SKKN Tính chia hết

Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán THCS”
PHẦN THỨ NHẤT :
NHỮNG VẤN ĐỀ CHUNG CỦA ĐỀ TÀI
1. TÊN ĐỀ TÀI
Hướng dẫn giải dạng “toán chia hết” trong chương trình toán THCS
2. TÍNH CẤP THIẾT CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
2.1 Lí do về mặt lí luận:
Nghò quyết hội nghò lần thứ IV Ban chấp hành Trung ưng Đảng Cộng Sản
Việt Nam (khoá VII, 1993) đã chỉ ra:
Mục tiêu GD – ĐT phải hướng vào đào tạo những con người lao động, tự
chủ, sáng tạo có năng lực giải quyết những vấn đề thường gặp, qua đó mà góp
phần tích cực thực hiện mục tiêu lớn của đất nước là dân giàu, nước mạnh, xã hội
cơng bằng văn minh.
Nghị quyết Hội nghị lần thứ II Ban chấp hành Trung ương Đảng Cộng Sản Việt
Nam (khóa VII, 1997) khẳng định rõ hơn.
Cuộc cách mạng về phương pháp giáo dục phải hướng vào người học, rèn luyện
và phát triển khả năng suy nghĩ, khả năng giải quyết vấn đề một cách năng động,
độc lập sáng tạo ngay trong q trình học tập ở nhà trường phổ thơng . . . Áp dụng
những phương pháp giáo dục hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy
sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề.
Điều 24 Luật giáo dục (1998) viết: Phương pháp giáo dục phổ thơng phải phát
huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh phù hợp với đặc điểm
của từng lớp học, mơn học.
RajaRoy singh trong cuốn “Nếu giáo dục cho thế kỷ XXI. Những trển vọng của
Châu Á – Thái Bình Dương” đã khảng đònh .
Để đáp ứng được những đòi hỏi mới được đặt ra cho sự bùng nổ kiến thức và
sáng tạo kiến thức mới, cần phải phát triển năng lực tư duy, năng lực giải quyết
vấn đề và tính sáng tạo . . . Các năng lực này có thể quy gọn về năng lực giải quyết
vấn đề.
Khả năng giáo dục của môn Toán rất to lớn, nó có khả năng phát triển tư
duy lôgíc, khái quát hoá, phân tích tổng hợp, so sánh dự đoán, chứng minh và

bác bỏ. Nó còn có vai trò rèn luyện phương pháp suy nghó, suy luận,…
bậc trung học cơ sở việc dạy dạng “toán chia hết” cho học sinh là rất cần
thiết nhằm mục đích phát triển cho học sinh đầy đủ các yếu tố nêu trên.
Giáo viên : Nguyễn Văn Tiến Trường THCS Tân Thanh Trang 1
Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán THCS”
2.2 Lí do về mặt thực tiễn:
Thực tiễn dạy và học bộ môn Toán ở Trường THCS Tân Thanh – Lâm Hà
có nhiều vấn đề phải quan tâm, giải quyết lâu dài, kỹ năng giải toán, các phép
biến đổi cơ bản, phương pháp giải toán, của học sinh khối 6 còn yếu rất nhiều,
theo cuộc điều tra về việc giải toán của học sinh hai lớp sáu vừa qua thì có tới
hơn 50% học sinh đạt điểm dưới trung bình. Còn các lớp trên cũng được liệt kê
rất nhiều học sinh yếu toán. Vậy vấn đề đặt ra là nếu chúng ta cứ lo phụ đạo
học sinh yếu toán mà không chăm lo bỗi dưỡng học sinh học khá, giỏi môn toán
thật là một thiệt thòi lớn đối với các em vấn đề này phải thực hiện song song
với nhau. Nhận thức vấn đề trên, Tôi muốn truyền đạt cho các em nhiều dạng
toán để cung cấp cho các em những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo để giải toán,…
Một trong dạng toán đó là “Dạng toán chia hết”.
3. ĐỐI TƯNG NGHIÊN CỨU:
Hướng dẫn giải dạng toán “chia hết” cho học sinh khá, giỏi trong chương
trình toán bậc trung học cơ sở.
4. PHẠM VI NGHIÊN CỨU.
Thời gian nghiên cứu từ 10 tháng 9 năm 2005 đến 25 tháng 11 năm 2006.
Đòa điểm tại trường THCS Tân Thanh gồm các khối lớp 6 đến lớp 9.
5. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU.
Giúp các em học sinh nắm chắc các phương pháp giải dạng toán “chia hết”,
hình thành cho các em các kỹ năng suy luận, biến đổi, nhận dạng và thể hiện
tốt lời giải bài toán.
Giáo viên : Nguyễn Văn Tiến Trường THCS Tân Thanh Trang 2
Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán THCS”
PHẦN THỨ II:

NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI
Phương pháp giải toán:
Là toàn bộ những thủ thuật toán được sắp xếp theo trình tự nhất đònh và
vận dụng sáng tạo để tìm ra kết quả bài toán.
Thủ thuật : Phép giải mang tính linh hoạt, hợp lí, sáng tạo để giải quyết
một khâu hay cả bài toán.
Giải bài toán:
Là việc làm tìm ra ẩn số, tức tìm ra đáp số của bài toán. Muốn tìm ra ấn số
phải là một quá trình suy luận. Chính vì thế nên gọi việc giải toán là một quá
trình hoạt động trí tuệ của học sinh.
Trong quá trình hướng dẫn học sinh giải toán giáo viên cũng phải truyền
thụ cho học sinh những tri thức phương pháp để học sinh biết cách học, biết
cách suy luận, vận dụng cái đã biết để tìm những kiến thức mới có tính chất
thuật toán. Đặc biết khi hướng dẫn giải toán giải toán cần coi trọng phương
pháp có tính chất tìm tìm đoán, và ngầm thể hiện cho học các bước giải toán
của “Polya”. Học sinh cần được rèn luyện các thao tác tư duy, phân tích, tổng
hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự, quy lạ về quen. Trong chương trình
toán (THCS), có rất nhiều dạng toán thể hiện mục tiêu trên, một trong số đó có
dạng “Toán chia hết” là một trong số các dạng toán quan trọng trong chương
trình toán THCS. Nó có mặt nhiều trong các lần kiểm tra đònh kỳ, thi học kỳ, thi
học sinh giỏi, thi vào trường chuyên, lớp chất lượng cao, và một số đề thi cấp
Huyện, Tỉnh ,… Điều này còn được thể hiện ở chỗ lượng bài tập trong sách giáo
khoa, sách bài tập khá nhiều và rất phong phú. Dạng toán chia hết được đề cập
ngay từ học kỳ I của lớp 6 và nó trải xuyên suốt cả chương trình toán THCS và
ở mỗi khối học, yêu cầu về mặt kiến thức cũng khác nhau, mức độ yêu cầu
cũng khác nhau. Nhưng kiến thức đòi hỏi có sự kế thừa, cái này là cơ sở của cái
kia, chúng bổ trợ cho nhau. Chính điều này yêu cầu người học phải nắm chắc
được kiến thức cơ bản, được cụ thể hoá trong từng bài và tóm tắt trong từng
chương của sách giáo khoa từng khối lớp, biết vận dụng linh hoạt các phương

pháp để giải quyết tốt được bài tập dạng này. Có thể nói rằng dạng “toán chia
hết” luôn là dạng toán khó đối với học sinh và không ít học sinh cảm thấy sợ
khi học dạng toán này.
Giáo viên : Nguyễn Văn Tiến Trường THCS Tân Thanh Trang 3
Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán THCS”
Là một giáo viên dạy toán tôi muốn các em chinh phục được nó, và không
chút ngần ngại khi gặp dạng toán này. Nhằm giúp cho các em phát triển tư duy
suy luận, óc phán đoán, kỹ năng trình bày linh hoạt. HƯ thèng c¸c bµi tËp t«i ®a ra
®Ịu tõ dƠ ®Õn khã, bªn c¹nh ®ã cßn cã c¸c bµi tËp n©ng cao cho häc sinh giái. Lỵng
bµi tËp ¸p dơng t¬ng tù còng t¬ng ®èi nhiỊu, nên các em có thể tự học, tự chiếm
lónh tri thức thông qua hệ thống bài tập áp dụng này ®iỊu ®ã gióp c¸c em høng
thó häc tËp h¬n rÊt nhiỊu.
II. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ
Dạng toán “Chia hết” được đề cập trong sách giáo khoa ngay từ đầu lớp 6
đến lớp 9, và mỗi lớp có yêu cầu khác nhau nên làm cho người học và người
dạy rất vất vả nhất là các em học sinh khối 8 và khối 9. Thông thường khi dạy
dạng toán này giáo viên lại phải nhắc lại các kiến thức cơ bản học ở lớp dưới
làm mất rất nhiều thời gian cho tiết dạy. Kỹ năng biến đổi để làm xuất hiện các
yếu tố chia hết trong biểu thức số hay biểu thức đại số của các em còn chưa linh
hoạt, có những bài toán rất đơn giản mà các em biến đổi chứng minh rất dài
dòng và phức tạp, thực chất nếu các em nắm chắc các phương pháp giải dạng
toán chia hết thì chứng minh rất đơn giản. Trong quá trình giảng dạy nhiều giáo
viên không hay để ý tới dạng toán này, vì dạng toán này thường được đặt dưới
bài toán cụ thể trong sách giáo khoa nên không nghó đó là trọng tâm của bài.
Bên cạnh đó nếu có giải thì cũng chưa yêu cầu học sinh làm thêm trong sách
bài tập hay ra ngoài phạm vi sách giáo khoa để rèn luyện kỹ năng, phát triển tư
duy cho học sinh. Mặt khác tài liệu tham khảo viết về dạng toán này hầu như
không có trong thư viện nhà trường, các chủ đề tự chọn cũng chưa được giáo
viên nào đề cập tới mà yêu cầu về bồi dưỡng học sinh giỏi lại có dạng toán “
Chia hết” trong chương trình. Từ những suy nghó đó và thực tế giảng dạy tôi đã

