID = góc CKD.
b) Tứ giác CDFE nội tiếp.
c) IK song song AB.
d) PA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AFD.
28) Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Từ B và C kẻ 2 tiếp tuyến với đ.tròn, chúng cắt nhau tại D. Từ
D kẻ cát tuyến song song với AB cắt đ.tròn tại E, F và cắt AC tại I.
a) CM: góc DOC = góc BAC.
b) CM: 4 điểm O, I, C, D nằm trên một đường tròn.
c) CM: IE =IF.

d) Cho B, C cố định, khi A chuyển động trên cung BC lớn thì I di chuyển trên đường nào?

Chuyªn ®Ò iii

Hµm sè vµ ®å thÞ


i. Kiến thức cơ bản
1. Hàm số
a. Khái niệm hàm số
- Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta
luôn xác định đợc chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số tơng ứng
của x và x đợc gọi là biến số
- Hàm số có thể cho bởi bảng hoặc công thức
b. Đồ thị hàm số
- Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả những điểm M trong mặt phẳng tọa độ có tọa
độ thỏa mãn phơng trình y = f(x) (Những điểm M(x, f(x)) trên mặt phẳng tọa độ)
c. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến
* Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc R
- Nếu x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R
- Nếu x1 < x2 mà f(x1) > f(x2) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên R
1.1Hàm số bậc nhất
a. Khái niệm hàm số bậc nhất
- Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax + b. Trong đó a, b là các số
cho trớc và a 0
b. Tính chất
Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất
sau:
- Đồng biến trên R khi a > 0
- Nghịch biến trên R khi a < 0

c. Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0)
Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0) là một đờng thẳng
- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
- Song song với đờng thẳng y = ax, nếu b 0, trùng với đờng thẳng y = ax, nếu b =
0
* Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0)
Bớc 1. Cho x = 0 thì y = b ta đợc điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.
Cho y = 0 thì x = -b/a ta đợc điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành
Bớc 2. Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm P và Q ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b
d. Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng
Cho hai đờng thẳng (d): y = ax + b (a 0) và (d): y = ax + b (a 0). Khi đó
a = a '
b b '

+ d // d '

+ d ' d ' = { A} a a '
a = a '
b = b '
+ d d ' a.a ' = 1

+ d d'

e. Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b (a 0)
Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox.
- Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong
đó A là giao điểm của đờng thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đờng thẳng
y = ax + b và có tung độ dơng
Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b

- Hệ số a trong phơng trình y = ax + b đợc gọi là hệ số góc của đờng thẳng y = ax +b
f. Một số phơng trình đờng thẳng
- Đờng thẳng đi qua điểm M0(x0;y0)có hệ số góc k: y = k(x x0) + y0
x

y

- Đờng thẳng đi qua điểm A(x0, 0) và B(0; y0) với x0.y0 0 là x + y = 1
0
0
1.2 Hàm số bậc hai
a. Định nghĩa
- Hàm số có dạng y = ax2 (a 0)
b. Tính chất
- Hàm số y = ax2 (a 0) xác đinh với mọi giá trị của c thuộc R và:
+ Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0
+ Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0
c. Đồ thị của hàm số y = ax2 (a 0)
- Đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) là một Parabol đi qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục
đối xứng
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dời trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị
2. Kiến thức bổ sung
2.1 Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng
Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x1, y1) và B(x2, y2). Khi đó
- Độ dài đoạn thẳng AB đợc tính bởi công thức
AB = ( xB x A ) 2 + ( y B y A ) 2

- Tọa độ trung điểm M của AB đợc tính bởi công thức

xM =

x A + xB
y + yB
; yM = A
2
2

2.2 Quan hệ giữa Parabol y = ax2 (a 0) và đờng thẳng y = mx + n (m 0)
Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) và đờng thẳng (d): y = mx + n. Khi đó
- Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ phơng trình
y = ax 2

y = mx + n

- Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phơng trình
ax2= mx + n (*)
- Số giao điểm của (P) và (d) là số nghiệm của phơng trình (*)
+ Nếu (*) vô nghiệm thì (P) và (d) không có điểm chung
+ Nếu (*) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau
+ Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
II. Bài tập mẫu:
Bài 1: Cho hàm số: y = (m + 4)x - m + 6 (d).
a. Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến.
b. Tìm các giá trị của m, biết rằng đờng thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 2). Vẽ đồ thị
của hàm số với giá trị tìm đợc của m.
c. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.
d. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.
e. Chứng minh rằng khi m thay đổi thì các đờng thẳng (d) luôn luôn đi qua một
điểm cố định.

