Bài tập hình học không gian lớp 12 (3)

CHUYÊN ĐỀ THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ TRONG HÌNH
HỌC KHÔNG GIAN LỚP 12

DẠNG: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ ĐỨNG

Công thức tính thể tích khối lăng trụ:

h

B : dieän tích ñaùy
h : chieàu cao

V= B.h với 
Lăng trụ đứng tứ giác

Lăng trụ đứng tứ giác

Kiến thức cần biết về khối lăng trụ đứng
+ Hai đa giác đáy nằm trong hai mp song song
+ Các mặt bên là các hình chữ nhật , các cạnh bên đều bằng nhau và vuông góc vớ
đáy
+ Đường cao chính là cạnh bên
Đặc biệt:
+ Lăng trụ tam giác đều thì hai đáy là các tam giác đều
+ Lăng trụ tứ giác đều thì hai đáy là các hình vuông
+ Hình hộp chữ nhật là lăng trụ đứng, đáy là hình chữ nhật
Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.cvới a,b,c là ba kích thước

c
b

a

+ Hình lập phương là lăng trụ đứng, tất cả các mặt đều là hình vuông bằng nhau
Thể tích khối lập phương: V = a3 với a là độ dài cạnh
Ví dụ minh họa:


Ví dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A
có cạnh đáy BC = a 2 và biết A'B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ
Cách giải:
+ Biểu diễn hình vẽ :
• Biểu diễn tam giác ABC vuông cân tại A bằng tam giác thường
• Từ các đỉnh tam giác dựng thẳng đứng các đường thẳng song ,
trên đó lấy A’,B’,C’ sao cho A’B’//AB ,B’C’//BC ….. → có
hình biểu diễn lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’
+

Phân tích:

• Để tính thể tích phải áp dụng công thức nào? (V = B.h)
• B và h trong hình là các đối tượng nào ? Tại sao?

a 2

• Đề bài đã cho B và h chưa ? ∆ ABC vuông cân,biết cạnh đáy có tính được diện tích
không ?
(Biết cạnh đáy → tính được cạnh bên → tính được diện tích)
•Chiều cao AA' của lăng trụ là cạnh của tam giác nào?Tính được không ?Áp dụng định lí
gì ?
(Tam giác vuông biết cạnh huyền và cạnh góc vuông → tính được

còn
A' cạnh góc vuông C'
lại)
Lời giải: Ta có

B'

• ∆ABC vuông cân tại A nên AB = AC = a .

3a

• ABC .A'B'C' là lăng trụ đứng ⇒ AA' ⊥ AB
∆AA'B ⇒ AA'2 = A'B2 − AB2 = 8a2 ⇒ AA' = 2a 2

• Vậy V = B.h = SABC .AA' = a 2
Nhận xét: Những hạn chế yếu – kém của học sinh :

A

3

C
a

•Không biết những thao tác để biểu diễn một lăng trụ đứng tam giác,
∆ ABC vuông cân vẽ như trong hình học phẳng
• Không xác định được chiều cao của lăng trụ đứng

B

• Không biết dùng định lí nào để tính chiềo cao lăng trụ (không nhớ tam giác vuông cân
là một nửa hình vuông)

Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại
B với BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC một góc 600 .Tính thể tích lăng trụ.
C'

A'

Cách giải:
+Biểu diễn hình vẽ :

B'

Biểu diễn một lăng trụ đứng tam giác như ví dụ 1
+Phân tích:
• Để tính thể tích phải áp dụng công thức nào?

C

A

• B và h trong hình là các đối tượng nào ? Tại sao?
• Tính diện tích đáy là ∆ ABC vuông cân tại B với BA = BC = a

60o
B

có dễ dàng không ?

