Đại số 11CB - Chương IV(đầy đủ-chi tiết)

Giáo án Đại số - Giải Tích 11 Năm học: 2008-2009
Ngày soạn:
Ngày dạy:
Tiết: 49
Chương 4 GIỚI HẠN
GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I. Mục tiêu bài học:
Về kiến thức: Giúp học sinh
- Nắm được định nghĩa dãy số có giới hạn 0.
- Ghi nhớ một số dãy số có giới hạn 0 thường gặp.
Về kỹ năng:
- Biết vận dụng định lí và các kết quả đã nêu ở mục 2) để chứng minh một dãy số
có giới hạn 0.
Tư duy – thái độ:
- Chú ý, tích cực tham gia xây dựng bài.
- Cẩn thận, chính xác và linh hoạt.
II. Chuẩn bị của thầy và trò :
- Chuẩn bị của G\v:
- Soạn giáo án.
- Chuẩn bị một số đồ dùng dạy học như: thước kẻ, phấn màu…
- Bảng phụ: Vẽ hình 4.1 và bảng giá trị của | u
n
| như trong SGK.
- Chuẩn bị của học sinh:
- Đọc kỹ bài học trước khi đến lớp.
III. Phương pháp:
Sử dụng phương pháp gợi mở, vấn đáp, nêu vấn đề kết hợp với giải quyết vấn đề.
IV. Tiến trình bài dạy:
1. Ổn định tổ chức:
Ổn định lớp và kiểm tra sĩ số vắng, vệ sinh của lớp.
2. Kiểm tra bài cũ:

Kết hợp trong quá trình giảng dạy.
3. Bài mới:
Hoạt động 1: Hình thành đn dãy số có giới hạn 0.
Nội dung Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
1. Định nghĩa dãy số có giới hạn 0:
ĐN:
lim 0
n
n
u
→∞
=
⇔
∀
c > 0 nhỏ tùy ý
∃
n
0

∈
N sao cho
∀
n > n
0
thì | u
n
| < c.
(ta có thể viết
lim 0
n n

u hay u →
)
Nhận xét:
a) Dãy số (u
n
) có giới hạn 0 khi và
chỉ khi (|u
n
|) có giới hạn 0.
Vd: lim
1
0
n
=
vì
1 ( 1)
n
n n
−
=
và
lim
( 1)
0
n
n
−
=
b) Dãy số không đổi (u
n

) với u
n
=0 có
giới hạn 0.
Biểu diến dãy số: (u
n
) với
( 1)
n
u
n
n
−
=
, trên trục số.
Nhận xét các số hạng của
dãy số dần tới giá trị nào?
H: Em có nhận xét gì về
khoảng cách từ điểm u
n
đến
điểm 0 thay đổi như thế nào
khi n đủ lớn?
Khoảng cách
1
u
n
n
=
từ

điểm u
n
đến điểm 0 càng
nhỏ khi n càng lớn.
+ H\s đứng tại chỗ thực
hiện hđ1 SGK.
Hoạt động 2: Nêu một số dãy đặc biệt.
Nội dung Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
2. Một số dãy số có giới hạn 0:
Dựa vào đ\n, người ta c\m được rằng:
Để c\m một dãy số có giới
hạn 0 bằng đ\n đlí 1 sẽ cho
ta một phương pháp thường
dùng để c\m một dãy số có
Giáo viên: Vũ Thành Trung – Trường THPT Tủa Chùa
Giáo án Đại số - Giải Tích 11 Năm học: 2008-2009
a.
1
lim 0
n
=
b.
3
1
lim 0
n
=
giới hạn 0.
Nội dung Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Đlí 1: Cho hai dãy số (u

n
) và (v
n
)
Nếu | u
n
|
≤
v
n
với mọi n và lim v
n
=
0 thì lim u
n
= 0.
Vd 1: C\m: lim
sin
0=
n
n
Giải:
Ta có:
sin 1
≤
n
n n
và lim
1
0

n
=
Từ đó suy ra đpcm.
Đlí 2: Nếu | q | < 1 thì lim q
n
= 0
Vd 2:
a. lim
1 1
lim 0
2 2
 
= =
 ÷
 
n
n
b. lim
( )
2
2
lim 0
3 3
−
−
 
= =
 ÷
 
n

n
n
+ Áp dụng đlí 1 giải các vd.
+ G\v cho h\s thực hiện hđ
2 theo nhóm đã phân công
+ Từ đlí 1, ta có thể c\m
được kết quả sau thể hiện
trong đlí 2.
+ G\v cho h\s thực hiện hđ
3 theo nhóm đã phân công
+ H\s phát biểu đlí 1 trong
SGK.
+ h\s nghe và hiểu cách c\m
định lí.
+ PP: tìm dãy (v
n
) có giới
hạn 0 sao cho | u
n
|
≤
v
n
với
mọi n
+ H\s thảo luận theo nhóm
và cử đại diện trình bày.
+ H\s phát biểu đlí 2 trong
SGK.
+ H\s thảo luận theo nhóm

và cử đại diện trình bày.
Hoạt động 3: Giải một số câu hỏi và bài tập
Nội dung Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Bài 1: Chứng minh các dãy cho bởi
số hạng tổng quát sau có giới hạn 0
a)
1
( 1)
n
u
n n
=
+
b)
( )
1 cos
1
n
n
n
u
n
π
−
=
+
Bài 2: Bài 4 (sgk)
Cho dãy số (u
n
) với

