Đề cương ôn tập môn toán lớp 9 (17)

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HKII MÔN TOÁN LỚP 9
NĂM HỌC 2013-2014
TRƯỜNG THCS TRẦN PHÚ
1) CHỦ ĐỀ : CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
ax + by = c , a ≠ 0 ( D )
a ' x + b ' y = c ', a ' ≠ 0 ( D ')

Cho hệ phương trình: 

a
b
≠
• (D) cắt (D’) ⇔

⇔ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
a' b'
a
b
c
⇔ Hệ phương trình vô nghiệm.
=
≠
• (D) // (D’) ⇔
a' b' c'
a
b
c
⇔ Hệ phương trình có vô số nghiệm.
=
=

• (D) ≡ (D’) ⇔
a' b' c'

II. BÀI TẬP VẬN DỤNG
x + y = m
2 x − my = 0

Bài tập 1: Cho hệ phương trình 

(1)

1. Giải hệ phương trình (1) khi m = –1 .
2. Xác định giá trị của m để:
a) x = 1 và y = 1 là nghiệm của hệ (1) .
b) Hệ (1) vô nghiệm.
3. Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m.
4. Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x, y) thỏa: x + y = 1.
x + y = k + 2
2 x + 4 y = 9 − k

Bài tập 2: Cho hệ phương trình 

(1)

1. Giải hệ (1) khi k = 1.
2. Tìm giá trị của k để hệ (1) có nghiệm là x = – 8 và y = 7.
3. Tìm nghiệm của hệ (1) theo k.
x + y = 3
2 x − my = 1

Bài tập 3: Cho hệ phương trình 

1. Giải hệ phương trình (1) khi m = –7 .
2. Xác định giá trị của m để:

(1)


a) x = – 1 và y = 4 là nghiệm của hệ (1) .
b) Hệ (1) vô nghiệm.
3. Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m.
mx − 2 y = −1
2 x + 3 y = 1

Bài tập 4: Cho hệ phương trình 

(1)

1. Giải hệ phương trình (1) khi m = 3 .
2. Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x = −

1
2
và y = .
2
3

3. Tìm nghiệm của hệ phương trình (1) theo m.
x + y = 4
2 x + 3 y = m

Bài tập 5 : Cho hệ phương trình 

(1)

1.

Giải hệ phương trình (1) khi m = –1.

2.

Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x; y) thỏa 

x > 0
.
y < 0

HD: 1. Khi m = –1, hệ(1) có nghiệm: x = 13 và y = – 9.
2. Tìm:
• Nghiệm của hệ (1) theo m: x = 12 – m ; y = m – 8 .
x > 0

12 − m > 0

m < 12

• Theo đề bài:  y < 0 ⇒ m − 8 < 0 ⇔ m < 8 ⇔ m < 8.




2) CHỦ ĐỀ : VẼ ĐỒ THỊ & TÌM TỌA ĐỘ GIAO ĐIỂM
CỦA (P) : y = ax2 VÀ (D) : y = ax + b (a ≠ 0)
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1.Hàm số y = ax2(a ≠ 0) :
Hàm số y = ax2(a ≠ 0) có những tính chất sau:
• Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0.
• Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0.
Đồ thị của hàm số y = ax2(a ≠ 0) :
• Là một Parabol (P) với đỉnh là gốc tọa độ 0 và nhận trục Oy làm trục đối
xứng.
• Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành. 0 là điểm thấp nhất của đồ thị.
• Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành. 0 là điểm cao nhất của đồ thị.


Vẽ đồ thị của hàm số y = ax2 (a ≠ 0) :
• Lập bảng các giá trị tương ứng của (P) .
• Dựa và bảng giá trị → vẽ (P) .
2. Tìm giao điểm của hai đồ thị :(P) : y = ax2(a ≠ 0) và (D) : y = ax + b:
Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D) : cho 2 vế phải của 2 hàm số bằng
→ đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0.
nhau
• Giải pt hoành độ giao điểm:
+ Nếu ∆ > 0 ⇒ pt có 2 nghiệm phân biệt ⇒ (D) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
+ Nếu ∆ = 0 ⇒ pt có nghiệm kép ⇒ (D) và (P) tiếp xúc nhau.
+ Nếu ∆ < 0 ⇒ pt vô nghiệm ⇒ (D) và (P) không giao nhau.
3. Xác định số giao điểm của hai đồ thị :(P) : y = ax2(a ≠ 0) và (Dm) theo tham số m:
• Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (D m) : cho 2 vế phải của 2
→ đưa về pt bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0.
hàm số bằng nhau
• Lập ∆ (hoặc ∆ ' ) của pt hoành độ giao điểm.

• Biện luận:
+ (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi ∆ > 0 → giải bất pt → tìm m.
+ (Dm) tiếp xúc (P) tại 1 điểm ∆ = 0 → giải pt → tìm m.
+ (Dm) và (P) không giao nhau khi ∆ < 0 → giải bất pt → tìm m.
II. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài tập 1: Cho hai hàm số y =

x2
2

có đồ thị (P) và y = -x + m có đồ thị (Dm) .