mạnh dạn viết đề tài này.
Giáo viên : Nguyễn Văn Tiến Trường THCS Tân Thanh Trang 4
Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán THCS”
III. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
A. Cơ sở lý thuyết
§Ĩ häc sinh häc tèt, lµm tèt ®ỵc d¹ng “To¸n chia hÕt ” nµy t«i trang bÞ cho c¸c
em néi dung kiÕn thøc sau, ®ã lµ nỊn t¶ng, lµ c¬ së ®Ĩ ¸p dơng gi¶i c¸c bµi tËp d¹ng
nµy.
1.TÝnh chÊt chia hÕt cđa mét tỉng, mét hiƯu, mét tÝch.
- NÕu



mb
ma


mba 
+→
- NÕu



mb
ma


mba 
−→
- NÕu




mb
ma


a
→
.b
m
- NÕu
→
ma
a

n
m (n lµ sè tù nhiªn).
2.DÊu hiƯu chia hÕt cho 2; 4; 5; 6; 3; 9; 8.
* DÊu hiƯu chia hÕt cho 2 lµ: Mét sè chia hÕt cho 2 khi vµ chØ chi sè Êy cã ch÷ sè
tËn cïng lµ ch÷ sè ch½n (0, 2, 4, 6, 8)
*DÊu hiƯu chia hÕt cho 5 lµ:Mét sè chia hÕt cho 5 khi vµ chØ khi sè Êy cã ch÷ ch÷
sè tËn cïng lµ 0 hc 5.
*DÊu hiƯu chia hÕt cho 3: Mét sè chia hÕt cho 3 khi vµ chØ khi tỉng c¸c ch÷ sè ®ã
chia hÕt cho 3.
*DÊu hiƯu chia hÕt cho 9: Mét sè chia hÕt cho 9 khi vµ chØ khi tỉng c¸c ch÷ sè ®ã
chia hÕt cho 9.
*DÊu hiƯu chia hÕt cho 6: Mét sè chia hÕt cho 6 khi vµ chØ khi nã ®ång thêi chia
hÕt cho 2 vµ cho 3.
*DÊu hiƯu chia hÕt cho 4: Mét sè chia hÕt cho 4 khi vµ chØ khi hai ch÷ sè tËn cïng

lËp thµnh mét sè chia hÕt cho 4.
Giáo viên : Nguyễn Văn Tiến Trường THCS Tân Thanh Trang 5
Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán THCS”
*DÊu hiƯu chia hÕt cho 8: Mét sè chia hÕt cho 8 khi vµ chØ khi sè ®ã cã ba ch÷ sè
tËn cïng lËp thµnh mét sè (cã 3 ch÷ sè) chia hÕt cho 8.
*DÊu hiƯu chia hÕt cho 10: Mét sè chia hÕt cho10 th× cã ch÷ sè tËn cïng b»ng 0
vµ ®¶o l¹i.
* DÊu hiƯu chia hÕt cho 11: Mét sè chia hÕt cho 11 khi vµ chØ khi hiƯu gi÷a tỉng
c¸c ch÷ sè cđa nã “®øng ë vÞ trÝ lỴ ” vµ tỉng c¸c ch÷ sè “®øng ë vÞ trÝ ch½n ” (kĨ tõ
tr¸i sang ph¶i) chia hÕt cho 11.
3. §ång d:
*Hai sè a vµ b ®ång d víi nhau theo m« ®un m khi vµ chØ khi a – b chia hÕt cho
m.
*Cã thĨ “céng ” c¸c ®ång d thøc cã cïng m« ®un. Tøc lµ: NÕu a
≡
b (mod m), c
≡
d ( mod m ) th× a
±
c
≡
b
±
d (mod m)
*Cã thĨ nh©n tõng vÕ c¸c ®ång d thøc cã cïng m« ®un. Tøc lµ: NÕu a
≡
b (mod
m) , c
≡
d ( mod m) th× ac

