chuyên đề về tính chia hết

Phòng Giáo dục - đào tạo huyện định hoá
Trờng THCS bảo Cờng
================
Chủ đề tự chọn nâng cao
Môn Toán lớp 6
Các vấn đề về tính chia hết,ớc và bội

Bảo Cờng, tháng 10 năm 2007
Chủ đề Các vấn đề nâng cao về tính chia hết ,ớc và bội.
I. Lý thuyết
1. Phép chia hết
Cho a và b là hai số nguyên và b 0 . Ta nói a chia hết cho b nếu tồn tại số
nguyên q sao cho a = b.q
Khi a chia hết cho b ta nói b là ớc của a hay b chia hết a,hoặc có thể nói a là bội
của b
*Tính chất :
a. a chia hết cho b, b chia hết cho c thì a chia hết cho c
b. a chia hết cho m, b chia hết cho m thì (a+b) chia hết cho m ; (a-b) chia hết cho m,
(ax +by ) chia hết cho m (x,y Z)
c. a chia hết cho m.n thì a chia hết cho m và a chia hết cho n
2. Phép chia có d
Định lý : Cho a và b là hai số nguyên và b 0 khi đó tồn tại duy nhất cặp số nguyên
(q,r) sao cho a = b.q +r và 0 r | b| - 1.
Trong đó r gọi là số d,q gọi là thơng
3. UCLN
Cho hai số nguyên a và b không đồng thời bằng 0 . Số nguyên d đợc gọi là ớc
chung của a và b nếu d là ớc của cả a và b. Số lớn nhất trong các ớc chung của a và b đ-
ợc gọi là ớc số chung lớn nhất của a và b và ký hiệu UCLN(a,b) hay (a,b)
Khi (a,b)=1 ta nói hai số a và b là hai số nguyên tố cùng nhau .
*Tính chất
a. (a,b) = (b,a)

b. (a,0) = | a| a 0,(a,1) = 1 a , (a,a) = | a | a 0
c. k(a,b) = (ka,kb), k > 0
d. (a,b) = (b, a- b)
e. Nếu (a,c) = 1 thì (ab,c) = (b,c)
f. (a
1
,a
2
,...a
n
) = ( d,a
n
) trong đó d = (a
1
,a
2
,...a
n-1
)
Để tìm UCLN của a và b trong trờng hợp a không chia hết cho b ngoài cách phân
tích a,b ra thừa số nguyên tố còn có một thuật toán hiệu quả xuất phát từ tính chất 4 nêu
trên ( thuật toán ơclit)nh sau :
a = b.q +r
1
và 0 r
1
| b|
b = r
1
.q

1
+r
2
và 0 r
2
r
1
r
1
= r
2
.q
2
+r
3
và 0 r
3
r
2
:
r
n-2
= r
n-1
.q
n-1
+r
n
và 0 r
n

r
n-1
r
n-1
= r
n
.q
n
( r
n+1
= 0)
Khi đó (a,b) = ( b,r
1
) = (r
1
,r
2
) ....= ( r
n-1,
,r
n
) = r
n
4. BCNN
Cho hai số nguyên a và b khác 0 .Số nguyên m đợc gọi là bội chung của a và b
nếu m là bội của cả a và b . Số dơng nhỏ nhất trong các bội số chung của a và b đợc gọi
là bội chung nhỏ nhất của a và b .
Ký hiệu BCNN(a,b) hay [ a, b ].
*Tính chất
a. [ a, b ] = [ b ,a ].

b. [ a, 1 ] = | a | a 0
[ a, a ] = | a | a 0
c. k[ a, b ] = [ ka, kb ] ,k> 0
d. Nếu d là ớc chung của a và b thì
[ ]






=
d
b
d
a
d
ba
,
,
.
e. (a,b) . [ a, b ] = a.b a,b thoả mãn a.b > 0.
f. [ a
1
, a
2
,...a
n
] = [ m,a
n

] nếu m = [ a
1
, a
2
,...a
n-1
]
5. Một số tính chất khác
a.Nếu a chia hết cho m ,a chia hết cho n và (m,n)= 1 thì a chia hết cho m.n
b. a.b chia hết cho c và (b,c) = 1 thì a chia hết cho c
c. p nguyên tố ,nếu a.b chia hết chop thì a chia hết cho p hoặc b chia hết cho p.
d. Chia (n+1) số nguyên dơng cho n(n 1) luôn nhận đợc hai số d bằng nhau .
e. Trong n số nguyên liên tiếp (n 1) luôn có duy nhất 1 số chia hết cho n.
g. Tích của n số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho n ( n N
*
)
h. Nếu (a,b) = d thì tồn tại 2 số nguyên x,y sao cho : ax+by = d
II. Một số dạng bài tập
A. Bài tập về tính chia hết
Bài toán 1 : Chứng tỏ rằng :
a. Trong 2 số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 2
b. Trong 3 số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho 3
c. Rút ra bài toán tổng quát
Giải :
a. Gọi 2 số tự nhiên liên tiếp là n,n+1,n+2.
Xét phép chia n cho 2 có thể xảy ra :
* Hoặc n chia hết cho 2 bài toán đợc chứng minh.
* Hoặc n không chia hết cho 2 n chia cho 2 d 1 n = 2k +1 ( k N) n+ 1 =
2k+2 vậy n+1 chia hết cho 2 Bài toán đợc chứng minh.
b. Tơng tự nh ý a ( xét phép chia cho 3)