• Xác định góc giữa A'B và đáy ABC? → Tính được chiều cao AA’
Lời giải:
• Ta có A 'A ⊥ (ABC) ⇒ A 'A ⊥ AB& AB là hình chiếu của A'B trên đáy ABC.
Vậy ¼
ABA ' = 60o
• ∆ABA ' ⇒ AA ' = AB.tan 600 = a 3
• SABC =

1
a2
a3 3
BA.BC = . Vậy V = SABC.AA' =
2
2
2

Nhận xét: Đa số học sinh không xác định được góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Ví dụ 3: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC')
hợp với đáy (ABCD) một góc 60o.Tính thể tích khối lăng trụ đó.
Cách giải:
+Biểu diễn hình vẽ :
Dựng lăng trụ đứng tứ giác mà đáy là hình vuông
+Phân tích:


• Để tính thể tích phải áp dụng công thức nào?
• B và h trong hình là các đối tượng nào ?
• Đáy là hình vuông cạnh a → tính diện tích đáy dễ dàng
• Tính chiều cao ? → cần xác định góc giữa mặt phẳng (BDC') và đáy (ABCD) là góc

nào ?
¼
Gọi O = AC ∩ BD → quan hệ giữa C’O, CO với BD → COC'
= 60o → tính được CC’
trong ∆ CC’O
D'

C'

Lời giải:

A'

B'

• Gọi O là tâm của ABCD . Ta có ABCD là hình vuông nên OC ⊥ BD
¼
CC' ⊥ (ABCD) nên OC' ⊥ BD (đl 3 ⊥ ). Vậy góc COC'
= 60o

• ABCD là hình vuông nên SABCD = a2
3
• VOCC' vuông nên CC' = OC.tan60o = a 6 . Vậy V = a 6
2
2

 Nhận xét:

C

D

60 0

O
B

Những hạn chế yếu – kém của học sinh :

a

• Không hình dụng được khái niệm lăng trụ tứ giác đều nên không biểu diễn được hình
vẽ ban đầu
• Học sinh không xác định được góc giữa 2 mặt phẳng nên không tính được đường cao
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều biết rằng tất cả các cạnh của lăng trụ
bằng a. Tính thể tích và tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ.
ĐS: V =

a3 3
; S = 3a2
4

Bài 2: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có khoảng cách từ A đến mặt phẳng
(A'BC) bằng a và AA' hợp với mặt phẳng (A'BC) một góc 300 .Tính thể tích lăng trụ
ĐS: V =

32a 3
9

Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và
BD' = a . Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
1) BD' hợp với đáy ABCD một góc 60o .

A


2) BD' hợp với mặt bên (AA'D'D) một góc 30o . Đs: 1)V =

a3 3
a3 2
2)V =
16
8

Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABCD .A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a
Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
1)Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 60o .
2)Tam giác BDC' là tam giác đều.
3)AC' hợp với đáy ABCD một góc 450
a3 6
Đs: 1) V =
; 2) V = a 3 ; V = a 3 2
2

Bài 5: (Đề Tuyển sinh ĐH-CĐ – khối D -2009) Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là
tam giác vuông tại B ,AB=a,AA’=2a,A’C=3a.Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng
A’C’ ,I là giao điểm của AM và A’C .Tính theo thể tích khối tứ diện IABC và khoảng
cách từ điểm A đến mp(IBC)


DẠNG 2: THỂ TÍCH LĂNG TRỤ CẠNH BÊN KHÔNG VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY

h
B

Công thức tính thể tích khối lăng trụ:
B : dieän tích ñaùy
h : chieàu cao

V= B.h với 

h

Kiến thức cần biết:
+ Lăng trụ có đáy là hình bình hành là hình hộp
+ Đường cao là đoạn vuông góc kẽ từ một đỉnh của đáy này đến đáy kia
Chú ý: Lăng trụ có cạnh bên không vuông góc với đáy,khi đó thường gặp cạnh bên
hoặc mặt bên sẽ tạo với đáy một góc α ( 00 < α <900)
Ví dụ minh họa:


Ví dụ 1: Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình
chiếu của A' xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp
với đáy ABC một góc 60 .
1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.

A'

C'

2) Tính thể tích lăng trụ
Cách giải:

B'

+Biểu diễn hình vẽ :
+ Dựng tam giác đều ABC và tâm O của nó .
+ Dựng đường cao OA'. Từ đó dựng các cạnh bên của lăng trụ. A
+Phân tích:

60 o
a

a) • Theo đề bài ta có ngay BB'C'C là hình gì ?

C

O

H
B

• Để chứng minh hình chữ nhật ta cần có thêm yếu tố nào?
b) • Xác định góc giữa cạnh bên AA' với đáy ABC : Hình chiếu
c) của AA' trên (ABC) là gì?

