Đề cương ôn tập môn toán lớp 10 (17)

Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ

NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN )

ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP ĐẠI SỐ 10 ( Cơ Bản )
§1. MỆNH ĐỀ
1. Khái niệm mệnh đề:
Một mệnh đề là một phát biểu khẳng đònh một sự kiện nào đó, sao cho khẳng đònh đó
nhận một trong hai giá trò “đúng” hoặc “sai”.
2. Phủ đònh của một mệnh đề:
°
°
°

Cho mệnh đề A. Phủ đònh của mệnh đề A, ký hiệu là A .
Hai mệnh đề A và A là hai khẳng đònh trái trược nhau.
Nếu A đúng thì A sai;
Nếu A sai thì A đúng.

3. Phép kéo theo và phép tương đương:
a. Phép kéo theo:
Cho hai mệnh đề A và B. Một mệnh đề R được lập từ hai mệnh đề A và B bởi liên từ
“nếu A thì B” gọi là mệnh đề kéo theo, ký hiệu A ⇒ B.
°

Nếu A đúng và B đúng, thì A ⇒ B là mệnh đề đúng.

°

Nếu A đúng và B sai, thì A ⇒ B là mệnh đề sai.

b. Phép tương đương:
Cho hai mệnh đề A và B.
Nếu mệnh đề A ⇒ B là đúng và mệnh đề B ⇒ A cũng là đúng, ta nói mệnh đề A tương
đương với mệnh đề B, ký hiệu là A ⇔ B và cũng nói “A khi và chỉ khi B”.
°

Mệnh đề A ⇔ B đúng nếu A và B đồng thời đúng hoặc đồng thời sai.

Mệnh đề A ⇔ B sai nếu A sai và B đúng, hoặc A đúng và B sai.
4. Mệnh đề chứa biến, các ký hiệu ∀ , ∃ :
°

a. Mệnh đề chứa biến:
Trong mỗi phát biểu có chứa một hay một số biến lấy giá trò trong các tập hợp đã cho,
bản thân các phát biểu này chưa phải là các mệnh đề, nhưng nếu cho các biến những giá
trò cụ thể thì ta được các mệnh đề chứa biến, các phương trình và bất phương trình chính
là những mệnh đề chứa biến.
b. Ký hiệu phổ biến ∀ và ký hiệu tồn tại ∃:
°

Ký hiệu ∀: đọc là với mọi. Thường được gắn vào các biểu trong các mệnh đề chứa
biến.

°

Ký hiệu ∃, là ký hiệu tồn tại, có nghóa là có (ít nhất) một, tồn tại một.

c. Phủ đònh của các mệnh đề chứa các ký hiệu ∀, ∃:
° A = " ∀ x ∈ X, x có tính chất P”
⇒ A = " ∃ x ∈ X , x không có tính chất P”

°

B = " ∃ x ∈ X , x có tính chất P”
Trang 1


Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ

NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN )

⇒ B = " ∀ x ∈ X , x không có tính chất P”.
BÀI TẬP
Bài 1. Hãy lập mệnh đề phủ đònh của mỗi mệnh đề dưới đây:
a. Tất cả học sinh lớp B đều có tuổi lớn hơn 15.
b. Số 15 là số nguyên tố.
c. Hải Phòng là thủ đô nước Việt Nam.
Bài 2. Xét xem mỗi mệnh đề dưới đây đúng hay sai, nếu sai hãy sửa thành mệnh đề đúng rồi
lập mệnh đề phủ đònh của nó.
a. Số nguyên a chia hết cho 5 thì nó có chữ số tận cùng bằng 5.
b. ∃ a ∈ Z, 3a = 7.
c. ∀ x ∈ Q, a2 ≠ 3.
Bài 3. Hãy phủ đònh các mệnh đề sau:
a. “Hôm nay, trong lớp có một học sinh vắng mặt”
b. “Tất cả các học sinh của lớp này đều lớn hơn 14 tuổi”
Bài 4. a. Mệnh đề: " ∀ x ∈ R, ∃ y ∈ R, x 2 + y 2 = 1" đúng hay sai.
b. Hãy phủ đònh mệnh đề trên.
Bài 5. các mệnh đề sau đây đúng hay sai? Giải thích.
a. ∀ n ∈ N* , n 2 + n + 1 là số nguyên tố.
c. ∃ x ∈ R,

2x
>1
x2 + 1

b.

∀ x ∈ Z, x 2 ≥ x.

d.

∃ x ∈ Z,

3x + 2
∈ Z.
x2 + 1

§2. ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO SUY LUẬN TOÁN HỌC
1. Đònh lý – Điều kiện cần – Điều kiện đủ:
a. Đònh lý:
Phần lớn các đònh lý toán học đều là những mệnh đề đúng có dạng: A ⇒ B.
Người ta gọi A là giả thiết, B là kết luận của đònh lý.
b. Điều kiện cần – Điều kiện đủ:
Trong đònh lý: A ⇒ B. Ta gọi A là điều kiện đủ để có B, còn B là điều kiện cần để có A.
2. Đònh lý đảo – Điều kiện cần và đủ:
a. Đònh lý đảo:
Giả sử ta có đònh lý : A ⇒ B (1)
Ta xét mệnh đề

: B ⇒ A (2)

Mệnh đề (1) là đúng (vì là một đònh lý) nhưng mệnh đề đảo (2) có thể đúng hoặc sai.
Nếu mệnh đề đảo (2) là đúng thì mệnh đề (2) gọi là đònh lý đảo của đònh lý (1).
b. Điều kiện cần và đủ :
Trang 2


Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ

NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN )

Nếu đồng thời có cả đònh lý thuận (1) và đònh lý đảo (2) thì ta có mệnh đề đúng : A ⇔ B.
Lúc đó ta nói :A là điều kiện cần và đủ để có B và cũng nói : B là điều kiện cần và đủ để
có A.
3. Phép chứng minh phản chứng :
Giả sử ta cần chứng minh đònh lý A ⇒ B
°

Giả sử B (tức là giả sử B sai hoặc không có B).

°

Dùng phép suy diễn : B ⇒ B1 ⇒ B2 ⇒ ... ⇒ A (trái giả thiết).

°

Từ đó suy ra có B (tức là B đúng).

°

Vậy, A ⇒ B được chứng minh.

Ghi chú:
°

Nếu đònh lý được phát biểu dưới dạng A ⇒ B thì đònh lý phát biểu dưới dạng B ⇒ A
được gọi là đònh lý đảo của đònh lý trên.

°

Ta có tính chất: A ⇒ B ⇔ B ⇒ A .

°

Vậy, thay vì chứng minh A ⇒ B ta đi chứng minh B ⇒ A .
BÀI TẬP

Bài 6. Phát biểu mỗi đònh lý sau đây dưới dạng kéo theo “Nếu... thì...”:
a. Các cạnh đối bằng nhau là điều kiện đủ để một tứ giác là hình bình hành.
b. Điều kiện ắt có để tổng a + b > 2 là có ít nhất một số a hay b lớn hơn 1.
c. Điều kiện ắt có để một tứ giác là hình vuông là các đường chéo vuông góc.
Bài 7. Phát biểu đònh lý dưới đây dưới dạng điều kiện cần và đủ:
Hai số nguyên đều chia hết cho 3 thì tổng bình phương của chúng chia hết cho 3, đảo
lại tổng bình phương hai số nguyên chia hết cho 3 thì mỗi số đều chia hết cho 3.
Bài 8. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai, giải thích:
a. ∀ x ∈ N, x 2 chia hết cho 3 ⇒ x chia hết cho 3.
b. ∀ x ∈ N, x 2 chia hết cho 6 ⇒ x chia hết cho 3.
§3. TẬP HP
1. Khái niệm tập hợp:
a. Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học.
b. Có hai cách xác đònh một tập hợp:

Cách 1: Liệt kê các phần tử.
Ví dụ: A = {1, 3, 5, ... , 97, 99}.
Cách 2: Nêu tính chất đặc trưng của các phần tử.
Ví dụ: A = {x | x có tính chất P }
c. Tập rỗng: Là tập hợp không có phần tử nào, ký hiệu là ∅ hoặc { }.
Trang 3


Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ
Lưu ý: ∅ = {

NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN )

} ≠ {∅ } .

