Cac chuyen de BD HSG Toan 7
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (489.09 KB, 65 trang )
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
Chuyên đề:CÁC PHÉP TÍNH TRONG Q.
I .Kiến thức cơ bản:
1. Định nghĩa: Số hữu tỉ là số có thể viết dưới dạng
b
a
với a, b
∈
Z; b
≠
0.
Tập hợp số hữu tỉ được kí hiệu là Q.
2. Các phép toán trong Q.
a) Cộng, trừ số hữu tỉ:
Nếu
)0,,,(;
≠∈==
mZmba
m
b
y
m
a
x
Thì
m
ba
m
b
m
a
yx
+
=+=+
;
m
ba
m
b
m
a
yxyx
−
=−+=−+=−
)()(
b) Nhân, chia số hữu tỉ:
* Nếu
db
ca
d
c
b
a
yxthì
d
c
y
b
a
x
.
.
..;
====
* Nếu
1 .
; ( 0) : . .
.
a c a d a d
x y y thì x y x
b d y b c b c
= = ≠ = = =
Thương x : y còn gọi là tỉ số của hai số x và y, kí hiệu
):( yxhay
y
x
Chú ý:
+) Phép cộng và phép nhân trong Q cũng có các tính chất cơ bản như phép
cộng và phép nhân trong Z
+) Với x
∈
Q thì
<−
≥
=
0
0
xnêux
xnêux
x
Bổ sung:
* Với m > 0 thì
mxmmx
<<−⇔<
−<
>
⇔>
mx
mx
mx
0
0*
<≥⇔≤
>≤⇔≤
zvoiyzxzyx
zvoiyzxzyx
II. Bài tập vận dụng:
* Dạng 1: Cộng, trừ số hữu tỉ.
PP giải:
- Viết hai số hữu tỉ dưới dạng phân số có cùng một mẫu dương.
- Cộng, trừ hai tử và giữ nguyên mẫu.
- Rút gọn kết quả nếu có thể.
1
0
* . 0
0
x
x y
y
=
= ⇔
=
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
Bài 1: Thực hiện phép tính bằng cách hợp lí
a)
14
17
9
4
7
5
18
17
125
11
++−−
b)
1
2
1
2
3
1
3
4
1
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
−−−−−−+−+−+−
Hướng dẫn
a)
125
11
2
1
2
1
125
11
9
4
18
17
7
5
14
17
125
11
=−+=
−−
−+
b)
11114
4
1
4
3
3
1
3
2
2
1
2
1
4)33()22()11(
=−−−=
+−
+−
+−++−++−++−
Bài 2: Thực hiện phép tính một cách thích hợp.
a)
7 2 4 3 3 2 3
7 4 3
5 3 5 8 5 3 8
+ − − + + + − + +
÷ ÷ ÷
b)
1 1 3 1 2 7 4
2 9 5 2006 7 18 35
− + − − − + − − − +
÷ ÷ ÷ ÷
.
c)
1 3 3 1 1 1 2
3 4 5 2007 36 15 9
− + + − + −
d)
1 1 1 1
.....
1.2 2.3 3.4 2006.2007
+ + + +
Hướng dẫn
a) 6; b)
1
2006
; c)
1
2007
; d) 1-
1
2007
=
2006
2007
* Dạng 2: Nhân, chia số hữu tỉ.
PP giải:
- Viết hai số hữu tỉ dưới dạng phân số.
- Áp dụng quy tắc nhân, chia phân số.
- Rút gọn kết quả (nếu có thể).
Bài 1: Thực hiện phép tính. ( tính nhanh nếu có thể )
a)
1 1 1 7
24 4 2 8
−
− − −
÷
b)
5 7 1 2 1
7 5 2 7 10
− − − − −
÷ ÷
c)
1 3 1 1 2 4 7
2 5 9 71 7 35 18
− − − + − + − − + −
÷ ÷ ÷ ÷
d)
1 2 1 6 7 3
3 5 6
4 3 3 5 4 2
− + − − − − − +
÷ ÷ ÷
e)
1 2 1 3 5 2 1
5 2 2 8
5 9 23 35 6 7 18
+ − − − − + − + −
÷ ÷ ÷
f)
1 3 3 1 2 1 1
3 4 5 64 9 36 15
− − − + − − +
÷
g)
5 5 13 1 5 3 2
1 1
7 67 30 2 6 14 5
− − − + + + − + − −
÷ ÷ ÷
h)
3 1 1 3 1 1
: : 1
5 15 6 5 3 15
− −
− + −
÷ ÷
i)
3 5 2 1 8 2
: 2 :
4 13 7 4 13 7
− + − +
÷ ÷
k)
1 13 5 2 1 5
: :
2 14 7 21 7 7
− − − +
÷ ÷
l)
2 8 1 2 5 1
12. : 3 . .3
7 9 2 7 18 2
− + −
÷
Hướng dẫn
2
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
a)
1 1 1 7
24 4 2 8
−
− − −
÷
=
−
− +
1 1 3
24 4 8
=
−
−
1 5
24 8
=
−
−
1 15
24 24
=
−16
24
=
−2
3
b)
5 7 1 2 1
7 5 2 7 10
− − − − −
÷ ÷
=
5
7
-
7
5
-
1
2
+
2 1
7 10
− −
÷
=
5
7
-
7
5
-
1
2
-
2
7
-
1
10
=
5 2
7 7
−
÷
-
7 1 1
5 2 10
+ +
÷
=
3
7
-
20
10
=
3
7
- 2 =
4
1
7
−
c)
1 3 1 1 2 4 7
2 5 9 71 7 35 18
− − − + − + − − + −
÷ ÷ ÷ ÷
=
1 3 1 1 2 4 7
2 5 9 71 7 35 18
− + − + + + −
=
3 2 4 1 1 7 1
5 7 35 2 9 18 71
+ + − + + +
÷ ÷
=
21 10 4 9 2 7 1
35 18 71
+ + + +
− +
=
1
71
d)
1 2 1 6 7 3
3 5 6
4 3 3 5 4 2
− + − − − − − +
÷ ÷ ÷
=
1 2 1 6 7 3
3 5 6
4 3 3 5 4 2
− + − + + − + −
=
( )
2 1 7 1 3 6
3 5 6
3 3 4 4 2 5
− − + + + − − +
÷ ÷
=
6 6 -29 4
8 1 = -7 + = = -5
5 5 5 5
− + +
e)
1 2 1 3 5 2 1
5 2 2 8
5 9 23 35 6 7 18
+ − − − − + − + −
÷ ÷ ÷
=
+ − − + + − − − +
1 2 1 73 5 2 1
5 2 8
5 9 23 35 6 7 18
=
( )
− − + − − − +
÷ ÷
1 73 2 1 2 5 1
5 2 8 + +
5 35 7 18 9 6 23
=
+ − − − +
÷ ÷
7 73 10 1 4 15 1
-5 + +
35 35 35 18 18 18 23
= -5 + 2 -1 +
1
23
= -4 +
1
23
= -
91 22
= -3
23 23
f)
1 3 3 1 2 1 1
3 4 5 64 9 36 15
− − − + − − +
÷
=
− + + − − +
1 3 3 1 2 1 1
3 4 5 64 9 36 15
=
+ + + + +
÷ ÷
1 3 1 3 2 1 1
