Chủ đề tự chọn : Một số dạng toán liên quan đến tứ giác nội tiếp

CHỦ ĐỀ 2
MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN TỨ GIÁC NỘI TIẾP
<I>.Mục tiêu:
-Củng cố các đònh nghóa góc ở tâm,góc nội tiếp,góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây
cung,góc có đỉnh ở trong hay ngoài đường tròn .tứ giác nội tiếp.
-Rèn kó năng vận dụng các kiến thức trên để giải một số dạng toán về tứ giác nội tiếp.
-Bồi dưỡng tính cẩn thận,chính xác ,tư duy linh hoạt trong giải toán.
<II>.Thời lượng: 6 tiết.
<III>.Loại chủ đề: Bám sát
<IV>.Tài liệu tham khảo. SGK đại số 9 + SBT tốn 9 + nâng cao và phát tiển tốn 9
<V>.Nội dung
A.TÓM TẮT LÍ THUYẾT CƠ BẢN :
1.Các loại góc liên quan đến đường tròn.
HÌNH VẼ TÊN GÓC SỐ ĐO
m
B
A
O
Góc ở tâm
·
¼
®AmBAOB s=
m
O
B
A
E
Góc nội tiếp
·
¼
1

®AmB
2
AEB s=
B
A
x
y
O
Góc tạo bởi tia tiếp tuyến
và dây cung
·
¼
1
®AmB
2
xAB s
=
E
n
C
B
m
D
A
O
Góc có đỉnh ở bên trong
đường tròn
·
¼
¼

®AmD ®BnC
2
s s
AED
+
=
O
n
m
D
B
A
C
E
Góc có đỉnh ở bên ngoài
đường tròn
·
¼
¼
®BnD ®AmC
2
s s
BED
−
=
2.Tứ giác nội tiếp:

O

N

M

D

C

B

A

I

-Đònh nghóa:Tứ giác có 4 đỉnh cùng thuộc một đường tròn được gọi là tứ giác nội tiếp
đường tròn
-Đònh lí:Trong một tứ giác nội tiếp,tổng số đo hai góc đối diện bằng 180
0
-Đònh lí đảo:Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180
0
thì tứ giác đó
nội tiếp được trong một đường tròn.
*Dấu hiệu nhận biết một tứ giác nội tiếp.
+Tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180
0
+Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
+Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới hai góc
bằng nhau.
+Tứ giác có 4 đỉnh cùng cách đều một điểm.Điểm đó chính là tâm của đường tròn
đi qua 4 đỉnh của tứ giác
B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN

Tiết 1-2
Dạng 1: Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn
Ví dụ 1:.Cho AB,CD là hai dây không cắt nhau của đường tròn (O).Gọi I là điểm
chính giữa của cung AB.Hai dây IC,ID lần lượt cắt dây AB tại M và N.
Chứng minh rằng :Tứ giác MNDC nội tiếp được trong một đường tròn.
Hướng dẫn:
Vì I là điểm chính giữa của cung AB
º º
IA IB⇒ =

·
º
=
1
ã:MCD ®ID (§/l gãc néi tiÕp)
2
Tac s

·
º
»
º
»
º
= +
+
1
( ®AI ®BD) (Gãc cã ®Ønh bªn trong ® êng trßn)
2
1 1

= ( ®IB ®BD)= ®ID
2 2
BND s s
s s s
·
·
⇒ =MCD BND

·
·
+ =
0
Ỉt kh¸c:BND 180 ( × kỊ bï)M DNM V

·
·
⇒ + =
0
MCD 180DNM
Vậy tứ giác CDNM nội tiếp đường tròn

Q

P

M

H

C

B

A

O


C
D
B
Q
A
O
P

O

F

K

C

B

A

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC, vẽ các đường cao BK, CF cắt nhau tại O.Chứng minh
các tứ giác AFOK; BFKC nội tiếp đường tròn