2. Tập con:
a. Đònh nghóa:

A ⊂ B ⇔ (x ∈ A ⇒ x ∈ B)

b. Tính chất:
° A ⊂ A.

A
a

b
c

° Nếu A ⊂ B, B ⊂ C thì A ⊂ C

° ∅ ⊂ Α ; ∅ ⊂ Β ; .. .

c. Biểu đồ ven: ta biểu diễn một tập hợp bằng những điểm nằm
bên trong một đường con kép kín gọi là biểu đồ ven. Ví dụ A = {a, b, c}.

A = B ⇔ (A ⊂ B và B ⊂ A)

3. Tập hợp bằng nhau:

4. Các tập hợp số thường dùng:
° Tập hợp các số tự nhiên N = {0, 1, 2, ... , n, ...} ; N* = {1, 2, ... , n, ...}
° Tập hợp các số nguyên Z = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}
m

° Tập hợp các số hữu tỉ Q =  m, n ∈ Z; n ≠ 0 
 n

° Tập hợp các số thực R = {x | x hữu tỉ hoặc vô tỉ} = ( − ∞ ; + ∞ ).
Vấn đề 1:

CÁCH CHO MỘT TẬP HP.

1. Khi chuyển “cách đặc trưng” sang “cách liệt kê” thì phải xét xem những phần tử nào
thỏa tính chất P.
2. Chuyển từ “cách liệt kê” sang “cách đặc trưng” thì có nhiều hình thức.
BÀI TẬP
Bài 15. Hãy viết các tập hợp sau dưới dạng liệt kê các phần tử:
a. A = {x ∈ N |x 2 ≥ 7 và x < 10}.
b. B = {x ∈ N |x ≤ 15 và x là bội của 2}
c. C = {x ∈ N | x ≤ 4 và x là bội của 3}

Bài 16. Hãy viết các tập hợp sau đây dưới dạng đặc trưng:
a. A = {0, 1, 4, 9, 16, 25, 36}.
b. B = {3, 5}
 1 1 1 1 1
c. C =  1, , , , ,

 4 9 16 25 36 
e. E = { (0, 2); (1, 3)}

1 1 1 1 1
D=  , , , , 
 2 4 6 8 10 
f. F = { 9, 36, 81, 144}

g. G = { − 3, 9, − 27, 81}
Vấn đề 2:

d.

TẬP HP CON

Trang 4


Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ
°

A ⊂ B ⇔ (∀ x : x ∈ A ⇒ x ∈ B)

°

Tập hợp có n phần tử thì:

NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN )
A∩B
A

n

1. A có tất cả 2 . Tập con (kể cả ∅)
2. A có n tập con gồm một phần tử.
3. A có

n(n − 1)
tập con gồm hai phần tử.
2

4. A có

n(n − 1)(n − 2)
tập con gồm ba phần tử.
6
BÀI TẬP

Bài 17. Xét quan hệ bao hàm giữa các tập hợp sau:
a. A = {x | x 2 − 3x + 2 = 0} và B = {x | x − 2 = 0}.
b. B = {x | x 2 + 1 = 0}

và F = {x | x 2 − 4 = 0}.

c. G = {2, 3}

và H = [2, 3].

Bài 18. Viết tất cả các quan hệ bao hàm có thể có giữa các tập hợp sau:
°

A : tập hợp các tứ giác.

°

B : tập hợp các hình bình hành

°

C : tập hợp các hình chữ nhật

°

D : tập hợp các hình thoi

°

E : tập hợp các hình vuông

°

F : tập hợp các hình thang vuông.

Bài 19. Tìm tất cả các tập con của: a. ∅;

b. {∅};

c. {∅}, {∅}}.

Bài 20. Cho tập hợp A = {a, b, c, d, e}.
a. A có bao nhiêu tập con?
b. Có bao nhiêu tập con của A chứa 3 phần tử?
c. Có bao nhiêu tập con của A chứa ít nhất 3 phần tử?
d. Có bao nhiêu tập con của A chứa nhiều nhất 4 phần tử?
.
§4. CÁC PHÉP TOÁN VỀ TẬP HP
1. Giao của hai tập hợp:
a. Đònh nghóa:

x ∈ A ∩ B ⇔ (x ∈ A và x ∈ B)

b. Tính chất:
° A∩ ∅ = ∅ .

°

A ∩ A = A.

° Giao hoán: A ∩ B = B ∩ A.
° Kết hợp: A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C = (A ∩ C) ∩ B = A ∩ B ∩ C.
Trang 5

B

Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ

NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN )

2. Hợp của hai tập hợp:

B

A

x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A hay x ∈ B

a. Đònh nghóa:
b. Tính chất:
° A∪ ∅ = Α .

A∪B

° A ∪ A = A.
° Giao hoán: A ∪ B = B ∪ A.
° Kết hợp: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C = (A ∪ C) ∪ B = A ∪ B ∪ C.
3. Tính chất chung của giao ∩ và hợp ∪ :

° Tính phân phân phối của ∩ đối với ∪: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
° Tính phân phân phối của ∪ đối với ∩: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∪ (A ∪ C)
4. Hiệu của hai tập hợp:
a. Đònh nghóa: Hiệu của hai tập hợp A và B, ký hiệu là A \ B là tập hợp gồm những phần tử
x thuộc A và x không thuộc B.
x ∈ A \ B ⇔ (x ∈ A và x ∈ B)

B

A

b. Tính chất:
° A\A= ∅
° A\∅ = A
° A∩ B= ∅ ⇒ Α ∴ Β = Α

A\B

Lưu ý: Từ đònh nghóa ta thấy phép hiệu không có tính giao hoán.
5. Phần bù:
a. Đònh nghóa: Cho hai tập hợp A, B, với B ⊂ A . Hiệu A \ B được gọi là phần bù của B
B
trong A và ký hiệu là: CA hoặc CA B.

x ∈ CBA ⇔ (x ∈ A và x ∉ B)

A

B ⊂ A ⇒ A \ B = C BA

B

b. Tính chất:
°

CBx

=

CAx

CBA

⇔ A = B.

A
B
° B ⊂ A ⇒ Cx ⊂ C x .

Vấn đề 3:
°

XÁC ĐỊNH CÁC TẬP HP: A ∩ B, A ∪ B, CAB

Xem đònh nghóa, tính chất phần tóm tắt.
BÀI TẬP

{

}

K
Bài 22. Cho hai tập hợp: A = {0, 1, 2, 3, 4} và B = x ∈ N |x = 2 , K ∈ N và K ≤ 3

Trang 6

Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ

NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN )

Xác đònh: A ∪ B; A ∩ B; A \ B; B \ A.
:
Bài 24. Cho: A ∩ B = { 2, 3, 4, 5, 6} ;

A \ B = { 0, 1} ;

B \ A = { 7, 8, 9}

Xác đònh: A và B.
Bài 25. Cho X = { x ∈ N | 0 < x < 10} và A, B ⊂ X sao cho : A ∩ B = { 4, 6, 9} ;
A ∪ { 3, 4, 5} = { 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9} ; B ∪ { 4, 8} = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Xác đònh: A và B.
Bài 26. Cho hai tập hợp: A = { x ∈ N | x là ước của 12} ;

B = { x ∈ N | x là ước của 8}

Tìm tất cả các tập hợp X biết rằng X ⊂ A và X ⊂ B.

{

}

B = { x ∈ Z | | x | ≤ 2}

2

Bài 27. Cho hai tập hợp: A = x ∈ R | x − x − 2 = 0 ;

Viết các tập hợp X sao cho A ∪ X = B.
Bài 28. Xác đònh các tập hợp: A ∪ B; A ∩ B; A \ B; B \ A với :
a. A = (− ∞ , 2], B = (0, + ∞ ) ;
b. A = [− 4, 0], B = (1, 3] .
Bài 29. Sử dụng các ký hiệu của khoảng, đoạn, ... Hãy viết các tập hợp sau:
a. (− 3, 5] ∪ [8, 10] ∪ [2, 8)
b. [0, 2) ∪ (− ∞ , 5) ∪ (1, + ∞ )
c. [− 4, 7] ∩ (0, 10)
e. (3, + ∞ ) \ ( − ∞ , 1].

d.