-
3 5 15 4 9 36 64
=
+ + + +
+
÷ ÷
5 9 1 27 8 1 1
-
15 36 64
=
+
1
1 - 1
64
=
1
64
g)
5 5 13 1 5 3 2
1 1
7 67 30 2 6 14 5
− − − + + + − + − −
÷ ÷ ÷
=
− + + + − + +
5 5 13 1 11 17 2
7 67 30 2 6 14 5
=
+ − + + − +
÷ ÷
1 17 5 13 2 11 5
2 14 7 30 5 6 67
=
+ − + −
+ +
÷ ÷
7 17 10 13 12 55 5
14 30 67
=
( )
+
5 5
1 + -1 =
67 67
Bài 2: Tính:
E =
( )
5
4
:5,02,1
17
2
2
4
1
3
9
5
6
7
4
:
25
2
08,1
25
1
64,0
25,1
5
4
:8,0
×+
×
−
−
+
−
×
Hướng dẫn
3
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
E =
( )
5
4
:5,02,1
17
2
2
4
1
3
9
5
6
7
4
:
25
2
08,1
25
1
64,0
25,1
5
4
:8,0
×+
×
−
−
+
−
×
=
( )
4
7
1,08 0,08 :
1
0,8:1 4 0,8 3 8 1 3 1
7
4
0,6 : 2
119 36
0,64 0,04 5 0,6 7 4 6 4 4 3
36 17
−
×
+ + = + + = + + =
−
×
*
Dạng 3: Tìm số hạng chưa biết trong một tổng hoặc một hiệu
PP giải: Áp dụng quy tắc chuyển vế
Bài 1: Tìm x, biết:
−−=
−−
13
11
28
15
42
5
13
11
x
;
Hướng dẫn
a)
−−=
−−
13
11
28
15
42
5
13
11
x
11 5 15 11
x
13 42 28 13
− + =− +
15 5
x
28 42
= − +
5
x
12
= −
Bài 2. Tìm số hữu tỉ x, biết rằng:
a)
1
x + 4 12
2
= −
; b)
3 1
+ :x 3
4 4
= −
;
c)
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
+ +
10 11 12 13 14
+ + + + +
= +
d)
x 4 x 3 x 2 x 1
+
2000 2001 2002 2003
+ + + +
= +
Hướng dẫn
a)
1
x + 4 12
2
= −
1
x 12 4 16
2
= − − = −
1
x 16: 32
2
= − = −
b)
3 1
+ :x 3
4 4
= −
1 3 15
:x 3
4 4 4
−
= − − =
1 15 1 4 1
x : .
4 4 4 15 15
−
= = − = −
÷ ÷
c)
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
+ +
10 11 12 13 14
+ + + + +
= +
x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
+ + 0
10 11 12 13 14
+ + + + +
− − =
d)
x 4 x 3 x 2 x 1
+
2000 2001 2002 2003
+ + + +
= +
x 4 x 3 x 2 x 1
1 1 1 1
2000 2001 2002 2003
+ + + +
+ + + = + + +
÷ ÷ ÷ ÷
x 4 x 3 x 2 x 1
1 1 1 1
2000 2001 2002 2003
+ + + +
+ + + = + + +
÷ ÷ ÷ ÷
4
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
( )
1 1 1 1 1
x 1 + + 0
10 11 12 13 14
+ − − =
÷
Dễ thấy
1 1 1 1 1
+ + 0
10 11 12 13 14
− − ≠
÷
Vì
1 1 1 1 1
10 11 12 13 14
> > > >
Do đó x + 1 = 0 nên x = -1.
x 2004 x 2004 x 2004 x 2004
+ =
2000 2001 2002 2003
+ + + +
+
x 2004 x 2004 x 2004 x 2004
+ 0
2000 2001 2002 2003
+ + + +
− − =
( )
1 1 1 1
x 2004 + 0
2000 2001 2002 2003
+ − − =
÷
Do đó x + 2004 = 0 nên x = -2004
* Dạng 4: Các bài tập về giá trị tuyết đối của số hữu tỉ.
PP giải: Cần nắm vững định nghĩa về giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ.
x
= x nếu x
≥
0 ;
x
= -x nếu x < 0.
Ví dụ:
a)
x
= 0 thì x = 0 ; b)
x
=1,375 thì x =1,375 hoặc x=-1,375.
c)
x
=
1
5
thì x =
1
5
±
; d)
x
=
1
3
4
thì x =
1
3
4
±
Bài 1: Tìm x , biết.
a)
25,1
=−
x
b)
0
2
1
4
3
=−+
x
c)
15,275,3
15
4
−−=−−+
x
Hướng dẫn
a) x = 3,5 hoặc x = - 0,5 ; b) x = -1/4 hoặc x = -5/4.
c)
15,275,3
15
4
−−=−−+
x
4
3,75 2,15
15
x + − = −
4 4
2,15 3,75 1,6
15 15
x x+ = − + ⇒ + =
4 4
1,6
5 3
4 28
1,6
5 15
x x
x x
+ = =
⇔ ⇔
+ = − = −
III. Bài tập về nhà:
- Xem lại các bài tập đã làm.
- Làm từ bài tập 12 đến bài tập 19 (tr 11– Ôn tập Đại số 7)
- Làm bài tập trong sách NCPT toán 7
---------------------------------------------------------------
Chuyên đề: LUỸ THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ.
I. Kiến thức cơ bản:
1. Luỹ thừa với số mũ tự nhiên.
5
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
Luỹ thừa bậc n ủa một số hữu tỉ, kí hiệu x
n
, là tích của n thừa số x (n là số tự
nhiên lớn hơn 1): x
n
=
. . ...
n
x x x x
14 2 43
( x ∈ Q, n ∈ N, n > 1)
Quy ước: x
1
= x; x
0
= 1; (x ≠ 0)
Khi viết số hữu tỉ x dưới dạng
( )
, , 0
a
a b Z b
b
∈ ≠
, ta có:
n
n
n
a a
b b
=
÷
2. Tích và thương của hai luỹ thừa cùng cơ số:
.
m n m n
x x x
+
=
:
m n m n
x x x
−
=
(x ≠ 0,
m n≥
)
a) Khi nhân hai luỹ thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng hai số mũ.
b) Khi chia hai luỹ thừa cùng cơ số khác 0, ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của
luỹ thừa bị chia trừ đi số mũ của luỹ thừa chia.
