Bài Giảng Tạo Hình Bề Mặt

liệu tham
khảo
ogia Proizvodstva Rejusevo Inxtrumenta, Tài
Moxkva
- 1963.

Vintovưx Paverkhnostei I Proektirovanii Rejusik Inxtrumentov,

; Yi Zhang; Peng Chen; Zong Bin Li:

utting force of free-form surface machining with ball-end milling

ng and Engineering Management, 2009. IEEM 2009. IEEE
ence. 8-11 Dec. 2009.

ong, W B Lee, S To

lation of freeform surface generation in ultra-precision raster milling.

trial and Systems Engineering, The Hong Kong Polytechnic
ong, People's Republic of China
Kooijman, Johan J. Broek, Imre Horváth:

or the Direct Cutting of Freeform Surfaces out of Extruded

Engineering and Production, Delft University of Technology.
628 CE, Delft, The Netherlands.


6. N.E Kotsin.
Phép tính vectơ và mở đầu phép tính tenxơ. (người dịch: Đặng Hân).

Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội 1976.
7. Rodin, P.R.
Oxnovư Formoobrazovania Paverkhnostei Rezaniem
Kiev – Visa Skola – 1977.
8 Yaman Boz, Onur Demir, and Ismail Lazoglu:
Model Based Feedrate Scheduling for Free-Form Surface Machining.
Mechanical Engineering Department, Manufacturing and Automation Research Center, Koc University, Sariyer, Istanbul 34450, Turkey
9. Lasnieb, S.I.
Formoobrazovania Zubtrsatưc Detalei Retsnưmi I Tserviatsnưmi Intrumentami, N.i.i Mas – 1979.
10. Rodin, P.R. Technologia Izgotovlenia Zuborenovo Instrumenta, Kiev – 1982.
11. Trần Thế Lục, Trịnh Minh Tứ, Bành Tiến Long.
Thiết kế dụng cụ gia công bánh răng.
Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật – 1987.


12. Weiner. k., Albersmann. F. und Guntermann. G. Werkzeug – Formen und Modelban Reute 3D Erfrhrungsforum Werkzeugund Formenban 25/26 Febrnar - 1999.
13. Degner. W. ; Lutze. H.; Smejkal. E.
Spanende Formung Carl-Hanser Verlag Munschen-Wien - 2000.
14. Bành Tiến Long, Trần Thế Lục, Trần Sỹ Tuý.
Nguyên lý gia công vật liệu.
Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật – 2001.
15. Nguyễn Đắc Lộc, Lê Văn Tiến, v…v.
Sổ tay công nghệ chế tạo máy (trọn bộ 3 tập),
Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật 2003.
16. Liqiang Zhang, Jingchun Feng, Yuhan Wang and Ming Chen:
KeywordsFeedrate scheduling strategy for free-form surface machining through an integrated geometric and mechanistic model
The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2003, Volume 22, Numbers 11-12, Pages 873-882


17. Liqiang Zhang

Process modeling and toolpath optimization for five-axis ball-end milling
based on tool motion analysis
The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, Online
First™, 3 May 2011
18. Mustafa Kurt and Eyup Bagci
Feedrate optimisation/scheduling on sculptured surface machining: a
comprehensive review, applications and future directions
The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2011,
Volume 55, Numbers 9-12, Pages 1037-1067
19. Yuwen Sun, Daidi Li, Fei Ren and Dongming Guo:
Predictive Force Model Based Variable Feedrate Scheduling for HighEfficiency NC Machining
Lecture Notes in Computer Science, 2008, Volume 5315, Intelligent


20 . K. V. R. Subrahmanyam, Wong Yoke San, Hong Geok Soon and
Huang Sheng:
Cutting force prediction for ball nose milling of inclined surface
The International Journal of Advanced Manufacturing Technology,
2010, Volume 48, Numbers 1-4, Pages 23-32
21. Yong Huang and StevenY. Liang
Force modelling in shallow cuts with large negative rake angle and
large nose radius tools—application to hard turning
The International Journal of Advanced Manufacturing Technology,
2003, Volume 22, Numbers 9-10, Pages 626-632
22. Yong Huang and StevenY. Liang
Journal ArticleForce modelling in shallow cuts with large negative
rake angle and large nose radius tools—application to hard


