Tài liệu chuyên đề ôn toán luyện thi vào 10 (2)

Sáng kiến kinh nghiệm

A .Đặt vấn đề
I . Lí do chọn đề tài :
Bất đẳng thức đại số là một chuyên đề cơ bản và tơng đối khó trong chơng trình đại số phổ thông . Các bài toán về bất đẳng thức đại số rất phong phú ,
đa dạng . Đòi hỏi cần vận dụng các phơng pháp giải vào từng bài một cách hợp
lí , để đem lại kết quả bài toán một cách nhanh gọn , dễ hiểu hay nhiều khi khá
độc đáo và bất ngờ.
Việc giải bài toán này giúp chúng ta tiếp cận và làm quen dần với các bài
toán thực tế nh :So sánh các biểu thức ,tìm giá trị lớn nhất , tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức .
Đối với tôi - là một giáo viên THCS , việc tập dợt nghiên cứu khoa học là
rất cần thiết để củng cố và đào sâu kiến thức . Từ đó có thể truyền đạt cho học
sinh một cách linh hoạt và có hệ thống hơn.
Đặc biệt qua thực tế giảng dạy môn toán tôi nhận thấy giải toán bất đẳng
thức là tơng đối khó với học sinh ,chứng minh bất đẳng thức , giải bất phơng
trình là mới lạ ,là khó ... và thực tế cho thấy :
- Học sinh lúng túng trớc vấn đề cần chứng minh mà không biết bắt đầu
từ đâu và đi theo hớng nào .
-Học sinh có suy luận kém , dùng lập luận thiếu căn cứ , không chính xác
, lập luận dài dòng , thậm chí có mâu thuẫn , t duy suy luận cha cao .
-Học sinh còn mắc lỗi khi dùng kí hiệu , câu chữ lủng củng ; nhân hai vế
của bất đẳng thức, bất phơng trình với số âm mà không đổi chiều bất đẳng
thức ,bất phơng trình .
-Với những bài chỉ sử dụng giả thiết nếu không tìm ra lời giải thì học sinh
thờng bế tắc , ít sáng tạo dẫn đến các em ngại khó và bỏ qua .
Hơn nữa , trong chơng trình đại số THCS cha đi sâu vào phần này. Vì vậy
, tôi chọn chuyên đề " Một số phơng pháp giải bài toán bất đẳng thức
ở trờng thcs " làm đề tài nghiên cứu .

1

Sáng kiến kinh nghiệm
Nội dung chính của đề tài là tìm tòi , hệ thống các bài toán hay ; phân loại
và tìm phơng pháp giải các bài toán đó .
Do tính đa dạng và phong phú của các bài tập về bất đẳng thức nên tôi chỉ
trình bày một số dạng thông qua các phơng pháp giải cơ bản . trong mỗi phơng
pháp giải là một số bài tập tiêu biểu kèm theo lời giải chi tiết .

II . Mục đích nghiên cứu :
1 . Đối với giáo viên :
- Nâng cao trình độ chuyên môn , phục vụ cho quá trình giảng dạy.
- Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học , nâng cao kiến thức .

2 . Đối với học sinh :
Giúp học sinh học tập môn toán nói chung và việc giải các bài tập về
chứng minh bất đẳng thức nói riêng . Trang bị cho học sinh một số kiến thức
nhằm nâng cao năng lực môn toán giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động ,
sáng tạo và làm công cụ giải quyết một số bài tập có liên quan đến bất đẳng
thức .
Giúp học sinh nắm vững một cách có hệ thống các phơng pháp cơ bản và
vận dụng thành thạo các phơng pháp đó để giải bài tập .
Gây đợc hứng thú cho học sinh khi làm bài tập trong sách giáo khoa ,
sách tham khảo , giúp học sinh tự giải đợc một số bài tập .
Thông qua việc giải bài toán về bất đẳng thức, giúp học sinh thấy rõ mục
đích của việc học toán và học tốt hơn các bài tập về bất đẳng thức .

III . Nhiệm vụ nghiên cứu :
- Tìm hiểu thực tiễn ở trờng THCS
- Đa ra một số giải pháp

- Đa ra một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức phù hợp với trình độ
nhận thức của học sinh THCS .
- Trang bị cho học sinh một số phơng pháp giải toán bất đẳng thức áp
dụng để giải bài tập .
- Vận dụng giải toán bất đẳng thức vào giải một số bất phơng trình dạng đặc
biệt
2


Sáng kiến kinh nghiệm
1 . Phạm vi đề tài :
Phát triển năng lực t duy của học sinh thông qua giải toán bất đẳng thức
đối với học sinh Lớp 8 , lớp 9 .

2 . Đối tợng nghiên cứu :
- Học sinh ở lứa tuổi 14 -15 ở trờng THCS vì đa số các em thích học toán
và bớc đầu thể hiện năng lực tiếp thu một cách ổn định .
- Đối tợng khảo sát : học sinh lớp 8 ,9 và trong các giờ luyện tập, ôn tập .
Luyện thi học sinh giỏi, tốt nghiệp THCS ...

3 . Phơng pháp tiến hành :
- Học sinh có kiến thức cơ bản , đa ra phơng pháp giải, vận dụng các bài
tập áp dụng , chỉ ra đợc các sai lầm hay gặp .
- Học sinh về nhà làm bài tập .