≡
bd (mod m)
4. Nguyªn t¾c ®irichlª:
Néi dung nguyªn t¾c nµy ®ỵc ph¸t biĨu díi d¹ng bµi to¸n sau: NÕu nhèt n thá vµo
m lång (víi n > m) nghÜa lµ sè thá nhiỊu h¬n sè lång th× Ýt nhÊt còng cã mét lång
nhèt kh«ng Ýt h¬n 2 con thá.
5.Ph¬ng ph¸p chøng minh quy n¹p:
Muốn chứng minh một khẳng đònh A
n
đúng với mọi n = 1,2,3,… ta chứng
minh như sau:
• Khẳng đònh A
1
đúng.
• Giả sử khẳng đònh A
k
đúng với mọi k
≥
1, ta cũng suy ra khảng đònh A
k + 1
đúng.
Kết luận : Khẳng đònh A
n
đúng với mọi n = 1,2,3 …
6. Chøng minh b»ng ph¬ng ph¸p ph¶n chøng
Giáo viên : Nguyễn Văn Tiến Trường THCS Tân Thanh Trang 6
Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán THCS”
Muốn chứng minh khẳng đònh P đúng bằng phương pháp phản chứng, ta làm
như sau:
• Bước 1: Giả sử ngược lại P sai.

• Bước 2: Từ giả sử P sai, chúng ta suy ra điều vô lý.
• Bước 3: điều vô lý đó chứng tỏ rằng P không sai, tức là khẳng đònh P đúng.
B. Các dạng toán
Trong phần này tôi chia theo từng dạng để dễ dàng cho người dạy và người
học tham khảo, lựa chọn một số bài để cho học sinh làm từ dễ đến khó. Một bài
có thể vận dụng theo nhiều cách khác nhau, phát triển cho học sinh tính linh
hoạt trong quá trình giải toán.

1. D¹ng1: T×m c¸c ch÷ sè cha biÕt cđa mét sè
Bµi to¸n 1: T×m c¸c ch÷ sè a vµ b sao cho
ab19
chia hÕt cho 5 vµ chia hÕt cho 8.
§Ĩ t×m ®ỵc a vµ b häc ph¶i thÊy ®ỵc 2 dÊu hiƯu c¬ b¶n ®ã lµ sè ®ã chia hÕt cho 5
vµ cho 8.
V×
ab19
chia hÕt cho 5 nªn ch÷ sè tËn cïng b = 0 hc b = 5.
V×
ab19
chia hÕt cho 8 nªn suy ra b = 0.
MỈt kh¸c
019a
chia hÕt cho 8 suy ra
019a
chia hÕt cho 4.
019a
chia hÕt cho 4
↔
0a
chia hÕt cho 4 suy ra a ∈{ 0, 2, 4, 6, 8}.

Ta cã
019a
chia hÕt cho 8
↔
09a
chia hÕt cho 8 nªn a = 2 hc a = 6.
NÕu a = 2 th× b = 0
NÕu a = 6 th× b = 0
KL: VËy sè ph¶i lµ 1920, 1960.
Bµi to¸n 2: Ch÷ sè a lµ bao nhiªu ®Ĩ
96aaaaa
võa chia hÕt cho 3 võa chia hÕt
cho 8.
V×
96aaaaa


8
↔

96a

8
↔
100a + 96

8 suy ra 100a

8 vËy a lµ sè ch½n
→

a ∈{ 2, 4, 6, 8} (1).
Giáo viên : Nguyễn Văn Tiến Trường THCS Tân Thanh Trang 7
Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán THCS”
V×
96aaaaa


3
↔
(a + a + a + a + a + 9 + 6 )

3
↔
5a + 15

3
Mµ 15

3
→
5a

3
Mµ (5, 3) = 1
Suy ra a

3 vËy a ∈{ 3, 6 ,9} (2).
Tõ (1) vµ (2 ) suy ra a = 6
KL: VËy sè ph¶i t×m lµ 6666696.
Bµi to¸n 3 : T×m ch÷ sè a ®Ĩ