1. Với m = 4, vẽ (P) và (D4) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy.
2. Xác định tọa độ các giao điểm của chúng.
3. Xác định giá trị của m để:
a) (Dm) cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng 1.
b) (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
c) (Dm) tiếp xúc (P) . Xác định tọa độ tiếp điểm.
Bài tập 2: Cho hai hàm số y = – 2x2 có đồ thị (P) và y = – 3x + m có đồ thị (Dm) .
1. Khi m = 1, vẽ (P) và (D1) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy.
2. Xác định tọa độ các giao điểm của chúng.
3. Xác định giá trị của m để:
a) (Dm) đi qua một điểm trên (P) tại điểm có hoành độ bằng
b) (Dm) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.

−

1
.
2

c)

(Dm) tiếp xúc (P) . Xác định tọa độ tiếp điểm.

Bài tập 3: Cho hàm số y = – 2x2 có đồ thị (P) .
1. Vẽ (P) trên một hệ trục tọa độ vuông góc..
2

2. Gọi A( − 3 ; −7 ) và B(2; 1) .
a) Viết phương trình đường thẳng AB.
b) Xác định tọa độ các giao điểm của đường thẳng AB và (P) .
3. Tìm điểm trên (P) có tổng hoành độ và tung độ của nó bằng – 6.
HD: 2a) . Đường thẳng AB có phương trình y = = 3x – 5.
5
2

2b) . Tọa độ giao điểm: (1;– 2) và ( − ; −

25
2

).

3. Gọi M(xM; yM) là điểm trên (P) thỏa đề bài, ta có: xM + yM = – 6.
Mặt khác: M(xM; yM)

∈ (P) ⇒

yM = – 2 xM2 nên: xM + yM = – 6

⇔

xM + (– 2 xM2 )

=–6
⇔–

2 x + xM + 6 = 0
2
M

Vậy có 2 điểm thỏa đề bài: M1(2; – 8 ) và M2( −

3 9
;− )
2
2

 x1 = 2 ⇒ y1 = − 8
⇒
 x2 = − 3 ⇒ y2 = − 9

2
2

.

.

Bài tập 4: Cho hai hàm số y = x2 có đồ thị (P) và y = x + 2 có đồ thị (D) .
1. Vẽ (P) và(D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy. Xác định tọa độ các
giao điểm của chúng.
2. Gọi A là điểm thuộc (D) có hoành độ bằng 5 và B là điểm thuộc (P) có hoành
độ bằng – 2. Xác định tọa độ của A, B.
3. Tìm tọa độ của điểm I nằm trên trục tung sao cho: IA + IB nhỏ nhất.
HD: 1. Tọa độ giao điểm: (2; 4) và (–1; 1) .
2. Tọa độ của A(5; 7) và B(– 2 ; 4)
3.
• I(xI, yI) ∈ Oy ⇒ I(0: yI) .
• IA + IB nhỏ nhất khi ba điểm I, A, B thẳng hàng.
• Phương trình đường thẳng AB: y =

3
34
x+ .
7
7


• I(xI, yI)

∈

đường thẳng AB nên: yI =

3
34
34

34
⇒ I(0;
.0 +
=
)
7
7
7
7

Bài tập 5: Cho (P) : y = x2 và (D) : y = – x + 2.
1. Vẽ (P) và (D) trên cùng một hệ trục tọa độ vuông góc Oxy. Gọi A và B là các
giao điểm của (P) và (D) , xác định tọa độ của A, B.
2. Tính diện tích tam giác AOB (đơn vị đo trên trục số là cm) .
3. CMR: Tam giác AOB là tam giác vuông.
HD: 1. Tọa độ giao điểm: (1; 1) và (– 2; 4) .
2. Gọi H, K là hình chiếu của A, B trên trục Ox, ta có:
1
1
1
• ∆ OHA vuông tại H ⇒ SOHA =
OH.OA = .1. 1 = (cm2) .

•
•
•
•

2
2

2
1
1
∆ OKB vuông tại K ⇒ SOKB =
OK.KB = .2. 4 = 4 (cm2) .
2
2
Gọi I là giao điểm của (D) với trục Ox ⇒ yI = 0 ⇒ xI = 2 ⇒ I(2; 0) .
1
1
∆ IKB vuông tại K ⇒ SIKB =
BK.KI = .4. 4 = 8 (cm2) .
2
2
1
SOAB = SIKB – (SOHA + SOKB ) = 8 – ( + 4) = 3,5 (cm2) .
2

3.
• Phương trình đường thẳng OA: y = a’x (D’) .
• (D’) đi qua A(1; 1) ⇒ a = 1 ⇒ (D’) : y = x.
• (D) có a = – 1 và (D’) có a’ = 1 → a. a’ = – 1 ⇒ (D) ⊥ (D’)
⇒ OA ⊥ AB ⇒ ∆ OAB vuông tại A.
-------------------------------------------------------------------------------------------3) CHỦ ĐỀ : CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Giải phương trình bậc hai dạng ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) (1)
a) Nhẩm nghiệm:
• a + b +c = 0

⇒ pt

(1)

• a – b +c = 0

⇒ pt

(1)

 x1 = 1
có 2 nghiệm:  x = c .
2
a

 x1 = − 1
có 2 nghiệm:  x = − c .
2
a



b) Giải với

∆' :

Nếu b = 2b’

⇒ b’