3. Luỹ thừa của luỹ thừa.
( )
.
n
m m n
x x
=
Khi tính luỹ thừa của một luỹ thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ.
4. Luỹ thừa của môt tích – luỹ thừa của một thương.
( )
. .
n
n n
x y x y
=
( )
: :
n
n n
x y x y
=
(y ≠ 0)
Luỹ thừa của một tích bằng tích các luỹ thừa.
Luỹ thừa của một thương bằng thương các luỹ thừa.
II. Bài tập vận dụng:
* Dạng 1: Sử dụng định nghĩa của luỹ thừa với số mũ tự nhiên.
PP giải:
Cần nắm vững định nghĩa: x
n
=
. . ...
n
x x x x
14 2 43
(x∈Q, n∈N, n > 1)
Quy ước: x
1
= x; x
0
= 1; (x ≠ 0)
Bài 1: Tính.
a)
3
2
;
3
÷
b)
3
2
;
3
−
÷
c)
2
3
1 ;
4
−
÷
d)
( )
4
0,1 ;−
e)
0
1
2
−
÷
f)
2
1
3
2
÷
g)
( )
3
2,5 h)
4
1
1
4
−
÷
Hướng dẫn
a)
3
2 8
;
3 27
=
÷
b)
3
2 8
;
3 27
− = −
÷
c)
2
3 49
1 ;
4 16
− =
÷
d)
( )
4
0,1 0,0001;− =
e)
0
1
1
2
− =
÷
f)
2
1 49
3
2 4
=
÷
g)
( )
3
2,5 =15,625 h)
4
1 625
1
4 256
− =
÷
Bài 2: Điền số thích hợp vào ô vuông
6
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
a)
16 2=
b)
27 3
343 7
− = −
÷
c)
0,0001 (0,1)=
Hướng dẫn
a)
4
16 2=
b)
3
27 3
343 7
− = −
÷
c)
4
0,0001 (0,1)=
Bài 3: Điền số thích hợp vào ô vuông:
a)
5
243 =
b)
3
64
343
− =
c)
2
0,25 =
Hướng dẫn
a)
5
243 3=
b)
3
64 4
343 7
− = −
c)
2
0,25 0,5=
* Dạng 2: Đưa luỹ thừa về dạng các luỹ thừa cùng cơ số.
PP giải:
Áp dụng các công thức tính tích và thương của hai luỹ thừa cùng cơ số.
.
m n m n
x x x
+
=
:
m n m n
x x x
−
=
(x ≠ 0,
m n≥
)
Áp dụng các công thức tính luỹ thừa của luỹ thừa
( )
.
n
m m n
x x
=
Sử dụng tính chất: Với a ≠ 0, a
1±
, nếu a
m
= a
n
thì m = n
Bài 1: Tính.
a) a
5
.a
7
b) 25
3
: 5
2
; c)
3
1
3
−
÷
.
1
3
−
÷
d)
( ) ( )
2 3
2 . 2 ;− −
e)
21 6
3 9
:
7 49
÷ ÷
f)
0 2
6 1
3 : 2
7 2
− − +
÷ ÷
Hướng dẫn
a) a
5
.a
7
= a
12
b) 25
3
: 5
2
= 5
4
;
c)
3
1
3
−
÷
.
1
3
−
÷
=
4
1 1
3 81
− =
÷
d)
( ) ( ) ( )
2 3 5
2 . 2 2 ;− − = −
e)
21 6 9
3 9 3
:
7 49 7
=
÷ ÷ ÷
f)
0 2
6 1 1
3 : 2 2
7 2 8
− − + =
÷ ÷
Bài 2: Tính.
7
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
a)
( )
( )
2
2
2
2
b)
14
12
8
4
c)
1
5
7
( 1)
5
7
n
n
n
+
−
÷
≥
−
÷
Hướng dẫn
a)
( )
( )
2
2
2 4
2 4 256= =
b)
14 42
18
12 24
8 2
2
4 2
= =
c)
1
5 5 5
.
5
7 7 7
;( 1)
7
5 5
7 7
+
− − −
÷ ÷ ÷
= = − ≥
÷
− −
÷ ÷
n n
n n
n
Bài 3: So sánh.
a) 2
225
và 3
150
b) 2
91
và 5
35
c) 10
20
và 9
10
d)
( ) ( )
30 50
5 và 3− −
e) 64
8
và 16
12
f)
10 50
1 1
và
16 2
÷ ÷
Hướng dẫn
a) Ta có: 2
225
=
( )
75
3 75
2 8=
và 3
150
=
( )
75
2 75
3 9=
Vì 8
75
< 9
75
nên
2
225
< 3
150
b) Ta có: 2
91
> 2
90
=
( ) ( )
18 18
5 18 18 2 36 35
2 32 25 5 5 5= > = = >
và 5
35
Vậy 2
91
> 5
35
c) Ta có: 10
20
= 100
10
> 9
10
Vậy 10
20
> 9
10
d) Ta có :
( ) ( ) ( ) ( )
10 10
30 3 50 5
10 10
5 = -5 =-125 ; 3 3 243
− − = − = −
Vì -125
10
> -243
10
nên
( ) ( )
30 50
5 > 3− −
e) Ta có: 64
8
=
( )
8
3 24
4 4=
;
16
12
=
( )
12
2 24
4 4=
Vậy 64
8
= 16
12
f) Ta có:
10
10 50 5 10
1 1 1 1
;
16 2 2 32
= =
÷ ÷ ÷ ÷
Vì
10 10
1 1
16 32
<
÷ ÷
nên
10 50
1 1
<
16 2
÷ ÷
Bài 4: Viết các biểu thức sau dưới dạng a
n
(a
∈
Q, n
∈
N).
3 2
1
a) 9.3 . .3
81
5 3
1
b) 4.2 : 2 .
16
÷
c)
2
2 5
2
3 .2 .
3
÷
d)
2
2
1 1
. .9
3 3
÷
Hướng dẫn
3 2
1
a) 9.3 . .3
81
=
3 3
4
1
9.3 . .9 = 3
3
5 3
1
b) 4.2 : 2 .
16
÷
=
7 3 7 8
4
1 1
2 : 2 . = 2 : = 2
2 2
÷
8
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
c)
2
2 5
2
3 .2 .
3
÷
=
2
2 5 7
2
2
3 .2 . 2
3
=
d)
2
2
1 1
. .9
3 3
÷
=
4
2
1 1
. .3 3
3 3
=
* Dạng 3: Dạng toán tìm x.