(− ∞ , 3] ∩ (− 5, + ∞ )

Bài 30. Biết [3, 12) \ (− ∞ , a) = ∅ . Có thể kết luận gì về số a?
Bài 31. Cho ta tập hợp: A = { x ∈ R | 1 < x < 5} , B = { x ∈ R | 4 < x < 7} , C = { x ∈ R | 2 < x < 6}
Viết các tập hợp: A ∩ B; A ∩ C; B ∩ C; A ∪ B.
Vấn đề 4:

CHỨNG MINH: A ⊂ B; A = B
1. Để chứng minh A ⊂ B , ta phải chứng minh: ∀ x ∈ A ⇒ x ∈ B .
2. Để chứng minh A = B, ta phải chứng minh: A ⊂ B và B ⊂ A.
BÀI TẬP
Bài 33. a. Chứng minh rằng: nếu A ∩ B = B thì B ⊂ A.
b. Chứng minh rằng: nếu B ⊂ A thì A ∩ B = B .
Bài 34. Chứng minh rằng nếu A ⊂ B thì A ∪ B = B và ngược lại.
Bài 35. Cho ba tập hợp A, B, C. Chứng minh rằng:
a. Nếu B ⊂ C thì A ∩ B ⊂ A ∩ C.

b. Nếu A ⊂ C và B ⊂ C thì A ∪ B ⊂ C.
c. Nếu A ∩ B = A ∪ B thì A = B.
e. B ∪ (A \ B) = A ∪ B).
Bài 42. Ký hiệu n(A) là số phần tử của A.
Trang 7

d. A = (A \ B) = A ∩ B.
f. A \ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C).


Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ

NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN )

Cho biết: n(A) = 17, n(B) = 24, n(A ∪ B) = 35. . Tính: n(A ∩ B), n(A \ B) và n(B \ A).
Bài 43. Cho S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} . Có bao nhiêu tập con A của S trong mỗi trường
hợp sau:
a. A có 5 phần tử.
b. A có 5 phần tử và phần tử bé nhất của A là 3.
CHUYÊN ĐỀ 2
CHƯƠNG II
CHƯƠNG

HÀM
M SỐ
SỐ
HÀ
§1. KHÁI NIỆM VỀ HÀM SỐ
I. ĐỊNH NGHĨA:
Cho D là một tập hợp con khác rỗng của tập hợp các số thực R. Một hàm số f xác đònh

trên D là một quy tắc cho ứng với mỗi phần tử x ∈ D một và chỉ một số thực y.
Ký hiệu: f: D → R
x a y = f(x)
D: gọi là tập xác đònh (hay miền xác đònh) của hàm số f.
Phần tử bất kỳ x ∈ D gọi là biến số.
Số thực y tương ứng với biến số x gọi là giá trò của hàm số f tại x, ký hiệu là f(x)
° Công thức y = f(x) gọi là quy tắc tìm giá trò f(x) của hàm số f tại mọi x ∈ D .
° Một hàm số được xác đònh nếu ta biết tập xác đònh D và quy tắc tìm giá trò
y = f(x) của hàm số.

II. HÀM SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC:
°
Người ta thường cho hàm số f bởi công thức: y = f(x). Với cách cho này người ta
thường không chỉ rõ tập xác đònh của hàm số. Khi đó ta quy ước:
Tập xác đònh của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các số thực x
sao cho biểu thức f(x) có nghóa.

°
a.
b.
c.

Ngoài cách cho tổng quát trên, người ta thường cho hàm số cụ thể bởi một trong ba
cách sau đây:
Cho hàm số bởi bảng: Đó là một bảng số gồm hai hàng, trong đó một hàng ghi các
giá trò của biến số x ∈ D , còn hàng kia ghi giá trò tương ứng y của hàm số tại x.
Cho hàm số bởi đồ thò: Ta có thể cho hàm số f từ D đến R bởi đồ thò của nó trong
mặt phẳng tọa độ Oxy.
a
Cho hàm số bằng công thức: Chẳng hạn các hàm số y = ax + b; y = ax 2 ; y = ;...

x
cũng có thể cho hàm số bằng công thức khác nhau trên những tập con của tập xác
đònh của nó, chẳng hạn:

Trang 8


Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ

NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN )

 1
trong (− ∞ ; 1)

y = f(x) =  x − 1
 2x trong [1; + ∞ )

III.

ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ:

Đònh nghóa: Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên D.
Đồ thò của hàm số là tập hợp tất cả các điểm M(x; y) trong mặt phẳng tọa
độ Oxy với x ∈ D và y = f(x).
Công thức y = f(x) được gọi là phương trình của đồ thò.
Hoặc:
Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên D.
Trong hệ trục tọa độ Oxy tập hợp các điểm M(x, b), với b = f(x), a ∈ D là
đồ thò của hàm số f.
IV.

SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ:

1. Đònh nghóa: Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên khoảng (a; b).
°
Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến (hay tăng) trên khoảng (a; b) nếu với mọi số thực
x1 và x2 thuộc (a; b) ta có: x 2 > x1 ⇒ (x 2 ) < f(x1 ) .
Ghi chú: Khảo sát sự biến thiên của hàm số trên khoảng (a; b) là xét xem hàm số đó
đồng biến hay nghòch biến trên khoảng này.
2. Bảng biến thiên: Ta thường biểu diễn sự biến thiên của hàm số dướng dạng bảng gọi là
bảng biến thiên của hàm số như sau:
x

a

by

x

a

by

Hàm số đồng biến trên (a; b)

Hàm số nghòch biến trên (a;
b)
3. Đồ thò của hàm số đồng biến, nghòch biến:

°

Đồ thò của hàm số đồng biến là một đường “đi lên từ trái sang phải” (h.3a).
° Đồ thò của hàm số nghòch biến là một đường “đi xuống từ trái sang phải” (h.3b).
y

y

y2
y1

a

O

M1

x1

(H.3a)

x2

M1

y1

M2

b

y2

O

a

x1

M2

(H.3b)

x2

b

V. TÍNH CHẴN, LẺ:
°Một tập con D của R được gọi là có tính đối xứng nếu với mọi x ∈ D ta cũng có − x ∈ D .

Trang 9


Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ

NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN )

Ví dụ: Khoảng (-2; 2) là tập có tính đối xứng.
(-3; -1) ∪ (1; 3) là tập có tính đối xứng.
Khoảng (-4; 2) không có tính đối xứng.
1. Đònh nghóa: Cho hàm số y = f(x) xác đònh trên D.
°
Hàm số y = f(x) được gọi là chẵn trên D nếu với mọi x ∈ D ta có: − x ∈ D và

f(− x) = f(x) .
°
Hàm số y = f(x) được gọi là trên D nếu với mọi x ∈ D ta có: − x ∈ D và
f(− x) = − f(x).
2. Đồ thò của hàm số chẵn, hàm số lẻ:
Đònh lý:
°
Đồ thò của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
°
Đồ thò của hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.
Vấn đề 1:

TÌM MIỀN XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ

1. Đa thức f(x) có MXĐ là D = R hay D = (− ∞ ; + ∞ ) .
f(x)
2. Với hai đa thức f(x) và g(x) thì
có MXĐ là D = { x |g(x) ≠ 0}
g(x)
3. Với đa thức f(x) thì:
f(x) có MXĐ là D = { x | f(x) ≥ 0}

°

2n

°

2n + 1 f(x)

có MXĐ là D = tập xác định của hàm số f(x).

4. Nếu các hàm số y = f(x), y = g(x) có miền xác đònh là D f, Dg thì:
a.Hàm số y = f(x) ± g(x) và hàm số y = f(x) . g(x) có MXĐ là:
D = Df ∩ Dg (giao của hai miền xác đònh).
b.Hàm số y =

f(x)
có MXĐ là D = (D f ∩ Dg ) \ {x / g(x) = 0}
g(x)
BÀI TẬP

Bài 1. Tìm miền xác đònh của hàm số:
a.