4 . Dự kiến kết quả của đề tài :
- Khi cha thực hiện đề tài này : Học sinh chỉ giải một số bài tập về bất
đẳng thức đơn giản , hay mắc những sai lầm, hay gặp khó khăn, ngại làm bài tập
về bất đẳng thức .
- Nếu thực hiện đề tài này thì học sinh có hứng thú khi giải toán bất đẳng

thức , làm bài tập tốt hơn , tự giải quyết đợc các bài tập bất đẳng thức có dạng tơng tự , hạn chế đợc nhiều sai lầm khi giải toán bất đẳng thức .

IV . Phơng pháp nghiên cứu :
- Nghiên cứu tài liệu về lí luận
- Tham khảo , thu thập tài liệu, phân tích, tổng hợp
- Thử ngiệm s phạm
- Kiểm tra , khảo sát chất lợng học sinh , nghiên cứu hồ sơ giảng dạy
,điều tra trực tiếp thông qua các giờ học
- Tổng kết , rút kinh nghiệm ,tự đánh giá chất lợng giảng dạy của bản
thân từ đó nâng cao hơn trình độ chuyên môn nghiệp vụ .

3


Sáng kiến kinh nghiệm

B . Giải quyết vấn đề
Chơng i : Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn
I . Cơ sở lí luận

Trong điều kiện hiện nay , cùng với sự phát triển chung của đất n-

ớc,ngành giáo dục đã từng bớc thay đổi chơng trình , sách giáo khoa , phơng
pháp giảng dạy để phù hợp với thực tế .Việc đổi mới phơng pháp dạy học là vấn
đề cần thiết đối với mỗi giáo viên .
Ngời thầy đóng vai trò chủ đạo , hớng dẫn học sinh tìm tòi kiến thức .
Việc phát huy tính chủ động , sáng tạo , t duy lô gic của học sinh trong học tập
và cuộc sống là điều rất cần thiết , đó là điều mà trong dạy học Toán dễ dàng
thực hiện đợc
Việc trang bị cho học sinh những kiến thức Toán không chỉ gồm khái

niệm, tính chất, định lí , qui tắc ... mà cả những kĩ năng , phơng pháp giải bài
tập và vận dụng vào thực tế cuộc sống . Vì thế trong quá trình giảng dạy ngoài
việc hớng dẫn học sinh tìm tòi tri thức còn phải suy luận , đúc rút kinh nghiệm.
Khi giải bài toán không chỉ đòi hỏi học sinh linh hoạt trong việc áp dụng lí
thuyết mà còn khai thác , phát triển bài toán theo chiều hớng thuận lợi nhất cho
việc giải nó
Mỗi giáo viên trong quá trình giảng dạy đều muốn đem tâm huyết và vốn kiến
thức của mình truyền thụ cho học sinh mong các em hiểu bài và yêu thích môn
Toán hơn . Việc giảng bài và tìm ra phơng pháp giải sao cho phù hợp với đối tợng học sinh đã kích thích lòng ham mê ở các em, từ đó tìm ra những học sinh
có năng khiếu và bồi dỡng trở thành học sinh giỏi
Giải bài toán bất đẳng thức, bất phơng trình rèn cho học sinh t duy phân
tích, tổng hợp, phát huy đợc tính tích cực chủ động trong t duy

II . Cơ sở thực tiễn
Bài toán về bất đẳng thức có mặt hầu hết trong các đề thi học sinh giỏi
các cấp, thi tuyển sinh vào lớp chọn của THCS, THPT
4


Sáng kiến kinh nghiệm
Qua thực tế giảng dạy môn toán tôi nhận thấy giải toán bất đẳng thức là
tơng đối khó với học sinh ,chứng minh bất đẳng thức , giải bất phơng trình là
mới lạ và khó ... và thực tế cho thấy :
- Học sinh lúng túng trớc vấn đề cần chứng minh mà không biết bắt đầu
từ đâu và đi theo hớng nào .
-Học sinh có suy luận kém , dùng lập luận thiếu căn cứ , không chính xác
, lập luận dài dòng , thậm chí có mâu thuẫn , t duy suy luận cha cao .
-Học sinh còn mắc lỗi khi dùng kí hiệu , câu chữ lủng củng ; nhân hai vế
của bất đẳng thức, bất phơng trình với số âm mà không đổi chiều bất đẳng
thức ,bất phơng trình .

-Với những bài chỉ sử dụng giả thiết nếu không tìm ra lời giải thì học sinh
thờng bế tắc , ít sáng tạo dẫn đến các em ngại khó và bỏ qua .
- Tài liệu dùng cho học sinh còn ít dẫn đến việclựa chọn và giải bài tập
còn nhiều hạn chế

CHƯƠNG II : GIảI QUYếT VấN Đề
I . Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức
Hai biểu thức A và B của các số hoặc chữ thay số , liên hệ với nhau bởi
một trong các quan hệ lớn hơn ( > ) ; bé hơn ( < ) ; lớn hơn hoặc bằng ( ) ; bé
hơn hoặc bằng ( ) ; khác ( ) gọi là bất đẳng thức . Viết là :
A>B; A1 . Tính chất 1 : Nếu a và b là hai số thực nếu a > b b < a
2 . Tính chất 2 : Nếu a > b và b > c thì a > c
3 . Tính chất 3 : Nếu a > b và c bất kì thì a + c > b + c
4 . Tính chất 4 : Nếu a > b + c thì a - b > c
5 . Tính chất 5 : Nếu a > b và c > d thì a + c > b + d
Nếu a > b và c < d thì a - c > b - d
6 . Tính chất 6 : Nếu a > b và c > 0 thì ac > bc
5


Sáng kiến kinh nghiệm
Nếu a > b và c < 0 thì ac < bc
7 . Tính chất 7 : Nếu a > b 0 và c > d 0 thì ac > bd
8 . Tính chất 8 : Nếu a > b , ab > 0 thì

1
1
<
a

b

9 . Tính chất 9 : a > b > 0 an > bn ( n > 0)
a > b an > bn ( n lẻ )
a > b

an > bn ( n chẵn )

10.Tính chất 10: Nếu a > b > 0 và n là một số nguyên dơng thì n a > n b .

