chuyen de BD HSG toan 7

GV: Lờ Vn Thng - Trng THCS Hong Ph
Chuyờn bi dng hsg toỏn 7
Chuyờn 1: Bi toỏn v tớnh cht ca dóy t s bng nhau:
1. Kin thc vn dng :
a c
= a.d = b.c
b d
a c e
a c e abe
-Nu b = d = f thỡ b = d = f = b d f vi gt cỏc t s du cú ngha
a c e
- Cú b = d = f = k Thỡ a = bk, c = d k, e = fk
a c
a2 + c2 a
Bi 1: Cho = . Chng minh rng: 2 2 =
c b
b +c
b

-

Bi 2: Cho a,b,c R v a,b,c 0 tho món b2 = ac. Chng minh rng:
Bi 3: Chứng minh rằng nếu
Bi 4:
Bi 5 :

a
(a + 2012b) 2
=
c
(b + 2012c ) 2

a c
5a + 3b 5c + 3d
=
=
thì
b d
5a 3b 5c 3d

a c
a d
a 2 + b 2 ab
Biết 2 2 =
vi a,b,c, d 0 Chng minh rng : = hoc =
b d
b c
c +d
cd
a c
Cho tỉ lệ thức = . Chứng minh rằng:
b d
2
2
2
ab a b
a 2 + b2
a+b
= 2
=
và

cd c d 2
c2 + d 2
c+d

Bi 6 : Cho dãy tỉ số bằng nhau:

2a + b + c + d a + 2b + c + d a + b + 2c + d a + b + c + 2d
=
=
=
a
b
c
d
a+b b+c c+d d +a
+
+
+
Tính M =
c+d d +a a+b b+c

Bi 7 : a) Chứng minh rằng:
Nếu

a
b
c
x

y
z
=
=
Thì x + 2 y + z = 2 x + y z = 4 x 4 y + z
a + 2b + c 2a + b c 4a 4b + c
3

b) Cho:

a
b c
a+b+c
a
= =
. Chứng minh:
=
b
c d
d
b+c+d
x

y

z

t

Bi 8: Cho y + z + t = z + t + x = t + x + y = x + y + z

x+ y

y+z

z+t

t+x

chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị nguyên. P = z + t + t + x + x + y + y + z
y+zx z+x y x+ yz
=
=
x
y
z
x
y z
Hóy tớnh giỏ tr ca biu thc : B = 1 + ữ1 + ữ1 + ữ
y
z x


Bi 9 : Cho 3 s x , y , z khỏc 0 tha món iu kin :

Bi 10 : a) Cho cỏc s a,b,c,d khỏc 0 . Tớnh
Bi dng HSG toỏn 7


GV: Lê Văn Thắng - Trường THCS Hoằng Phụ
T =x + y + z2011 + t2011

Biết x,y,z,t thỏa mãn:
2011

2011

x 2010 + y 2010 + z 2010 + t 2010 x 2010 y 2010 z 2010 t 2010
= 2 + 2 + 2 + 2
a 2 + b2 + c2 + d 2
a
b
c
d

b) Tìm số tự nhiên M nhỏ nhất có 4 chữ số thỏa mãn điều kiện:
M = a + b = c +d = e + f
a 14 c 11 e 13
=
; = ; =
b 22 d 13 f 17
a
b
c
=
=
b) Cho 3 số a, b, c thỏa mãn :
.
2009 2010 2011

Biết a,b,c,d,e,f thuộc tập N* và

Tính giá trị của biểu thức : M = 4( a - b)( b – c) – ( c – a )2
Một số bài tương tự
Bài 11: Cho d·y tØ sè b»ng nhau:

2012a + b + c + d a + 2012b + c + d a + b + 2012c + d a + b + c + 2012d
=
=
=
a
b
c
d
a+b b+c c+d d +a
+
+
+
TÝnh M =
c+d d +a a+b b+c

Bài 12: Cho 3 số x , y , z, t khác 0 thỏa mãn điều kiện :

y + z + t − nx z + t + x − ny t + x + y − nz x + y + z − nt
=
=
=
( n là số tự nhiên)
x
y
z
t

và x + y + z + t = 2012 . Tính giá trị của biểu thức P = x + 2y – 3z + t
1+3y 1+5y 1+7y
=
=
Bài 1: Tìm cặp số (x;y) biết :
12
5x
4x
Bài 3 : Cho

a b c
= = và a + b + c ≠ 0; a = 2012.
b c a

Tính b, c.