• Nếu

x2 =

∆' >

b

=2
0

⇒ ∆' =
⇒

(b’) 2 – ac.

phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

−b ' − ∆ '
a

• Nếu

∆' =

0

⇒

phương trình có nghiệm kép:

• Nếu ∆ ' < 0 ⇒ phương trình vô nghiệm.

c) Giải với ∆ :
Tính ∆ : ∆ = b2 – 4ac.
∆

> 0

⇒

phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

• Nếu

∆

= 0

⇒

phương trình có nghiệm kép:

x1 =

x1 = x2 =

−b ' + ∆ '
a

x2 =

−b − ∆

2a

;

−b '
.
a

x1 = x2 =

• Nếu

x1 =

−b + ∆
2a

;

−b
.
2a

• Nếu ∆ < 0 ⇒ phương trình vô nghiệm.
2. Hệ thức Vi ét và ứng dụng:
a) Định lý: Nếu x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì ta
b

 S = x1 + x2 = − a
có: 

.
P = x x = c
1 2

a

b) Định lý đảo: Nếu
⇒

u + v = S

u.v = P

u, v là 2 nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0 (ĐK: S2 – 4P ≥ 0) .
* Một số hệ thức khi áp dụng hệ thức Vi-ét:
2
2
2
• Tổng bình phương các nghiệm: x1 + x2 = ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = S2 – 2P.
• Tổng nghịch đảo các nghiệm:

1 1
x +x
S
+
= 1 2 = .
x1 x2
x1 x2
P

• Tổng nghịch đảo bình phương các nghiệm:

1
1
x12 + x22 S2 − 2P
+
=
=
.
x12
x22 ( x1 x2 )2
P2

• Bình phương của hiệu các nghiệm: ( x1 − x2 ) = ( x1 + x2 ) − 4 x1 x2 = S2 – 4P.
3
3
3
• Tổng lập phương các nghiệm: x1 + x2 = ( x1 + x2 ) − 3x1 x2 ( x1 + x2 ) = S3 – 3PS
Ví dụ: Cho phương trình x2 – 12x + 35 = 0. Hãy tính giá trị của các biểu thức sau:
2

2


a)

x12 + x22 .

Giải:
Phương trình có

b)

1 1
+
x1 x2

∆' =

.

1>0

c)
⇒ pt

b

 S = x1 + x2 = − a = 12

.
 P = x x = c = 35
1 2

a
a) x12 + x22 = ( x1 + x2 )2 − 2 x1 x2 = S2
1 1
x1 + x2 S 12
b) x + x = x x = P = 35 .
1

2
1 2

c)
d)

( x1 − x2 )2

d)

x13 + x23

có 2 nghiệm, áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1) :

– 2P = 122 – 2.35 = 74.

( x1 − x2 )2 = ( x1 + x2 )2 − 4 x1 x2 = S2 -4P =
x13 + x23 = ( x1 + x2 )3 − 3 x1 x2 ( x1 + x2 )

122 – 4.35 = 4.
= S3 – 3PS = 123 – 3.35.12 = 468.

3.Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập đối với tham số:(Tìm hệ thức liên hệ giữa 2
nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào tham số) .
* Phương pháp giải:
• Tìm điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm ( ∆ ' ≥ 0 ; ∆ ≥ 0 hoặc a.c < 0) .
• Lập hệ thức Vi-ét cho phương trình

→

b

 S = x1 + x2 = − a

.
P = x x = c
1 2

a

• Khử tham số (bằng phương pháp cộng đại số) tìm hệ thức liên hệ giữa S và P
Đó là hệ thức độc lập với tham số.

Ví dụ: Cho phương trình 2x2 + (2m – 1) x + m – 1 = 0 (1) (m là tham số) .
1. CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
2. Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của pt (1) . Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm không phụ
thuộc vào m.
Giải:
1. Phương trình (1) có ∆ = b2 – 4ac = + (2m – 1) 2 – 4.2.(m – 1) = 4m 2 – 12m + 9
= (2m – 3) 2 ≥ 0, ∀ m.
Vậy phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
2.


• Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình (1) :
2 S = − 2 m + 1

2 P = m − 1
2S = − 2m + 1
⇔

⇒
 4 P = 2m − 2

b − 2m + 1

 S = x1 + x2 = − a =
2
⇔

P = x x = c = m −1
1 2

a
2

2S + 4P = -1. Hay: 2(x 1 + x2) + 4x1x2 = -1 : Đây là hệ thức cần

tìm.
4. Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng – Lập phương trình bâc hai khi biết hai
nghiệm của nó:
* Phương pháp giải:
• Nếu 2 số u và v c ó:

u + v = S
⇒

u.v = P

u, v là hai nghiệm của phương trình: x2 – Sx

+ P = 0 (*) .
• Giải pt (*) :

u = x1

 v = x2

∆>

0)

⇒

pt (*) có 2 nghiệm phân biệt x 1, x2. Vậy

0 (hoặc

∆=

0)

⇒

pt (*) có nghiệm kép x1 = x2 =

+ Nếu ∆ ' < 0 (hoặc
đề bài.