3
n
n
n
u =
1) Chứng minh
1
2
3
n
n
u
u
+
≤
∀
n
2) Chứng minh
2
0
3
n
n
u
 
< ≤
 ÷
 
3) Chứng minh
lim 0

n
u =
H: Phương pháp chứng
minh dãy có giới hạn 0 ?
Chứng minh bằng quy nạp
Dựa vào giới hạn kẹp
Học sinh lên bảng giải.
Xác định u
n+1
V. Củng cố, dặn dò và bài tập về nhà:
+ G\v gọi học sinh nhắc lại định nghĩa dãy số có giới hạn 0
+ G\v gọi h\s nêu một số dãy có giới hạn 0 đã học.
H: Nêu phương pháp thường dùng để c\m một dãy số có giới hạn 0?
BTVN: Bài 1, 2, 3, 4 SGK trang 130
• Rút kinh nghiệm:
Giáo viên: Vũ Thành Trung – Trường THPT Tủa Chùa
Giáo án Đại số - Giải Tích 11 Năm học: 2008-2009
Ngày soạn:
Ngày giảng:
Tiết 50: §2. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN
I.Mục tiêu :
Về kiến thức :
- Nắm được định nghĩa dãy số có giới hạn là một số thực L và các định lị về giới
hạn hữu hạn;
- Hiểu cách lập công thức tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn.
Về kĩ năng :
- giúp học sinh biết áp dụng định nghĩa và các định lí về giới hạn của dãy số để tìm
giới hạn của một số dãy số và biết tìm tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn cho
trước.
Về tư duy và thái độ :

- Rèn luyện khả năng tư duy trong toán học để áp dụng vào thực tề.
- Có thái độ tập trung và nghiêm túc trong học tập
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh :
Giáo viên : giáo án và phấn màu thước
2. Học sinh : cần ôn lại kiên thức của bài trước và soan bài mới trước khi đến lớp
III Phương pháp dạy học :
-Gợi mở vấn đáp kết hợp với thảo luận nhóm trong lúc dạy
IV. Tiến trình bài dạy :
1. Kiểm tra bài cũ :
Hãy nêu định lí 1 và định lí 2 của bài dãy số có giới hạn 0.
Áp dụng: Hãy chưng minh :
)1(
1
+
=
nn
u
n
: có giới hạn bằng 0.
2. Bài mới :
Hoạt động 1 : Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn
Nội dung Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
1. Định nghĩa dãy số có giới hạn
hữu hạn
ĐN:

lim lim( ) 0
n n
u L u L
= ⇔ − =

Lu
n
=lim
hoặc
Lu
n
→
Ví dụ 1: Tìm
2 3
lim
1
n
n
+
+
Ví dụ 2 : Tìm giới hạn sau :
)
2
)1(
2lim(
+
−
+
n
n
Nhận xét:
-
lim
n n
u L u L= ⇔ −

nhỏ tùy ý với
n đủ lớn
- Một dãy số có thể có giới hạn cũng
có thể không có giới hạn.
Chú ý: L
∈
R
H: Giới hạn 0 có phải giới
hạn hữu hạn không ?
Phân tích
2 3 1
2
1 1
n
n n
+
= +
+ +
Nhận thấy
( )
lim 2 0
n
u − =
⇒
limu
n
=2
Cho ví dụ minh họa
Học sinh giải H1
HS lắng nghe và ghi nhận

Hoạt động 2: Trình bày một số giới hạn thường gặp
Nội dung Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
+
cu
n
=
thì
lim lim
n
u c c= =
+ Nếu
1<q
thì
0lim =
n
q
Ví dụ
1)1)
5
2
lim(( =+
n
Chứng minh các giới hạn
bên.
Giáo viên: Vũ Thành Trung – Trường THPT Tủa Chùa
Giáo án Đại số - Giải Tích 11 Năm học: 2008-2009
+
0
1
lim =

n
Hoạt động 3: Trình bày một số định lí
Nội dung Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
2. Một số định lí.
Định lí 1 : (SGK)Giả sử
Lu
n
=lim
.
Khi đó
a)
Lu
n
=lim
và
3
3
;lim Lu
n
=
b/ Nếu
0≥
n
u
với mọi n thì
0
≥
L
và
Lu

n
=lim
Định lí 2:Giả sử
lim , lim ,
n n
u L v M c R= = ∈

( )
( )
( )
lim
lim
lim . . lim . .
lim ( 0)
n n
n n
n n n
n
n
u v L M
u v L M
u v L M c u c L
u L
M
v M
+ = +
− = −
= =
 