y + x +1 x + z + 2 x + y − 3
1
=
=
=
x
y
z
x+ y+z
1+ 2 y 1+ 4 y 1+ 6 y
=
=
Bài 5 : Tìm x, biết rằng:

18
24
6x
x
y
z
Bài 6: T×m x, y, z biÕt: z + y + 1 = x + z + 1 = x + y − 2 = x + y + z (x, y, z ≠ 0 )
3x 3 y
3z
=
=
Bài 7 : T×m x, y, z biÕt
vµ 2 x 2 + 2 y 2 − z 2 = 1
8
64 216
2x +1 4 y − 5 2x + 4 y − 4
=
=
Bài 8 : Tìm x , y biết :
5
9
7x
a1
a2
a3
a 2008
Bài 9: Cho dãy tỉ số bằng nhau: a = a = a = ... = a
2
3
4

2009

Bài 4 : Tìm các số x,y,z biết :

CMR: Ta có đẳng thức:

a1
a 2009

2008

 a + a 2 + a 3 +... + a 2008 
= 1
÷
 a 2 + a 3 +a 4 +... + a 2009 

Bồi dưỡng HSG toán 7


GV: Lê Văn Thắng - Trường THCS Hoằng Phụ

Bồi dưỡng HSG toán 7


GV: Lờ Vn Thng - Trng THCS Hong Ph

Bi 1: Tỡm x bit
a) x + 2x + 3x + 4x + ..+ 2011x = 2012.2013
b)

x 1 x 2 x 3 x 4
+

=
2011 2010 2009 2008

Bi 2 Tỡm x nguyờn bit
1

1

1

1

49

a) 1.3 + 3.5 + 5.7 + .... + (2 x 1)(2 x + 1) = 99
b) 1- 3 + 32 33 + .+ (-3)x =

91006 1
4

Bi 1 : Tỡm x bit :
a) x 2011 = x 2012

b) x 2010 + x 2011 = 2012

Bi 2 : a) Tìm x biết x 1 + x + 3 = 4
2

2
b) Tìm x biết: x + 6 x 2 = x + 4
c) Tìm x biết: 2 x + 3 2 4 x = 5
Bi 3 : a)Tìm các giá trị của x để: x + 3 + x + 1 = 3x
b) Tỡm x bit: 2 x 3 x = 2 x
Bi 4 : tỡm x bit :
a) x 1 4
b) x 2011 2012
Dng : S dng BT giỏ tr tuyt i
Bi 1 : a) Tỡm x ngyờn bit : x 1 + x 3 + x 5 + x 7 = 8
b) Tỡm x bit : x 2010 + x 2012 + x 2014 = 2
Bi 2 : Tỡm x nguyờn bit : x 1 + x 2 + ..... + x 100 = 2500
Bi 3 : Tỡm x bit x + 1 + x + 2 + ..... + x + 100 = 605 x
Bi 4 : Tìm x, y thoả mãn: x 1 + x 2 + y 3 + x 4 = 3
Bi 5 : Tỡm x, y bit : x 2006 y + x 2012 0
Bi 6 : Tìm các số nguyên x thoả mãn.
2004 = x 4 + x 10 + x + 101 + x + 990 + x + 1000

Bi dng HSG toỏn 7


GV: Lờ Vn Thng - Trng THCS Hong Ph
Dng cha ly tha ca mt s hu t
Bi 1: Tỡm s t nhiờn x, bit :
a) 5x + 5x+2 = 650
b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162
Bi 2 : Tỡm cỏc s t nhiờn x, y , bit:
a) 2x + 1 . 3y = 12x
b) 10x : 5y = 20y
Bi 3 : Tỡm m , n nguyờn dng tha món :

a) 2m + 2n = 2m +n
b) 2m 2n = 256
Bi 4 : Tỡm x , bit : ( x 7 )

x +1

( x 7)

x +11

=0

2012
Bi 5 : Tỡm x, y bit : x 2011y + ( y 1) = 0
Bi 6 : Tỡm x, y bit :
2012
2
2
a) x + 5 + (3 y 4) = 0
b) (2 x 1) + 2 y x 8 = 12 5.2