Hướng dẫn:
•
Ta có:
·
·
0
AFO 90AKO= =
·
·
0 0 0
AFO 90 90 180AKO⇒ + = + =
Vậy tứ giác AFOK nội tiếp đường tròn
•
Ta có :
·
·
0
90BFC BKC= =
⇒
F, K cùng thuộc đường tròn đường kính BC
⇒
Tứ giác BFKC nội tiếp đường tròn đường kính BC
Ví dụ 3 Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O) có AB=BD.Tiếp tuyến
của (O) tại A cắt đường thẳng BC tại P.Giao điểm của các đường thẳng AB và CD là
Q.Chứng minh rằng tứ giác APQC nội tiếp được trong một đường tròn.
Hướng dẫn:

•
AB=BD (gt) nên
»

»
AB BD
=

•
Ta có:

·
»
·
»
»
»
»
·
·
=
 
= + =
 ÷
 
⇒ =
1
PAQ ®AB (§/l gãc t¹o bëi tia tiÕp tun vµ d©y cung)
2
ãc cã ®Ønh bªn
1 1 1
( ®BC ®DC) = ®BD ®AB
2 2 2 trong ® êng trßn
PAQ . Ëy tø gi¸c APQC néi tiÕp ® êng trßn

s
G
PCQ s s s s
PCQ V

?1
Hãy tím cách khác để chứng minh tứ giác APQC nội tiếp
Ví dụ 4: Cho tam giác đều ABC có đường cao AH, M là một điểm trên cạnh BC ( M
khơng trùng với B và C) . Gọi P,Q theo thứ tự là chân các đường vng góc kẻ từ M đến
AB,AC. Chứng minh năm điểm A, P , M, H , O cùng thuộc một đường tròn
Hướng dẫn
Gọi O là trung điểm của AM
1
2
AO MO AM
⇒ = =
Trong tam giác AHM vng tại H, có HO là đường trung tuyến ứng
Với cạnh huyền AM
1
2
HO AM
⇒ =
Tương tự , trong tam giác vng APM và AQM ta cũng có:

1 1
;
2 2
PO AM QO AM
= =

F

E

D

C

B

A

O'

O


M

F

E

D

C

B

A


E

B

F

O'

O

D

C

A

Suy ra:
1
2
AO MO HO PO QO AM
= = = = =
. Vậy 5 điểm A,P,H,M, Q cùng thuộc
đường tròn đường kính AM.
?2
Tứ giác HPOQ là hình gì? Vì sao?
?3
Điểm M ở vị trí nào trên cạnh BC để PQ có độ dài nhỏ nhất?

Bài tập làm ở nhà:
Bài 1:Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Đường kính AC cuae
đường tròn (O) cắt đường tròn (O’) tại điểm thứ hai E. Đường kính AD của đường tròn (O’)
cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F.
a) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp.
b) Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng
và tứ giác OO’EF nội tiếp.
Hướng dẫn:
a) Chứng minh tứ giác có hai đỉnh kề nhau
Cùng nhìn cạnh nối hai đỉnh còn lại dưới một góc vuông
b) Chứng minh
·
·
0
180ABC ABD+ =
Bài 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC
và BD cắt nhau tại E. Vẽ EF vuông góc với AD (F thuộc AD) . Gọi M là trung điểm của
DE. Chứng minh rằng:
a) Các tứ giác ABEF ; CDFE nội tiếp.
b) CA là tia phân giác của góc BCF
c) Tứ giác BCMF nội tiếp.
Hướng dẫn:
a)
Chứng minh tổng hai góc đối diện bằng 180
0
b)
Chứng minh
· ·
BCA FCA
=

c)
Chứng minh
·
·
BCF BMF=
Tiết 3-4
Dạng 2: Sử dụng tứ giác nội tiếp giải các bài toán hình học
Ví dụ 1: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ một đường thẳng
qua A cắt đường tròn (O) tại C và cắt đường tròn (O’) tại D. Vẽ một đường trẳng qua B cắt
đường tròn (O) tại E và cắt đường tròn (O’) tại F ( Hai đoạn thẳng CD và EF không cắt
nhau). Chứng minh rằng CE//DF
Hướng Dẫn


y


x


O


E


D


C

B


A




y


x


O


E


D


C


B

A


F

H

Vẽ dây cung AB, ta có
·
·
keà buø vôùi CABDAB
nên
·
·
0
180CAB DAB+ =
Tứ giác ABEC là tứ giác nội tiếp nên:
·
·
0
180CAB CEB+ =
·
·
CEB DAB⇒ =