4

e. y =
g. y =

1

b.

y=

1
x+ 1 − x− 1

d.

y=

f.

y=

1
x− 2 − x− 2 − 4

h.

y=

x+ 3− 2 x + 2

x− 2 +

c. y =

1
+
3 − 2x

2

4− x = y

1
xx− 2

x+ 2
+
1− x

4

x

Trang 10

4 − x2
1

2

x − 3x + 2 + x 2 − 1


Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ
i.

y=

x − 1−

NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN )
k.

x− 2

Bài 2. Tìm MXĐ của hàm số y =

y=

x+

5
1
+ 2 x+
4
4

x − x2 .

Bài 3. Tìm a để hàm số y =

x − a xác đònh với mọi x > 0.

Bài 4. Tìm a để hàm số y =

x 2 + a xác đònh với mọi x > 0.

Bài 5. Tìm a để hàm số y =

x − 2a −

Bài 6. Đònh a để hàm số y =

a−

x− a+ 1+

x
xác đònh với mọi x ∈ [ 1; 2]
5
2x
xác đònh trên [0; 1].
− x + 2a + 1

Bài 7. Đònh m để hàm số xác đònh với mọi x dương:
a. y =

x− m− 1+

4x − m

b.

y=

Bài 8. Đònh m để hàm số xác đònh trên (-1; 0):
x+ m
a. y =
b. y =
2m + 1 − x
Bài 9. Cho hàm số y = 2 − x −
chiều dài bằng 1.

x+ m− 2 +

x + 4m
x+ m

1
−
2x − m

− x + 2m − 1

2x + 3a . Đònh a để miền xác đònh của hàm số là đoạn có

 x
 x − 1 khi x > 2
Bài 10. Cho hàm số y = f(x) =  3
 x + 1 khi x < 2
 x − 3
Tìm miền xác đònh của hàm số này.

khi x ≤ 1
(1)
 2x + 1
 2
Bài 11. Cho hàm số y = f(x) =  x − 2x khi1 < x < 2 (2)

1
x+
khi x > 2
(3)

x− 5

a. Đònh miền xác đònh của hàm số f.
 3
2
2
b. Tính: f( − 2); f(1 − a ) với a ∈ R; f   ; f b + 6 với b ∈ R .
 2

(


 x2 + x
khi x ≤ 0

khi 0 < x < 1
Bài 12. Cho hàm số y = f(x) =  2x + 1

1
x+
khi x ≥ 2

x+ 1

)

(1)
(2)
(3)

a. Tìm miền xác đònh của hàm số.
 1

2
b. Tính các giá trò: f(3); f   ; f(− a ) với a ∈ R; f( − 1).
 4
Trang 11


Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ
Vấn đề 2:

NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN )

MIỀN GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ

1. Miền giá trò: Cho hàm số y = f(x) với miền xác đònh là D.
Khi x biến thiên trên D thì giá trò f(x) nói chung cũng biến đổi, các giá trò đó lập thành
một tập hợp gọi là miền giá trò của hàm số (viết tắt là MGT).
2. Phương pháp tìm MGT:
Phương pháp tìm MGT của một hàm số không phải chỉ có một. Ở giai đoạn đầu tiên
này ta dựa chủ yếu vào phương pháp sau đây: “y là một giá trò của hàm số f(x) khi và
chỉ khi phương trình f(x) = y (ẩn x) có nghiệm thuộc miền D”.
BÀI TẬP
Bài 1. Tìm miền giá trò của hàm số:
a. y = 2x + 1
2x
x2 + 2
2x − 1
g. y = 2
x + x+ 4
d. y =

Vấn đề 3:

•

b.

y = x3 + x + 1

e.

x2
y= 2
x +1
h.

y=

2x + 1
x+ 2

c.

y=

f.

3x2 + 2x + 1
y=
3x

2x − 1

XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU HAY KHẢO SÁT
CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ

Một hàm số có thể tăng trên khoảng này, giảm trên khoảng kia. Xét tính tăng, giảm của
hàm số được gọi là xét tính đơn điệu hay xét chiều biến thiên của nó.

1. f tăng trên (a; b) hoặc f giảm trên (a; b):
Sử dụng đònh nghóa:
Với mọi x1 , x2 ∈ (a; b) :

° [ x2 > x1 ⇒ f(x 2 ) > f(x1 )] ⇔ f đồng biến trên (a; b)

° [ x2 > x1 ⇒ f(x 2 ) < f(x1 )] ⇔ f nghòch biến trên (a; b).
2. Tính đơn điệu của hàm số bậc nhất:
Hàm số y = f(x) = ax + b tăng trên R khi a > 0 và giảm trên R khi a < 0.
3. Tính đơn điệu của hàm số bậc hai:
°

°

b 

 b
, tăng trên  −
;+
Hàm số y = f(x) = ax 2 + bx + c giảm trên  − ∞ ; −

2a 


 2a
0.
b 

 b
;+ ∞
Hàm số y = f(x) = ax 2 + bx + c tăng trên  − ∞ ;
, giảm trên  −

2a 

 2a


∞  khi a >


 khi a < 0.


4. Nhận xét:
a. Nếu f(x) tăng (giảm) trên (a; b) thì hàm số y = f(x) + K cũng tăng (giảm) trên (a; b),
với K là hằng số thực.
Trang 12


Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ

NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN )

b. Nếu f(x) tăng (giảm) trên (a; b) thì:
° Hàm số y = K.f(x) cũng tăng (giảm) trên (a; b) khi K > 0.
° Hàm số y = K.f(x) cũng giảm (tăng) trên (a; b) khi K < 0.
c. Nếu f(x) và g(x) cùng tăng (cùng giảm) trên (a, b) thì:
Hàm số y = f(x) + g(x) cũng tăng (giảm) trên (a, b).
BÀI TẬP
Bài 1. Dùng đònh nghóa chứng minh hàm số:
a. y = − x 2 + 6x tăng trên (− ∞ ; 3) và giảm trên (3; + ∞ )
b. y =

2x + 1
giảm trên mỗi khoảng xác đònh.
x− 1

c. y = x3 − x 2 + x − 5 tăng trên miền xác đònh.
Bài 2. Dùng đònh nghóa để tìm khoảng tăng, giảm của hàm số:
a. y =
c. y =

4x2 + 1
x+ 3
x− 2

b.

y = 2x2 − 4x + 3

d.

y=

1
x + 4
2

.
Vấn đề 4:
°
°
°

XÉT TÍNH CHẴN, LẺ CỦA HÀM SỐ

Tìm miền xác đònh D của hàm số y = f(x).
Chứng minh: x ∈ D ⇒ − x ∈ D.
Tính: f(-x).
- Nếu: f(− x) = f(x), ∀ x ∈ D thì f chẵn.
- Nếu: f(x) = -f(x), ∀ x ∈ D thì f lẻ.
Ghi chú:
1. Nếu x ∈ D ⇒ − x ∉ D thì f không là hàm chẵn, không là hàm lẻ.
2. Nếu x ∈ D ⇒ − x ∈ D nhưng f( − x) ≠ f(x) và f( − x) ≠ − f(x) thì f không là hàm chẵn,
không là hàm lẻ.
BÀI TẬP

Bài 1. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:
a. y = 1 − 3 x
d. y =

x3

5

x −1

Trang 13

5

b.

y = x .x

e.

y=

3

x4
x2 − 4

x3 − 2x
c. y = 2
x −1


Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ

NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN )
§2. HÀM số y = ax + b

•

Đònh nghóa: Cho hàm số y = ax + b, trong đó x là biến số, a và b là các hằng số.
° Nếu a ≠ 0 , hàm số y = ax + b gọi là hàm số bậc nhất.
° Nếu a = 0, ta có y = b, với mọi x ∈ R . Hàm số y = b gọi là hàm số hằng.

I. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ HẰNG y = b:
Đồ thò của hàm số y = b là đường thẳng (D) cùng phương với trục hoành và cắt trục tung
tại điểm (0; b).
II. KHẢO SÁT HÀM SỐ y = ax + b (a ≠ 0):
1. Tập xác đònh: R = R
2. Sự biến thiên:
Đònh lý:
Nếu a > 0, hàm số y = ax + b đồng biến trên R
Nếu a< 0, hàm số y = ax + b nghòch biến trên R.
Bảng biến thiên:
3. Đồ thò: Đồ thò của hàm số y = ax + b (a ≠ 0) là một đường thẳng (không song song và
không trùng với các trục tọa độ) cắt trục tung tại điểm (0; b) và cắt trục hoành tại điểm
y
 b 
 − a ; 0 .
(d)


Ghi chú: hệ số a được gọi là hệ số góc của đường thẳng.
 OT 
a = tgα  =
 OH 




T(0; b)
α


° Với α là góc nhọn hợp bởi (d) và trục Ox.
Vấn đề 1: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Phương pháp:
° Tập xác đònh: D = R
° a > 0: Hàm số đồng biến; a < 0: hàm số nghòch biến.
° Đồ thò là đường thẳng đi qua 2 điểm (0; b) và (-a/b; 0).
Trường hợp: Đồ thò hàm số bậc nhất cho bởi nhiều công thức:
° Từ các công thức ta tìm tập xác đònh: D = D1 ∪ D2 ∪ ... (lấy phần hợp).
°

°

Ứng với từng khoảng, đoạn ta có:
- Chiều biến thiên tương ứng (xét hệ số a)
- Đồ thò là phần đường thẳng đi qua 2 điểm A(; ), B(; ).
Đồ thò hàm số là đường gãy khúc ABC…
BÀI TẬP

Bài 1. Khảo sát và vẽ đồ thò các hàm số:
a. y = 2x.
Trang 14

b. y = -3x + 2.

x


Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ

NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN )

Bài 2. Cho hàm số y = (2m – 1)x + m – 1.
a. Đònh m để đồ thò hàm số đồng biến? Nghòch biến?
b. Đònh m để đồ thò hàm số đi qua điểm A(1; 4). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò
hàm số tương ứng.
Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò hàm số:
nếu x ≤ 1
x

nếu 1 < x < 2
a. y =  1
 − 1x + 3 nếu x ≥ 2

Vấn đề 2:

b.

 − 2x − 2

y= 0
x− 2


khi x ≤ − 1

khi − 1 ≤ x ≤ 2
khi x ≥ 2

TÌM PHƯƠNG TRÌNH CỦA ĐƯỜNG THẲNG

Xem phần tóm tắt
BÀI TẬP
Bài 1. Lập phương trình đường thẳng:
a. Có hệ số góc là 2 đi qua điểm (-1; 3).
b. Đi qua P(2; -1) và Q(-3; 2).
c. Đi qua (3; 0) và song song với đường thẳng 3x + 2y = 100.
d. Đi qua (-3; -2) và vuông góc với đường thẳng -3x + 5y = 4.
.
Bài 3. Cho 3 đường thẳng (d): y = 2x + 3; (D /): y = x + 4 và (d /): y = -2x + 1. Tìm phương
trình đường thẳng (D) song song với (d) và 3 đường thẳng (D), (d /), (D/) đồng quy.
§3. HÀM SỐ BẬC HAI
I. SỰ BIẾN THIÊN VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ y = ax2 (a ≠ 0)
1. Tập xác đònh: D = R.
2. Sự biến thiên:
Đònh lý 1:
°
Nếu a > 0 thì hàm số y = ax 2 nghòch biến trên khoảng (− ∞ ; 0) và đồng biến trên
khoảng (0; + ∞ ) .
°
Nếu a < 0 thì hàm số y = ax 2 đồng biến trên khoảng (− ∞ ; 0) và nghòch biến trên
khoảng (0; + ∞ ) .
Bảng biến thiên:
3. Đồ thò: Đồ thò của hàm số y = ax2 là một parabol có đỉnh là gốc tọa độ và nhận trục
tung làm trục đối xứng.
2

II. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ y = ax + bx + c (a ≠ 0) :

1. Tập hợp: D = R.
2. Sự biến thiên:

Trang 15


Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ

NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN )

Đònh lý 2:
°

Nếu a > 0 thì hàm số y = ax 2 + bx + c nghòch biến trên khoảng (− ∞ ; −
biến trên khoảng (−

°

b
; + ∞ ).
2a

Nếu a < 0 thì hàm số y = ax 2 + bx + c đồng biến trên khoảng (− ∞ ; −

b
; + ∞ ).
2a
Từ bảng biến thiên, ta có:

b
) và đồng
2a

b
) và nghòch
2a

biến trên khoảng (−

°
°

∆
b
tại x = −
.
4a
2a
∆
b
tại x = −
.
a < 0: Hàm số y = ax2 + bx + c đạt giá trò cực đại bằng −
4a
2a
a > 0: Hàm số y = ax2 + bx + c đạt giá trò cực tiểu bằng −

2

3. Đồ thò: Đồ thò của hàm số y = ax + bx + c là một parabol có đỉnh

∆ 
b
 b
I −
;−
và nhận đường thẳng x = −
làm trục đối xứng.

2a
 2a 4a 
Vấn đề 1:

KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ
HÀM SỐ BẬC HAI y = ax2 + bx + c

Các bước thực hiện:


•
•
•

Tập xác đònh: D = R

 −a −∆ 
;
Đỉnh I 


 2a 4a 
Bảng biến thiên:
Các giá trò đặc biệt:
°
°

•

 b 
Giao điểm với trục tung Oy: T(O; C) ⇒ điểm đối xứng qua Oy: T/  − ; c  .
 a 
⇒ H1 (x1; 0), H 2 (x 2 ; 0).
Giao điểm với trục Ox (nếu có): ax2 + bx + c = 0

∆ 
b
 b
;−
Đồ thò là một parabol có đỉnh I  −
và nhận đường thẳng x = −
làm trục đối

2a
 2a 4a 
xứng (hình bên).
Ghi chú:
∆ 
 b
;−
°

Đỉnh I  −

 2a 4a 
°
°

Xác đònh giao điểm với các trục Oy; Ox.
Vẽ đồ thò.
Trang 16


Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ

NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN )
BÀI TẬP

Bài 1. Vẽ đồ thò các hàm số:
 2x + 1 với x ≥ 0
a. y =  2
 x + 4x với x < 0

b.

 − x 2 + 2
với x < 1
y=  2
 2x + 4x − 3 với x ≥ 1

 − x 2 + 3x − 1 với x ≤ 3
c. y =  2

 x − 3x − 4 với x > 3
Vấn đề 2: ĐỊNH MỘT HÀM SỐ BẬC HAI (TÌM PHƯƠNG TRÌNH PARABOL)
Phương pháp:
•

Đònh hàm số bậc hai là tìm các hệ số a, b, c trong công thức y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) .

•

Từ các giả thiết, ta thiết lập hệ phương trình có 3 ẩn số là a, b, c. Giải hệ này.
BÀI TẬP

Bài 1. Tìm hàm số bậc hai biết rằng đồ thò qua 3 điểm: A(1; 4), B(-1; 6) và C(2; 9).
2
Bài 2. Cho hàm số y = ax + bx (1)

a. Tìm a và b để đồ thò hàm số đi qua 2 điểm A(2; -3), B(6; -3).
b. Khảo sát và vẽ đồ thò (P) của hàm số (1) với a, b vừa tìm được ở phần a.
c. Từ đồ thò (P) ở phần b. hãy suy ra cách vẽ đồ thò (P) của hàm số:
x2
y=
+ 2x.
4
2
Bài 3. Cho hàm số y = ax + bx + c có đồ thò (P):

a. Tìm a, b, c biết (P) qua A(0; -3), B(1; 0), C(-1, -8).
b. Khảo sát và vẽ (P), biết a = -1, b = 4, c = -3.
I.Phương trình bậc nhất,bậc hai:
Bài1: Giải các phương trình sau:

a) x − 5 + x = x − 5 + 6.
b) 1 − x + x = x − 1 + 4 .
c) 4 x 2 − x + x = 3 +
d) x 2 − 7 x + 10 = 3x − 1 .
e) 4 x − 9 = x − 3 .
f) |4x-3|=2x+1.
Bài2: Giải các phương trình sau:
3x + 4
1
4
−
= 2
+ 3.
x− 2 x+ 2 x − 4
| 3 x − 1|
= | x − 3|.
c)
x− 2

a)

b)

3x 2 − 2 x + 3 3 x − 5
=
.
2x − 1
2

2

2
d) | 4 x + 1|= x − 2 x + 4 .