Chuyờn 4: Giỏ tr nguyờn ca bin , giỏ tr ca biu thc :
Bi 1: a) Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: 51x + 26y = 2000
b) Tìm số tự nhiên x, y biết: 7( x 2004)2 = 23 y 2
c) Tìm x, y nguyên biết: xy + 3x - y = 6
d) Tìm mọi số nguyên tố thoả mãn : x2-2y2=1
Bi 2
a) Tỡm cỏc s nguyờn tha món : x y + 2xy = 7
b) Tỡm x, y Ơ bit: 25 y 2 = 8( x 2012) 2
1 1 1

+ =
Bi 3 a) Tìm giá trị nguyên dơng của x và y, sao cho:
x y 5
b) Tìm các số a, b, c nguyên dơng thoả mãn :
a 3 + 3a 2 + 5 = 5b và a + 3 = 5c
Bi 4: Tìm các cặp số nguyên tố p, q thoả mãn:
2

52 p + 2013 = 52 p + q 2

Bi 5 : Tìm tất cả các số nguyên dơng n sao cho: 2n 1 chia hết cho 7
Bi 1
Tìm số nguyên m để:
a) Giá trị của biểu thức m -1 chia hết cho giá trị của biểu thức 2m + 1.
b) 3m 1 < 3
Bi 2 a) Tìm x nguyên để 6 x + 1 chia hết cho 2 x 3
b) Tìm x Z để A Z và tìm giá trị đó.
1 2x
.
x+3
2012 x + 5
Bi 3: Tỡm x nguyờn
Z
1006 x + 1

A=

Chuyờn 5 : Giỏ tr ln nht , giỏ tr nh nht ca biu thc:
Bi 1: Tỡm giỏ tr nh nht ca cỏc a thc sau:
a) P(x) = 2x2 4x + 2012

b) Q(x) = x2 + 100x 1000
Bi dng HSG toỏn 7


GV: Lờ Vn Thng - Trng THCS Hong Ph
Bi 2 : Tỡm giỏ tr nh nht ca cỏc biu thc sau:
a) A = - a2 + 3a + 4
b) B = 2 x x2
Bi 3 : Tỡm giỏ tr ln nht ca cỏc biu thc sau:
a 2012 + 2013
b) Q = 2012
a + 2011

2012
a) P = 2
x + 4 x + 2013

Bi 1 : Tỡm GTNN ca biu thc :
a) P = ( x 2y)2 + ( y 2012)2012
b) Q = ( x + y 3)4 + ( x 2y)2 + 2012
2013

Bi 3 : Tỡm GTLN ca R =

4

( x 2) 2 + ( x y ) + 3
3x +2

Cho phân số: C = 4 x 5

(x Z)
a) Tìm x Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó.
b) Tìm x Z để C là số tự nhiên.

Bi 4 :

Bi 5 : Tìm số tự nhiên n để phân số
Bi 1:

7n 8
có giá trị lớn nhất
2n 3

Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc
a) A = ( x 2)2 + y x + 3
2011

b) B = 2012 x 2010
Bi 2 : Tỡm giỏ tr nh nht ca cỏc biu thc
a) A = x 2011 + x 2012
b) B = x 2010 + x 2011 + x 2012
c) C = x 1 + x 2 + ..... + x 100
Chuyờn 6 : Dng toỏn chng minh chia ht
Bi 1 : Chng minh rng : Vi mi s nguyờn dng n thỡ :
3n + 2 2n+ 2 + 3n 2n chia ht cho 10
Bi 2 :
Chng t rng:
2004
A = 75. (4 + 42003 + . . . . . + 42 + 4 + 1) + 25 l s chia ht cho 100
Bi 3 :