11aaa

11.
HD: Tỉng c¸c ch÷ sè hµng lỴ lµ 2 + a .
Tỉng c¸c ch÷ sè hµng ch½n lµ 2a.
*NÕu 2a ≥ a + 2
→
a ≥ 2 th× 2a – (a + 2) = a -2 ≤ 9 – 2 = 7
Mµ (a - 2)

11 nªn a - 2 = 0
↔
a = 2
*NÕu 2a ≤ a + 2
↔
a <2 th× (a + 2) - 2a = 2 - a lµ 2 hc 1 kh«ng chia hÕt
cho11. Kết luận : VËy a = 2
Bµi to¸n 4 T×m c¸c ch÷ sè a, b ®Ĩ sè
ab1234
chia hÕt cho 8 vµ cho 9.
*C¸ch 1:
NÕu
ab1234
chia hÕt cho 8 th× dÊu hiƯu chia hÕt cho 8 ta cã
ab4

8 hay
ab4
= 400 + 10a + b = 8p (p ∈ Z) (*)
MỈt kh¸c nÕu

ab1234


9 th× (1 + 2 + 3 + 4 + a + b)

9
Hay (1 + a + b)

9
→
1 + a + b = 9q (q∈ Z) ( **)
V× a vµ b lµ c¸c ch÷ sè nªn a + b ≤ 18
Tõ (**) suy ra 9q ≤ 28 (q>1) VËy q = 2 hc q = 3
Trõ (*) víi (**) ta cã 390 + 9a = 8p – 9q , hay p = 49 + a + q +
8
2
−+
qa
V× p nguyªn nªn
8
2
−+
qa
nguyªn hay a + q – 2

8
+NÕu q = 2 th× a = 0 hc a = 8
Tõ (**) ta cã b = 9q – a – 10 do ®ã b = 8 hc b = 0
+ NÕu q = 3 th× a = 7 suy ra b = 10 ( v« lÝ v× b ≤ 9)
KL: VËy cã sè tho¶ m·n ®Ị bµi lµ: 123480, 123408.

Giáo viên : Nguyễn Văn Tiến Trường THCS Tân Thanh Trang 8
Hướng dẫn giải dạng “Toán chia hết” trong chương trình Toán THCS”
*C¸ch 2
ab1234
= 123400 +
ab
= 72.1713 + 64 +
ab
V×
ab1234
chia hÕt cho 8 vµ cho 9 nªn
ab1234
chia hÕt cho 72
VËy 64 +
ab
chia hÕt cho 72 . V× 64 < 64 +
ab
≤ 163 nªn 64 +
ab
b»ng 72 hc
144.
+ NÕu 64 +
ab
= 72 th×
ab
= 08
+ NÕu 64 +
ab
= 144 th×
ab

= 80
KL: VËy c¸c sè tho¶ m·n ®Ị bµi lµ: 123480, 123408.
Bµi to¸n 5: T×m c¸c sè a,b sao cho:
1) a – b = 4 vµ
157 ba
chia hÕt cho 3
2) a – b = 6 vµ
74a
+
51b
chia hÕt cho 9
Giải:
1) a – b = 4 vµ
157 ba
chia hÕt cho 3
Ta cã:
157 ba
chia hÕt cho 3 khi vµ chØ khi ( 7 + a + 5 + b + 1) chia hÕt cho 3
hay ( a +b + 13) chia hÕt cho 3 suy ra ( a +b ) chia 3 d 2 (1)
Ta cã a – b = 4 nªn 4 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b ≤ 5
Suy ra 4≤ a+b ≤ 14 (2)
MỈt kh¸c a – b lµ sè ch½n nªn a + b lµ sè ch½n (3)
Tõ (1) (2) vµ (3) suy ra a + b ∈ {8;14}
Víi a + b = 8; a – b = 4 ta ®ỵc a = 6; b = 2.
Víi a + b = 14; a - b = 4 ta ®ỵc a = 9; b = 5.
KL: VËy c¸c sè ph¶i t×m lµ a = 6; b = 2 vµ a = 9; b = 5
2)
74a
+
51b

chia hÕt cho 9 khi vµ chØ khi ( 4 + a + 7 + 1 + b + 5 ) chia hÕt cho
9 hay ( a + b + 8 ) chia hÕt cho 9
(a + b) chia cho 9 d 1
Do a + b ≥ a – b = 6 nªn a + b = 10 tõ ®ã t×m ®ỵc a = 8; b = 2.
Giáo viên : Nguyễn Văn Tiến Trường THCS Tân Thanh Trang 9