c. Bài toán tổng quát : Trong n số tự nhiên liên tiếp có một số chia hết cho n.
Bài toán 2 : Chứng tỏ rằng :
a.Tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3
b. Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là một số không chia hết cho 4
c. Tổng của 5 số tự nhiên liên tiếp có chia hết cho 5 không ?
d. Rút ra bài toán tổng quát
Giải :
a. Gọi tổng của 3 số tự nhiên liên tiếp là : n+(n +1) + (n +2) = 3n +3 Tổng
của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3 (Theo t/c chia hết của tổng )
b. Gọi tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp là :
n+(n +1) + (n +2) +(n+3) = 4n+5 không chia hết cho 4
c. Chứng minh tơng tự Tổng của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 5
d.Bài toán tổng quát : Tổng của n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho n nếu n
lẻ,không chia hết cho n nếu n chẵn .
Các bài tập t ơng tự :
1.Trong 2 số chẵn liên tiếp có một số chia hết cho 4
2.Tổng 2 số lẻ liên tiếp chia hết cho 4
3. Tổng 2 số chẵn liên tiếp không chia hết cho 4
d.Tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8
Bài toán 3 : Chứng minh rằng
a. ab + ba chia hết cho 11
b. Nếu ab = 2 cd thì abcd chia hết cho 67
Giải :
a. ab + ba =( 10a +b) + (10b +a) = 11a +11b chia hết cho 11.
b. abcd = 100 ab + cd = 100.2 cd + cd = 201 cd chia hết cho 67.
Các bài tập t ơng tự :
Chứng minh rằng :
1.abcabc chia hết cho 7,11,13.
2.abcdeg chia hết cho 23 và 29 nếu abc = 2 deg
3. Nếu ab + cd + eg chia hết cho 11 thì abcdeg chia hết cho 11.

4. Cho ( abc deg) chia hết cho 7 ,chứng minh : abcdeg chia hết cho 7.
Bài toán 4 : Cho A = 3 +3
2
+3
3
+ ....3
60
a. Chứng minh A chia hết cho 4
b. Chứng minh A chia hết cho 13
c. Chứng minh A chia hết cho 10
Giải :
a.A = (3 +3
2
) +(3
3
+3
4
)+ ....(3
59
+ 3
60
) = 3( 1+ 3) + 3
3
(1 + 3)+...+3
59
(1+3) =
= 4 .(3+3
3
+...+3
59

) chia hết cho 4 .
b,c : Tơng tự ý a
Các bài tập t ơng tự
1.Cho B = 5 + 5
2
+5
3
+ ....5
99
Chứng tỏ B chia hết cho 6,31.
2. Cho C = 7 + 7
2
+7
3
+ ....7
100
Chứng tỏ : C chia hết cho 8,chia hết cho 400.
Bài toán 5 :
Chứng minh rằng với

số nguyên dơng n ta đều có n
3
+5n chia hết cho 6
Giải : Có n
3
+5n = n
3
- n + 6n = n( n
2
-1)+6n = n(n-1)(n+1) +6n

Vì 6n chia hết cho 6, n(n-1)(n+1) là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2
và 3 mà (2,3) = 1 n(n-1)(n+1) chia hết cho 6 n
3
+5n chia hết cho 6.
Bài toán 6 :
Cho a,b,c là các số nguyên ,chứng minh rằng :
a
3
+ b
3
+c
3
chia hết cho 6

a + b +c chia hết cho 6
Giải : Đặt M = a
3
+ b
3
+c
3
, N = a + b +c.
Xét hiệu : M N = (a
3
+ b
3
+c
3
) (a + b +c) = (a
3

a)+ ( b
3
b) +(c
3
c) chia
hết cho 6 ( theo bài toán 5).
Vậy M N chia hết cho 6 nên : M chia hết cho 6 N chia hết cho 6 bài toán đợc
chứng minh .
Bài toán 8 :
Chứng minh rằng (a+2b) chia hết cho 3

(b+2a) chia hết cho 3 .
Giải : Vì (a+2b) chia hết cho 3 2(a+2b) chia hết cho 3 2a +4b chia hết cho 3
(2a + b) +3b chia hết cho 3 2a + b chia hết cho 3 ( vì 3b chia hết cho 3)
Ngợc lại : Vì (b+2a) chia hết cho 3 2(b+2a) chia hết cho 3 2b +4a chia hết cho 3
(2b + a) +3a chia hết cho 3 2b + a chia hết cho 3.
Các bài tập t ơng tự
Chứng minh rằng :
1. (a + 4b )chia hết cho 13 (10a +b) chia hết cho 13.
2. (6x + 11y )chia hết cho 31 (x + 7y) chia hết cho 31
3. (a + 5b )chia hết cho 17 (3a - 2b) chia hết cho 17.
4. (3a + 2b )chia hết cho 13 (6a +b) chia hết cho 13.
d. Bài tập về UC,UCLN,BC,BCNN.
Bài toán 1 : Dùng thuật toán ơ cơ lít tìm :
1. UCLN( 702,306)
2. UCLN( 528,204)
3. UCLN( 240,891)