Cho m, n N* v p l s nguyờn t tho món:

m+n
p
= p (1)
m 1

Chng minh rng : p2 = n + 2
Bi 4: a) Số A = 101998 4 có chia hết cho 3 không ? Có chia hết cho 9 không ?
b) Chứng minh rằng: A = 3638 + 4133 chia hết cho 7
Bi 5 :
a) Chứng minh rằng: 3n + 2 2n + 4 + 3n + 2n chia hết cho 30 với mọi n nguyên dơng
b) Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c 17 nếu a - 11b + 3c 17 (a, b, c Z)
Bi 6 : a) Chứng minh rằng: 3a + 2b 17 10a + b 17 (a, b Z )
b) Cho đa thức f ( x) = ax 2 + bx + c (a, b, c nguyên).
Bi dng HSG toỏn 7


GV: Lờ Vn Thng - Trng THCS Hong Ph
CMR nếu f(x) chia hết cho 3 với mọi giá trị của x thì a, b, c đều chia hết cho 3
102006 + 53
Bi 7 : a) Chứng minh rằng
là một số tự nhiờn
9
b) Cho 2n + 1 là số nguyên tố (n > 2). Chứng minh 2n 1 là hợp số

Chuyờn 7 : Bt ng thc
1.Kin thc vn dng
* K thut lm tri : Nu a1 < a2 < a3 <. < an thỡ n a1 < a1 + a2 + + an < nan

1
1 1
1
1
< + + ..... + <
nan a1 a2
an na1
1
1
1
* a(a 1) < a2 < a( a+1) a(a + 1) < a 2 < a(a 1)
* a2 + 2.ab + b2 = ( a + b)2 0 , * a2 2 .ab + b2 = ( a b)2 0 vi mi a,b


Bi 1: Cho a, b, c > 0 . Chứng tỏ rằng: M =

a
b
c
+
+
không là số nguyên.
a+b b+c c+a

Bi 2 Chng minh rng : a + b 2 ab (1) , a + b + c 3 3 abc (2) vi a, b, c 0
Bi 3 : Vi a, b, c l cỏc s dng . Chng minh rng
1
a

1

b

a) (a + b)( + ) 4 (1)
Bi 4 :

1
a

1
b

1
c

b) (a + b + c)( + + ) 9 (2)

a) Cho z, y, z là các số dơng.
x

y

z

3

Chứng minh rằng: 2 x + y + z + 2 y + z + x + 2 z + x + y 4
b) Cho a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng: ab + bc + ca 0 .
Bi 5: Tỡm giỏ tr ca x trong dóy tớnh sau:

( x + 2) + ( x + 7) + ( x + 12) + ... + ( x + 42) + ( x + 47) = 655

x+2 x+2 x+2 x+2 x+2
+
+
=
+
b)
11
12
13
14
15
x + 2 x + 3 x + 4 x + 5 x + 349
a,
+
+
+
+
=0
327
326
325
324
5

c) Cho các số x, y, z, t thoả mãn : xyzt=1.
1
1
1
1
+

+
+
1 + x + xy + xyz 1 + y + yz + yzt 1 + z + zt + ztx 1 + t + tx + txy
x
y
z
t
Bi 5: (1 im): Cho x, y, z, t N * .Chng minh rng: M = x + y + z + x + y + t + y + z + t + x + z + t

Tính: P =

cú giỏ tr khụng phi l s t nhiờn.
Bi 6: a) Tỡm x bit : x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + + (x+2009) = 2009.2010
b) Tớnh M = 1.2+2.3+3.4+ + 2009. 2010
Bi dng HSG toỏn 7


GV: Lê Văn Thắng - Trường THCS Hoằng Phụ
1
1
1
1
+
+ .... +
=
1.3 3.5
47.49 x
4
4
4

2x + 5
+
+ .... +
=
6)
1.5 5.9
97.101
101

1
1
1
x
+
+ ..... +
=
1.4 4.7
97.100 2
1 
1
 1  1  1  
+ x = 2
7) 1 − 1 − 1 − ....1 −
5
 2  3  4   100 

4)

5)