II.Những bài toán về bất đẳng thức và phơng pháp giải
1. Phơng pháp 1 : Dùng phép biến đổi tơng đơng
* Phơng pháp : A

B A-B 0

Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức
đúng hoặc bất đẳng thức đã đợc chứng minh đúng .

* Ví dụ :
Bài 1 : Cho các số dơng a và b thoả mãn điều kiện a + b = 1 . Chứng
minh rằng : ( 1 +

1
1
)( 1 + ) 9 .
a
b

Giải : Ta có :

(1+

1
1
)(1+ ) 9
a
b

(1)

a +1 b +1
9
.
a
b

ab + a + b + 1 9ab

( vì ab > 0 )

a + b + 1 8ab
2 8ab

( vì a + b = 1 )

1 4ab ( a + b )2 4ab

( vì a + b = 1 )

( a + b )2 0

(2)

Bất đẳng thức ( 2 ) đúng ,mà các phép biến đổi trên là tơng đơng , vậy
bất đẳng thức ( 1 ) đúng . ( đpcm)
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a = b .
Bài 2 : Cho a , b , c , d , e là các số thực . Chứng minh rằng :
a , a2 + b2 + 1 ab + a + b
6


Sáng kiến kinh nghiệm
b , a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a ( b + c + d + e )
Giải :
a , Ta có : a2 + b2 + 1 ab + a + b,
2 ( a2 + b2 + 1 ) - 2 ( ab + a + b ) 0
( a2 - 2ab + b2 ) + ( a2 - 2a + 1 ) + ( b2 - 2b + 1 ) 0
( a - b )2 + ( a - 1 )2 + ( b - 1 )2 0

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng với mọi a , b . Nên ta có điều phải
chứng minh . Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1.
b , Ta có :
a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a ( b + c + d + e )
a2 + b2 + c2 + d2 + e2 - ab - ac - ad - ae 0
4a2 + 4b2 + 4c2 + 4d2 + 4e2 - 4ab - 4ac - 4ad - 4ae 0
(a2 - 4ab + 4b2) + ( a2 - 4ac + 4c2) + (a2 - 4ad + 4d2) + (a2 - 4ae + 4e2) 0
( a - 2b )2 + ( a - 2c )2 + ( a - 2d )2 + ( a - 2e )2 0

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng với mọi a , b , c , d , e . Nên ta có
điều phải chứng minh . Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a = 2b = 2c = 2d = 2e .
Bài 3 : Cho ab 1 . Chứng minh rằng :
1
1
2

2 +
2
1 + ab
1+ a
1+ b

Giải : Ta có :
(

1
1
2

2 +
2
1 + ab
1+ a
1+ b

1
1
1
1

)+(
)0
2 2 1 + ab
1 + ab
1+ a
1+ b

ab a 2
ab b 2

0
+
(1 + a 2 )(1 + ab)
(1 + b 2 )(1 + ab)


a (b a)
b( a b )
0
+
2
(1 + a )(1 + ab)
(1 + b 2 )(1 + ab)



(b a ) 1 + b 2 a - (1 + a 2 )b
0
(1 + a 2 ) (1 +b 2 ) (1 +ab)

(b a )(a 2 + ab 2 b a 2 b)
0
(1 + a 2 )(1 + b 2 )(1 + ab)



(b a )(b a )(ab 1)
0
(1 + a 2 )(1 + b 2 )(1 + ab)

[(

)

]

7

(1)


Sáng kiến kinh nghiệm


(b a ) 2 (ab 1)
0
(1 + a 2 )(1 + b 2 )(1 + ab)

(2)

Bất đẳng thức ( 2 ) luôn đúng với mọi ab 0 .Do đó bất đẳng thức ( 1 ) đợc chứng minh

* Bài tập vận dụng :
Bài 1 : Cho ba số a , b , c bất kì . Chứng minh rằng :
a2 + b2 + c2 ab + bc + ca
Bài 2 : Cho hai số a, b bất kì . Chứng minh rằng :
a , ( a2 + b2 )( a4 + b4 ) ( a3 + b3 )2
b , ( a + b )( a3 + b3 ) 2 ( a4 + b4 )
Bài 3 : Cho hai số a, b > 0. Chứng minh :
a , 2( a3 + b3 ) ( a + b )( a2 + b2 )
b , 4( a3 + b3 ) ( a + b )3

2 . Phơng pháp 2 : Dùng phơng pháp phản chứng
* Phơng pháp :
Giả sử cần phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng . Ta hãy giả sử bất
đẳng thức đó sai và kết hợp với giả thiết để suy ra điều vô lí .
Điều vô lí có thể là điều trái với giả thiết , có thể là điều trái với một điều
đúng ,cũng có thể là sai hay vô lí vì hai điều trái ngợc nhau . Từ đó suy ra bất
đẳng thức cần chứng minh là đúng .