Bài 2: Cho hai đờng thẳng:
y = (k - 3)x - 3k + 3 (d1) và y = (2k + 1)x + k + 5 (d2).
Tìm các giá trị của k để:
a. (d1) và (d2) cắt nhau.
b. (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
c. (d1) và (d2) song song với nhau.
d. (d1) và (d2) vuông góc với nhau.
e. (d1) và (d2) trùng nhau.
Bài 3: Cho hàm số: y = (2m-5)x+3 với m

có đồ thị là đờng thẳng d .

Tìm giá trị của m để :
a. Góc tạo bởi (d) và trục Ox là góc nhọn, góc tù ( hoặc hàm số đồng biến , nghịch
biến)
b. (d) đi qua điểm (2;-1)
c. (d)// với đờng thẳng y =3x-4
d. (d) // với đờng thẳng 3x+2y = 1
e. (d) luôn cắt đờng thẳng 2x-4y-3 =0
f. (d) cắt đờng thẳng 2x+ y = -3 tại điểm có hoành độ bằng -2
g. Chứng tỏ (d) luôn đi qua 1 điểm cố định trên trục tung
Bài 4: cho (p) y = 2x2 và đờng thẳng (d) y = (2m-1)x m2-9 . Tìm m để :
a. Đờng thẳng(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
b. (d) tiếp xúc với (P)
c. (d) và (P) không giao nhau.
1
2

Bi 5: Cho hm s: y = x 2 cú th (P).
a) Tỡm cỏc im A, B thuc (P) cú honh ln lt bng 1 v 2.
b) Vit phng trỡnh ng thng AB.
c) Vit phng trỡnh ng thng song song vi AB v tip xỳc vi (P). Tỡm ta
tip im.
Bi 6: Cho hm s: y = (m + 1)x2 cú th (P).
a) Tỡm m hm s ng bin khi x > 0.
b) Vi m = 2. Tỡm to giao im ca (P) vi ng thng (d): y = 2x 3.
c) Tỡm m (P) tip xỳc vi (d): y = 2x 3. Tỡm ta tip im.
Bi 7: Chng t ng thng (d) luụn tip xỳc vi Parabol (P) bit:
a) (d): y = 4x 4; (P): y = x2.
b) (d): y = 2x 1; (P): y = x2.
Bi 8:
8.1) Chng t rng ng thng (d) luụn ct Parabol (P) ti 2 im phõn bit:
a) (d): y = 3x + 4; (P): y = x2.
b) (d): y = 4x + 3; (P): y = 4x2.
8.2) Tỡm ta giao im ca (d) v (P) trong cỏc trng hp trờn.
Bi 9: Cho Parabol (P) cú phng trỡnh: y = ax2 v hai ng thng sau:
4
3

(d1): y = x 1

(d2): 4x + 5y 11 = 0

a) Tỡm a bit (P), (d1), (d2) ng quy.
b) V (P), (d1), (d2) trờn cựng h trc ta vi a va tỡm c.


c) Tỡm ta giao im cũn li ca (P) v (d2).

d) Vit phng trỡnh ng thng tip xỳc vi (P) v vuụng gúc vi (d1).
1
2

Bi 10: Cho Parabol (P): y = x 2 v ng thng (d): y = 2x + m + 1.
a)
b)
c)
d)

Tỡm m (d) i qua im A thuc (P) cú honh bng 2.
Tỡm m (d) tip xỳc vi (P). Tỡm ta tip im
Tỡm m (d) ct (P) ti hai im cú honh cựng dng.
Tỡm m sao cho (d) ct th (P) ti hai im cú honh x 1 x2 tha món:
1 1 1
+ =
x12 x22 2

Bi 11: Cho hm s: y = ax2 cú th (P) v hm s: y = mx + 2m + 1cú th (d).
a) Chng minh (d) luụn i qua mt im M c nh.
b) Tỡm a (P) i qua im c nh ú.
c) Vit phng trỡnh ng thng qua M v tip xỳc vi Parabol (P).
Chủ đề
đồ thị y = a x ( a 0)
'

tơng quan giữa đồ thị

2

'

y = ax + b và đồ thị y = a ' x 2 (a ' 0)

