Chuyên đề BG HSG Toán 7

Chuyên đề I: Các bài toán về tỷ lệ thức
A.Kiến thức cơ bản
1. Học sinh nắm vững định nghĩa, tính chất của tỷ lệ thức, tính chất của dẫy tỷ lệ
thức bằng nhau.
2. Bổ xung:
Nếu:
b
a
=
d
c
=
f
e
= K Thì
K
fKdKbK
eKcKaK
=
++
++
...
...
321
321
B.Các bài toán
Dạng 1:
Tìm thành phần cha biết của tỷ lệ thức (hoặc dẫy tỷ số bằng nhau).
Ví dụ 1: Tìm các số x,y,z biết.
5.x=8.y=20.z và x y - z=3.
**Có thể định hớng học sinh giải theo 3 cách

*Để tìm đợc 3 số x, y, z cần sử dụng tính chất của tỷ lệ thức, tính chất của dẫy tỷ số
bằng nhau. Muốn vậy cần sử dụng giả thiết của bài toán, đi từ giả thiết của bài toán, biến
đổi để xuất hiện các tỷ lệ thức, các tỷ số bằng nhau.
Cách 1.
Vì 5x = 8y
8
x
=
5
y
(1)
8y = 20z
20
y
=
8
z

5
y
=
2
z
(2)
Từ (1) và (2)
8
x
=
5
y

=
2
z

*Sử dụng tính chất của dẫy số bằng nhau biến đổi để sử dụng điều kiện còn lại của
bài toán.
Cách 2:
Vì 5.x = 8.y = 20.z
...
20
1
8
1
5
1
===
zyx
Cách 3:
5x=8y=20z
Cùng chia các tích trên cho BCNN ( 5, 8, 20 ) là 40 ta đợc.

40
20
40
8
40
5 zyx
==

8

x
=
5
y
=
2
z
=
1
Trong các cách giải trên:Cách 1 đơn giản, dễ hiểu nhng hơi dài.
Cách 2: Ngắn song bớc biến đổi tiếp theo lại phức tạp hơn ( Cộng 3 phân số khác mẫu)
Cách 3:Đối với học sinh khá, giỏi phù hợp hơn.
Ví dụ 2: Tìm x, y biết

x
yxyx
6
132
7
23
5
12
+
=

=
+
.
*Hớng dẫn học sinh nhận xét mối quan hệ các biểu thức trong 3 tỷ số từ đó có cách
làm hợp lý:

Một số bài toán:
Bài 1. Tìm 3 số x, y, z biết.

2
3
2
2
1
4
+
=

=
+
zyx
và x.y.z = 12
Bài 2. Tìm x, y biết.

53
2222
yxxy
+
=

và x
10
.
y
10
= 1024

Bài 3. Tìm tỷ lệ 3 cạnh của một tam giác biết rằng nếu cộng lần lợt độ dài từng hai
đợng cao của tam giác đó thì tỷ lệ các kết quả là 5:7:8.
Dạng 2.
Chứng minh tỷ lệ thức.
Từ một tỷ lệ thức có thể chuyển thành đẳng thức đúng giữa hai tích. Học sinh nắm
vững phơng pháp chứng minh tỷ lệ thức, sau này có thể giải quyết tốt dạng toán chứng
minh đẳng thức ở các lớp trên. Do đó khi dạy về tỷ lệ thức cần yêu cầu học sinh khá, giỏi
hiểu và chứng minh đợc các tính chất của tỷ lệ thức và tính chất của dẫy tỷ số bằng nhau.
Ví du 1: Cho tỷ lệ thức
d
c
b
a
=
1 Với a, b, c, d 0
Chứng minh rằng :
c
dc
a
ba

=

Giáo viên định hớng cho học sinh các cách chứng minh.
Cách 1. Dựa vào tính chất của tỷ lệ thức

d
c
b
a

=
a.d = b.c
Để có đợc tỷ lệ thức ( Điều cần chứng minh ) cần có hai tích bằng nhau. Ta biến đổi
tích thứ nhất để có kết quả bằng tích thứ hai.
2
Xét tích (a-b). c = a.c - b.c
= a.c - a.d
= a.(c-d) (Vì
d
c
b
a
=
a.d = b.c Đặt thừa số chung)
Vậy (a-b).c = a.(c-d)
c
dc
a
ba

=

.
Cách 2. Để chứng minh tỷ lệ thức ( Hai tỷ số bằng nhau ) ta chứng minh hai tỷ số đó
bằng tỷ số thứ 3.
Đặt
d
c
b
a

=
= K



=
=
Kdc
Kba
.
.
Nếu có:
K
K
Kb
Kb
Kb
bKb
a
ba 1
.
)1(
.
.