23. K. P. Karunakaran, Rohitashwa Shringi, Deepak Ramamurthi and C.

Hariharan:
Octree-based NC simulation system for optimization of feed rate in milling
using instantaneous force model
The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2010,
Volume 46, Numbers 5-8, Pages 465-490
24. Zhao-cheng Wei, Min-jie Wang and Xian-guo Han
Cutting forces prediction in generalized pocket machining
The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2010,
Volume 50, Numbers 5-8, Pages 449-458
25. O. B. Adetoro and P. H. Wen
Prediction of mechanistic cutting force coefficients using ALE formulation
The International Journal of Advanced Manufacturing Technology, 2010,
Volume 46, Numbers 1-4, Pages 79-90


26.Feedrate scheduling strategy for free-form surface machining through an integrated geometric and mechanistic model
Liqiang Zhang & Jingchun Feng & Yuhan Wang & Ming Chen

27. Machining Free-Form Surface Cavities Using a Combination of Traditional and Non-Traditional Multi-Axis Machining Methods
C. G. Jensen¹, W. E. Red² and C. Ernst³

28. Model Based Feedrate Scheduling for Free-Form Surface Machining
Yaman Boz, Onur Demir, and Ismail Lazoglu
Mechanical Engineering Department, Manufacturing and Automation Research Center, Koc University


MA TRẬN VÀ CHUYỂN ĐỔI
TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
MA TRẬN VÀ ỨNG DỤNG TẠO HÌNH

Những năm gần đây cùng với sự phát triển của tin học,công cụ toán học ngày càng được ứng
dụng rộng rãi trong lĩnh vực khoa học kỹ thuật,Ví dụ: toán tenxơ, phương pháp số, phương
pháp phần tử hữu hạn …..Khi giải các bài toán tạo hình ngoài công cụ toán học tenxơ
,phương pháp số mà sau này ta sẽ đề cập ,phương pháp khá phổ biến là sử dụng ma trận. Để
chuyển đổi hệ toạ độ không gian, toạ độ phẳng thì chúng ta sử dụng ma trận bậc bốn hoặc
bậc ba.Để có cở sở áp dụng, ở đây sẽ ôn lại một số khái niện cơ bản và phép tính ma trận.


I.

Những khái niện và định nghĩa cơ bản.

Sơ đồ:
a11 ,a12,...., a1n
a21,a22,….,a2n
A=

…………
.……….
am1,am2,….,amn

Tạo bởi các mn (trong trường hợp tổng quát có thể là số phức)sắp xếp theo m hàng và n cột ta gọi là ma trận loại m,n(nói cụ thể là ma
trận m hàng và n cột)
Nếu m = n thì ta gọi là ma trận vuông
Các số a , a , … gọi là phần tử ma trận
1 1 12
Phần tử nằm ở i- hàng ,j- cột ký hiệu là a chỉ số thứ nhất gọi là hàng chỉ số thứ hai gọi là cột
ij
Ta có thể ký hiệu ngắn ngọn như sau:

A =

a
ij

, (a ), { a }
ij
ij


Ma trận lập bởi m phần tử phân bố trong cột gọi là ma trận cột.Ví dụ:

x
r =

y
z

r là ma trận cột của bán kính véc tơ r
Định nghĩa 1: sô hàng tuyến tính không phụ thuộc lớn nhất của ma trận gọi là số hạng của ma trận.
Định nghĩa 2: Ma trận A có hạng là h nếu nó tồn tại h hàng tuyến tính không phụ thuộc, tuy nhiên h+1 , h+2 …. Hàng tuyến tính
không phụ thuộc.
Tiên đề 1: Nếu ma trận có hạng là h thì trong nó tồn tại h hàng tuyến tính không phụ thuộc vào nhau nhưng tất cả các hàng đấy là
tổ hợp tuyến tính.
Tiên đề 2 : ta có ma trận A và tạo ma trận B mà mổi hàng của nó là tổ hợp tuyến tính của ma trận A thì hạng ma trận B lớn nhất
bằng hạng ma trận A.


Định nghĩa 3: Hai ma trận A,B có cùng số cột gọi là tương đương nếu chúng có cùng hàng.Ta viết A
B

Tiên đề 3: Ta có ma trận ta hãy tạo ma trận B bằng cách biến đổi sau đây:

•
•
•
•
•
•

Viết các hàng của ma trận A theo thứ tự khác nhau.
Nhân một hàng nào đó của ma trận A với một số k #0
Thêm vào ma trân A vào một hàng là tổ hợp tuyến tính của các hàng khác
Viết cột ma trận A theo thứ tự khác
Loại trừ ma trận A một hàng tuyến tính của hàng khác.
Cộng với một hàng nào đó của ma trận A tuyến tính tổ hợp của các hàng khác.

