Lý thuyết 12 về Mũ và Logarit

Gv. Trãn Quốc Nghĩa

Trang 15

Chương 2. MŨ VÀ LÔGARIT
Bài 1. LŨY THỪA
① a n  a.a.a...a (n thừa số)

② a0  1

③  a.b   a n .bn

④ am

 

n

⑨
⑪

n

⑬

n m

⑮

n

⑰

n

n

n

⑥ 

⑦ a m n  a m .a n
m
an

 a m.n

an  b 
a

   (a, b  0)

bn  a 
b
am
⑧ a m  n  n (a  0)
a

1
an

⑤ an 

n

⑩

1
an

a .n b  n ab

⑫

 a

a  n. m a

⑭

n

a na

b nb

n

ap

n

a

q

n

a n  a khi n chẵn

 a (m, n  , n  2)
n

m

a . a  a
p n

q

n

⑯

pq

⑱

a n  a khi n lẻ

⑲ a  1 thì a  a     

 n a (n  , n  2)

n

m

 n am

 n a p q

⑳ 0  a  1 thì a  a     

Bài 2. LÔGARIT
1. Định nghĩa:
Cho 2 số dương a, b, a  1 . Khi đó:   log a b  a  b

2. Các tính chät:
Cho a, b, c thỏa điều kiện cần thiết
① log a ab  b
② log a 1  0
③ log a a  1
⑤ loga (bc)  log a b  log a c

④ a

loga x

e

ln x

 x ( x  0)

lg x

10

⑥ log a

 x ( x  0)
 x ( x  0)

b
 log a b  log a c
c


Lý thuyết Toán THPT
⑦ log a b 
⑨

Trang 16

log c b ln b lg b


log c a ln a lg a

⑧ log a b.logb c  log a c (b  1)

1
 logb a (b  1)
log a b

Cho 0  a  1; bc  0 , k 

⑩ log an b m 

m
log a b (n  0)
n



⑪ log a (bc)  log a b  log a c

⑫ log a

b
 log a b  log a c
c

⑭ log a b2k 1  (2k  1)log a b

⑬ log a b2k  2k log a b

3. Lôrarit thập phân, lôgarit tự nhiên:
a. Lôgarit thập phân: log10 x  log x  lg x
n

 1
b. Lôgarit tự nhiên: log e x  ln x với e  lim 1    2.718 281 828 ...
n  
n

Bài 3. HÀM SỐ LŨY THỪA– HÀM SỐ MŨ
HÀM SỐ LÔGARIT
1. Định nghĩa:
 Hàm số lũy thừa:

y  x  



 Hàm số mũ:

y  a x  0  a  1

 Hàm số lôgarit:

y  loga x  0  a  1

2. Tập xác định:
 Hàm số lũy thừa: y  x  

 Với  nguyên dương:



có TXĐ D:
D

 Với  nguyên âm hoặc bằng 0: D 
 Với  không nguyên:

\ {0}

D   0;  

 Hàm số mũ: y  a x  0  a  1 có TXĐ D 
 Hàm số lôgarit: y  loga x  0  a  1 có TXĐ D   0;  


Gv. Trãn Quốc Nghĩa

Trang 17

3. Sự biến thiên:
 Nếu a  1 thì y  a x và y  log a x đồng biến trên TXĐ
 Nếu 0  a  1 thì y  a x và y  log a x nghịch biến trên TXĐ
 Chú ý: y  lg x; y  ln x : luôn đồng biến trên  0; 

4. Đạo hàm:
Hàm sơ cấp

Hàm hợp (u = u(x))

(e x )'  e x

(eu )'  u '.eu

(a x )'  a x .ln a

(au )'  u '.au .ln a

 ln x 

 ln u 



1
x

 loga x 



'

'



u'
u

 loga u 



'

1
x ln a

'

u'
u ln a

( x )'   x 1

(u )'   u 1.u '

 x   n

 u   n uu'

1

n

n

x

n

n 1

n

n 1

Bài 4. PHƢƠNG TRÌNH MŨ, LÔGARIT
1. Phương trình mũ, lôgarit cơ bản:
Cho 0  a  1 :

 ax  b :
 Nếu b  0 : phương trình vô nghiệm
 Nếu b  0 : a x  b  x  log a b
 log a x  b  x  ab

2. Các phương pháp giải khác:
 Đưa về cùng cơ số: Cho 0  a  1
 a f ( x )  a g ( x )  f ( x)  g ( x)
 loga f ( x)  loga g ( x)  f ( x)  g ( x)


Lý thuyết Toán THPT

Trang 18

 Đặt ẩn phụ:
 t  a f ( x ) , điều kiện t  0
 t  log a f ( x) , không cần điều kiện cho t .
 Mũ hóa hoặc lôgarit hóa.
 Dùng tính đơn điệu của hàm số: nhẩm nghiệm và chứng minh duy nhất.

Bài 5. BẤT PHƢƠNG TRÌNH MŨ, LÔGARIT
1. Phương trình mũ, lôgarit cơ bản:
 Nếu 0  a  1 :
 Nếu a  1 :

ax  a y  x  y
log a x  log a y  0  x  y
ax  a y  x  y
log a x  log a y  x  y  0

2. Các phương pháp giải khác:





Đưa về cùng cơ số.
Đặt ẩn phụ.
Mũ hóa hoặc lôgarit hóa.
Dùng tính đơn điệu của hàm số.