¼ ' = 60o
→ OAA

• Theo đề bài thì đường cao của lăng trụ là đoạn nào? Tại sao?

• Tính AA’ trong tam giác vuông nào ? và dùng hệ thức lượng giác nào ?
Lời giải:
a) Chứng minh BB'C'C là hình chữ nhật.
• Ta có BB'CC' là hình bình hành ( vì mặt bên của lăng trụ)
• AO ⊥ BC tại trung điểm H của BC nên BC ⊥ A 'H (đl 3

⊥)

⇒ BC ⊥ (AA 'H) ⇒ BC ⊥ AA ' mà AA'//BB' nên BC ⊥ BB' .Vậy BB'CC' là hình chữ nhật.

d) Tính thể tích lăng trụ
• Ta có A 'O ⊥ (ABC) ⇒ OA là hình chiếu của AA' trên (ABC)
2
2a 3 a 3
=
• VABC đều nên AO = AH =
3

3 2

3

a3 3
VAOA ' ⇒ A 'O = AO t an60o = a . Vậy V = SABC.A'O =
4

¼ ' = 60o
⇒ OAA

Nhận xét:

Những hạn chế yếu – kém của học sinh :

• Đa số học sinh đều biểu diễn hình vẽ là lăng trụ đứng
• Không biết các khái niệm hình chiếu của một điểm trên mp ,tâm đường tròn ngoại
tiếp ...
nên không xác định đường cao A’O
•Không xác định được góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy
•Không biết các hệ thức lượng giác trong tam giác vuông để tìm độ dài chiều cao lăng
trụ.
Ví dụ 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB = 3 ,AD = 7
.Hai mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc 45 0 và 600. . Tính
thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1.
Cách giải:

D'
C'

+Biểu diễn hình vẽ :

A'

• Biểu diễn đáy hình chữ nhật ABCD là hình bình hành

B'

• Chú ý : theo đề bài đây không phải là hình hộp đứng , nên
D

các cạnh bên phải biểu diễn nghiêng so với mp nằm ngang (ABCD)

C

N

+Phân tích:
• Tìm diện tích đáy hình chữ nhật ABCD không có gì khó

A

H
M

B

khăn khi đã biết hai cạnh kề của hình chữ nhật
• Xác định đường cao của hình hộp trong trường hợp không
phải là hình hộp đứng ?
+Từ A’ (hay B’,C.,D’ ) dựng đường cao để từ đó cho ta xác định tiện lợi góc giữa hai
mp ?
+ Dựng A’H ⊥ (ABCD) , HM ⊥ AB, HN ⊥ AD → góc giữa (ABB’A’) và (ADD’A’) lần
lượt tạo với đáy những góc 450 và 600 là các góc nào ?
• Tìm h = A'H không dùng trực tiếp tam giác vuông nào được ? Đặt x = A'H
→ Dùng hai tam giác nào bởi định lý gì để tạo ra phương trình theo x ?


Lời giải:
• Kẻ A’H ⊥ ( ABCD) ,HM ⊥ AB, HN ⊥ AD ⇒ A' M ⊥ AB, A' N ⊥ AD (đl 3 ⊥ )
¼

⇒¼
A'MH = 45o ,A'NH
= 60o

• Đặt A’H = x . Khi đó A’N = x : sin 600 =
AN =

2x
3

3 − 4x 2
AA' − A' N =
= HM Mà HM = x.cot 450 = x
3
2

Nghĩa là x =

2

3 − 4x 2
⇒x=
3

3
• Vậy VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x =
7

3. 7.

3
=3
7

Nhận xét: Những hạn chế yếu – kém của học sinh :
• Không biết khái niệm hình hộp nên hầu hết học sinh đi vẽ hình hộp đứng → xác định
sai đường cao .
• Học sinh không xác định được góc giữa 2 mặt bên với đáy hộp.
• Học sinh không tạo ra được phương trình đại số có ẩn số là chiều cao của hộp.
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho lăng trụ ABC .A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết chân đường
vuông góc hạ từ A' trên ABC trùng với trung điểm của BC và AA' = a.
1)
2)

Tìm góc hợp bởi cạnh bên với đáy lăng trụ.
Tính thể tích lăng trụ.