Bài 1: Tìm x, biết:
a)
2 5
2 2
. ;
3 3
x
− = −
÷ ÷
b)
3
1 1
. ;
3 81
x
− =
÷
c)
2
1
x 0
2
− =
÷
d)
2
1 1
x
2 16
+ =
÷
e)
( )
2
x 2 1− =
f)
( )
3
2x 1 8− = −
Hướng dẫn
a)
2 5
2 2
.
3 3
− = −
÷ ÷
x
⇔
5 2 3
2 2 2
:
3 3 3
= − − = −
÷ ÷ ÷
x
8
x
27
−
⇔ =
b)
3
1 1
. ;
3 81
x
− =
÷
⇔
3 3
1 1
: 1
3 3
= − = −
÷ ÷
x
x 1⇔ = −
c)
2
1
x 0
2
− =
÷
1
x 0
2
1
x
2
⇔ − =
⇔ =
d)
2
1 1
x
2 16
+ =
÷
⇔
1 1
x
2 4
1 1
x
2 4
+ =
+ = −
⇔
1
x
4
3
x
4
= −
= −
e)
( )
2
x 2 1− =
⇔
x 2 1
x 2 1
− =
− = −
⇔
x 3
x 1
=
=
f)
( )
3
3
2x 1 2− = −
2x 1 2
1
x
2
− = −
= −
Bài 2: Tìm x, biết.
3
1 1
a) x
2 27
− =
÷
;
2
1 4
b) x
2 25
+ =
÷
Hướng dẫn
3 3 3
1 1 1 1
a) x x
2 27 2 3
− = ⇔ − =
÷ ÷ ÷
⇔
1 1
x
2 3
− =
÷
⇔
1 1 5
x
3 2 6
= + =
2
1 4
b) x
2 25
+ =
÷
1 2 1
x x
2 5 10
1 2 9
x x
2 5 10
+ = = −
⇔ ⇔
+ = − = −
9
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
Bài 3: Tìm x, biết.
a) x :
3
1 1
3 3
− = −
÷
b)
5 7
4 4
.x
5 5
=
÷ ÷
c)
2
1 1
x
5 25
+ =
÷
d)
( )
3
3x 1 27+ = −
Hướng dẫn
a) x :
3
1 1
3 3
− = −
÷
⇔
x =
3
1 1 1
.
3 3 81
− − =
÷ ÷
b)
5 7
4 4
.x
5 5
=
÷ ÷
⇔
7 5 2
4 4 4 16
x :
5 5 5 25
= = =
÷ ÷ ÷
c)
2
1 1
x
5 25
+ =
÷
⇔
1 1
x
5 5
1 1
x
5 5
+ =
+ = −
⇔
x 0
2
x
5
=
= −
d)
( )
3
3x 1 27+ = −
⇔
( )
3x 1 3+ = −
⇔
3x 1 3+ = −
⇔
3x 3 1= − −
⇔
3x 4= −
⇔
4
x
3
= −
Bài 4: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho:
a) 2.16
n
2 4≥ >
b) 9.27
n
3 243≤ ≤
.
Hướng dẫn
a) 2.16
n
2 4≥ >
⇔
2
5
≥
2
n
> 2
2
⇒
2 < n
≤
5
⇒
n = {3; 4; 5}
b) 9.27
n
3 243≤ ≤
⇔
3
5
≤
3
n
≤
3
5
⇒
n = 5.
Bài 5: Chứng minh
7 18
8 - 2
chi hết cho 14.
Hướng dẫn
Ta có:
7 18
8 - 2
= 2
21
– 2
18
= 2
17
(2
4
– 2) = 2
17
.14
M
14.
Bài 6: Tìm n biết rằng:
a)
n
81
3
3
=
b)
n
64
8
( 2)
= −
−
Hướng dẫn
a)
4
4 n
n n
81 3
3 3 3 3 4 n 1 n 3.
3 3
−
= ⇒ = ⇒ = ⇒ − = ⇔ =
b)
( )
( )
( ) ( ) ( )
6
3 6 n 3
n
n
2
64
8 2 2 2 6 n 3 n 3
( 2)
2
−
−
= − ⇒ = − ⇒ − = − ⇒ − = ⇒ =
−
−
.
III. HDHS học tập ở nhà:
- Xem lại các bài tập đã làm.
10
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
---------------------------------------------------------------
Chuyên đề: LUỸ THỪA CỦA MỘT SỐ HỮU TỈ.
I.Kiến thức cơ bản:
- HS nhắc lại các kiến thức cơ bản về lũy thừa của một số hữu tỉ.
II. Bài tập vận dụng:
* Dạng 4: Tính lũy thừa của một tích, lũy thừa của một thương.
PP giải:
Áp dụng các công thức tính luỹ thừa của một tích, luỹ thừa của một
thương:
( )
. .
n
n n
x y x y
=
( )
: :
n
n n
x y x y
=
(y ≠ 0)
Áp dụng các công thức tính luỹ thừa của luỹ thừa
( )
.
n
m m n
x x
=
Bài 1: Tính.
a)
0
4
3
−
b)
4
3
1
2
−
c)
( )
3
5,2
d) 25
3
: 5
2
e) 2
2
.4
3
f)
5
5
5
5
1
⋅
g)
3
3
10
5
1
⋅
h)
4
4
2:
3
2
−
i)
2
4
9
3
2
⋅
k)
23
4
1
2
1
⋅
l)
3
3
40
120
m)
4
4
130
390
n) 27
3
:9
3
p) 32
4
: 4
3
; q) (0,25)
4
. 1024
Hướng dẫn
a)
0
3
1
4
− =
÷
b)
4 4
4
4
1 7 7
2
3 3 3
− = − =
÷ ÷
c)
( )
3
2,5 15,625=
d) 25
3
: 5
2
= 5
6
: 5
2
=5
4
e) 2
2
.4
3
= 2
2
.2
6
= 2
8
f)
5
5
1
5 1
5
× =
÷
g)
3
3 3
1
10 2
5
× =
÷
h)
4
4
4
2 1
: 2
3 3
− =
÷
i)
4
2 4
2
9 2
3
× =
÷
k)
3 2 7
1 1 1
2 4 2
× =
÷ ÷ ÷
l)
3
3
3
3
120 120
3
40 40
= =
÷
m)
4
4
4
390
3
130
=
n) 27
3
:9
3
= 3
9
: 3
6
=3
3
q) 32
4
: 4
3
= 2
20
: 2
6
= 2
14
q) (0,25)
4
. 1024
=4
Bài 2: Tính.
