Toán tập lồi

Chương 1
Cơ bản về giả tích lồi
1.1 Tập lồi
Các kí hiệu:
- Một vectơ α luôn hiểu là vectơ cột.
T
- Chuyển vị của vectơ α là một vectơ hàng α .
T
- Tích vô hướng của hai vectơ a, b là a, b , a b.
n
- Tập các số thực là R


Định nghĩa 1.1.1
Đường thẳng qua hai điểm a, b trong không gian Euclid

Rn

n
x
∈
R
có dạng:
có là tập hợp tất cả các điểm
x = λ a + (1 − λ )b, λ ∈ R.

Định nghĩa 1.1.2
Đoạn thẳng qua hai điểm a, b trong không gian Euclid

R

n

x ∈ R có dạng:
x
=
λ
a
+
(1
−
λ
)
b
,
0
≤
λ
≤
1.
Định nghĩa 1.1.3

có là tập hợp tất cả các điểm

n

Tập M ⊂ R gọi là đa tạp affin nếu với bất kì 2 điểm
gọi thì đường thẳng qua chúng cũng thuộc M, tức là:
n

λ x + (1 − λ ) y ∈ M , ∀x, y ∈ M , λ ∈ R.

x, y ∈ M


Mỗi đa tạp affin đều có duy nhất một không gian con L song
song với nó tức là:

L = M + a, a ∈ R n .
Thứ nguyên của M cũng là thứ nguyên của L.
Định nghĩa 1.1.4
Siêu phẳng trong

Rn

là tập:

 x = ( x1, x2 ,..., xn ) | x1a + x2 a + ... + xn a = α , 
.


i
a ∈ R, ∀i = 1, n, α ∈ R 

1

2

n

Ví dụ: siêu phẳng trong không gian 2 chiều là đường thẳng,

siêu phẳng trong không gian 3 chiều là mặt phẳng.


Bài tập: Siêu phẳng có phải là đa tạp?
Cho siêu phẳng Q, ta có:

∀x, y ∈ Q, λ ∈ R :

λ x + (1 − λ ) y = ( λ x1 + y1 − λ y1 ,..., λ xn + yn − λ yn )
⇒ a1 ( λ x1 + y1 − λ y1 ) + ... + a n ( λ xn + yn − λ yn )
= λ ( x1a1 + ... + xn a n ) − λ ( y1a1 + ... + yn a n ) + ( y1a1 + ... + yn a n )
= λα − λα + α = α
⇒ λ x + (1 − λ ) y ∈ Q.
Vậy Q là đa tạp.


Định nghĩa 1.1.5
Nửa không gian đóng trong

Rn

là tập:

 x = ( x1, x2 ,..., xn ) | x1a1 + x2 a 2 + ... + xn a n ≤ α , 
.


i
a ∈ R, ∀i = 1, n, α ∈ R 


n
Nửa không gian mở trong R là tập:
 x = ( x1, x2 ,..., xn ) | x1a + x2 a + ... + xn a < α , 
.


i
a ∈ R, ∀i = 1, n, α ∈ R 

1

2

n

Đây là các nữa không gian xác định bởi siêu phẳng:

x1a + x2 a + ... + xn a = α
1

2

n


Hai nữa không gian đóng, mở nằm bên kia siêu phẳng:

x1a + x2 a + ... + xn a ≥ α
1

2

n

x1a + x2 a + ... + xn a < α
1

2

n

Định nghĩa 1.1.6 ( tập lồi)
Tập D ⊂ R n gọi là tập lồi nếu ∀x, y ∈ D, λ ∈

λ x + (1 − λ ) y ∈ D
Định nghĩa 1.1.7 (nón lồi)
Tập D ⊂ R n gọi là tập lồi nếu

∀x, y ∈ D, thì

x + y ∈ D, tx ∈ D, t ≥ 0.
Ví dụ 1.1.2

Rn

là nón lồi

[ 0,1]

Bài tập: Nón lồi là tập lồi?
Cho D là nón lồi:

∀x, y ∈ D, λ ∈ [ 0,1] :
λ x ∈ D
⇒
( 1 − λ ) y ∈ D
⇒ λ x + ( 1− λ ) y ∈ D
Vậy D là tập lồi.


Định nghĩa 1.1.8 ( Bao lồi )
Bao lồi của A là tập lồi nhỏ nhất chứa A, kí hiệu

coA.

Ví dụ 1.1.3

A = { x, y} → coA = { λ x + (1 − λ ) y | 0 ≤ λ ≤ 1}
Định nghĩa 1.1.9 ( Tổ hợp lồi của hai tập )
n
R
,
Cho A, B ⊂ R , tổ hợp lồi của chúng là tập các điểm thuộc
n

có dạng

x = λ a + (1 − λ )b; a ∈ A, b ∈ B, 0 ≤ λ ≤ 1.

Bài tập: Tổ hợp lồi là tập lồi?
Tổ hợp lồi có thể không là tập lồi
Ví dụ:
3

Trong R :
Xét đường tròn đơn vị trong siêu phẳng xOy, lấy 1 điểm E ( 0,0,1)
nằm trên trục Oz. Thì tổ hợp lồi của 2 tập đó là một mặt nón,
mà mặt nón thì không phải là tập lồi


Định lý 1.1.1
Tập lồi là đóng với phép giao, cộng, phép nhân với một số
phép lấy tổ hợp tuyến tính. Tức là, nếu A, B là hai tập lồi trong
R n thì ta có các tập sau đây cũng lồi:

i)

A ∩ B := { x | x ∈ A, x ∈ B}

ii ) λ A + β B := { x | x = λ a + β b, a ∈ A, b ∈ B, λ , β ∈ R}
Định nghĩa 1.1.10
Thứ nguyên của một tập lồi A là thứ nguyên của đa tạp affin
nhỏ nhất chứa A, gọi là bao affin của A, kí hiệu aff A. Thứ
nguyên của tập lồi A kí hiệu là dim A


Nhận xét 1.1.1
n

Nếu A ⊂ R thì
Chứng minh:

dim A ≤ n.