∆<

0)

⇒

pt (*) vô nghiệm. Vậy không có 2 số u, v thỏa

∆' >

+ Nếu
hoặc

 u = x2

 v = x1

+ Nếu

∆' =

0 (hoặc
.

b'
a

−

b'
.
a

Vậy u = v

=− .

Ví dụ 1: Tìm 2 số u,v biết u + v = 11 và u.v = 28
Giải:
Theo đề bài
28 = 0(*)

⇒

u, v là hai nghiệm của phương trình: x2 – Sx + P = 0

Phương trình (*) có ∆ = 9 > 0

x = 7
⇒ ∆ =3⇒  1
.
 x2 = 4

⇔

x2 – 11x +


Vậy:

u = 7


v = 4

hay

u = 4

v = 7
= 3 +1

Ví dụ 2: Cho hai số a
và b = 3 – 3 . Viết phương trình bậc hai có hai nghiệm là
a và b.
Giải:
• a + b = ( 3 +1) + (3 – 3 ) = 4.
• a.b = ( 3 +1) . (3 – 3 ) = 2 3 .
Suy ra: a, b là 2 nghiệm của phương trình: x 2 – Sx + P = 0 ⇔ x2 – 4x + 2 3 = 0:
Đây là pt cần tìm.
5. Chứng minh phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của
tham số m:
* Phương pháp giải:
• Lập biệt thức ∆ ' (hoặc ∆ ) .
• Biến đổi ∆ ' đưa về dạng : ∆ ' = (A ± B) 2 + c > 0, ∀ m (với c là một số
dương)
• Kết luận: Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi
tham số m.
6. Chứng minh phương trình bậc hai luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m:
* Phương pháp giải:
• Lập biệt thức ∆ ' (hoặc ∆ ) .
• Biến đổi ∆ ' đưa về dạng : ∆ ' = (A ± B) 2 ≥ 0, ∀ m.
• Kết luận: Vậy phương trình đã cho luôn nghiệm với mọi tham số m.

7. Biện luận phương trình bậc hai theo tham số m:
* Phương pháp giải:
• Lập biệt thức ∆ ' (hoặc ∆ ) .
• Biện luận:
+ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi: ∆ ' > 0 → giải bất pt → tìm tham
số m → kết luận.
+ Phương trình có nghiệm kép khi ∆ ' = 0 → giải pt → tìm tham số m → kết
luận.
+ Phương trình vô nghiệm khi ∆ ' < 0 → giải bất pt → tìm tham số m → kết
luận.
+ Phương trình có nghiệm khi ∆ ' ≥ 0 → giải bất pt → tìm tham số m → kết
luận.
* Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi: a.c < 0 → giải bất pt → tìm tham số m
→ kết luận.


8. Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
* Phương pháp giải:
• Đưa biểu thức P cần tìm về dạng: P = (A ± B) 2 + c ⇒ P = (A ± B) 2 + c ≥
c.
• Giá trị nhỏ nhất của P: Pmin = c khi A ± B = 0 → giải pt → tìm tham số m →
kết luận.
9. Xác định giá trị lớn nhất của biểu thức:
* Phương pháp giải:
• Đưa biểu thức Q cần tìm về dạng: Q = c – (A ± B) 2 ⇒ Q = c – (A ± B) 2 ≤
c
Giá trị nhỏ nhất của Q: Qmax = c khi A ± B = 0 → giải pt → tìm tham số m → kết luận.
II. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài tập 1: Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 3) x – 2m = 0 (1) .
1. Giải phương trình (1) khi m = – 2.

2. CMR: Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
3. Tìm hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Bài tập 2 : Cho phương trình 2x2 + (2m – 1) x + m – 1 = 0 (m là tham số) (1)
1. Giải phương trình (1) khi m = 2.
2. CMR: Phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi m.
3. Trong trường hợp (1) có hai nghiệm phân biệt.Thiết lập hệ thức liên hệ giữa x 1,
x2 độc lập với m.
HD: 1. Khi m = 2, phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt: x1 = –1, x2 =
2. ∆ = (2m – 3) 2 ≥ 0, ∀m .
3.
• ĐK để pt (1) có 2 nghiệm phân biệt: (2m – 3) 2 > 0
3

m > 2

m < 3

2

.

• Hệ thức: 2S + 4P = 1

⇒ 2(

x1 + x2) + 4 x1x2 = 1.

⇔ |2m

−

1
.
2

– 3| > 0

⇔


Bài tập 3 : Cho phương trình bậc hai x2 –2(m – 1) x + m2 = 0 (1) .
1. Tìm m để:
a) Pt (1) có 2 nghiệm phân biệt.
b) Pt (1) có một nghiệm là – 2.
2. Giả sử x1, x2 là 2 nghiệm của pt (1) . CMR: (x1 – x2) 2 + 4(x1 + x2) + 4 = 0.
Bài tập 4: Cho phương trình bậc hai x2 –2(m + 1) x + (2m – 4) = 0 (1) .
1. Giải phương trình (1) khi m = – 2.
2. CMR: Với mọi m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
3. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của (1) . Tính A = x12 + x22 theo m.
4. Tìm giá trị của m để A đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài tập 5: Cho phương trình bậc hai x2 – (m – 1) x + 2m – 7 = 0 (1) .
1. Giải phương trình (1) khi m = –1.
2. CMR: Với mọi m, phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
3. Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu.
4. Thiết lập mối quan hệ giữa 2 nghiệm x1, x2 không phụ thuộc và m.
5. Tìm m để x12 + x22 = 10.
HD: 1. Khi m = –1 ⇒ x1 = −1 + 10 ; x2 = −1 − 10 .
2. ∆ = m2 – 10m + 29 = (m – 5) 2 + 4 > 0, ∀m .
3. Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu khi a.c < 0