a3 3
Đs: 1) 30 2) V =
8
o

Bài 2: Cho lăng trụ ABCD .A'B'C'D'có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và biết cạnh
bên bằng 8 hợp với đáy ABC một góc 30o.Tính thể tích lăng trụ. Đs: V =336
Bài 3: Cho lăng trụ xiên ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O. Hình chiếu
của C' trên (ABC) là O.Tính thể tích của lăng trụ biết rằng khoảng cách từ O đến CC' là a
và 2 mặt bên AA'C'Cvà BB'C'C hợp với nhau một góc 90o
Đs: V =

27a 3
4 2

Bài 4: (Đề Tuyển sinh ĐH-CĐ – khối A -2008)
Cho lăng trụ ABC .A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a ,đáy ABC là tam giác vuông tại
A ,AB=a,AC=a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A trên mp(ABC) là trung điểm của


cạnh BC. Tính thể tích theo a khối chóp A’.ABC và tính cosin của góc giữa hai đường
thẳng AA’,B’C’

DẠNG 3: PHÂN CHIA,LẮP GHÉP KHỐI ĐA DIỆN ĐỂ TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA
DIỆN

Phương pháp:
Khi tính thể tích khối đa diện , nhiều khi ta không thể tính trực tiếp theo công thức mà
phài chia khối đa diện đó thành các khối lăng trụ hoặc các khối chóp đơn giản hơn hoặc
ghép thêm vào các khối đa diện quen biết để được khối đa diện đơn giản .
Ví dụ minh họa:
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a. Tính thể tích khối tứ diện
ACB’D’.
A
Cách giải:

B

D

C

+ Biểu diễn hình vẽ :
A'

+ Phân tích:

D'

B'

C'


• Khi nối A,C,B’D’ với nhau để được tứ diện ACB’D’
khối lập phương được chia thành các khối tứ diện nào?
• Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ coi như các
hình chóp đỉnh C’,B’….Hãy nhận xét diện tích đáy và chiều cao các khối đó ? → thể tích
các khối đó ?
• Thể tích khối tứ diện ACB’D’ bằng thể tích khối nào trừ thể tích các khối nào → ĐS
Lời giải:
• Hình lập phương được chia thành: khối ACB’D’ và bốn khối CB’D’C’, BB’AC,
D’ACD, AB’A’D’.
• Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ có diện tích và chiều cao bằng nhau nên
có cùng thể tích.
• Khối CB’D’C’ có V1 =

1 1 2
1
. a .a = a 3
3 2
6

•Khối lập phương có thể tích:

V2 = a 3

. VACB ' D ' = a3 − 4.

1 3 1 3
a = a
6
3

Nhận xét:
• Từ lời giải trên ta có ngay tỉ số thể tích của khối lập phương và khối tứ diện ACB’D’ là
3
• Ví dụ này lấy từ bài tập 3 trang 25 sách hình học 12 : Cho hình hộp
ABCD.A’B’C’D’ .Tính tỉ số thể tích của khối hộp đó và thể tích khối tứ diện ACB’D’.
• Nếu đề bài như vậy,tôi nhận thấy là một khó khăn lớn cho học sinh khi phân chia khối
đa diện nên để học sinh tiếp cận ,định hướng cách giải tốt bài 3 tôi đã thay đổi giả thiết
“hình hộp” thành “hình lập phương cạnh a”
• Có thể tính trực tiếp thể tích khối tứ diện ACB’D’ được không ?.
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho hình lăng trụ đứng tam giác có các cạnh bằng a.
a) Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC.
b) E là trung điểm cạnh AC, mp(A’B’E) cắt BC tại F. Tính thể tích khối CA’B’FE.
Đs : VCA'B'FE

a3 3
=
16

Bài 2: (Đề Tuyển sinh ĐH-CĐ – khối D -2010)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,cạnh bên SA =a , hình
chiếu vuông góc của S trên mp(ABCD) là điểm H thuộc đoạn AC AH=

AC
.Gọi
4

CM là

đường cao của ∆ SAC .Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khối tứ diện
SMBC theo a
Nhận xét: Bài tập này lấy từ bài 10 trang 27 sách hình học 12 thay đổi một số giả
thiết. E là trung điểm thay cho trọng tâm G để bài toán dễ hơn, phù hợp với khả năng của
học sinh.