=

=

=

(1)

K
K
Kd
Kd
Kd
dKd
c
dc 1
.
)1(
.
.

=

=

=

(2)
Từ (1) và (2)
c
dc
a
ba

=

.
**GV hình thành cho học sinh cách chứng minh đẳng thức có thể biến đổi cả hai vế
để chúng có cùng một giá trị.
Cách 3. Vì
d
c
b
a
=

c
d
a
b
=
1-
c
d
a
b
=
1

c
dc
a
ba

=

*Hớng dẫn học sinh giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau, cho học sinh nhận xét
các cách giải. Giáo viên chốt lại cách nào hay vận dụng và giải quyết đợc nhiều bài toán
nhất. Tuỳ theo từng bài mà có cách giải hợp lý.
Ví dụ 2. Cho
d
c
b
a
=
( c
d
5
3
).
CMR:
dc
ba
dc
ba
35
35
35
35


=
+
+
.

Cách 1. Sử dụng tính chất của dẫy số bằng nhau.
Cách 2. Chứng minh 2 tỷ số có cùng giá trị.
Đặt
d
c
b
a
=
= K. Khi đó cả hai tỷ số cùng bằng
d
b
.
3
Các bài toán:
Bài 1. Cho b
2
= a.c. Chứng minh rằng.
c
a
cb
ba
=
+
+
22
22
.
Bài 2. Cho
d
c

b
a
=
1 và c 0
CM rằng:
dc
ba
dc
ba
.
.
2
=








.
Bài 3 CM rằng nếu ta có dẫy tỷ số bằng nhau.

2006
2005
4
3
3
2

2
1
...
a
a
a
a
a
a
a
a
====
Thì có thể suy ra đợc biểu thức.

2005
2006432
2005321
2006
1
...
...








++++

++++
=
aaaa
aaaa
a
a
.
Dạng 3.
Tính giá trị của biểu thức.
Ví dụ 1: Cho bốn số a, b, c, d; Sao cho a + b + c + d 0
Biết
K
d
cba
c
bad
b
adc
a
dcb
=
++
=
++
=
++
=
++
Tính giá trị của K.
Cách 1. áp dụng tính chất của dẫy tỷ số bằng nhau ta đợc.

K
dcba
dcba
=
+++
+++ )(3
K = 3
Cách 2. Cộng thêm 1 vào mỗi tỷ số a = b = c = d
K=3
Các bài toán:
Bài 1: Biết
4
,,,
===
c
c
b
b
a
a
Và a
,
+ 3b
,
- 2c
,
0
Tính giá trị của biểu thức P =
,,,

23
23
cba
cba
+
+
Bài 2. Cho M =
zyx
zyx
32
32
+
+
.
Tính giá trị của M biết các số x, y, z tỷ lệ với 5; 4; 3.
Bài 3. Cho các số A, B, C tỷ lệ với các số a, b, c.
4
Chứng minh rằng giá trị của biểu thức. Q =
cbyax
CyBxA
++
++
..

Không phụ thuộc vào giá trị của x,y.

Chuyên đề II: Phơng pháp tam giác bằng nhau
Đối với học sinh lớp 7 bớc đầu làm quen với bài toán chứng minh hình học. Chứng
minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau. Cách làm thông thờng cũng là cách làm đợc
coi là cơ bản đó là: Gắn vào các tam giác, chứng minh các tam giác chứa các yếu tố cần

chứng minh đó bằng nhau. Các tam giác đó có thể là các tam giác có sẵn hoặc phải tạo ra
bằng cách vẽ thêm đờng phụ. Đờng phụ có thể là đoạn thẳng nối hai trung điểm, hạ đờng
vuông góc, song song,vẽ tia phân giác
Ví du1: Cho ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác này các tam giác vuông cân tại A
là ABE và ACF.
a.CM rằng BF = CE và BF CE
b.Gọi M là trung điểm của BC
CM rằng AM =
2
1
EF
Câu a. GV hớng dẫn học sinh những định hớng ban đầu.
Thờng đặt hệ thống câu hỏi theo sơ đồ phân tích đi lên.
Giúp học sinh thấy đợc mối liên hệ giữa kết luận và
giả thiết của bài toán. Những câu hỏi đó học sinh đợc rèn,
tập dợt nhiều lần. Sau này đó chính là những suy nghĩ, t duy
của học sinh khi làm toán.
Sơ đồ phân tích đi lên:
BE = CE
5