⇔ 1.(2m

– 7) < 0

⇒

m<

7
.
2

4. Hệ thức cần tìm: 2S – P =5 ⇒ 2(x1 +x2) – x1x2 = 5.
5. x12 + x22 = 10 ⇔ m2 – 6m + 5 = 0 ⇒ m = 1 hoặc m = 5.
Bài tập 6: Cho phương trình bậc hai x2 + 2x + 4m + 1 = 0 (1) .
1. Giải phương trình (1) khi m = –1.
2. Tìm m để:
a) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
b) Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.
c) Tổng bình phương các nghiệm của pt (1) bằng 11.
HD: 1. Khi m = –1 ⇒ x1 = 1 ; x2 = –3 .
2a. Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi ∆ = –4m > 0 ⇒ m < 0.
2b. Phương trình (1) có 2 nghiệm trái dấu khi a.c < 0 ⇔ 1.(4m + 1) < 0 ⇒ m <
−

1
.
4

2c. Tổng các bình phương hai nghiệm của pt (1) bằng 11

2
x2) – 2x1x2 = 11

⇔ x12 + x22

= 11 ⇔ (x1 +


⇔2

– 8m = 11

⇔m

=

−

9
.
8

---------------------------------------------------------------------------------------4) CHỦ ĐỀ: GIẢI BÀI TOÁN
BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH – LẬP PHƯƠNG TRÌNH
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Các bước giải:
1. Lập phương trình ( hoặc hệ phương trình) :
• Chọn ẩn số và xác định điều kiện thích hợp cho ẩn;
• Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và qua các đại lượng đã biết ;
• Lập phương trình ( hoặc hệ phương trình) biểu thị mối quan hệ giữa các

đại lượng
2. Giải phương trình ( hoặc hệ phương trình) vừa lập được.
3. Trả lời: Chỉ nhận nghiệm thỏa ĐK và trả lời yêu cầu của bài.
II. BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài tập1: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Tìm số tự nhiên có hai chữ số,
biết rằng chữ số hàng chục lớn hớn chữ số hàng đơn vị là 2 và nếu viết thêm chữ số bằng
chữ số hàng chục vào bên phải thì được một số lớn hơn số ban đầu là 682.
Bài tập 2: Có hai số tự nhiên, biết rằng: tổng của hai số bằng 59; hai lần số này bé hơn ba
lần số kia là 7. Tìm hai số đó.
Bài tập 3: Cho một số tự nhiên có hai chữ số. Tổng của hai chữ số của nó bằng 10; tích
hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là 12. Tìm số đã cho.
Bài tập 4: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 320m. Nếu chiều dài của khu vườn
tăng 10m và chiều rộng giảm 5m thì diện tích của nó tăng thêm 50m 2. Tính diện tích của
khu vườn ban đầu.
Bài tập 5: Cho một tam giác vuông. Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 4cm và 5cm thì
diện tích tam giác sẽ tăng thêm 110cm 2. Nếu giảm cả hai cạnh này đi 5cm thì diện tích sẽ
giảm đi 100cm2. Tình hai cạnh góc vuông của tam giác.
Bài tập 6: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào
một cái bể không có nước trong 4 giờ 48 phút sẽ đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất trong 3
giờ và vòi thứ hai trong 4 giờ thì được
lâu thì mới đầy bể?

3
4

bể nước. Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao


Bài tập 7: Giải bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình: Hai vòi nước cùng chảy vào
một cái bể cạn (không có nước) thì sau

4

4
5

giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất

và 9 giờ sau mới mở thêm vòi thứ hai thì sau

6
5

giờ nữa mới bể nước. Hỏi nếu ngay từ

đầu chỉ mở vòi thứ hai thì sau bao lâu mới đầy bể?
Bài tập 8:
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Hai tỉnh A và B cách nhau 90 km. Hai mô tô
khởi hành đồng thời, xe thứ nhất từ A và xe thứ hai từ B đi ngược chiều nhau. Sau 1 giờ
chúng gặp nhau. Tiếp tục đi, xe thứ hai tới A trước xe thứ nhất tới B là 27 phút. Tính vận
tốc mỗi xe.
Bài tập 9: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình: Hai tỉnh A và B cách nhau 110
km. Hai mô tô khởi hành đồng thời, xe thứ nhất từ A và xe thứ hai từ B đi ngược chiều
nhau. Sau 2 giờ chúng gặp nhau. Tiếp tục đi, xe thứ hai tới A trước xe thứ nhất tới B là
44 phút. Tính vận tốc mỗi xe.

CHỦ ĐỀ : HÌNH HỌC
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
Định nghĩa – Định lý
Ký hiệu toán học

Hệ quả
1. Góc ở tâm: Trong (O,R) có: ·AOB ở tâm chắn
một đường tròn, số đo ⇒ ·AOB = sđ ¼
AmB
của góc ở tâm bằng số
đo cung bị chắn.