Bài3: Giải và biện luận các pt sau theo tham số m:

a ) (m 2 + 2) x − 2 m = x − 3.

b ) m(x-m)=x+m-2.

c) m 2 ( x − 1) + m = x (3m − 2).
Bài4: Giải và biện luận các pt sau theo tham số m:
(m+1)x-m+2
= m.
x+3
c) |x+m|=|x-m+2|.
a)

mx-m-3
= 1.
x+1
d) |x-m|=|x+1|.

b)

Trang 17

2 − x.


Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ

Bài5: Giải các hệ pt sau:
 -2x+5y=9
a) 
 4x+2y=11
2
3
 4 x + 3 y = 16
d) 
 5 x − 3 y = 11
 2
5

 2x − 3y = 5
b) 
 3x + 2 y = 8

NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN )
 5x+3y=15
c) 
 4x-5y=6

 3 x − y = 0
e) 
 5 x + 2 y = 3

Bài6: Giải và biện luận các hệ pt sau theo tham số m.
 mx+(m-1)y=m+1
a) 
 2x+my=2
 (m-1)x+2y=3m-1

c) 
 (m+2)x-y=1-m

 mx+(m-2)y=5
b) 
 (m+2)x+(m+1)y=2
.
 (m + 4) x − ( m + 2) y = 4
d) 
 (2m − 1) x + ( m − 4) y = m

II.Một số pt quy về pt bậc nhất,bậc hai:
1/ Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trò tuyệt đối: Phương pháp chung là ta bỏ dấu giá trò
tuyệt đối bằng cách xét dấu hoặc bình phương hai vế.
B≥ 0

: Ta biến đổi tương đương.
2
2
A
=
B

2
2
+) | A |= B ⇒ A = B : Ta biến đổi hệ quả.

Chú ý: +) | A |= B ⇔ 

 f ( x) = g ( x)

2
= [ g ( x) ] hoặc | f ( x) |= | g ( x) |⇔ 
 f ( x) = − g ( x)
|3x-1|
= | x − 3|.
Bài 1: Giải các pt sau : a) |2x-3|=x-5. b) |2x+5|=|3x-2|. c)
x+2
| 5x − 2 |
2
= | x− 2|.
d) | 3x − 5 |= 2 x + x − 3. e) | x − 3 |= | 2 x − 1| . f)
x+ 3

+) | f ( x) |= | g ( x) |⇔

[ f ( x) ]

2

Bài 2: Giải và biện luận các pt sau theo tham số m: a) |3x+2m|=x-m.
b) |2x+m|=|x-2m+2|.
Bài 3: Tìm giá trò của m để pt sau có nghiệm duy nhất : |mx-2|=|x+4|.
2/ Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn: Ta đặt điều kiện của pt và tìm cách bỏ dấu căn bằng
cách bình phương hai vế của pt để đưa về pt hệ quả, sau đó thử lại nghiệm có thỏa mãn hay
không.
Chú ý: +)
+)

 g ( x ) ≥ 0
f ( x) = g ( x) ⇔ 

2 : Biến đổi tương đương.
 f ( x ) = [ g ( x ) ]

f ( x) = g ( x) ⇒ f ( x ) = [ g ( x) ] : Biến đổi hệ quả.
2

Bài 4: Giải các pt sau : a)

3x − 4 = x − 3 .

d)

x 2 + 6 x + 9 = | 2 x − 1| .

x2 + x + 1 = 3 − x .

e)

b)

x 2 − 2 x + 3 = 2 x − 1.

f)

c) 3x 2 − 4 x − 4 =

4x − 2
= m− 1.
2x − 1

2x + 5 .

3/ Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức: Để khử ẩn ở mẫu thức ta quy đồng mẫu số, khi quy
đồng phải chú ý đến điều kiện xác đònh của pt.
1
2
2x-5 5 x − 3
x-1
3x
5
+
= 1. b)
=
. c)
−
= − .
x+ 1 x− 2
x-1 3x + 5
x 2x − 2
2
a
1
3x+k x − k
a)
+
= 1. b)
=
.
Bài 6: Giải và biện luận các pt sau:
x-2 x − 2a

x-3
x+ 3

Bài 5: Giải các pt sau: a)

Trang 18


Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ

NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN )

4/ Phương trình trùng phương: Có dạng ax4+bx2+c=0 (1).Đặt t=x2 ≥ 0 ,ta đưa về pt bậc hai
at2+bt+c=0 (2). Giải ptrình (2) so sánh với điều kiện ta kết luận.
Bài 7: Giải các pt sau: a) x4-8x2-9=0. b) x4-13x2+36=0. c)2 x4-8x2-18=0.
Bài 8: Giải và biện luận các pt sau:
a) x4-mx2-9=0. b) (m+1)x4-8x2-m+1=0.
A. DẤU NHỊ THỨC BẬC NHẤT f(x) = ax + b
I. Đònh lý: f(x) cùng dấu a ⇔ x > −

b
b
và f(x) trái dấu a ⇔ x < −
a
a

II. Hệ quả:
1. Dấu của tích hoặc thương của hai nhò thức bậc nhất:
Cho hai nhò thức bậc nhất f1(x) = a1x + b1 ; f2(x) = a2x + b2
f1 ( x )

Ta có kết quả: f1(x).f2(x) hoặc f x trái dấu tích a1a2 khi x ở trong khoảng hai nghiệm
2( )
và cùng dấu tích a1a2 khi x ở ngoài khoảng hai nghiệm.
2. Quy tắc đan dấu:
Muốn xét dấu một biểu thức gồm n nhò thức bậc nhất nhân nhau hoặc nhân chia hỗn tạp ta
sẽ:
- Viết tất cả các nghiệm của các nhò thức bậc nhất lên cùng một trục số: Khi ấy trục số sẽ
được chia thành nhiều khoảng .
- Trong khoảng vô tận bên phải , biểu thức sẽ cùng dấu với biểu thức.
- Khi x giảm dần từ phải sang trái , biểu thức sẽ đổi dấu mỗi khi qua một nghiệm đơn hoặc
nghiệm bội lẽ và biểu thức sẽ không đổi dấu mỗi khi qua một nghiệm bội chẳn.
Bài 2. Xét dấu: g ( x ) =

Bài 1. Xét dấu: f(x) = 3x(2x + 7)(9 – 3x)
2
2
Bài 3. Xét dấu: h ( x ) = ( x − 2 x + 3) − ( x + x − 3)
2

2

x2 + 2x + 5
≥ x− 3
x+ 4
3 x − 47 4 x − 47
>
Bài 7. Giải bất PT:
3x − 1
2x − 1

Bài 5. Giải bất PT:

(x

2

− 5 x + 6 ) ( 2 x − 1)
4 − 3x

x+ 9
> 5
x− 1
x 2 + 3x − 1
> −x
Bài 6. Giải bất PT:
2− x
9
+ x≥ 4
Bài 8. Giải bất PT:
x+ 2

Bài 4. Giải bất PT:

CHƯƠNG VV
CHƯƠNG

TAM THỨ
THỨCC BẬ
BẬCC HAI

HAI
TAM
A. DẤU TAM THỨC BẬC HAI
I. Tóm tắc lý thuyết:
1. Đònh lý thuận về dấu tam thức bậc hai: Cho tam thức : f(x) = ax2 + bx + c ; a ≠ 0
- Nếu ∆ < 0 : thì a.f(x) > 0 ; ∀x ∈ R.
- Nếu ∆ = 0 : thì a.f(x) ≥ 0 ; ∀x ∈ R , f ( x ) = 0 ⇔ x = −
Trang 19

b
2a


á

Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ

NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN )

- Nếu ∆ > 0 : thì f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 (x1 < x2)
và • a.f(x) < 0 ; ∀x ∈ (x1 ; x2)
• a.f(x) > 0 ; ∀x ∈ (-∞ ; x1)∪( x2 ; +∞)
2. Đònh lý đảo về dấu tam thức bậc hai:
Ch tam thức f(x) = ax2 + bx + c , nếu có số α sao cho a.f(α) < 0 thì f(x) có hai nghiệm x1, x2
và x1 < α < x2
Vấn đề 1: XÉT DẤU BIỂU THỨC - GIẢI BẤT PT ĐƠN GIẢN
1. Xét dấu biểu thức E:
- Đưa E về dạng tích , thương các nhân tử bậc hai , bậc nhất hoặc không phải là bậc hai , bậc
nhất nhưng có dấu hiển nhiên.
- Lập bảng xét dấu

2. Giải bất phương trình:
- Chuyển vế để 1 vế là 0.
- Đưa vế còn lại về tích hoặc thương , …
- Xét dấu biểu thức và kết luận.
Bài 1: Xét dấu tam thức: a. f(x) = 2x2 - x + 3 ; b. g(x) = -x2 + 2x – 1 ; h(x) = 2x2 - 7x + 5
Bài 2: Giải các bất PT: a. x2 - 7x + 10 < 0 ; b. (-x2 + 3x – 2)(x2 – 5x + 6) ≥ 0
x2 + x + 3
x 2 − 3x + 2
< 0 ; d. 2
> 0
1− 2x
x − 4x + 3
x2 − 4x + 3
1
2
3
< 1 − x ; b.
+
<
Bài 3: Giải các bất PT: a.
3 − 2x
x− 1 x− 2 x− 3
c.

CÔNG THỨC LƯNG GIÁC.
Công thức cộng:
cos(a – b) = cosa.cosb + sina.sinb
cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb
sin(a – b) = sina.cosb – cosa.sinb

tan a − tan b
π
tan(a − b) =
(a, b, a − b ≠
+ kπ )
1 + tan a. tan b
2
tan a + tan b
π
tan(a + b) =
(a, b, a + b ≠
+ kπ )
1 − tan a. tan b
2
Dạng toán1: Tính giá trò của một biểu thức.
Bài1: Tính giá trò các biểu thức.
cot 2250 − cot 790.cot 710
A=
cot 2590 + cot 2510
0

0

0

0

0

B = tan 20 . tan 80 + tan 80 . tan 140 + tan 140 . tan 20

2
0
2
0
2
0
C = sin 20 + sin 100 + sin 140
Đ/ số:

a) 3

b) -3

Trang 20

c)

0

3
2


Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ

NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN )

Bài2: Tính giá trò các biểu thức.
A=

1 − tan15

0

1 + tan 15

0

B = tan10 0. tan 70 0 + tan 70 0. tan130 0 + tan130 0 .tan190 0
2

0

2

0

2

C = cos 10 + cos 110 + cos 130

0

Dạng toán2: Chứng minh một đẳng thức lượng giác.
Bài3: Chứng minh.
1) cos(x + y).cos(x – y) = cos2y – sin2x.

3) sinx ± cosx =
5) tanx – tany =

2 sin(x ±

π
4

2) sinx -

)

3 cosx = 2sin(x -

4) tanx.tan3x =

2

π
3

)

2

tan 2x − tan x
2

1 − tan 2x.tan x

2 sin(x − y)
cos(x + y) + cos(x − y)

Bài4: A, B, C là ba góc của tam giác. Chứng minh:
π

1) tan A + tan B + tan C = tan A. tan B. tan C(A, B, C ≠ 2 )
A

B

B

C

C

A

A B C

π

2) tan 2 . tan 2 + tan 2 . tan 2 + tan 2 . tan 2 = 1 ( 2 , 2 , 2 ≠ 2 )
3) cot A. cot B + cot B. cot C + co t C. cot A = 1
2
4) sin

A
B
C
A
B

C
+ sin 2 + sin 2 = 1 − 2 sin sin sin
2
2
2
2
2
2

I/. GÓC - CUNG LƯNG GIÁC
1) Đổi ra đơn vị radian các góc (cung) có số đo:
a/ 15o
b/ 12o30’
2)Đổi ra đơn vị độ ( phút, giây) các góc (cung) có số đo:
a/

5p
6

b/

p
7

3)Tìm điểm ngọn của các cung sau:
¼ = kp
a / AM

»=
b / AN

c/-

c/ -200o

3p
5

p
p
+ k.
3
2

» =c / AP

II/. GIÁ TRỊ LƯNG GIÁC
1
π
1)Cho sinx = . Tính Cosx, Tanx, Cotx biết 0 < x <
2
3
o
o
2)Cho 5cosa + 4 = 0 (180 < a < 270 ) . Tính sina , tana, cota.

p
k2p
+
3

3

1
tan x + cot x
biết sinx = .
tan x - cot x
3
2
2
2sin x + 3cos x
sin x + 3sin x cos x - 2cos x
5)Tính B =
biết tanx = -2 6)Tính C =
biết cotx = -3
1 + 4sin 2 x
3sin x - 2cos x

3)Cho tan15o = 2 - 3. Tính sin15o ,cos15o ,cot15o.

7) Đơn giản biểu thức:

Trang 21

4)Tính A =


Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ

Bài 1:

NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN )

2cos2 x -1
sin x + tan x
cosx.tan x
A=
; C = sin 2 x (1 + cot x ) + cos 2 x (1 + tan x ); B =
- sin x.cot x; D =
- cot x.cosx
sin x + cosx
tan x
sin 2 x
Chứng minh:

a/sin 4 x+cos 4 x=1-2sin 2 xcos 2 x; b/sin 6 x+cos 6 x=1-3sin 2 xcos2 x (sử dụng như 1 cơng thức)
c/tan 2 x = sin 2 x+sin 2 x.tan 2 x; d/sin 2 x.tanx + cos 2 x.cotx + 2sinx.cosx = tanx + cotx

9) Chứng minh:
1-2cos 2 x
1+sin 2 x
cosx
1
2
2
=
tan
x-cot
x;
b/
= 1+2tan 2 x; c/

+tanx =
2
2
2
1+sinx
cosx
sin x.cos x
1-sin x
sinx
1+cosx
2
1-sinx
cosx
sinx+cosx-1
cosx
d/
+
=
; e/
=
; f/
=
1+cosx
sinx
sinx
cosx
1+sinx
sinx-cosx+1 1+sinx
1+cosx 1-cosx
4cotx

sin 2 x
cos 2 x
g/
=
; h/1= sinx.cosx;
1-cosx 1+cosx
sinx
1+cotx 1+tanx
1
tan 2 x-tan 2 y sin 2 x-sin 2 y
i/ (1-cosx )(1+cot 2 x )=
; j/
=
1+cosx
tan 2 x.tan 2 y sin 2 x.sin 2 y
a/

Dạng toán3: Chứng minh một hệ thức lượng giác khi cho biết một điều kiện.
Bài 6: Cho biết sinb = sina.cos(a + b). Chứng minh rằng: 2tana = tan(a + b) (a, a + b
Bài 7: Cho biết cos(a + b) = 2cos(a - b). Chứng minh rằng:tana.tanb = -

1
3

(a, b

≠

Bài 8: Cho biết 3sinb = sin(2a + b). Chứng minh rằng: tan(a + b) = 2tana (a, a +
Bài 9: Cho biết cos(a + 2b) = kcosa. Chứng minh rằng : tan(a + b).tanb =

2. Công thức nhân đôi:
3. Công thức nhân ba:
sin3a = 3sina – 4sin3a
cos3a = 4cos3a – 3cos
3 tan a − tan 3 a
π
tan3a =
(a, 3a ≠ + lπ )
2
2
1− 3tan a
4. Công thức lượng giác của góc a tính theo tan
a
2

Đặt t = tan ,

a π
≠ + kπ , k ∈ ¢ .
2 2

2t
1 + t2
1 − t2
cos a =
1 + t2
2t
tan a =
1 − t2

sin a =

Trang 22

a
2

:

1− k
1+ k

≠

π
+ kπ
2

π
+ kπ )
2
π
b ≠ 2 + kπ

(a, a + b

≠

)

)
π
+ lπ
2

)


Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ

NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN )

5. Công thức chia đôi:
1 − cos 2a
2
1 + cos2a
cos2 a =
2

sin 2 a =

tan 2 a =

1 − cos 2a
1 + cos 2a

π
+ lπ
2

, (a ≠

)

Dạng toán4: Tính giá trò của một biểu thức.
Bài 10: Tính sin22030’; tan22030’
π

 2 < α < π  . Tính giá trò các hàm số lượng giác của góc 2 α .