∀a, b ∈ A, λ ∈ R
⇒ λ a + (1 − λ )b ∈ A

Suy ra tồn tại duy nhất không gian con của đa tạp affin A,
song song với nó.
n

M 1 = A + a, a ∈ R .

Khi đó: dim A = dim M 1 , M 1 ⊂ A ⊂ R n
Tương tự ta có:
Suy ra:

dim A = dim M n , M n ⊂ .... ⊂ M 1 ⊂ A ⊂ R n
∃n0 ≤ n : dim A = dim M n = n0
⇒ dim A ≤ n.


Định nghĩa 1.1.11.
Tập hợp các điểm trong tương đối của một tập
là tập hợp:

riA := { x ∈ affA | ∃U ,U ∩ affA ⊂ A}
Trong đó U là lân cận mở của x.
Bài tập

Nếu A ≠ ∅ và lồi thì

riA ≠ ∅.


Định nghĩa 1.1.12. Một tập hợp được gọi là lồi đa diện
( khúc
lồiNhư
) nếuvậy
nó một
là giao
hữu
cáchợp
nữacác
không
gian đóng.
khúc
lồihạn
là tập
bất đẳng
thức dạng:

a11 x + a12 x + ... + a1n x ≤ b1
1

2

n

....

am1 x1 + am 2 x 2 + ... + amn x n ≤ bm
Hệ này có thể viết dưới dạng:

 a11 a12

a
a
21
22

A=
 ... ...

 am1 am 2

... a1n 
 x1 
 b1 
÷
 ÷
 ÷
... a2 n ÷
x
b
2
2 ÷

÷

,x =

,b =
.
 ... ÷
 ... ÷
... ... ÷
÷
 ÷
 ÷
... amn 
 xm 
 bm 


Nhận xét 1.1.2. Khúc lồi là một tập đóng, có thể không bị chặn.
Thật vậy:
- Khúc lồi là giao hữu hạn của các nữa không gian đóng nên nó
là tập đóng. Có thể không bị chặn
Ví dụ:
2
Trong R : Xét nữa không gian đóng

A := { ( x, y ) ∈ R 2 | 0 x + y ≤ 0} , B := { ( x, y ) ∈ R 2 | x + 0 y ≤ 0}

Khi đó giao của chúng là góc góc phần tư thứ 3, là lồi đa diện
nhưng không bị chặn
Định nghĩa 1.1.13. Một khúc lồi bị chặn gọi là đa diện lồi.
Một tập con A’ của A được gọi là một diện nếu:

∀a, b ∈ A, x = λ a + (1 − λ )b, 0 ≤ λ ≤ 1,
x ∈ A ' ⇒ a, b ∈ A '.

Nhận xét 1.1.3. Mỗi diện của một tập lồi đa diện cũng là tập
lồi đa diện.


Một diện có thứ nguyên 0 gọi là một đỉnh. Cạnh là diện có
thứ nguyên bằng 1.
Định nghĩa 1.1.14.
Điểm x ∈ C được gọi là điểm cực biên của C ( C không nhất
thiết lồi) nếu C không có đoạn thẳng nào nhận x làm điểm trong.
Định nghĩa 1.1.15.
Một vectơ h ≠ 0 được gọi phương vô hạn của tập C nếu:

x + λ h ⊂ C , ∀x ∈ C , ∀λ > 0.


Định lý 1.1.2.
i) Một khúc lồi không chứa trọn một đường thẳng đều có ít
nhất một đỉnh.
ii) Mọi khúc lồi A có đỉnh đều là tập:



i
j
A :=  x = ∑ λi v + ∑ β j d | ∑ λi =1, β j ≥ 0 
i∈I
j∈J
i∈I



Trong đó:

v ∈ {Tập I đỉnh}
i

d j ∈ {Tập J phương vô hạn}


Chú ý 1.1.4.
i)Nếu khúc lồi A bị chặn thì A chỉ là tổ hợp lồi của các
đỉnh (tập I đỉnh):



i
A :=  x = ∑ λi v | ∑ λi =1
i∈I
i∈I



ii) Nếu D là tập lồi đa diện ( khúc lồi ) thì D có thể biển diễn
Trong đó:

D = E + D0

E là không gian con
D0 là khúc lồi có đỉnh.

Định nghĩa 1.1.16.

{

Ta nói siêu phẳng H = x | v, x = α

}

tách 2 tập A, B nếu:

v, a ≤ α , v, b ≥ α , ∀a ∈ A, ∀b ∈ B.

(1.1)

Ta nói H tách hẳn A và B nếu ( 1.1) có ít nhất một bất đẳng
thức thật sự.
Định lý 1.1.3.
Cho A là một tập lồi đóng và
0
A
,
x
.
siêu phẳng tách

x ∈ A, lúc đó tồn tại một
0


Hệ quả 1.1.4 ( Bổ đề Ferkas )

n
Cho a ∈ R và A là ma trận cấp m x n. Khi đó:

a, x ≥ 0, ∀x

thỏa mãn

Ax ≥ 0 ⇔ ∃y ≥ 0 : a = AT y.


Nhận xét 1.1.5
Ý nghĩa hình học của bổ đề siêu phẳng đi qua gốc tọa độ

a, x = 0 tách nón { x | Ax ≥ 0} về một phía vectơ pháp

a của siêu phẳng thuộc nón sinh bởi các hàng của ma trận A.