* Ví dụ :
Bài 1 : Cho a2 + b2 2 . Chứng minh rằng : a + b 2
Giải : Giả sử a + b > 2, bình phơng hai vế (hai vế đều dơng ) ta đợc :
a2 + 2ab + b2 > 4

(1)

Mặt khác ta có : 2ab a2 + b2 a2 + b2 + 2ab 2( a2 + b2 )

Mà 2( a2 + b2) 4 ( giả thiết) , do đó a2 + 2ab + b2 4 mâu thuẫn với (1)
Vậy điều giả sử là sai. Vậy a + b 2
Bài 2: Chứng minh rằng nếu a1a2 2( b1 + b2 ) thì ít nhất một trong hai
phơng trình

x2 + a1x + b1 = 0
x2 + a2x + b2 = 0 có nghiệm .
8


Sáng kiến kinh nghiệm
Giải : Giả sử cả hai phơng trình đã cho vô nghiệm
Khi đó : 1 = a12 - 4b1 < 0
2 = a22 - 4b2 < 0

=> a12 + a22 - 4b1 - 4b2 < 0
a12 + a22 < 4( b1 - b2 )

Theo giả thiết ta có 2( b1 - b2 ) a1a2 => 4( b1 - b2 ) 2a1a2
a12 + a22 2a1a2

Do đó :

=> a12 + a22 - 2a1a2 0
=> ( a1 - a2)2 0

( vô lí )

Vậy ít nhất một trong hai phơng trình đã cho có nghiệm .
Bài 3 : Chứng minh rằng trong ba bất đẳng thức sau ít nhất có một bất

đẳng thức đúng :

a +b
2

2

(b + c ) 2
2

b2 + c2

(c + a ) 2
2

c2 + a2

( a + b) 2
2

Giải : Giả sử cả ba bất đẳng thức trên đều sai . Ta có :

a2 + b2 <

(b + c) 2
2

(1)

b2 + c2 <

(c + a ) 2
2

(2)

c2 + a2 <

( a + b) 2
2

(3)

Cộng vế với vế (1) , (2) ,(3) ta đợc :
a2+ b2 + b2 + c2 + a2 + c2 <

(b + c ) 2 + ( c + a ) 2 + ( a + b ) 2
2

4( a2+ b2 + c2 ) < 2( a2+ b2 + c2 ) + 2ab + 2bc + 2ca
2a2+ 2b2 + 2c2 - 2ab - 2bc - 2ca < 0
( a2 -2ab + b2 ) + (b2 -2bc + c2 ) + ( a2 -2ac + c2 ) < 0
( a - b )2 + ( b - c )2 + ( a - c ) 2 < 0

9

( vô lí )


Sáng kiến kinh nghiệm

Vậy trong ba bất đẳng thức trên có ít nhất một bất đẳng thức đúng .

* Bài tập vận dụng :
Bài 1 : Cho a3 + b3 = 2. chứng minh rằng a + b 2
Bài 2 : Cho ba số a , b ,c khác nhau đôi một. Chứng minh rằng tồn tại một
trong các số 9ab, 9bc, 9ca nhỏ hơn ( a + b + c )2
Bài 3 : Chứng minh rằng nếu a + b + c > 0, abc > 0, ab + bc + ca > 0 thì
a > 0, b > 0 , c > 0

3 . Phơng pháp 3 : Dùng bất đẳng thức trong tam giác
* Phơng pháp :
Nếu a , b , c là số đo ba cạnh của một tam giác thì a , b , c > 0 và
|b - c| < a < b + c
|a - c| < b < a + c
| a - b| < c < a + b
Trong một số bài toán mà các đại lợng trong biểu thức ở các vế của bất đẳng
thức là không âm , khi đó sẽ tồn tại một tam giác mà các cạnh là giá trị của các
đại lợng đó và ta có thể vận dụng các bất đẳng thức trên để chứng minh .

* Ví dụ :
Bài 1 : Chứng minh rằng nếu a , b , c là độ dài các cạnh của một tam giác
thì ta có :

a2 + b2 + c2 < 2( ab + bc + ca )

Giải :
Vì a , b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta có :
0 < a < b + c => a2 < a( b + c )
0 < b < a + c => b2 < b( a + c )
0 < c < a + b => c2 < c( a + b )

Cộng vế theo vế của ba bất đẳng thức trên ta đợc :
a2 + b2 + c2 < a( b + c ) + b( a + c ) + c( a + b )
a2 + b2 + c2 < 2( ab + bc + ca )

(đpcm)

Bài 2 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng :
a
b
c
+
+
<2
b+c
c+a
c+b

10


Sáng kiến kinh nghiệm
Giải : Giả sử a b c > 0 thì a + b a + c b + c
Ta có

a
=
b+c

a
b+c

b
b

c+a
b+c
c
c

a+b
b+c

Cộng vế theo vế ta đợc :
a
b
c
a+b+c

+
+
b+c
c+a
c+b
b+c

Hay

a
b
c

a

+
+
+ 1 < 1+ 1 = 2
b+c
c+a
c+b
b+c

Vậy

a
b
c
+
+
<2
b+c
c+a
c+b

Bài 3 : Cho a , b , c là độ dài ba cạnh của một tam giác với a < b < c .
Chứng tỏ rằng :

a3( b2 - c2 ) + b3( c2 - a2 ) + c3(a2 - b2) < 0

Giải :
Ta có : a3( b2 - c2) + b3(c2 - a2) + c3( a2 - b2)
= a3 (b 2 a 2 ) + (a 2 c 2 ) + b3(c2 - a2) + c3( a2 - b2)

= - a3( a2 - b2) + a3( a2 - c2) - b3(a2 - c2) + c3( a2 - b2)
= -( a2 - b2)(a3 - c3) + ( a2 - c2) ( a3 - b3)
= ( a - b )( a - c ) [ -( a + b)( a2 + ac + c2) + ( a + c)( a2 + ab + b2)]
= ( a - b )( a - c) (ab 2 + b 2 c - ac 2 - bc 2 )
= ( a - b )( a - c) a(b 2 c 2 ) + bc(b c)
= (a - b)(a - c)( b - c)( ab + bc + ca) < 0 (vì a , b , c N* và a < b < c)
Vậy a3( b2 - c2 ) + b3( c2 - a2 ) + c3(a2 - b2) < 0 (đpcm).