3π 
π
4
sin2 α = − 5 với  2 < α < 2  . Tính giá trò các hàm số lượng giác của góc α .
1
sin α - cos α = 5 . Tính sin2 α .
1
1
sina = 3 , sinb= 2 . Tính sin2(a + b).

Bài 11: Cho sin α =
Bài 12: Cho
Bài 13: Cho
Bài 14: Cho

4
5

, với

Bài 15: Tính sin180, cos180.
sin x
x 1
, biết tan = .
Bài 16: a) Tính A =
2 − 3 cos x
2 2
.

tan x − sin x

b) Tính A =

1
Bài 17: a) Tính tan biết sin x + cos x =
2
5
x

b) Tính

tan x + cos x

, biết tan

1

2)

cos 2 x − 2 sin x
cos 2 x + 2 sin x

+ tan 2

x

2

= 0.

5) cos a. cos 2 a. cos 4 a. cos 8a =

A = cos 20 . cos 40 . cos 80

3)

A = cos

0

2π
31

0

. cos

4π
31

. cos

0

8π
31

cos x + sin x

.

2)
31

cos 2 x

− tan 2 x.

16 sin a



16π

1

sin16 a



2) tan a. tan 

. cos

=

4) tan a = cot a − 2 cot 2a .

Bài 20: Chứng minh rằng:
cos x
 π x
= cot  −  .
1)
1 − sin x
 4 2
Bài 21: Tính:
1)

cos x − sin x

2)

. cos

A = cos

π
7

π

3

31

Bài 22: Cho a, b là góc nhọn dương thỏa mãn các đẳng thức.
Trang 23




π
 3

− a  . tan 

. cos

32π

2

a
2 biết tan x = m
1 + sin a
2

1 - 2sin 2

Bài 18: Tính A = tan 2 150 + tan 2 750 .
Dạng toán 5: Chứng minh một đẳng thức lượng giác.

Bài 19: Chứng minh rằng:
1) cos3x.sinx – sin3x.cosx = 3 sin4x.

x

4π
7

. cos




+ a  = tan 3a

5π
7

=

2
15


Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ

NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN )

3sin2a + 2sin2b = 1; 3sin2a – 2sin2b = 0. Chứng minh a + 2b = 900.
Bài 23: Chứng minh rằng:

π

− x
3


3

1) sin3acos3a – sin3acos3a = 4 sin4a.
x

Bài 24: Chứng minh rằng nếu tan 2 =

−

a
b

2) cos3x = 4cos.cos 

π

+ x
3


.cos 

thì biểu thức

asinx + bcosx không phụ thuộc vào a.
6. Công thức biến đổi tích thành tổng:
1

cos α . cos β =

2

sin α .sin β = −
sin α . cos β =

1
2

 cos ( α + β ) + cos ( α − β ) 

1
2

 cos ( α + β ) − cos ( α − β ) 

 sin ( α + β ) + sin ( α − β ) 

Bài 25: Tính a) sin750sin150.
b) cos100cos300cos500cos700
Bài 26: Biến đổi tích các hàm số lượng giác sau thành tổng:
a) 2sinasin2asin3a.
b) 8cos(a - b)cos(b - c)cos(c - a).
Bài 27: Chứng minh rằng:
a) sin100 sin500sin700 =

1
8

b) cos10 0 cos 500 cos 700 =

3
8

3
3

c) tan100 tan 500 tan 700 =

7. Công thức biến đổi tổng thành tích:
α +β
α −β
cos α + cos β = 2 cos
. cos
2
2
α + β
α −β
cos α − cos β = 2 sin
.sin
2
2
α +β
α −β
sin α + sin β = 2 sin

. cos
2
2
α +β
α −β
sin α − sin β = 2 cos
.sin
2
2
tgα ± tgβ =

sin ( α ± β )

cos α . cos β

Bài 28: Chứng minh rằng:
a) sinx + cosx =




2 sin  x +

π 


 = 2 cos  x − 
4
4


π

Bài 29: Chứng minh rằng:
cos x − sin x
0
= tan(45 ± x)
a)
cos x + sin x

b) sinx - cosx = -

b)
Trang 24




2 cos  x +

1 − sin 2x
1 + sin 2x

2

π 


 = 2 sin  x − 
4

4


π

0

= tan (45 ± x)


Trường THPT Nguyễn Cơng Trứ

NỘI DUNG ƠN TẬP TỐN 10 ( CƠ BẢN )

Bài 30: Chứng minh rằng:
a) tan90 – tan270 – tan630 + tan810 = 4.
b) sina + sinb + sinc – sin(a+b+c) = 4sin

a+ b

c) cosa + cosb + cosc + cos(a+b+c) = 4cos

sin

2
a+ b
2

b+ c

cos

sin

2
b+ c
2

c+ a

cos

2
c+ a
2

Bài 31: A, B, C là ba góc của tam giác. Chứng minh rằng:
A

B

C

2

2

2

1)

sinA + sinB + sinC = 4cos cos cos .

2)

cos 2A + cos 2B + cos 2C = 1 – 4cosA.cosB.cosC.

ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP HÌNH HỌC 10 ( Cơ Bản )
I. TĨM TẮT GIÁO KHOA
1. Phép cộng hai vectơ
r
r
uuur r
r
uuur
rr
Cho hai vectơ a và b . Lấy một điểm O tùy ý, vẽ OA = a , a.a = b . Khi đó vectơ OB được gọi
r
r
là tổng của hai vectơ a và b . Phép tốn tìm tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng hai vectơ. Nếu
r
r
r
r
r
r
tổng của hai vectơ a và b là vectơ – khơng thì a là vectơ đối của b hoặc b là vectơ đối của a . Vectơ
r
r
r

r
đối của a được kí hiệu là - a . Vectơ đối của vectơ 0 là vectơ 0 .
2. Hiệu của hai vectơ r
r
r
r
r
r
r r
Cho hai vectơ a và b . Ta gọi hiệu của hai vectơ a và b là vectơ a + (- b ) được kí hiệu là a - b .
r
r
Phép tốn tìm hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ hai vectơ a và b .
3. Các quy tắc thường được sử dụng khi thực hiện các phép tốn về vectơuuur
uuur uuur
a) Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì AB + AD = AC .
b) Quy tắc ba
điểm: Với ba điểm A, B, C tùy ý ta có:
uuur uuur uuur
• AB = AC + CB (phân tích một vectơ thành tổng của hai vectơ)
uuur uuur uuur
• AB = CB - CA ( biểu thị một vectơ thành hiệu của hai vectơ có chung điểm đầu).
4. Định nghĩa tích vơ hướng
của hai vectơ
r
r
r
r
r
r

Cho hai vectơ a và b đều khác vectơ 0 . Tích vơ hướng của hai vectơ a và b là một số, kí hiệu là a
r r
r
r r
r r
. b được xác định bởi cơng thức a . b = a b .cos( a , b ).
r r
r r
r r
• Nếu a = 0 hoặc b = 0 ta quy ước a . b = 0.
r r r r
r
r r
r
• Nếu a ≠ 0 , b ≠ 0 ta có a . b = 0 ⇔ a ⊥ b .
r
r r
r r
r
r
r
• Khi a = b ta có a . a = a 2 là bình phương vơ hứong của vectơ a . Khi đó ta có a 2 = a 2.
5. Các ứng dụng của tích vơ hướng
r
rr
• Tính độ dài của vectơ: a = a.a .
•

rr

a.b
r r
Tính góc giữa hai vectơ: cos( a , b ) = r r .
a.b

6. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và tọa độ của trọng tâm tam giác

Trang 25