11
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
a)
7
7
1
.3 ;
3
−
÷
b) (0,125)
3
.512 c)
2
2
90
15
d)
4
4
790
79
Hướng dẫn
a)
( ) ( )
( )
7 7
7
7
7
1 . 3
1
.3 1;
3
3
−
− = = −
÷
b) (0,125)
3
.512=1
c)
2
2
2
90 90
36
15 15
= =
÷
d)
4
4
4
790 790
10000
79 79
= =
÷
Bài 3: Thực hiện tính.
a)
( ) ( ) ( )
3 20 0
2
2 2 1 2− + + − + − b)
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 3
3 5 2
− − + −
d)
( )
( )
( )
0
2 2
2
4
1
2 8. 2 : 2 .4 2
2
−
+ − − + −
e)
( )
( )
0
2
2
3
1 1
2 3 2 .4 2 : .8
2 2
−
+ − + −
÷
Hướng dẫn
a)
( ) ( ) ( )
3 20 0
2
2 2 1 2− + + − + −
=
( 8) 4 1 1− + + +
= -2
b)
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 3
3 5 2
− − + −
=
( )
2
2 2
9 25 8− + −
= 81 – 625 + 64 = -480
d)
( )
( )
( )
0
2 2
2
4
1
2 8. 2 : 2 .4 2
2
−
+ − − + −
= 16 + 8 -
1
4
.4 + 4
= 28 – 1 = 27
e)
( )
( )
0
2
2
3
1 1
2 3 2 .4 2 : .8
2 2
−
+ − + −
÷
= 8 + 3 -
1
4
.4 + 4.2.8
= 75 – 1 = 74
Bài 4: So sánh 99
20
và 9999
10
.
Hướng dẫn
Cách 1: Ta có: 9999
10
= (99.101)
10
= 99
10
.101
10
> 99
10
.99
10
= 99
20
. Do đó 99
20
<
9999
10
Cách 2: 9999
10
> 9900
10
= (99.100)
10
= 99
10
.100
10
> 99
10
.99
10
= 99
20
.
Vậy: 99
20
< 9999
10
Bài 5: Chứng minh đẳng thức sau.
a) 12
8
. 9
12
= 18
16
b) 75
20
= 45
10
. 5
30
.
Hướng dẫn
a) 12
8
. 9
12
= (2
3
.3)
8
.(3
2
)
12
= 2
16
3
8
.3
24
= 2
16
.3
32
(1)
18
16
= (2.3
2
)
16
= 2
16
.3
32
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: 12
8
. 9
12
= 18
18
b) 75
20
= (3.5
2
)
20
= 3
20
.5
40
; (1)
45
10
. 5
30
= (5.3
2
)
10
.5
30
= 3
20
. 5
10
.5
30
= 3
20
.5
40
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: 75
20
= 45
10
. 5
30
Bài 6: Chứng minh rằng 10
6
– 5
7
chia hết cho 59.
Hướng dẫn
12
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
10
6
– 5
7
= (2 .5)
6
- 5
7
= 2
6
. 5
6
- 5
7
= 5
6
(2
6
– 5) = 5
6
. 59
M
59.
Bài 7: Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ.
a)
3 2
1
25.5 . .5
625
b)
3
1
4. 32 : 2 .
16
÷
c)
2
2 5
3
5 .3 .
5
÷
d)
2
2
1 1
. .49
7 7
÷
Hướng dẫn
a)
3 2
1
25.5 . .5
625
= 5
7
.
4
1
5
= 5
3
;
b)
3
1
4. 32 : 2 .
16
÷
= 2
7
:
1
2
÷
= 2
8
c)
2
2 5
3
5 .3 .
5
÷
=
2
2 5 7
2
3
5 .3 . 3
5
=
d)
2
2
1 1
. .49
7 7
÷
=
4
3
1
.7 7
7
=
* Dạng 5: Tìm số mũ của lũy thừa.
PP giải:
Khi giải dạng toán này, ta có thể sử dụng tính chất được thừa nhận sau
đây.
Với a
≠
0, a
≠
±
1, nếu
m n
a = a
thì m = n.
Bài 8: Tìm số nguyên n, biết rằng.
a) 27
n
: 3
n
= 9; b)
n
25
5
5
=
c)
( )
n
81
243
3
= −
−
d)
n n 5
1
.2 4.2 9.2
2
+ =
Hướng dẫn
a) 27
n
: 3
n
= 9
⇒
3
3n
: 3
n
= 3
2
⇒
3
2n
= 3
2
⇒
2n = 2
⇒
n = 1
b)
n
25
5
5
=
⇒
2
n
5
5
5
=
⇒
5
2-n
= 5
⇒
2-n = 1
⇒
n = 1
c)
( )
n
81
243
3
= −
−
⇒
( )
4
5
n
( 3)
( 3)
3
−
= −
−
⇒
4-n = 5
⇒
n = -1
d)
n n 5
1
.2 4.2 9.2
2
+ =
⇒
2
n 2 5 n 2 5
1 3
2 . 4 3 .2 2 . 3 .2
2 2
+ = ⇒ =
÷
⇒
n 1 2 2 5 n 1 5
2 .3 3 .2 2 2
− −
= ⇒ =
⇒
n 1 5 n 6− = ⇒ =
Bài 9: Tìm số nguyên m; n, biết rằng.
a)
m
1 1
2 32
=
÷
b)
n
343 7
125 5
=
÷
Hướng dẫn
13
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
a)
m
1 1
2 32
=
÷
m 5⇒ =
b)
n
343 7
125 5
=
÷
n 3⇒ =
Bài 10: Tìm số nguyên n, biết rằng .
a)
n
16
2
2
=
b)
n
( 3)
27
81
−
= −
c) 8
n
: 2
n
= 4.
Hướng dẫn
a)
n
16
2
2
=
⇒
n = 3 b)
n
( 3)
27
81
−
= −
⇒
n = 7 c) 8
n
: 2
n
= 4
⇒
n = 1
Bài 11: Tìm số nguyên n, biết rằng.
a)
n
1 1
3 81
=
÷
b)
n
512 8
343 7
− −
=
÷
c)
n
3 81
4 256
−
=
÷
Hướng dẫn
a)
n
1 1
3 81
=
÷
⇒
n 4
1 1
n 4
3 3
= ⇒ =
÷ ÷
b)
n
512 8
343 7
− −
=
÷
⇒
3 n
8 8
n 3
7 7
− −
= ⇒ =
÷ ÷
c)
n
3 81
4 256
−
=
÷
⇒
n 4
3 3
n 4
4 4
− −
= ⇒ =
÷ ÷
* Dạng 6: Tìm cơ số của lũy thừa.