* Bài tập vận dụng :
Bài 1 : Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh
2(a+b+c)

a2 + b2 +

b2 + c2 + c2 + a2 < 3 ( a + b + c )

Bài 2 : Chứng minh rằng nếu a , b, c là độ dài các cạnh của một tam giác với
a b c thì ( a + b + c ) 2 9bc
Bài 3 : Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng :
11


Sáng kiến kinh nghiệm
a3 + b3 + c3 + 3abc > ab( a + b ) + bc( b + c ) + ac( a+ c )

4 . Phơng pháp 4 : Dùng bất đẳng thức Cauchy
* Bất đẳng thức Cauchy :
Cho n số không âm a1 , a2 , a3 ,...,an
Ta có bất đẳng thức :
a1 + a 2 + ... + a n

n

n

a1 a 2 ...a n

Dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 =...= an
Trong trờng hợp này ta thờng đề cập đến một số bài toán mà chỉ sử dụng
trờng hợp đặc biệt của bất đẳng thức Cauchy :
Cho hai hoặc ba số không âm ta có :
a1 + a 2

2

a1 a 2

a1 + a 2 + a3

3

;

3

a1 a 2 a3

* Ví dụ :
Bài 1 : Chứng minh rằng a , b là hai số dơng ta luôn có :
3a3 + 7b3 > 9ab2

Giải :
Ta có : 3a3 + 7b3 = 3a3 + 3b3 + 4b3
áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm 3a3 , 3b3 , 4b3 ta có :
3a3 + 3b3 + 4b3 3 3 3a 3 .3b 3 .4b 3
=> 3a3 + 7b3 3ab2 3 3 2.4 > 9ab2
Vậy 3a3 + 7b3 > 9ab2 (đpcm)
Bài 2 : Cho a, b, c là các số dơng . Chứng minh bất đẳng thức :
a+b+c
a2
b2
c2

+
+
2
b+c
c+a
a+b
b+c
a2
Giải : áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số
,
không âm
4
b+c

ta có :
b+c
a
a2

a2 b + c
2
+
=2. =a
.
4
2
b+c
b+c 4

12


Sáng kiến kinh nghiệm
b+c
a2
a4
b+c

Suy ra
Tơng tự

a+c
b2
b4
c+a
a+b
c2
c4
a+b

Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta đợc :
a+b+c
a+b+c
a2
b2
c2
(a+b+c)+
+
=
2
2
b+c
c+a
a+b

Vậy

a+b+c
a2
b2
c2

+
+
(đpcm)
2
b+c
c+a
a+b

Bài 3 : Cho a, b, c > với
Chứng minh rằng :
Giải : Ta có

1
1
2
+ =
a
c
b

a+b
c+b
4
+
2a b
2c b

1
1
2
2ac
+ =
=> b =
a
c
b
a+c

2ac
c + 3a
a+c
=
2ac
2c
2a
a+c
a+

Khi đó :

a+b
=
2a b

Và

2ac
c+b
c + 3a
a+c
=
=
2ac
2c b
2c
2c
a+c
c+

Do đó :
a+b
c+b
a + 3c
c + 3a
1
3 c
1
3 a
3 c
a
+
=
+
= + . + + . =1+ ( + )
2a b
2c b
2a
2c
2
2 a
2
2 c
2 a
c
c

a

áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm a và c ta có:
c
a
ca
+ 2
=2
a
c
ac

Nên 1 +
Vậy :

3 c
a
3
( + ) 1 + 2.
2 a
c
2

a+b
c+b
4
+
2a b
2c b

ca
= 4

ac

(đpcm)
13


Sáng kiến kinh nghiệm
Bài 4 : Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh rằng :
(1+

1
1
1
)( 1 + )( 1 + ) 64
a
b
c

Giải : Theo bất đẳng thức Cauchy :
1+

1
a +1
2a + b + c
2(a + bc )
2a + 2 bc


4 a bc
=

=
a
a
a
a
a
a
1+

Chứng minh tơng tự : 1 +

1
bc
44 2
a
a

1
4
b

1+

4

ca
b2

1
ab

44 2
c
c

Nhân vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta đợc :
(abc) 2
1
1
1
4

2 2 2
( 1 + a )( 1 + b )( 1 + c ) 43 a b c

(1+

1
1
1
)( 1 + )( 1 + ) 64
a
b
c

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi a = b = c =

1
( đpcm)
3

* Bài tập vận dụng :
Bài 1: Cho a, b, c là các số không âm và a + b + c = 1. Chứng minh:
a +1 +

b +1 +

c + 1 < 3,5

Bài 2 : Cho các số dơng a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức :
a
+
b+c

b
+
a+c

c
>2
a+b

Bài 3 : Chứng minh bất đẳng thức với a và b không âm
a+b
( a + b) 2
a b +b a
+
4
2

Bài 4 : Cho a, b 1 . Chứng minh rằng a b 1 + b a 1 ab

5 . Phơng pháp 5 : Dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki
* Bất đẳng thức Bunhiacopxki :
Cho n cặp số bất kì a1 , a2 , ...,an , b1 , b 2 , ...,bn ta có bất đẳng thức
14