·
(O,R) có: BAC
nội tiếp chắn
2. Góc nội tiếp:
1
·
» .
= 2 sđ BC
* Định lý: Trong một ⇒ BAC
đường tròn, số đo của
góc nội tiếp bằng nửa
số đo của cung bị chắn.
* Hệ quả: Trong một a) (O,R) có:
·
» 
n.tieáp chaén BC
đường tròn: BAC

· nội
» 
a) Các gócEDF
tiếp
n.tieá

p chaén EF

·
·
BAC
= EDF





Hình vẽ
¼
AmB

»
BC


bằng nhau chắn các
cung bằng nhau.

» = EF
»
⇒ BC

b) (O,R) có:
·
» 
BAC

n.tiep chan BC
 ·
·
 ⇒ BAC = BDC
·BDC n.tiep chan BC
» 


b) Các góc nội tiếp (O,R) có:
cùng chắn một cung
hoặc chắn các cung
bằng nhau thì bằng
·
» 
BAC
n.tiep chan BC
nhau.

·
» 
EDF
n.tiep chan EF
·
·
 ⇒ BAC = EDF
» = EF
»

BC




c) (O,R) có:

·
» 
BAC
n.tiep chan BC
1·
 ·
 ⇒ BAC = BOC
·
» 
2
BOC
o tam chan BC


d) (O,R) có:
·
c) Góc nội tiếp (nhỏ BAC
nội tiếp chắn nửa đường
0
·
hơn hoặc bằng 90 ) có tròn đường kính BC ⇒ BAC
=
số đo bằng nửa số đo 900.
của góc ở tâm cùng
chắn một cung.
d) Góc nội tiếp chắn

nửa đường tròn là góc
vuông.
(O,R) có:
·
BAx
tạo bởi tia tiếp tuyến và
dây cung chắn
»AB .

·
»AB ⇒ BAx

1
2

= sđ


3. Góc tạo bởi tia tiếp (O,R) có:
và dây cung:
· tuyến
» 
BAx
tao boi tt & dc chan AB
 ·
BAx = ·ACB
*
Định
lý:
Trong

một
⇒
·ACB noi tiep chan AB
»
đường tròn, số đo của
góc tạo bởi tia tiếp
tuyến và dây cung bằng
nửa số đo của cung bị (O,R) có:
·
chắn.
BEC
có đỉnh bên trong đường
tròn
1
·
» + sñ AD
» )
⇒ BEC
= (sñ BC
* Hệ quả:
2 Trong một

đường tròn, góc tạo bởi
tia tiếp tuyến và dây (O,R) có:
·
cung và góc nội tiếp BEC
có đỉnh bên ngoài đường
cùng chắn một cung thì tròn
bằng· nhau.
1 »

» )
BEC = ( s BC
4.⇒Góc
có2 đỉnh− sởADbên
trong đường tròn:
* Định lý: Góc có đỉnh
ở bên trong đường tròn
bằng nửa tổng số đo hai
cung bị chắn.
5. Góc có đỉnh ở bên
ngoài đường tròn:
* Định lý: Góc có đỉnh
ở bên ngoài đường tròn
bằng nửa hiệu số đo
hai cung bị chắn.
6. Cung chứa góc:
* Tập hợp các điểm
cùng nhìn đoạn thẳng
AB dưới một góc α
không đổi là hai cung
tròn chứa góc α .

a) ·ADB = ·AEB = ·AFB = α cùng nhìn
đoạn AB ⇒ A, B, D, E, F cùng
thuộc một đường tròn.


·
·
ACB

= ADB
= ·AEB = ·AFB = 90 0
b)
cùng nhìn đoạn AB ⇒ A, B, C,
D, E, F thuộc một đường tròn
đường kính AB.

* Đặc biệt:
a) Các điểm D, E, F
cùng thuộc nửa mặt
phẳng bờ AB, cùng nhìn
đoạn AB dưới một góc
không đổi ⇒ Các đểm * Tứ giác ABCD có A, B, C, D
A, B, D, E, F cùng thuộc ∈ (O)
một đường tròn.
⇔ ABCD là tứ giác nội tiếp (O)
.
b) Các điểm C, D, E, F
cùng nhìn đoạn AB * Tứ giác ABCD nội tiếp (O)
dưới một góc vuông ⇒
µ = 1800

A +C
µ
Các đểm A, B, C, D, E, ⇔µ µ
B +D = 180 0


F thuộc đường tròn
* Tứ giác ABCD có:

đường kính AB.
µA + C
µ = 1800 ⇔ ABCD là tứ giác
n.tiếp
Hoặc:
µ +D
µ = 1800 ⇔ ABCD là tứ giác
7. Tứ giác nội tiếp:
B
* Định nghĩa: Một tứ n.tiếp
giác có bốn đỉnh nằm
trên một dường tròn
được gọi là tứ giác nội
tiếp đường tròn.
* Định lý: Trong một tứ
giác nội tiếp, tổng số đo
hai góc đối diện bằng
1800.
* Định lý đảo: Nếu một
tứ giác có tổng số đo
hai góc đối diện bằng