PP giải:
- Sử dụng định nghĩa của lũy thừa với số mũ nguyên dương:
x
n
=
. . ...
n
x x x x
14 2 43
(x∈Q, n∈N, n > 1)
- Sử dụng tính chất:
Nếu a
n
= b
n
thì a = b nếu n lẻ; a =
±
b nếu n chẵn. (n
∈
N, n
≥
1)
Bài 12: Tìm x biết.
a) x
3
= 343 b) (x – 2,5)
4
= (x – 2,5)
2
Hướng dẫn
a) x
3
= 343
Ta có : 343 = 7
3
. Do đó x
3
= 7
3
nên x = 7.
b) (x – 2,5)
4
= (x – 2,5)
2
Nếu x = 2,5 ta có 0
4
= 0
2
(hiển nhiên đúng)
Nếu x
≠
2,5, chia cả hai vế cho (x – 2,5)
2
≠
0 ta được (x – 2,5)
2
= 1
x 2,5 1 x 3,5
x 2,5 1 x 1,5
− = =
⇒ ⇒
− = − =
Vậy x = {1,5; 2,5; 3,5}
Bài 13: Tìm x biết:
8
x
27
243
=
14
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
Hướng dẫn
Ta có 243 = 3
5
, 27 = 3
3
, do đó
8
3 8 5 3 8
5
x
3 x 3 .3 3
3
= ⇒ = =
Vậy x = {-3; 3}
* Dạng 7: Tìm giái trị của biểu thức.
PP giải:
- Cần thực hiện đúng thứ tự của các phép tính: Lũy thừa
→
Nhân
→
Chia
→
Cộng
→
Trừ. Nếu có dấu ngoặc cần làm theo thứ tự: ( )
→
[]
→
{}.
- Áp dụng các qui tắc của phép tính và các tính chất của các phép tính đó.
Bài 14: Tính giá trị biểu thức.
a)
10 10
10
45 .5
75
b)
( )
( )
5
6
0,8
0,4
c)
15 4
3 3
2 .9
6 .8
d)
10 10
4 11
8 4
8 4
+
+
Hướng dẫn
a)
10
10 10
10
10
45 .5 45.5
3
75 75
= =
÷
b)
( )
( )
5
5
5 4
6
0,8
1 0,8 5
. .2 5.2 80
0,4 0,4 2
0,4
= = = =
÷
c)
( )
15 4 15 8 15 8
3 5
3
3 3 3 3 9
9
2 .9 2 .3 2 .3
2 .3
6 .8 2 .3 .2
2.3 .2
= = =
d)
( )
( )
20 10
10 10 30 20
8
4 11 12 22
12 10
2 2 1
8 4 2 2
2
8 4 2 2
2 2 1
+
+ +
= = =
+ +
+
Bài 15: Tính.
a) (2
-1
+ 3
-1
):( 2
-1
- 3
-1
) +( 2
-1
.2
0
).2
3
b)
1 0 2
2
1 3 1
: 2
3 5 2
−
− − − +
÷ ÷ ÷
Biết rằng với x
≠
0 và n
∈
N
+
thì x
-n
=
n
1
x
Hướng dẫn
a) (2
-1
+ 3
-1
):( 2
-1
- 3
-1
) +( 2
-1
.2
0
).2
3
=
1 1
2 3
+
÷
:
1 1
2 3
−
÷
+
3
1
.1 .2
2
÷
=
5
6
.6 + 4 = 9
b)
1 0 2
1 3 1
: 2
3 5 2
−
− − − +
÷ ÷ ÷
2
= 1:
1
3
÷
-1 +
1
: 4
4
= - 3 – 1 +
1
16
= -4 +
1
16
= -3
15
16
III. HDHS học tập ở nhà:
- Xem lại các bài tập đã làm.
15
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
- Làm bài tập 5.1 đến 5.31 – Các dạng toán và phương pháp giải Toán 7 (44;45;46)
DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
Bài 1: Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau:
a) 3, 8, 15, 24, 35, ...
b) 3, 24, 63, 120, 195, ...
c) 1, 3, 6, 10, 15, ...
d) 2, 5, 10, 17, 26, ...
e) 6, 14, 24, 36, 50, ...
f) 4, 28, 70, 130, 208, ...
g) 2, 5, 9, 14, 20, ...
h) 3, 6, 10, 15, 21, ...
i) 2, 8, 20, 40, 70, ...
Hướng dẫn:
a) n(n+2)
b) (3n-2)3n
c)
( 1)
2
n n+
d) 1+n
2
e) n(n+5)
f) (3n-2)(3n+1)
g)
( 3)
2
n n+
h)
( 1)( 2)
2
n n+ +
i)
+ +
( 1)( 2)
3
n n n
Bài 2: Tính:
a,A = 1+2+3+…+(n-1)+n
b,A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100
Hướng dẫn:
a,A = 1+2+3+…+(n-1)+n
A = n (n+1):2
b,3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+...+99.100.(101-98)
3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+...+99.100.101-98.99.100
3A = 99.100.101
A = 333300
Tổng quát:
A = 1.2+2.3+3.4+.… + (n - 1) n
A = (n-1)n(n+1): 3
Bài 3: Tính:
A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101
16
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
Hướng dẫn:
A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+...+99(100+1)
A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+...+99.100+99
A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99)
A = 333300 + 4950 = 338250
Tổng quát: A = 1.3+2.4+3.5+...+(n-1)(n+1)
A= (n-1)n(n+1):3 + n(n-1):2
A= (n-1)n(2n+1):6
Bài 4: Tính:
A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102
Hướng dẫn:
A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+...+99(100+2)
A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+...+99.100+99.2
A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+2(1+2+3+...+99)
A = 333300 + 9900
A = 343200
Bài 5: Tính:
A = 4+12+24+40+...+19404+19800
Hướng dẫn:
1
2
A = 1.2+2.3+3.4+4.5+...+98.99+99.100
A= 666600
Bài 6: Tính:
A = 1+3+6+10+...+4851+4950
Hướng dẫn:
2A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100
A= 333300:2
A= 166650
Bài 7: Tính:
A = 6+16+30+48+...+19600+19998
Hướng dẫn:
2A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101
A = 338250:2
A = 169125
Bài 8: Tính:
A = 2+5+9+14+...+4949+5049
Hướng dẫn:
2A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102
A = 343200:2
A = 171600
Bài 9: Tính:
A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100
Hướng dẫn:
17
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+...+98.99.100.(101-97)
4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+...+98.99.100.101-97.98.99.100
4A = 98.99.100.101
A = 2449755
Tổng quát:
A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+(n-2)(n-1)n
A = (n-2)(n-1)n(n+1):4
Bài 10: Tính:
A = 1
2
+2
2
+3
2
+...+99
2
+100
2
Hướng dẫn:
A = 1+2(1+1)+3(2+1)+...+99(98+1)+100(99+1)
A = 1+1.2+2+2.3+3+...+98.99+99+99.100+100