Tứ giác ABFDlà tứ giác nội tiếp nên:
·
·
·

·
0 0
180 180 //DAB DFB CEB DFB CE DF+ = ⇒ + = ⇒

?2
Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ một đường thẳng qua A
cắt đường tròn (O) tại C và cắt đường tròn (O’) tại D.Vẽ dây CE của đường tròn (O) và dây
DF của đường tròn (O’) sao cho CE//DF. Chứng minh ba điểm E,B,F thẳng hang
Ví dụ 2: Cho (O;R) và dây BC< 2R cố định ; Điểm A chạy trên cung lớn BC. Gọi D
là hình chiếu của B trên AC; E là hình chiếu của C trên AB; đường thẳng xy là tiếp tuyến tại
A của đường tròn (O;R).
a)Chứng minh rằng :xy//ED và DE
⊥
AO
b) Gọi H là giao điểm của BD và CE ,AH cắt BC tại F.
Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.
Hướng dẫn:
Xét tứ giác BEDC ta có:

·
·
0
90BEC BDC= =

⇒
E, D thuộc đường tròn đường kính BC
⇒
Tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn đường kính BC
·
·

AED ACB⇒ =
(1)
Mặt khác :Góc xAB là góc tạo bởi tia tiếp tuyến Ax và dây cungAB nên
·
»
1
2
xAB sñ AB=
Góc ACB là góc nội tiếp chắn cung AB nên
·
»
1
2
ACB sñ AB=

·
·
xAB ACB⇒ =
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
·
·
xAB AED
=
, mà hai góc này lại ở vị trí so le trong nên xy//ED
Ta lại có:xy
⊥
AO ( vì xy là tiếp tuyến) nên DE
⊥
AO

?3
Hãy chứng minh câu b) bằng cách điền vào chỗ trống (….)
Tam giác ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau
Tại H nên H là ……………… của tam giác ABC

d

K

I

O

F

D

E

C

B

A

x

y

AF BC

⇒ ⊥
Tam giác BEDC nội tiếp đường tròn đường kính……
nên
·
EDB =
(1)
Tam giác HDCF nội tiếp đường tròn đường kính ……
Nên
·
HDF =
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: …………………………
Vậy DH là tia phân giác của góc …………
Chứng minh tương tự ta có : HF là tia phân giác của góc ………. .Vậy H là tâm
đường tròn nội tiếp tam giác DEF
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có AB<AC và nội tiếp trong đường tròn (O); đường
thẳng xy là tiếp tuyến tại A của đường tròn (O). Một đường thẳng d song song với xy cắt
AB, AC, BC theo thứ tự tại E, D,F.
a) Chứng minh rằng
FBE FDC
∆ ∆
:
và FE.FD=FB.FC
b) Gọi I, K lần lượt là giao điểm của (d) và (O). Chứng minh rằng FI.FK=FE.FD
Hướng dẫn :
a)Ta có xy//d
·
·
xAB FEB⇒ =
( hai góc đồng vị)

Mà
·
·
xAB ACB
=
( vì hai góc này cùng chắn một cung AB)

·
·
( )
. . (1)
⇒ =
⇒ ∆ ∆ −
⇒ =
⇒ =
:
FEB ACB
FEB FCD g g
FE FC
FB FD
FE FD FB FC
b)Tứ giác BIKC là tứ giác nội tiếp đường tròn (O)
·
·
0
180IBC IKC⇒ + =
( Theo tính chất của tứ giác nội tiếp)
Mà
·
·

0
180FIB IBC
+ =
( vì là hai góc kề bù)
·
·
FBI IKC⇒ =
hay
·
·
FBI FKC
=
( )
. . (2)
FBI FKC g g
FB FK
FI FC
FB FC FI FK
⇒ ∆ ∆ −
⇒ =
⇒ =
:
Từ (1) và (2) suy ra: FI.FK=FE.FD (ĐPCM)
Ví dụ 4:Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại B và C. A là điểm trên đường
tròn (O) . AB cắt đường tròn (O’) tại D, AC cắt đường tròn (O’) tại E. AO cắt DE tại H. I là
trung điểm của BC.