Sáng kiến kinh nghiệm
( a1b1 + a2b2 + ...+ anbn)2 ( a12 + a22+...+ an2)( b12 + b22+...+ bn2)
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi k : ai = kbi ( * )
a1
a2
an
=
= ... =
)
b1
b2
bn

(Nếu bi 0 thì ( * ) đợc viết
Ta chỉ đề cập đến trờng hợp :

Cho hai hoặc ba số bất kì : a1 , a2 ; b1 , b2 hoặc a1 , a2 , a3 ; b1 , b2 , b3 ta có :
( a1b1 + a2b2 )2 ( a12 + a22)( b12 + b22)
( a1b1 + a2b2 + a3b3)2 ( a12 + a22+ a32)( b12 + b22+ b32)
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ chi : a1 = kb1 ; a2 = kb2 ; a3 = kb3 ( k R )

* Ví dụ :
Bài 1 : Cho x2 + y2 = 1 . Chứng minh rằng : |2x + 3y| 13

Giải :
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai cặp số 2 ,3 ; x , y ta có :
|2x + 3y|

= 13

x2 + y2

2 2 + 32

Vậy |2x + 3y| 13
x
y
1
x2
y2
x2 + y2
= =>
=
=
=
2
3
13
4
9
13

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi :
Hoặc x =

2
13

3

;y=

13

hoặc x =

2
13

;y=

3
13

Bài 2: Cho a . b, c là ba số không âm và a + b +c = 1. Chứng minh :
a+b +

b+c +

c+a

6

Giải :

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacỗp xki cho ba bộ số :
1 ;1 ;1 và

a+b , b+c ,

c+a

Ta có :
(1. a + b +1. b + c +1. c + a ) 2 (1+1+1) ( a + b ) 2 + ( b + c ) 2 + ( c + a ) 2
( a + b + b + c + c + a ) 2 3( a + b + b + c + c + a) = 6


a+b +

b+c +

c+a

6

(đpcm)

Bài 3 : Cho a2 + b2 + c2 + d2 = 1. Chứng minh rằng :
( x2 + ax + b)2 + ( x2 + cx + d)2 ( 2x2 + 1 )2
15

(x R)


Sáng kiến kinh nghiệm

Giải :
x a

b
1

x c

d
1

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho ba bộ số x x

Ta có (x2 + ax + b)2 ( x2 + a2 + b2) ( x2 + x2 + 1)
áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho ba bộ số x x

Ta có (x2 + cx + d)2 ( x2 + c2 + d2) ( x2 + x2 + 1)
Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức trên ta đợc :

( x2 + ax + b)2 + ( x2 + cx + d)2 ( x2 + x2 + 1)( x2 + a2 + b2 + x2 + c2 + d2)
( x2 + ax + b)2 + ( x2 + cx + d)2 ( 2x2 + 1 )( 2x2 + 1 ) = ( 2x2 + 1 )2

( vì a2 + b2 + c2 + d2 = 1 )

(đpcm)

Bài 4 : Chứng minh bất đẳng thức : a2 + b2 + c2 ab + bc + ca
Giải : Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :
ab + bc + ca

a2 + b2 + c2

b2 + c2 + a2

ab + bc + ca a2 + b2 + c2 (đpcm)

* Bài tập vận dụng :
Bài 1 : Cho x 1 y 2 + y 1 x 2 = 1. Chứng minh rằng : x2 + y2 = 1
Bài 2 : Chứng minh mọi số nguyên dơng n :
1 +

2 +

3 ++

n n.

n +1
2

Bài 3 : Chứng minh rằng nếu : a + b = 1 thì a2 + b2

1
2

Bài 4 : Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh rằng :
1
1
1
3

+ 3
+ 3
a (b + c )
b (c + a )
c ( a + b)
2
3

6 . Phơng pháp 6 : Dùng tính chất tỉ số và giá trị tuyệt đối
* Tính chất :
- Tính chất tỉ số : Cho a , b ,c > 0 khi đó :
Nếu

a
a
a+c
< 1 thì
<
b
b
b+c

16


Sáng kiến kinh nghiệm
Nếu

a

a
a+c
> 1 thì
>
b
b
b+c

- Giá trị tuyệt đối : | x | < 1 -1 < x < 1
Nếu | x | 1 thì x2 | x|

* Ví dụ :
Bài 1: Cho a+ b > 1 . Chứng minh rằng a4 + b4 >

1
8

Giải: Ta có : a + b > 1 > 0

(1)

Bình phơng hai vế : ( a + b)2 > 1 a2 + 2ab + b2 > 1
Mặt khác : ( a - b)2 0 a2 + 2ab + b2 0

(2)
(3)

Cộng từng vế của (2) và (3) :
2( a2 + b2 ) > 1 a2 + b2 >

1
2

Bình phơng hai vế của (4) : a4 + 2a2b2 + b4 >

(4)
1
4

Mặt khác : ( a2 - b2)2 0 a4 - 2a2b2 + b4 0

(5)
(6)

Cộng từng vế của (5) và (6) ta có :
2( a4 + b4) >

1

4

a4 + b4 >

1
(đpcm)
8

Bài 2 : Cho a , b, c là số đo ba cạnh của một tam giác . Chứng minh rằng :
|

ab
bc
ca
+
+
|<1
a+b
b+c
c+a

Giải :
áp dụng | x | < 1 -1 < x < 1
Vì a,b,c là số đo ba cạnh của một tam giác nên a - b < a + b Do đó
Theo tính chất của dãy tỉ số ta có :
Tơng tự :

ab
ab+c
<
a+b
a+b+c

bc
bc+a
<
b+c
b+c+a
ca
ca+b
<

c+a
c+a+b

Cộng vế thao vế ba bất đẳng thức trên ta đợc :