1
5

8) 1.2 + 2.3 + 3.4 + .... + 99.100 = 2 x − 1

9) (12 + 22 + ... + 492 )(2 − x) = −1

1
5

1 1 1
2
2003
+ + + ... +
=
3 6 10
n(n + 1) 2004

Bài 18: Tìm số tự nhiên n biết:
* Dạng 3: Tìm x, y, z biết
1) x + y + z = 0

2) 3x − 5 + 2 y − 7 = 0

1
5
1
+ 3 −z =0
2
2

3
5) 1 − 2 x + 2 − 3 y + 3 − 4 y = 0

1
1
2
3
6) x − 1 + ( x − 1)( x + 1) = 0

3) x − 1 + 2 y −

4) ( x − 1) 2 + ( y − )2 + ( z − ) 2 = 0

5. Dạng 5: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối hàng loạt:
A(x) + B(x) + C(x) = D(x) (1)
Điều kiện: D(x) ≥ 0 kéo theo A( x) ≥ 0; B( x) ≥ 0; C ( x) ≥ 0
Do vậy (1) trở thành: A(x) + B(x) + C(x) = D(x)
Bài 5.1: Tìm x, biết:
a) x + 1 + x + 2 + x + 3 = 4 x
3
5

c) x + 2 + x + + x +

b) x + 1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 = 5 x − 1

1
= 4x
2

d) x + 1,1 + x + 1,2 + x + 1,3 + x + 1,4 = 5 x

Bài 5.2: Tìm x, biết:
1
2
3
100
+ x+
+ x+
+ ... + x +
= 101x
101
101
101
101
1
1
1
1
+ x+
+ x+
+ ... + x +
= 100 x
b) x +
1.2
2.3
3.4
99.100
1
1

1
1
+ x+
+ x+
+ ... + x +
= 50 x
c) x +
1.3
3.5
5.7
97.99
1
1
1
1
+ x+
+ x+
+ ... + x +
= 101x
d) x +
1.5
5.9
9.13
397.401

a) x +

6. Dạng 6: Dạng hỗn hợp:
Bài 6.1: Tìm x, biết:
a) 2 x − 1 +

1 4
=
2 5

2
b) x + 2 x −

1
= x2 + 2
2

3

2
2
c) x x + 4 = x

Bài 6.2: Tìm x, biết:

Bồi dưỡng HSG toán 7


GV: Lê Văn Thắng - Trường THCS Hoằng Phụ
a) 2 x − 1 −

1 1
=
2 5

b)

1
3 2
x +1 − =
2
4 5

2
c) x x +

3
=x
4

Bài 6.3: Tìm x, biết:
2
a) x x −

3
=x
4

1
3
3

b)  x +  2 x − = 2 x −

c) x − 2 x −

b) x − 1 − 1 = 2

c) 3x + 1 − 5 = 2

2



Bài 6.4: Tìm x, biết:
a) 2 x − 3 − x + 1 = 4 x − 1

4

4

1
2

3
3
= 2x −
4
4

7. Dạng 7: A + B = 0
Vận dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp bất đẳng thức.
* Nhận xét: Tổng của các số không âm là một số không âm và tổng đó bằng 0 khi và chỉ khi các
số hạng của tổng đồng thời bằng 0.
* Cách giải chung: A + B = 0

B1: đánh giá:

A ≥ 0
⇒ A + B ≥0
B ≥ 0
A = 0
B = 0

B2: Khẳng định: A + B = 0 ⇔ 
Bài 7.1: Tìm x, y thoả mãn:
a) 3x − 4 + 3 y + 5 = 0

b) x − y + y +

9
=0
25

c) 3 − 2 x + 4 y + 5 = 0

Bài 7.2: Tìm x, y thoả mãn:
3
4

2 1 3
11 23
− + x + 1,5 − +
y =0
c) x − 2007 + y − 2008 = 0
3 2 4

17 13
* Chú ý1: Bài toán có thể cho dưới dạng A + B ≤ 0 nhưng kết quả không thay đổi
* Cách giải: A + B ≤ 0 (1)

a) 5 − x +

2
y −3 = 0
7

A ≥ 0
⇒ A + B ≥0
B ≥ 0

b)