A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99+100)
A = 333300 + 5050
A = 338050
Tổng quát:
A = 1
2
+2
2
+3
2
+...+(n-1)
2
+n
2
A = (n-1) n (n+1):3 + n(n +1):2
A = n(n+1)(2n+1):6
Bài 11: Tính:
A = 2
2
+4
2
+6
2
+...+98
2
+100
2
Hướng dẫn:
A = 2
2
(1
2
+2
2
+3
2
+...+49
2
+50
2
)
Bài 12: Tính:
A = 1
2
+3
2
+5
2
+...+97
2
+99
2
Hướng dẫn:
A = (1
2
+2
2
+3
2
+...+99
2
+100
2
)-(2
2
+4
2
+6
2
+...+98
2
+100
2
)
A = (1
2
+2
2
+3
2
+...+99
2
+100
2
)-2
2
(1
2
+2
2
+3
2
+...+49
2
+50
2
)
Bài 13: Tính:
A = 1
2
-2
2
+3
2
-4
2
+...+99
2
-100
2
Hướng dẫn:
A = (1
2
+2
2
+3
2
+...+99
2
+100
2
)-2(2
2
+4
2
+6
2
+...+98
2
+100
2
)
Bài 14: Tính:
A = 1.2
2
+2.3
2
+3.4
2
+...+98.99
2
Hướng dẫn:
A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+...+98.99(100-1)
A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+...+98.99.100-98.99
A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+...+98.99)
Bài 15: Tính:
A = 1.3+3.5+5.7+...+97.99+99.101
Hướng dẫn:
A = 1(1+2)+3(3+2)+5(5+2)+...+97(97+2)+99(99+2)
18
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
A = (1
2
+3
2
+5
2
+...+97
2
+99
2
)+2(1+3+5+...+97+99)
Bài 16: Tính:
A = 2.4+4.6+6.8+...+98.100+100.102
Hướng dẫn:
A = 2(2+2)+4(4+2)+6(6+2)+...+98(98+2)+100(100+2)
A = (2
2
+4
2
+6
2
+...+98
2
+100
2
)+4(1+2+3+...+49+50)
Bài 17: Tính:
A = 1
3
+2
3
+3
3
+...+99
3
+100
3
Hướng dẫn:
A = 1
2
(1+0)+2
2
(1+1)+3
2
(2+1)+...+99
2
(98+1)+100
2
(99+1)
A = (1.2
2
+2.3
2
+3.4
2
+...+98.99
2
+99.100
2
)+(1
2
+2
2
+3
2
+...+99
2
+100
2
)
A = [1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+...+98.99(100-1)] +(1
2
+2
2
+3
2
+...+99
2
+100
2
)
A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+...+98.99.100-
98.99+(1
2
+2
2
+3
2
+...+99
2
+100
2
)
A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+...+98.99) (1
2
+2
2
+3
2
+...
+99
2
+100
2
)
Bài 18: Tính:
A = 2
3
+4
3
+6
3
+...+98
3
+100
3
Hướng dẫn:
Bài 19: Tính:
A = 1
3
+3
3
+5
3
+...+97
3
+99
3
Hướng dẫn:
Bài 20: Tính:
A = 1
3
-2
3
+3
3
-4
3
+...+99
3
-100
3
Hướng dẫn:
Chuyên đề:TỈ LỆ THỨC-TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ
BẰNG NHAU
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. TỈ LỆ THỨC
1. Định nghĩa:
19
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số
d
c
b
a
=
(hoặc a : b = c : d).
Các số a, b, c, d được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức; a và d là các số hạng ngoài hay
ngoại tỉ, b và c là các số hạng trong hay trung tỉ.
2. Tính chất:
Tính chất 1: Nếu
d
c
b
a
=
thì
bcad
=
Tính chất 2: Nếu
bcad
=
và a, b, c, d
0
≠
thì ta có các tỉ lệ thức sau:
d
c
b
a
=
,
d
b
c
a
=
,
a
c
b
d
=
,
a
b
c
d
=
Nhận xét: Từ một trong năm đẳng thức trên ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại.
II. TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
-Tính chất: Từ
d
c
b
a
=
suy ra:
db
ca
db
ca
d
c
b
a
−
−
=
+
+
==
-Tính chất trên còn mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau:
f
e
d
c
b
a
==
suy ra:
...
=
+−
+−
=
++
++
===
fdb
cba
fdb
cba
f
e
d
c
b
a
(giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa).
* Chú ý: Khi có dãy tỉ số
532
cba
==
ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5.
Ta cũng viết a : b : c = 2 : 3 : 5
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC.
Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biết
32
yx
=
và
20
=+
yx
Giải:
Cách 1: (Đặt ẩn phụ)
Đặt
k
yx
==
32
, suy ra:
kx 2
=
,
ky 3
=
20
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
Theo giả thiết:
4205203220
=⇒=⇒=+⇒=+
kkkkyx
Do đó:
84.2
==
x
124.3
==
y
KL:
12,8
==
yx
Cách 2: (sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau):
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
4
5
20
3232
==
+
+
==
yxyx
Do đó:
84
2
=⇒=
x
x
124
3
=⇒=
y
y
KL:
12,8
==
yx
Cách 3: (phương pháp thế)
Từ giả thiết
3
2
32
y
x
yx
=⇒=
mà
1260520
3
2
20
=⇒=⇒=+⇒=+
yyy
y
yx
Do đó:
8
3
12.2
==
x
KL:
12,8
==
yx
Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết:
43
yx
=
,
53
zy
=
và
632
=+−
zyx
Giải:
Từ giả thiết:
12943
yxyx
=⇒=
(1)
201253
zyzy
=⇒=
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
20129
zyx
==
(*)
Ta có:
3
2
6
203618
32
2036
3
18
2
20129
==
+−
+−
======
zyxzyxzyx
Do đó:
273
9
=⇒= x
x
363
12
=⇒=
y
y
21
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
603
20
=⇒= z
z
KL:
60,36,27
===
zyx
Cách 2: Sau khi làm đến (*) ta đặt
k
zyx
===
20129
( sau đó giải như cách 1 của VD1).
Cách 3: (phương pháp thế: ta tính x, y theo z)
Từ giả thiết:
5
3
53
z
y
zy
=⇒=
20
9
4
5
3
.3
4
3
43
z
z
y
x
yx
===⇒=
mà
6060
10
6
5
3
.3
20
9
.2632
=⇒=⇒=+−⇒=+−
z
z
z
zz
zyx
Suy ra:
36
5
60.3
==
y
,
27
20
60.9
==
x
KL:
60,36,27
===
zyx
Ví dụ 3: Tìm hai số x, y biết rằng:
52
yx
=
và
40.
=
yx
Giải:
Cách 1: (đặt ẩn phụ)
Đặt
k
yx
==
52
, suy ra
kx 2
=
,
ky 5
=
Theo giả thiết:
244010405.240.