C = 2π R =π d


1800 thì tứ giác đó nội
tiếp được đường tròn.
8. Độ dài đường tròn,
cung tròn:
* Chu vi đường tròn:

* Độ dài cung tròn:
9. Diện tích hình tròn,
hình quạt tròn:
* Diện tích hình tròn:

l =

π Rn
1800

S = π R2 = π

S =

d2
4

π R 2 n l .R
=
360
2

Sviên phân = Squạt - SABC

* Diện tích hình quạt
tròn:

* Diện tích hình viên
phân:

S = π ( R12 − R22 )

S xq = 2π Rh

Stp = Sxq + 2.Sđáy
Stp = 2π Rh + 2π R 2

* Diện tích hình vành
khăn:

V = S .h = π R 2h

HÌNH KHÔNG GIAN S: diện tích đáy; h: chiều cao
1.Hình trụ:
* Diện tích xung quanh:
S = π R.l
xq

* Diện tích toàn phần:


* Thể tích:
2.Hình nón:
* Diện tích xung quanh:

Stp = Sxq + Sđáy
Stp = π Rl + π R 2
V =

* Diện tích toàn phần:

* Thể tích:

Vnón =

1
π R 2h
3
1
Vtrụ
3

S: diện tích đáy; h: chiều cao,
l: đường sinh
l = h2 + R 2

S xq = π ( R1 + R2 )l

Stp = Sxq + Sđáy lớn + Sđáy nhỏ

Stp = π ( R1 + R2 )l + π ( R12 + R22 )

2. Hình nón cụt:
* Diện tích xung quanh:
* Diện tích toàn phần:

1
2 2
π d 22
VS== 4ππhR( R=

1 + R2 + R1 R2 )
3
4
V = π R3
3


* Thể tích:

3. Hình cầu:
* Diện tích mặt cầu:

* Thể tích:

BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Cho ∆ ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R.. Các phân giác
của các góc ·ABC , ·ACB lần lượt cắt đường tròn tại E, F.
1. CMR: OF ⊥ AB và OE ⊥ AC.
2. Gọi M là giao điểm của của OF và AB; N là giao điểm của OE và AC. CMR:
Tứ giác AMON nội tiếp và tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác này.
3. Gọi I là giao điểm của BE và CF; D là điểm đối xứng của I qua BC. CMR:
ID ⊥ MN.
·
4. CMR: Nếu D nằm trên (O) thì BAC
= 600.
Bài 2: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi M là điểm trên cạnh BC và N là điểm
trên cạnh CD sao cho BM = CN. Các đoạn thằng AM và BN cắt nhau tại H.
1. CMR: Các tứ giác AHND và MHNC là những tứ giác nội tiếp.
2. Khi BM =

a
.
4

Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác AHND theo a.


3. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn MN theo a.
Bài 3: Cho ∆ ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Đường cao BH và CK lần
lượt cắt (O) tại E và F.
a) CMR: Tứ giác BKHC nội tiếp.
b) CMR: OA ⊥ EF và EF // HK.
c) Khi ∆ ABC là tam giác đều có cạnh bằng a. Tính diện tích hình viên phân
chắn cung nhỏ BC của (O) .
Bài 4: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi E là một điểm bất kỳ trên cạnh BC.
Qua B vẽ thẳng vuông góc với tia DE tại H, đường thẳng này cắt tia DC tại F.
a) CMR: Năm điểm A, B, H, C, D cùng nằm trên một đường tròn.
b) CMR: DE.HE = BE.CE.
c) Tính độ dài đoạn thẳng DH theo a khi E là trung điểm của BC.
·
d) CMR: HC là tia phân giác của DHF
.
Bài 5: Một hình vuông ABCD nội tiếp trong đường tròn Tâm O bán kính R . Một điểm
M i động trên cung ABC , M không trùng với A,B và C, MD cắt AC tại H.
1) CMR:Tứ giác MBOH nội tiếp được trong đường tròn và DH.DM = 2R2 .
2) CMR: MD.MH = MA.MC.
3) ∆ MDC và ∆ MAH bằng nhau khi M ở một vị trí đặc biệt M’. Xác định điểm
M’. Khi đó M’D cắt AC tại H’. Đường thẳng qua M’ và vuông góc với AC cắt AC tại I.
Chứng minh rằng I là trung điểm của H’C .
Bài 6: Cho hai đường tròn (O; 20cm) và (O’; 15cm) cắt nhau tại A và B. Biết AB =

24cm và O và O’ nằm về hai phía so với dây chung AB. Vẽ đường kính AC của đường
tròn (O) và đường kính AD của đường tròn (O’) .
a) CMR: Ba điểm C, B, D thẳng hàng.
b) Tính độ dài đoạn OO’.
c) Gọi EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’) (E, F là các
tiếp điểm) . CMR: Đường thẳng AB đi qua trung điểm của đoạn thẳng EF.
Bài 7: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Từ A và B lần lượt kẻ hai tiếp
tuyến Ax và By với nửa đường tròn. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B)
kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt tại C và D.
1. CMR:
a) Tứ giác AOMC nội tiếp.
·
b) CD = CA + DB và COD
= 900.