(2)
A = 0
B = 0

Từ (1) và (2) ⇒ A + B = 0 ⇔ 

Bài 7.3: Tìm x, y thoả mãn:
a) 5 x + 1 + 6 y − 8 ≤ 0
b) x + 2 y + 4 y − 3 ≤ 0

c) x − y + 2 + 2 y + 1 ≤ 0

Bài 7.4: Tìm x, y thoả mãn:
a) 12 x + 8 + 11y − 5 ≤ 0

b) 3x + 2 y + 4 y − 1 ≤ 0

c) x + y − 7 + xy − 10 ≤ 0

Bồi dưỡng HSG toán 7


GV: Lê Văn Thắng - Trường THCS Hoằng Phụ
* Chú ý 2: Do tính chất không âm của giá trị tuyệt đối tương tự như tính chất không âm của luỹ
thừa bậc chẵn nên có thể kết hợp hai kiến thức ta cũng có các bài tương tự.
Bài 7.5: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức:
2007
2008
+ y+4
=0
a) x − y − 2 + y + 3 = 0
b) x − 3 y
2006
2008
c) ( x + y ) + 2007 y − 1 = 0
d) x − y − 5 + 2007( y − 3) = 0
Bài 7.6: Tìm x, y thoả mãn :
a) ( x − 1) 2 + ( y + 3) 2 = 0
c) 3( x − 2 y )

2004

+4y+

4

b) 2( x − 5) + 5 2 y − 7 = 0
5

1
=0
2

d)

1

x + 3y −1 + 2 y − 
2


b)

3 x − y + 10 y +

2000

=0

Bài 7.7: Tìm x, y thoả mãn:
a) x − 2007 + y − 2008 ≤ 0
c)

13
1
 x− 

24
2

2006

+

2007 4
6
y+
≤0
2008 5
25

1) T×m x, y biÕt :

5

7

2
≤0
3

2008
2007
d) 2007 2 x − y + 2008 y − 4 ≤ 0

( 2x – 5) 2008+ ( 3y + 4)2010 ≤ 0

II – Tìm cặp giá trị ( x; y ) nguyên thoả mãn đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
1. Dạng 1: A + B = m với m ≥ 0
* Cách giải:
A = 0
B = 0

* Nếu m = 0 thì ta có A + B = 0 ⇔ 

* Nếu m > 0 ta giải như sau:
A + B = m (1)
Do A ≥ 0 nên từ (1) ta có: 0 ≤ B ≤ m từ đó tìm giá trị của B và A tương ứng .
Bài 1.1: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:
a) x − 2007 + x − 2008 = 0 b) x − y − 2 + y + 3 = 0

2
c) ( x + y ) + 2 y − 1 = 0

Bài 1.2: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:
5
4
a) x − 3 y + y + 4 = 0
b) x − y − 5 + ( y − 3) = 0

c) x + 3 y − 1 + 3 y + 2 = 0

Bài 1.3: Tìm cặp số nguyên (x, y ) thoả mãn:
a) x + 4 + y − 2 = 3
b) 2 x + 1 + y − 1 = 4 c) 3x + y + 5 = 5

d) 5 x + 2 y + 3 = 7

Bài 1.4: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) 3 x − 5 + y + 4 = 5 b) x + 6 + 4 2 y − 1 = 12 c) 2 3x + y + 3 = 10 d) 3 4 x + y + 3 = 21
Bài 1.5: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
Bồi dưỡng HSG toán 7


a) y = 3 − 2 x − 3
2

GV: Lê Văn Thắng - Trường THCS Hoằng Phụ
2
2
2
b) y = 5 − x − 1
c) 2 y = 3 − x + 4
d) 3 y = 12 − x − 2

3 - Sử dụng phương pháp bất đẳng thức:
Bài 1: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức:
a) x − y − 2 + y + 3 = 0
x-y-2 =0
x=-1
<=>
y+3 =0
y= -3
Bài 2: Tìm x, y thoả mãn :
2
2
a) ( x − 1) + ( y + 3) = 0

Bài 3: Tìm x, y thoả mãn:
a) x − 2007 + y − 2008 ≤ 0
Bài 4: Tìm x thoả mãn:
a) x + 5 + 3 − x = 8
2. Dạng 2: A + B < m với m > 0.
* Cách giải: Đánh giá
A + B < m (1)
A ≥ 0
 ⇒ A + B ≥ 0 (2)
B ≥ 0
Từ (1) và (2) ⇒ 0 ≤ A + B < m từ đó giải bài toán A + B = k như dạng 1 với 0 ≤ k < m

