Bình phương của một số hữu tỷ

BèNH PHNG CA MT S HU T
Bi 1: Cho cỏc s hu t p, q, r tho món pq + qr + rp = 1. Chng minh
(1 + p
2
)(1 + q
2
)(1 +r
2
) l bỡnh phng mt s hu t.
HD: 1+p
2
= (p+q)(p+r)...
Bi 2 (HSG Liờn xụ 1988,TS chuyờn Thỏi Nguyờn 1997):: Cho cỏc s hu t x, y tho
món: x
5
+ y
5
= 2x
2
y
2
. Chng minh 1 xy l bỡnh phng ca mt s hu t.
Hớng dẫn giải:
*Với x = 0 hoặc y = 0 ta có 1 xy = 1
2
(đpcm)
* Với x 0, y 0, x,y Q ta có các cách sau:
Cách 1: Bình phơng hai vế đẳng thức (1) ta đc:
44551010
42 yxyxyx
=++

)1(4)(
442
44255
5544551010
xyyxyx
yxyxyxyx
=
=+

2
22
55
2
1









=
yx
yx
xy
(đpcm)
Cách 2: Bình phơng hai lần
(1)

44551010
42 yxyxyx
=++
)1()4()(
)1(162
416162
)44(42
)2(2
24421010
8810102020
1010998810102020
228810102020
441010
xyyxyx
xyyxyxyx
yxyxyxyxyx
yxxyyxyxyx
xyyxyx
=
=+
+=++
+=++
=+

2
44
1010
2
1

=
yx
yx
xy
(đpcm)
Cách 3: Chia cả hai vế của (1) cho x
4
ta đợc
2
2
4
5
4
5
2
x
y
x
y
x
x
=+

2
2
4
5
2
x
y
x
y
x
=+
2
3
4
6
2
x
y
x
y
xy
=+
(Nhân cả hai vế với y)
xy
x
y
x
y
=+
112

2
3
4
6
xy
x
y
=









11
2
2
3
(đpcm)
Cách 4:
(1)
2
22
5
22
5
=+

yx
y
yx
x
2
2
3
2
3
=+
x
y
y
x
(2) mặt khác ta lại có
xy
x
y
y
x
=
2
3
2
3
(3)
Từ (2) và (3) ta có
2
3
2

3
&
x
y
y
x
là nghiệm của phơng trình:
X
2
2X + xy = 0


= 1 - xy là bình phơng của một số hữu tỷ
Cách 5:
(1)
2
2
3
2
3
=+
x
y
y
x
2
2
3
2
3

2
2
3
2
3
4
6
4
6
4
6
4
6
2
1
)1(4
442
42

=
=









=+
=++
x
y
y
x
xy
xy
x
y
y
x
xyxy
x
y
y

x
xy
x
y
y
x
Cách 6: Đặt x = ky thay vào (1) và biến đổi đồng nhất đpcm.
Bi 3 (TS chuyờn Thỏi Nguyờn 2007):
Cho các số hữu tỷ dơng x và y thỏa mãn: x
3
+ y
3
= 2x
2
y
2
, chứng minh:
xy
1
1
−
còng lµ sè h÷u tû.
Chứng minh :(gt)
⇔

3 3 6 3 3 6
3 3
3
2
4

2 ( )
x y x x y y
xy xy
x y
xy
+ + +
= ⇒ =
⇒

3 3
6 3 3 6
1 4
2
x y
xy x x y y
=
+ +

⇒

6 3 3 6 3 3 2
6 3 3 6 3 3 2
1 2 ( )
1
2 ( )
x x y y x y
xy x x y y x y
− + −
− = =
+ + +

⇒

3 3
3 3
1 | |
1
x y
Q
xy x y
−
− = ∈
+
vì x, y
∈
Q
+
.