HSG toán 9 08-09

Phòng Giáo dục và Đào tạo lâm thao
____________________________
đề thi chọn HọC sinh giỏi
Môn : Toán - Lớp 9 - Năm học 2008-2009
Ngày thi: 08 tháng 12 năm 2008
( Thời gian làm bài: 120' không kể thời gian giao đề )
__________________________________________________________
Bài 1: ( 3,0 đ)
Cho biểu thức: P =








+










+
+
1

2
1
1
:
1
1
aaaa
a
a
a
a
a. Rút gọn biểu thức P .
b. Tìm các giá trị của a sao cho P < 1.
c. Tính giá trị của P nếu
3819
=
a
.
Bài 2: ( 2,0 đ)
a. Chứng minh rằng : A =
nn

3
chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.
b. Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:
)1)(1()(
2
+=+
yxyx
Bài 3: ( 1,5 đ)

Chứng minh rằng :

cbaaccbba 1009201019)1)(1(2008)1)(1(10)1)(1(30
+++++++
Với mọi a, b, c
1

Bài 4: ( 1,5 đ)
Cho
0

x
, Tìm giá trị nhỏ nhất của Q =
22
172
2
+
++
x
xx
.
Bài 5: ( 2,0 đ)
Cho tam giác ABC có trung tuyến BN và CM vuông góc với nhau tại G. Chứng
minh rằng:
a. AC
2
+AB
2
= 5.BC
2

b. Cotg B + cotg C
3
2

.
________________Hết________________
(Ngời coi thi không phải giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh .Số báo danh ..
Phòng Giáo dục và Đào tạo lâm thao
____________________________
hớng dẫn chấm thi chọn HọC sinh giỏi
Môn : Toán - Lớp 9 - Năm học 2008-2009
Bài Hớng dẫn chấm Điểm
Bài 1
( 3 đ)
Cho biểu thức:
P =








+

+
+
1
2
1
1
:
1
1
aaaa
a
a
a
a
a, Điều kiện có nghĩa:
1;0

aa
....................
1
1
)1(
)1)(1(
.

1
1
)1)(1(
2
1
1
:
1
1
2

++
=

+
+
++
=








+


+

++
=
a
aa
a
aa
a
aa
aa
a
a
a
aa
P

b, P < 1


1
1

++
a
aa
< 1



1
1

++
a
aa
-1 < 0


0
1
2
<

+
a
a


01
<
a
( Vì a + 2 > 0 )

1< a
......................................................
Kết hợp với ĐKXĐ => Với
10
<
a
thì P < 1 ........................
c,

3819
=
a
=
2
)34(

=>
34
=
a
=> Thay vào biểu thức P tính đợc P =
2
315
33
3924

=


0,25 đ
1,0đ
0,75 đ
0,25 đ
0,75 đ
Bài 2
( 2 đ)
a, Chứng minh rằng : A =
nn

3
chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.
A =
nn

3
=
)1)(1(
+
nnn
..............................................
Vì A là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên luôn tồn tại 1 bội số của 3, 1
bội số của 2 => A
3
và A
2
.
Vì (2;3) =1 nên A
6
..................................................
b, Tìm nghiệm nguyên của phơng trình:

)1)(1()(
2
+=+
yxyx
.1;1
0)1()1()(
0222222
12

222
22
22
==
=++++
=++++
+=++
yx
yxyx
yxyxyx
yxxyyxyx
...........................................
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Bài 3
(1,5đ)
Chứng minh rằng :

cbaaccbba 1009201019)1)(1(2008)1)(1(10)1)(1(30
+++++++
Với mọi a,b,c
0

Vì a,b,c
0

nên a + 1 > 0, a - 1

0,b +1 > 0, b 1

0,
c+1 > 0 ,c-1

0 ............................
áp dụng bất đẳng thức Cô-si
ab
ba

+
2
với a, b không âm ta có:
0,25đ
)(15)1)(1(30)1)(1(2 babababa
++++
(1)
Tơng tự ta có:
)(5)1)(1(10 cbcb
++
; (2)

)(1004)1)(1(2008 acac
++
(3) .................
Cộng từng vế của (1) (2) và (3) ta đợc điều phải chứng minh..........
0,75 đ
0,5 đ
Bài 4
(1,5đ)

Cho
0

x
, Tìm giá trị nhỏ nhất của Q =
22
172
2
+
++
x
xx
.
1
8
2
1
)1(2
16)1(
2
+
+
+
=
+
++
=
x
x
x

x
Q
.........................................
Vì
0

x
nên
01
>+
x
. áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:
4
)1(2
8).1(
2
1
8
2
1
=
+
+

+
+
+
x
x
x

x
....................................
=> Q
4

. Vậy GTNN của Q bằng 4

3
1
8
2
1
=
+
=
+
x
x
x
...........
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
Bài 5
(2đ)
Cho tam giác ABC có trung
tuyến BN và CM vuông góc với
nhau tại G. Chứng minh rằng:
a, AC
2

+AB
2
= 5.BC
2
b, Cotg B +cotg C
3
2

.
I
G
A
B
C
N
M
D
H
a,

BGC vuông tại G, theo Pi-ta-go có BC
2
= BG
2
+ GC
2
Mà BG
2
= BM
2

MG
2
GC
2
= CN
2
GN
2

BC
2
=BM
2
MG
2
+ CN
2
NG
2
=
2
22
4
MN
ACAB

+
=
44
222

BCACAB

+
=>
222
5BCACAB
=+

b, Kẻ
,, BCGHBCAD

Kéo dài AG cắt BC tại I => AI là trung tuyến
của
ABC

.
Ta có cotg B + cotg C =
AD
BC
AD
DC
AD
BD
=+
(1)
Vì AH // AD nên theo Ta-lét ta có:
3
1
==
AI

GI
AD
GH
=> AD = 3 GH (2)
BC = 2 IC = 2GI ( T/c trung tuyến thuộc cạnh huyền)
mà GI

GH => BC

2GH (3)
Thay (2) và (3) vào (1) ta đợc điều phải chứng minh. ..................
1 đ
1 đ