Bài 2.1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) x + y ≤ 3 b) x + 5 + y − 2 ≤ 4
c) 2 x + 1 + y − 4 ≤ 3 d) 3x + y + 5 ≤ 4
Bài 2.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) 5 x + 1 + y − 2 ≤ 7 b) 4 2 x + 5 + y + 3 ≤ 5 c) 3 x + 5 + 2 y − 1 ≤ 3 d) 3 2 x + 1 + 4 2 y − 1 ≤ 7
3. Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức: a + b ≥ a + b xét khoảng giá trị của ẩn số.
Bài 3.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn:
a) x − 1 + 4 − x = 3 b) x + 2 + x − 3 = 5 c) x + 1 + x − 6 = 7 d) 2 x + 5 + 2 x − 3 = 8
Bài 3.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau.
a) x + y = 4 và x + 2 + y = 6
b) x +y = 4 và 2 x + 1 + y − x = 5
c) x –y = 3 và x + y = 3
d) x – 2y = 5 và x + 2 y − 1 = 6
Bài 3.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn đồng thời:
a) x + y = 5 và x + 1 + y − 2 = 4
b) x – y = 3 và x − 6 + y − 1 = 4
c) x – y = 2 và 2 x + 1 + 2 y + 1 = 4
d) 2x + y = 3 và 2 x + 3 + y + 2 = 8

Bồi dưỡng HSG toán 7


GV: Lê Văn Thắng - Trường THCS Hoằng Phụ
4. Dạng 4: Kết hợp tính chất không âm của giá trị tuyệt đối và dấu của một tích:
* Cách giải : A( x).B( x) = A( y )
Đánh giá: A( y ) ≥ 0 ⇒ A( x).B( x) ≥ 0 ⇒ n ≤ x ≤ m tìm được giá trị của x.
Bài 4.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn:
a) ( x + 2)( x − 3) < 0 b) ( 2 x − 1)( 2 x − 5) < 0

c) ( 3 − 2 x )( x + 2) > 0 d) ( 3x + 1)( 5 − 2 x ) > 0

Bài 4.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) ( 2 − x )( x + 1) = y + 1
b) ( x + 3)(1 − x ) = y c) ( x − 2)( 5 − x ) = 2 y + 1 + 2
Bài 4.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
a) ( x + 1)( 3 − x ) = 2 y + 1
b) ( x − 2)( 5 − x ) − y + 1 = 1 c) ( x − 3)( x − 5) + y − 2 = 0
5. Dạng 5: Sử dụng phương pháp đối lập hai vế của đẳng thức:
* Cách giải: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: A = B
Đánh giá: A ≥ m (1)
Đánh giá: B ≤ m (2)
A = m
B = m

Từ (1) và (2) ta có: A = B ⇔ 

Bài 5.1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
2
a) x + 2 + x − 1 = 3 − ( y + 2)

c) y + 3 + 5 =

6

10

( 2 x − 6)

12

b) x − 5 + 1 − x = y + 1 + 3

2

+2

d) x − 1 + 3 − x = y + 3 + 3

Bài 5.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
8

a) 2 x + 3 + 2 x − 1 = 2( y − 5) 2 + 2
12

c) 3x + 1 + 3x − 5 = ( y + 3) 2 + 2

16

b) x + 3 + x − 1 = y − 2 + y + 2

10

d) x − 2 y − 1 + 5 = y − 4 + 2

Bài 5.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:
14

2
a) ( x + y − 2) + 7 = y − 1 + y − 3

6

c) 2 x − 2007 + 3 = y − 2008 + 2

20

2
b) ( x + 2) + 4 = 3 y + 2 + 5

30

d) x + y + 2 + 5 = 3 y + 5 + 6

V – Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của một biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
1. Dạng 1: Sử dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối:
* Cách giải chủ yếu là từ tính chất không âm của giá trị tuyệt đối vận dụng tính chất của bất
đẳng thức để đánh giá giá trị của biểu thức:
Bồi dưỡng HSG toán 7