17

ab
<1
a+b


Sáng kiến kinh nghiệm
ab
bc
ca
a+b+c
+
+
<
=1
a+b
b+c
c+a
a+b+c

Từ đó suy ra :

|

ab
bc
ca
+
+
| < 1 (đpcm)
a+b
b+c
c+a

Bài 3 : Cho a , b, c, d > 0 . Chứng minh rằng :
1<

a
b
c
d
+
+
+
<2
a+b+c
b+c+d
c+d +a
d +a+b

Giải :
Ta luôn có :

a

a
<
<1
a+b+c+d
a+b+c

(1)

áp dụng tính chất của tỉ số ta có :
a
a+d
<
a+b+c
a+b+c+d

(2)

Từ (1) và (2) ta có :
a
a
a+d
<
<
a+b+c+d
a+b+c
a+b+c+d

Tơng tự ta có :
b
b

a+b
<
<
a+b+c+d
b+c+d
a+b+c+d
c
c
c+b
<
<
a+b+c+d
c+d +a
a+b+c+d
d
d
d +c
<
<
a+b+c+d
d +a+b
a+b+c+d

Cộng vế theo vế của 4 bất đẳng thức kép trên ta đợc :
a+b+c+d
a
b
c
d
2(a + b + c + d )

<
+
+
+
<
a+b+c+d
a+b+c
b+c+d
c+d +a
d +a+b
a+b+c+d

Vậy 1 <

a
b
c
d
+
+
+
<2
a+b+c
b+c+d
c+d +a
d +a+b

* Bài tập vận dụng :
Bài 1 : Chứng minh bất đẳng thức :
c

b
a
a2
b2
c2

+
+
+ +
2
2
2
b
a
c
b
c
a

Bài 2 : Cho x 0 , y 0 , z 0 . Chứng minh rằng :
( x + y )( y + z )(z + x ) 8xyz
18

(đpcm)


Sáng kiến kinh nghiệm
7 . Phơng pháp 7 : Phơng pháp làm trội, làm giảm :
* Phơng pháp :
Dùng tính chất bất đẳng thức để đa ra một bất đẳng thức cần chứng minh

về dạng để tính đợc tổng hữu hạn .
Phơng pháp để tính tổng hữu hạn :
n = u1 + u2 + ...+ un ta biểu diễn số hạng tổng quát uk về hiệu hai số hạng

liên tiếp nhau :
uk = ak - ak-1khi đó :
n = ( a1 - a2) + ( a2 - a3) + ...+ ( an- an+1) = a1 - an+1

* Ví dụ :
Bài 1 : Chứng minh bất đẳng thức sau với n là số nguyên dơng :
1
1
1
1
1
+
+
+...+
2 <
(2n + 1)
9
25
49
4

Giải : Ta biến đổi số hạng tổng quát :
1
1
1
1 1

1
<
= ( )
2 =
2
4k (4k + 1)
(2k + 1)
4 k
k +1
4 k + 4k + 1

Với k =1 ta có :

1
1
1
< (1- )
9
4
2

Với k = 2 ta có :

1
1 1 1
< ( - )
25
4 2 3

Với k = 3 ta có :

1
1 1 1
< ( - )
49
4 3 4

......
Với k = n ta có :

1
1 1
1
( )
2 <
(2n + 1)
4 n n +1

Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên ta đợc :
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+...+
(1)<

2 <
(2n + 1)
9
25
49
4
n +1
4

Vậy

1
1
1
1
1
+
+
+...+
2 <
(2n + 1)
9
25
49
4

(đpcm)

Bài 2 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng ta có :
1

1
1
+
+ ...+
<2
(n + 1) n
2
3 2

19


Sáng kiến kinh nghiệm
Giải :
Ta biến đổi số hạng tổng quát :
1

=

(1 + k) k

= k(

1
k

1

-

k +1

k
=
k (k + 1)

)(

1
k

Với k = 1 ta có :
Với k = 2 ta có :

k(
1

+

k +1

1
1
)
k
k +1
2

)< k.

(

k

1
k

-

1
k +1

)=2(

1
1
< 2( 1 )
2
2
1

< 2(

3 2

1

1

-

2

3

)

......
Với k = n ta có :

1

< 2(

(n + 1) n

1
n

1

-

n +1

)

Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta đợc :
1
1

1
+
+ ...+
< 2( 1 (n + 1) n
2
3 2

Vậy

1
1
1
+
+ ...+
<2
(n + 1) n
2
3 2

1
n +1

)<2

(đpcm)

* Bài tập vận dụng :
Bài 1 : Chứng minh bất đẳng thức sau với n N, n 2
2 n -3 <

1
2

+

1
3

+ ...+

1
n

< 2 n -2

Bài 2 : Chứng minh mọi số nguyên dơng n :
1
2 1

+

1
3 2

+

1
4 3

+ ...+

1
(n + 1) n

<2 n

8 . Phơng pháp 8 : Dùng phơng pháp hình học
* Sử dụng bất đẳng thức tam giác :
Với ba điểm A ,B ,C bất kì ta có : AB + BC AC
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi B nằm giữa B và C
* Sử dụng diện tích
Bài 1 : Chứng minh rằng với mọi a , b ta đều có :
a2 + 4 +

a 2 2ab + b 2 + 1 +

b 2 6b + 10 5

20

1
k

-

1
k +1

)

Sáng kiến kinh nghiệm
Giải : Bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với :
a 2 + 22 +