c) AC. BD = R2.
·
2. Khi BAM
= 600. Chứng tỏ ∆ BDM là tam giác đều và tính diện tích của hình quạt
tròn chắn cung MB của nửa đường tròn đã cho theo R.
Bài 8: Từ điểm M ở ngoài đường tròn (O) vẽ cát tuyến MCD không đi qua tâm O và hai
tiếp tuyến MA và MB đến đường tròn (O) , ở đây A, B là các tiếp điểm và C nằm giữa M,
D.
a) CMR: MA2 = MC. MD.
b) Gọi I là trung điểm của CD. CMR: 5 điểm M, A, O, I, B cùng nằm trên
một đường tròn.
c) Gọi H là giao điểm của AB và MO. CMR: Tứ giác CHOD nội tiếp được
·
đường tròn. Suy ra AB là phân giác của CHD

.
d) Gọi K là giao điểm của các tiếp tuyến tại C và D của đường tròn (O) .
CMR: 3 điểm A, B, K thẳng hàng.
e)
Bài 9: Cho điểm A ở ngoài đường tròn (O, R) . Gọi AB, AC là hai tiếp tuyến của đường
tròn (B và C là hai tiếp điểm) . Từ A vẽ một tia cắt đường tròn tại E và F (E nằm giữa A
và F) .
a) CMR: ∆ AEC và ∆ ACF đồng dạng. Suy ra AC2 = AE. AF.
b) Gọi I là trung điểm của EF. Chứng minh 5 điểm A, B, O, I, C cùng nằm trên
một đường tròn.
c) Từ E vẽ đường thẳng vuông góc với OB cắt BC tại M. Chứng minh tứ giác
EMIC nội tiếp được trong đưởng tròn. Suy ra tứ giác MIFB là hình thang.
d) Giả sử cho OA = R 2 . Tính theo R phần diện tích tứ giác ABOC nằm ở ngoài
hình tròn (O)
Bài 10: Cho hình vuông cạnh a , lấy điểm M bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B,C) . Qua B
kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng DM tại H, kéo dài BH cắt đường thẳng DC
tại K.
1. Chứng minh: BHCD là tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh: KM ⊥ DB.
3. Chứng minh: KC . KD = KH . KB.
4. Kí hiệu SABM , SDCM là diện tích của tam giác ABM, tam giác DCM. CMR: (S ABM
+ SDCM ) không đổi. Xác định vị trí của M trên BC để S 2ABM + S2DCM đạt giá trị nhỏ nhất.
Tìm giá trị nhỏ nhất đó theo a.
HD:
1. CMR: BHCD là tứ giác nội tiếp:


·
+ BHD
= 900 nhìn đoạn BD ⇒ H ∈ đường tròn đường kính BD (1)

·
+ BCD
= 900 nhìn đoạn BD ⇒ C∈ đường tròn đường kính BD (2)
Từ (1) và (2) ⇒ B, H, C, D ∈ đường tròn đường kính BD.
2. Chứng minh: KM ⊥ DB:
+ ∆ BDK có :

DH ⊥ BK
BC ⊥ DK

⊥ DB



 ⇒ M là trực tâm của ∆ BDK ⇒ KM là đường cao thứ ba ⇒ KM
DH caét DK taïi M 

3. Chứng minh: KC . KD = KH . KB:

·
·
KCB
= KHD
= 900 
 ⇒ ∆ KCB
+ ∆ KCB và ∆ KHD có: ·
BKD : chung

⇒

∆ KHD (g.g)

KC KH
⇒ KC . KD = KH . KB (đpcm) .
=
KB KD

4. CMR: (SABM + SDCM ) không đổi:

1
1
+ ∆ ABM vuông tại B ⇒ SABM = AB.BM = a.BM

(1)

2
2
1
1
+ ∆ DCM vuông tại C ⇒ SDCM = CD.CM = a.CM (2)
2
2
1
1
Từ (1) và (2) ⇒ SABM + SDCM = a.BM + a.CM
2
2
1
1
1

1
= a.(BM + CM) = a.BC = a.a = a 2
2
2
2
2
1
+ Vì a là không đổi ⇒ a 2 không đổi ⇒ (SABM + SDCM ) không đổi.
2

* Xác định vị trí của M trên BC để S 2ABM + S2DCM đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị
nhỏ nhất đó theo a:
+ Đặt x = BM ⇒ CM = a – x
2

+ Ta có: S

2
ABM

2

2

1
 1

1
 1


+S
=  a.BM ÷ +  a.CM ÷ =  a.x ÷ +  a.(a − x) 
2
 2

2
 2

1
= a2  x 2 + (a − x)2 
4
1
= a2 2 x 2 − 2ax + a2 
4
2
DCM

2


1 2 2
1

a  2(x − ax + a2 ) 
4 
2

1 2
1 2 1 2 
= a (x − a) + a ) 

2 
2
4

1 2
1 2 1 4 a4
a
.(x
−
a) + a ≥
=
2
2
8
8
4
1
1
a
2
2
+ SDCM
+ Giá trị nhỏ nhất của SABM
là
khi : x − a = 0 ⇒ x = a
2
2
8

=

2
2
+ SDCM
Vậy khi M là trung điểm của BC thì SABM
đạt giá trị nhỏ nhất là

a4
.
8