GV: Lê Văn Thắng - Trường THCS Hoằng Phụ
Bài 1.1: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:
3x +2

b) B = − 1,4 − x − 2 c) C =

e) E = 5,5 − 2 x − 1,5

f) F = − 10,2 − 3x − 14

g) G = 4 − 5 x − 2 − 3 y + 12

h) H = 2,5 − x + 5,8

i) I = − 2,5 − x − 5,8

k) K = 10 − 4 x − 2

l) L = 5 − 2 x − 1

m) M = x − 2 + 3

5,8

4x −5

1

12

2 3
+
5 7
l) L = 2 3x − 2 + 1

h) H = x −

k) K = 2 3x − 1 − 4

3 x −1

n) N = 2 + 3 x + 5 + 4

Bài 1.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A = 1,7 + 3,4 − x
b) B = x + 2,8 − 3,5
d) D = 3x + 8,4 − 14,2
e) E = 4 x − 3 + 5 y + 7,5 + 17,5
g) G = 4,9 + x − 2,8

d) D =

2x +3

a) A = 0,5 − x − 3,5

c) C = 3,7 + 4,3 − x
f) F = 2,5 − x + 5,8
i) I = 1,5 + 1,9 − x
m) M = 51 − 4 x − 1

Bài 1.3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
−1

15

a) A = 5 + 4 3x + 7 + 3

21

4

20

b) B = 3 + 815 x − 21 + 7 c) C = 5 + 3x + 5 + 4 y + 5 + 8
2

24

21

e) E = 3 + ( x + 3 y ) 2 + 5 x + 5 + 14

d) D = −6 + 2 x − 2 y + 3 2 x + 1 + 6
Bài 1.4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a) A =

2 7 x + 5 + 11
7x + 5 + 4

b) B =

2 y + 7 + 13
2 2y + 7 + 6

c) C =

15 x + 1 + 32
6 x +1 + 8

Bài 1.5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
−8

a) A = 5 + 4 5 x + 7 + 24

6

14

b) B = 5 − 5 6 y − 8 + 35

15

28

c) C = 12 − 3 x − 3 y + 2 x + 1 + 35

Bài 1.6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A =

21 4 x + 6 + 33
3 4x + 6 + 5

b) B =

6 y + 5 + 14
2 y + 5 + 14

c) C =

− 15 x + 7 − 68
3 x + 7 + 12

2. Dạng 2: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối xác định khoảng giá trị của biểu thức:
Bài 2.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A = x + 5 + 2 − x
b) B = 2 x − 1 + 2 x + 6
d) D = 4 x + 3 + 4 x − 5
e) E = 5 x − 6 + 3 + 5 x

c) C = 3x + 5 + 8 − 3x
f) F = 2 x + 7 + 5 − 2 x

Bài 2.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A = 2 x − 3 + 2 x + 5
b) B = 3 x − 1 + 4 − 3x
Bồi dưỡng HSG toán 7

c) C = 4 x + 5 + 4 x − 1

GV: Lê Văn Thắng - Trường THCS Hoằng Phụ
Bài 2.3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a) A = − x − 5 + x + 4
b) B = − 2 x + 3 + 2 x + 4
c) C = − 3x − 1 + 7 − 3x
Bài 2.4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a) A = −2 x − 5 + 2 x + 6
b) B = −3 x − 4 + 8 − 3x

c) C = −5 5 − x + 5 x + 7

Bài 2.5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A = x + 1 + x − 5
b) B = x − 2 + x − 6 + 5

c) C = 2 x − 4 + 2 x + 1

3. Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức a + b ≥ a + b
Bài 3.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A = x + 2 + x − 3
b) B = 2 x − 4 + 2 x + 5

c) C = 3 x − 2 + 3x + 1

Bài 3.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A = x + 5 + x + 1 + 4
b) B = 3x − 7 + 3x + 2 + 8 c) C = 4 x + 3 + 4 x − 5 + 12
Bài 3.3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) A = x + 3 + 2 x − 5 + x − 7

b) B = x + 1 + 3x − 4 + x − 1 + 5
c) C = x + 2 + 4 2 x − 5 + x − 3
d) D = x + 3 + 5 6 x + 1 + x − 1 + 3
Bài 3.4: Cho x + y = 5 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = x +1 + y − 2

Bài 3.5: Cho x – y = 3, tìm giá trị của biểu thức:
B = x − 6 + y +1

Bài 3.6: Cho x – y = 2 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
C = 2x + 1 + 2 y + 1

Bài 3.7: Cho 2x+y = 3 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
D = 2x + 3 + y + 2 + 2

Bồi dưỡng HSG toán 7