(a - b) 2 + 12 +

(b - 3) 2 + 12 5

Trên mặt phẳng toạ độ lấy : A(0 ; -1) ; B(a ; 1) ; C(b ; 2) ; D(3 ; 3)
Ta có : AB = a 2 + 4
BC = (a b) 2 + 12
CD = (b 3) 2 + 12
Từ bất đẳng thức AB + BC + CD AD ta có :
a 2 + 22 +

(a - b) 2 + 12 +

(b - 3) 2 + 12

32 + 4 2 = 5

Dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi A,B,C,D thẳng hàng và xếp theo thứ tự đó
(đpcm)
Bài 2 : Cho a , b , c thoả mãn điều kiện a > c > 0 và b > c > 0
Chứng minh rằng : c(a c) + c(b c)

ab

Giải :

Theo giả thiết a , b, c > và đồng thời a > c , b > c
nên tồn tại tam giác ABC có các cạnh AB = a ,

A

AC = b và đờng cao AH = c
b

áp dụng định lí Py ta go cho

a

hai tam gíac vuông AHB và AHC ta có :
BH = a c

B

c
H

CH = b c
Do đó diện tích ABC là :
S=

1
2

c(

ac +

Mặt khác S =

1
2

a

bc ) =

1
(
2

b sinA

c(a c) +

1
2

c(b c)

ab

(do sinA 1 ) a + b + b + c + c + a
Từ đó suy ra : c ( a c + b c )

6

ab

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi ABC vuông tại A tức là khi
1
1
1
2 =
2 +
AC 2
AH
AB



1
1
1
= +
c
a
b

21

(đpcm)

C


Sáng kiến kinh nghiệm

* Bài tập vận dụng :
Bài 1 :Chứng minh bất đẳng thức sau bằng phơng pháp hình học :
a2 + b2 .

b 2 + c 2 b( a + c ) với các số dơng a, b , c

Bài 2 : Chứng minh các bất đẳng thức sau với a, b, c, d > 0
(a 2 + c 2 )(b 2 + c 2 ) +

( a 2 + d 2 )(b 2 + d 2 ) ( a + b)( c + d ) trong đó a, b, c, d là

những số thực dơng

CHƯƠNG III : THựC NGHIệM SƯ PHạM
1. Mục đích thử nghiệm
Tôi muốn thử nghiệm đề tài của mình để kiểm tra tính khả thi của nó , kiểm
tra xem khả năng giải bất phơng trình , bất đẳng thức của học sinh có tiến bộ
không.Từ đó cần điều chỉnh để đề tài đợc hoàn thiện hơn. Nếu có hiệu quả tốt
tôi sẽ nhân rộng cho các giáo viên khác

2 . Nội dung thử nghiệm
Trong quá trình giảng dạy , bồi dỡng học sinh giỏi tôi đã đa ra các bài toán
trong đề tài , hớng dẫn học sinh giải sau đó cho học sinh áp dụng giải các bài
tiếp theo dựa vào từng phơng pháp cụ thể

3 . Phơng pháp thử nghiệm
- Hớng dẫn học sinh cách áp dụng đối với từng trờng hợp
- Cho học sinh áp dụng làm bài cụ thể đối với từng trờng hợp
- Ra bài tập về nhà và yêu cầu học sinh tìm tòi thêm các bài tập tơng tự
- Kiểm tra mức độ tiếp thu , vận dụng của học sinh

4 . Kết quả thử nghiệm
Trớc khi áp dụng đề tài : 15% HS tiếp cận và giải khá khoa học
22


Sáng kiến kinh nghiệm
30% HS hiểu bài
Sau khi áp dụng đề tài : 50% HS tích cực phát hiện và giải khoa học
35% HS hiểu bài

C . KếT LUận và kiến nghị
Có thể nói rằng chuyên đề bất đẳng thức là một phần khó và đóng một vai
trò quan trọng trong chơng trình đại số THCS
Tuy nhiên , do tính đa dạng của các bài toán nên tôi chỉ nghiên cú một số
phơng pháp cơ bản , hy vọng sẽ góp phần trong việc bồi dỡng học sinh khá giỏi
Trong thực tế hiện nay khi dạy cho học sinh đại trà cũng nh quá trình bồi
dỡng học sinh giỏi tôi đã thu đợc kết quả bớc đầu: Học sinh tiếp thu bài nhanh
và dễ hiểu hơn , các em tránh đợc những sai sót cơ bản , có kĩ năng vận dụng tốt
, chất lợng bài làm nâng lên .
Tất nhiên trong quá trình làm chắc không tránh khỏi sai sót . Vì vậy , tôi
rất mong sự đóng góp ý kiến của các thầy , các cô để đề tài đợc hoàn thiện hơn .

Tôi xin chân thành cảm ơn !

23


Sáng kiến kinh nghiệm
Mục lục :

Phần

Trang

A . Đặt vấn đề

1-3

B . Giải quyết vấn đề
Chơng I : Cơ sở lí luận và cơ sở thực tiễn

4-5

Chơng II : Giải quyết vấn đề

5 - 21

Chơng III : Thực nghiệm s phạm

22

C . Kết luận và kiến nghị

23

Tài liệu tham khảo :

1 . Phơng pháp dạy học Toán ( Nguyễn Bá Kim )
2 . Một số vấn đề phát triển Toán 8 - 9
3 . Nâng cao và phát triển Toán 8 - 9 ( Vũ Hữu Bình )

4 . Một số đề thi HSG các năm cấp THCS
5 .Tuyển tập các bài toán thi vào các trờng chuyên (Võ Giang Giai)

24