Thì ma trận A và B tương đương nhau A
B.
Các yếu tố a ,a
a
của ma trận A tạo đường chéo chính.
11 22, …. mm
Ma trận có các phân tử của đường chéo chính luôn luôn bằng 1,các phần tử còn lại bằng 0 gọi là ma trận đơn vị.
Ma trận có tất cả các phần tử bằng không gọi là ma trận không.
Ma trận chuyển vị của ma trận A khi chuyển hàng thành cột và cột thành hàng.


Các phép tính cơ bản của ma trận:
a. Hai ma trận bằng nhau :A = B khi a = b
ij

ij
b. Tổng của hai ma trận A + B + C khi các phần tử tương ứng của
ma trận
c =a +b
ij
ij
ij
c. Tích của ma trận A với ma trận C là ma trận B
B = A.C
d. Tích của hai ma trận:
Ma trận A kiểu m,n và ma trân B kiểu n,p(số cột của ma trân A là n bằng số hàng của ma trận B.Tích là ma trận C).
C = A.B
c =
ij
=

a .b
ik kj

Phần tử hàng thứ I của ma trận A nhân với những phần tử tương ứng cột thứ j của ma trận B và các tích này ta cộng lại với nhau.


Ví dụ:

B=

A=

C = 2.3+5.(-4)+7.2=0
11

C
C

12
22

= 2.2+5.0 +7.11=81
= (-1).2+0.0+4.11=42

C=

c = a .b +a .b +a .b
ij
i1 1j i2 2j i3 3j

Tất nhiên tích A.B

B.A ≠ BA
A.E=E.A=A


Có thể tóm tắt một số tính chất sau đây:

•
•
•
•
•
•
•

•
•
•
•

A+B=B+A
A+(B+C)=(A+B)+C
A+0=A
c.(A+B)=c.A+c.B
(c+d).A=c.A+d.A
c(AB)=(cA)B=A(cB)
A(BC)=(AB)C
(A+B)C=AC+BC
A(B+c)=(AB)C
AE=EA=A
0.A=A.0=0

Ma trận vuông hợp thức khác 0 gọi là hợp thức mà khi định thức khác không.

•

Ma trận nghịch đảo: A
A. A

-1

-1
=E ; A .A=E

A

-1

=

-1

có tính chất là


-

A=

D= - 4

D =
11

D

D

22

D

D

=

=

=

D

= -4

= -6

D

12

=

= - 12

=

= -3

21

D

=4

=

31

33

13

D

= 8

32

23

=
=3

=

= -8

= 2
A

-1

=

-

1.3 Đạo hàm ma trận:

(1.3)

1.4 Đạo hàm một tích ma trận:

C = AB

= A

+

B

(1.4)


1.5 Ví dụ ứng dụng giải hệ phương trình tuyến tính

A=

x
1
X =

x

2

…
x
3

b
B =

1

b
2
…
b

3


Hệ phương trình trên ta có thể viết:

A.X=

B

(1.5)

a x + a x + a x + …+ a x
11 1
12 2
13 3

1n n
a x + a x + a x + …+ a x
21 1
22 2
23 3
2n n
A.X =
………..
a
x +a
x + a
x + …+ a
x
m1 1
m2 2
3m 3
mn n

Nếu K =( k ,k
k ) là nghiệm thì có thể viết:
1 2 …. 3

k
K =

1

k

(1.7)

2

…
k

3

(1.6)


AK
Nhân A

-1

=

B

(1.8)

với hai vế:
-1
-1
(A A) K = A B

E K = A
A

-1

-1

.B

(AK) = A
K

-1

B

-1
=A
B

Ma trận vuông gọi là đố xứng khi

a

ij

=a
ji


•

PHƯƠNG PHÁP CHUYỂN ĐỔI TOẠ ĐỘ TRONG TẠO HÌNH

Cho hai hệ toạ độ S

1

( x , y , z ) và S ( x , y , z ) với các góc độ là 0 ,0
1 1 1
2
2 2 2
1 2

Khi biết:

•
•
•

Góc của các trục toạ độ tương ứng của hệ .
Toạ độ 0

1

(a,b,c)trong hệ S

1

Điểm A ( x , y , z ) trong hệ S
1 1 1
2

z3
z2
r2
y3
x3
0

x2

2

a

b
c


Hình 1
Theo hình học giải tích thì toạ độ x , y , z được xác định như sau:
1 1 1
x = a x + a y +a z +a
2
11 1 12 1 13 1
x = a x + a y +a z +b
2
21 1 22 1 23 1
x = a x + a y +a z +c
2
31 1 32 1 33 1
trong đó các hệ số a là các cosin chỉ phương giữa trục x , y , z và x , y , z

ij
1 1 1
2 2 1
Điểm A biểu diễn véc tơ trong hai hệ bằng ma trận cột.

x
r = 0A =
1

1
y

(1.10)

1

z
1
1

x

2

r = 0 A=
2
2

y
z

2

2

1

(1.11 )


Khi đó công thức chuyển đổi ma trận có thể viết :

r =M r
2
21 1

( 1.12)

M

21

=

a
11

a
12

a
21

a
22

a
23

b

a
31

a

a
33

c

0

Chỉ số “21” trong ký hiệu ma trận M
M

21

=

a

ij

21

a

32

0

0

a

13

1

cho biết đó là ma trận chuyển từ S sang s
1
2

i,j = 1,2,3, 4

(1.14)

(1.13)

Ba phần tử đầu của ba dòng đầu cẩu ma trận M

21

là cosin chỉ phương giữa trục thứ I với trục thứ j cũ . Còn dòng thứ 4

của ba dòng đầu của ma trận là toa độ 0 trong hệ s
1
2
a =a
14

a

24

=b;

a

=c
34

dòng cuối luôn luôn gắn với các phần tử a

= a = a
=0;a =1
41
42

43
44

ví dụ ứng dụng: trong tạo hình khi xác định prôfin của bề mặt khởi thuỷ hoặc xác định đường ăn khớp
của các đối động học , cần chuyển đổi hệ toạ độ của 1 điểm.
Nếu bánh răng 1 của hệ truyền động phẳng gắn chặt với hệ thống x y .Sau khi ăn khớp gắn gốc tọa độ
1, 1
của hệ thống không chuyển động x,y là 0.Vị trí của hệ chuyển động x ,y so với hệ y không chuyển động
1 1
đặc trưng bởi góc quay φ và khoảng cách trục r =00 cho tọa độ điểm M.Ta cầm xác định tọa độ của
1
1
1
điểm này trong hệ x,y.


Dĩ nhiên bằng giải tích ta tìm được ngay:
x = x cos φ - y sin φ
1
1 1
1
y = x sin φ + y cos φ - r
1
1
1
1 1

(1.15)

KN = x cos φ

1
1
IN = y sin = MN.sin φ
1
1
X = KI = KN – IN
Y=MI + IJ
MI=y cos φ
1
1
IJ - 0 K –r = x sin φ - r
1
1
1 1
Đây là công thức biểu diễn chuyển đổi từ hệ tọa độ cũ (x ,y ) sang hệ tọa độ min(x,y).Ta đưa vào khái niệm
1 1
gọi là hệ tọa độ đồng nhất(x' ,y' z' ) nhờ nó thay hệ tọa độ(x ,y ) ta sẽ xác định điểm M trong x' ,y' Ba
1 1, 1
1 1
1 1.
đại lượng mới x' ,y' z' không đồng thời bằng 0 và gắn với x ,y bằng tỷ lệ.
1 1, 1
1 1


x1'
x1 = '
t1

y1'

y1 = '
(1.16)
t1

Cũng tương tự ta cho hệ x,y

x1'
x = '
t

(1.17)

’
Tiếp đến ta có điều kiện t =t=1
1

y1'
y = '
t

Vị trí điểm M trong hệ tọa độ tương thích bây giờ có thể viết:
M(x ,y t ) và M(x,y t)
1 1, 1
,
Trong đó t =t=1
1
Như vậy phương trình trên có thể viết:

x = x1cos ϕ1 − y1sin ϕ1 + t1.0 


y = x1sinϕ1 + y1cos ϕ1 − t1.r1 

t = x1.0 + y1.0 + t1

Trong đó t =t=1
1

(1.19)