22
±=⇒=⇒=⇒=⇒=
kkkkkyx
+ Với
2
=
k
ta có:
42.2
==
x
102.5
==
y
+ Với
2
−=
k
ta có:
4)2.(2
−=−=
x
10)2.(5
−=−=
y
KL:
10,4
==
yx
hoặc
10,4
−=−=
yx
Cách 2: ( sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)
Hiển nhiên x
0
≠
22
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
Nhân cả hai vế của
52
yx
=
với x ta được:
8
5
40
52
2
===
xyx
4
16
2
±=⇒
=⇒
x
x
+ Với
4
=
x
ta có
10
2
5.4
52
4
==⇒=
y
y
+ Với
4
−=
x
ta có
10
2
5.4
52
4
−=
−
=⇒=
−
y
y
KL:
10,4
==
yx
hoặc
10,4
−=−=
yx
Cách 3: (phương pháp thế) làm tương tự cách 3 của ví dụ 1.
BÀI TẬP VẬN DỤNG:
Bài 1: Tìm các số x, y, z biết rằng:
a)
21610
zyx
==
và
2825
=−+
zyx
b)
43
yx
=
,
75
zy
=
và
12432
=−+
zyx
c)
5
4
4
3
3
2 zyx
==
và
49
=++
zyx
d)
32
yx
=
và
54
=
xy
e)
35
yx
=
và
4
22
=−
yx
f)
zyx
yx
z
xz
y
zy
x
++=
−+
=
++
=
++
211
Bài 2: Tìm các số x, y, z biết rằng:
a)
21610
zyx
==
và
2825
=−+
zyx
b)
43
yx
=
,
75
zy
=
và
12432
=−+
zyx
c)
5
4
4
3
3
2 zyx
==
và
49
=++
zyx
d)
32
yx
=
và
54
=
xy
e)
35
yx
=
và
4
22
=−
yx
f)
zyx
yx
z
xz
y
zy
x
++=
−+
=
++
=
++
211
Bài 3: Tìm các số x, y, z biết rằng:
a)
zyyx 57,23
==
và
32
=+−
zyx
b)
4
3
3
2
2
1
−
=
−
=
−
zyx
và
5032
=−+
zyx
c)
zyx 532
==
và
95
=−+
zyx
d)
532
zyx
==
và
810
=
xyz
e)
zyxz
yx
y
xz
x
zy
++
=
−+
=
++
=
++
1321
f)
yx 610
=
và
282
22
−=−
yx
Bài 4 : Tìm các số x, y, z biết rằng:
a)
zyyx 57,23
==
và
32
=+−
zyx
b)
4
3
3
2
2
1
−
=
−
=
−
zyx
và
5032
=−+
zyx
23
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
c)
zyx 532
==
và
95
=−+
zyx
d)
532
zyx
==
và
810
=
xyz
e)
zyxz
yx
y
xz
x
zy
++
=
−+
=
++
=
++
1321
f)
yx 610
=
và
282
22
−=−
yx
Bài 5: Tìm x, y biết rằng:
x
yyy
6
61
24
41
18
21
+
=
+
=
+
Bài 6 : Tìm x, y biết rằng:
x
yyy
6
61
24
41
18
21
+
=
+
=
+
Bài 7: Cho
0
≠+++
dcba
và
cba
d
dba
c
dca
b
dcb
a
++
=
++
=
++
=
++
Tìm giá trị của:
cb
ad
ba
dc
da
cb
dc
ba
A
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
=
Giải:
1
3( ) 3
a b c d a b c d
b c d a c d a b d a b c a b c d
+ + +
= = = = =
+ + + + + + + + + + +
( Vì
0
≠+++
dcba
)
=>3a = b+c+d; 3b = a+c+d => 3a-3b= b- a => 3(a- b) = -(a-b) =>4(a-b) = 0 =>a=b
Tương tự =>a=b=c=d=>A=4
Bài 8: Tìm các số x; y; z biết rằng:
a)
x 7
y 3
=
và 5x – 2y = 87; b)
x y
19 21
=
và 2x – y = 34;
b)
3 3 3
x y z
8 64 216
= =
và x
2
+ y
2
+ z
2
= 14. c)
2x 1 3y 2 2x 3y 1
5 7 6x
+ − + −
= =
Bài 9: Tìm các số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30.
Bài 10: Tìm các số x, y, z biết :
a) x : y : z = 3 : 4 : 5 và 5z
2
– 3x
2
– 2y
2
= 594;
b) x + y = x : y = 3.(x – y)
Giai a) Đáp số: x = 9; y = 12; z = 15 hoặc x = - 9; y = - 12; z = - 15.
b) Từ đề bài suy ra: 2y(2y – x) = 0, mà y khác 0 nên 2y – x = 0, do đó : x =
2y.
Từ đó tìm được : x = 4/3; y = 2/3.
Bài 11. Tìm hai số hữu tỉ a và b biết rằng hiệu của a và b bằng thương của a và b và
bằng hai
lần tổng của a và b ?
Giai. Rút ra được: a = - 3b, từ đó suy ra : a = - 2,25; b = 0,75.
24
Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7
Bài 12: Cho ba tỉ số bằng nhau:
a b c
, ,
b c c a a b
+ + +
. Biết a+b+c
0
≠
.Tìm giá trị của mỗi tỉ
số đó ?
Bài 13. Số học sinh khối 6,7,8,9 của một trường THCS lần lượt tỉ lệ với 9;10;11;8.
Biết rằng số học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em. Tính số học sinh
của trường đó?
Bài 14: Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức:
( )
[ ]
( )
[ ]
0)1(22.2
22
=++−+−
abababdccdabab
thì chúng lập thành một tỉ lệ thức.
Giải:
( ) ( )
2 2
2 . 2 2( 1) 0ab ab cd c d ab ab ab
− + − + + =
=> ab(ab-2cd)+c
2
d
2
=0 (Vì ab(ab-2)+2(ab+1)=a
2
b
2
+1>0 với mọi a,b)
=>a
2
b
2
-2abcd+ c
2
d
2
=0 =>(ab-cd)
2
=0 =>ab=cd =>đpcm
DẠNG II: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨC
Để chứng minh tỉ lệ thức:
D
C
B
A
=
ta thường dùng một số phương pháp sau:
Phương pháp 1: Chứng tỏ rằng A. D = B.C
Phương pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ số
B
A
và
D
C
có cùng giá trị.
Phương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức.
Một số kiến thức cần chú ý:
+)
)0(
≠=
n
nb
na
b
a
+)
nn
d
c
b
a
d
c
b
a
=
⇒=
Sau đây là một số ví dụ minh họa: ( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức
d
c
b
a
=
.Chứng minh rằng:
dc
dc
ba
ba
−
+
=
−
+
Giải:
Cách 1: (PP1)
Ta có:
bdbcadacdcba
−+−=−+
))((
(1)
bdbcadacdcba
−−+=+−
))((
(2)
25