(d)

1

2

1

1

1

I

H

O'

O

E

D

A

C

B

a) Chng minh rng t giỏc OIDH ni tip ng trũn v AH

DE

b) Gi (d) l tip tuyn ca (O) ti A. Chng minh (d) //DE
Hng dn
a) I l trung im ca AB nờn OI l ng
phõn giỏc ng thi l ng cao ca tam giỏc
AOB
OI A B

v
à
ằ
=
1
1
2
O sủ AB
M
à
1
C
l gúcni tip ca (O) chn cung AB
nờn
à
ằ
=
1
1
2
C sủ AB
à
à

=
1 1
O C
(1)
T giỏc BCED ni tip ng trũn (O) nờn
ả ả
0
2 1
180C D+ =
. M
ả
à
0
2 1
180C C+ =
(k bự)
à
ả
1 1
C D =
(2)
T (1) v (2) suy ra:
à
ả
1 1
O D
=
. T giỏc OIDH cú gúc ngoi ti mt nh bng gúc
trong ca nh i din (
à

ả
1 1
O D
=
) nờn ni tip c trong ng trũn.
ã
ã
0
180OID OHD + =
. M
ã
ã
0 0
90 90 . AH DEOID OHD Vaọy
= =
b)Vỡ (d) l tip tuyn ca (O) nờn
( )d OA

hay
( )d AH

.M
AH DE

(cmt)
( )//d DE

Tit 5-6
LUYN TP
Bi 1: Cho hai ng trũn (O) v (O) ct nhau ti A v B. Mt ng thng qua B ct (O)

ti C v ct (O) ti D. Tip tuyn ca (O) ti C v ca (O) ti D ct nhau ti I. Chng minh rng
ng trũn ngoi tip tam giỏc ICD luụn i qua mt im c nh
Bi 2:Cho tam giỏc ABC, cỏc ng phõn giỏc ca cỏc gúc trong B v C gp nhau
ti S, cỏc ng phõn giỏc ca cỏc gúc ngoi ti B v C gp nhau ti E.
a)Chng minh t giỏc BSCE l t giỏc ni tip.
b)Chứng minh ba điểm A,S,E thẳng hàng.
c)Gọi M là trung điểm của SE .Chứng minh tứ giác ABMC nội tiếp.
Bài 3:Từ một điểm M ở bên ngoài đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA và MB
với đường tròn . Trên cung nhỏ AB lấy điểm C. Vẽ CD vuông góc AB, CE vuông góc AM,
CF vuông góc BM. Gọi I là giao điểm của BC và DF, K là giao điểm của BC và DF. Chứng
minh:
a) Tứ giác AECD nội tiếp đường tròn.
b) Tứ giác BFCD nội tiếp đường tròn.
c)
2
.CD CE CF
=
d) Tứ giác DKCI nội tiếp
e) IK//AB
Bài 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB=2R , M là điểm trên nửa đường
tròn , kẻ các tiếp tuyến của nửa đường tròn tại M , A và B cắt nhau tại C và D.
.a)Chứng minh
COD AMB∆ ∆:
b) Chứng minh tích AC.BD luôn không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn.
c) Tính tỉ số
AMB
COD
S
S
∆

∆
khi
2
R
AC =
d) Gọi P là giao điểm của AM và CO; Q là giao điểm của BM và OD. Chứng minh
tứ giác CPQD nội tiếp.
Chủ đề tự chọn Bám sát lớp 9
Tháng 3 năm 2010
Trường THCS Ân Hảo ĐỀ KIỂM TRA CUỐI CHỦ ĐỀ
Lớp 9A1 Thời gian 15’
Họ và tên: …………………………
Điểm Nhận xét
Cho tam giác ABC vuông tại A, lấy điểm D ở giữa A và B. Đường tròn đường kính
BD cắt BC tại E và CD tại F.
a)Chứng minh tứ giác ACBF nội tiếp.
b)Chứng minh rằng D là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AEF.
c)Gọi S là giao điểm của AB và CF. chứng minh ba điểm S,D,E thẳng hang.
BÀI LÀM