I/Tìm hệ số a - Vẽ đồ thị hàm số y = a ' x 2 (a ' 0)
iểm thuc hay không thuộc đồ thị:
Hệ số a đợc tính theo công thức: a =

y
x2

Để vẽ đồ thị hàm số y = a ' x 2 (a ' 0) ta lập bảng giá trị ( thờng cho x 5 giá trị tuỳ ý)
im A(xA; yA) thuc th hm s y = f(x)
yA = f(xA).
Vớ d :
a/Tỡm h s a ca hm s: y = ax2 bit th hm s ca nú i qua im A(2;4)
b/ Đồ thị hàm số trên có đi qua điểm B(3; 9) không? C(3; -9) không?
Gii:
a/ Do th hm s i qua im A(2;4) nờn: 4 = a.22
a=1
b/ Vì a =1 nên ta có hàm số y = x 2
+ Thay x = 3 vào hàm số ta đợc Y = 32 = 9 = 9. Vậy B thuộc đồ thị hàm số y = x2
+ Thay x = 3 vào hàm số ta đợc Y = 32 = 9 9. Vậy C không thuộc đồ thị hàm số y = x2
II/Quan h gia (d): y = ax + b v (P): y = ax2 (a 0).
1.Tỡm ta giao im ca (d) v (P).
Bc 1: Tỡm honh giao im l nghim ca phng trỡnh:
ax2 = ax + b ax2- ax b = 0 (1)
Bc 2: Ly nghim ú thay vo 1 trong hai cụng thc y = ax +b hoc y = ax2 tỡm
tung giao im.
Chỳ ý: S nghim ca phng trỡnh (1) l s giao im ca (d) v (P).

2.Tỡm iu kin (d) v (P) cắt;tiếp xúc; không cắt nhau:
Từ phơng trình (1) ta có: a ' x 2 ax b = 0 = (a) 2 + 4a ' .b
a) (d) v (P) ct nhau
phng trỡnh (1) cú hai nghim phõn bit > 0


b) (d) v (P) tip xỳc vi nhau

phng trỡnh (1) cú nghim kộp = 0

c) (d) v (P) khụng giao nhau
phng trỡnh (1) vụ nghim < 0
3.Chứng minh (d) v (P) cắt;tiếp xúc; không cắt nhau với mọi giá trị của tham số:
+ Phơng pháp : Ta phải chứng tỏ đợc phơng trình: ax2 = ax + b có :
+ > 0 với mọi giá trị của tham số bằng cách biến đổi biểu thức về dạng:
= ( A B) 2 + m với m > 0 thì đờng thẳng luôn cắt pa ra bol
+ = 0 với mọi giá trị của tham số bằng cách biến đổi biểu thức về dạng:
= ( A B) 2 thì đờng thẳng luôn cắt pa ra bol
+ < 0 với mọi giá trị của tham số bằng cách biến đổi biểu thức về dạng:
2
= [( A B ) + m] với m > 0 thì đờng thẳng không cắt pa ra bol
Bài tập luyện tập:
Bài 1. cho parabol (p): y = 2x2.
1.Vẽ đồ thị hàm số (p)
2.Tìm giao điểm của (p) với đờng thẳng y = 2x +1.
1
2

Bài 2: Cho (P): y = x 2 và đờng thẳng (d): y = ax + b .
1. Xác định a và b để đờng thẳng (d) đi qua điểm A(-1;0) và tiếp xúc với (P).

2. Tìm toạ độ tiếp điểm.
Bài 3: Cho (P) y = x 2 và đờng thẳng (d) y = 2x + m
1. Vẽ (P)
2. Tìm m để (P) tiếp xúc (d)
3. Tìm toạ độ tiếp điểm.
Bài 4: Cho (P) y =

x2
và (d): y = x + m
4

1. Vẽ (P)
2. Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
Bài 5: Cho hàm số (P): y = x 2 và hàm số(d): y = x + m
1.Tìm m sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
2. Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) khi m = 2
Bài 6: Cho điểm A(-2;2) và đờng thẳng ( d1 ) y = -2(x+1)
1. Điểm A có thuộc ( d1 ) không ? Vì sao ?
2. Tìm a để hàm số (P): y = a.x 2 đi qua A
1
4

Bài 7: Cho hàm số (P): y = x 2 và đờng thẳng (d): y = mx 2m 1
1. Vẽ (P)
2. Tìm m sao cho (P) và (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm

Bài8: Cho parabol (P) : y = -x2 và đờng thẳng (d) có hệ số góc m đi qua điểm

M(-1 ;

-2) .
a). Chứng minh rằng với mọi giá trị của m (d) luôn cắt (P) tại hai điểm A , B phân
biệt