= ≠

 ÷
 
Ví dụ 3: Tìm
n
ulim
với

2
2
742
n
nn
u
n
−+
=
Ví dụ 4: tìm

35
132
lim
4
34
+−
+−
nn
nn
Ví dụ 3 : (SGK)
3
2cos

9lim =+
n
n
Giải ví dụ
Hướng dẫn hcj sinh giải
Giải H2
Học sinh phát biểu bằng
lời định lí 2.
Giải H3
Hoạt động 4: Trình bày tổng của cấp số nhân lù vô hạn
Nội dung Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
ĐNCấp số nhân vô hạn

;
111
;;;
n
ququu
(công bội q)
là cấp số nhân lùi vô hạn nếu
1
<
q
.
b) Ví dụ:
 ;
2
1
;;

2
1
;
2
1
2
n
:
 ;
3
)1(
;;
9
1
;
3
1
1
n
n
+
−
−
Là các CSN lùi vô hạn.
c) Công thức tính tổng của CSN lùi vô
hạn:
1
1 1 1
1
n

u
S u u q u q
q
+= + + + =
−
 
(*)
Giới thiệu cấp số nhân
(CSN) lùi vô hạn
-Cho học sinh đọc ĐN
SGK trang 133.

- Xét xem mỗi dãy số sau
có phải là CSN lùi vô hạn
không?
Ví dụ 1: Tính tổng của
CSN:
a)
 ;
3
1
;;
9
1
;
3
1
;1
1
−







−−
n
b)
;1;2;2

Ví dụ 2: Biểu diễn số thập
phân vô hạn tuần hoàn sau
dưới dạng phân số.
a) 0,121212....
b) 0, 17777...
4. Củng cố và dặn dò :
-Gọi HS đứng tại chỗ nhắc lại định nghĩa và định lí 1
-Cho bài tập trắc nghiệm (treo bảng phụ) củng cố
n
nn
2
2sin
lim
−
là :
Giáo viên: Vũ Thành Trung – Trường THPT Tủa Chùa
Giáo án Đại số - Giải Tích 11 Năm học: 2008-2009
A. 1; B.
2

1
; C. -1; D. 0
Ngày soạn:
Ngày giảng:
Tiết 51 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ
I .Mục tiêu
1. Kiến thức: Giúp HS nắm được định nghĩa dãy số có giới hạn là +
∞
, -
∞
và các
qui tắc tìm giới hạn vô cực.
2. Kĩ năng: Giúp HS vận dụng được các qui tắc tìm giới hạn vô cực để từ một số giới
hạn đơn giản đã biết tìm giới hạn vô cực.
3. Tư duy, thái độ:
- Tích cực trong học tập.
- Biết khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự.
II. Chuẩn bị:
GV: Bảng phụ,giáo án,phấn,thước kẻ
HS: Bài cũ,
III Phương pháp
Gợi mở, vấn đáp đan xen hoạt động nhóm.
IV. Tiến trình dạy học
1. Bài cũ: Nhắc lại định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn? Khi n tăng, các điểm biểu
diễn (trên trục số) của dãy số có giới hạn hữu hạn có đặc điểm gì?
Tìm
4
lim
2.3 4
n

n n
+
2. Bài mới
Hoạt động 1: Định nhĩa
Nội dung Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
1. Dãy số có giới hạn +
∞
, -
∞
:
ĐN1 : limu
n
=+∞ hoặc
+∞→
n
u

⇔
∀
C > 0 lớn tùy ý
∃
n
0

∈
N sao cho
∀
n > n
0
có u

n
> C
Ví dụ 1: Xét dãy số u
n
= 2n-3,
- Với M=1000, tìm các số hạng của
dãy lớn hơn M?
u
n
>M,
502
≥∀
n
- Với M=2000, tìm các số hạng của
dãy lớn hơn M?
u
n
>M,
1002
≥∀
n
ĐN2 : limu
n
= -∞ hoặc
n
u → −∞

⇔
∀
C > 0 lớn tùy ý

∃
n
0

∈
N sao cho
∀
n > n
0
có u
n
< -C
Ví dụ: Xét dãy số (u
n
) với
u
n
=2n -3
Biểu diễn các số hạng trên
trục số. Nhận xét về giá trị
của u
n
khi n tăng?
Ví dụ 2: Xét dãy số
u
n
=-2n+3, n=1,2,…
- Với M=-1000, tìm các số
hạng của dãy bé hơn M?
u

n
<M,
502
≥∀
n
-Với M=-2000, tìm các số
h ạng c ủa d ãy b é h ơn
M?
u
n
<M,
1002
≥∀
n
Nghe, hiểu nhiệm vụ và
trả lời câu hỏi.
Ví dụ 3: Áp dụng định
nghĩa tìm các giới hạn sau:
a) lim
3
n
b) lim(-2n)
Hoạt động 2: Định lí
Nội dung Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
ĐL: Nếu lim
n
u
=+∞ th ì lim
n
u

1
=0
Ví dụ: Tính
511013
5
lim
2
−−
−
nn
- Phương pháp tính
)(
)(
lim
nQ
nP
.
* Lưu ý:
+
∞
và -
∞
không phải
Giáo viên: Vũ Thành Trung – Trường THPT Tủa Chùa
Giáo án Đại số - Giải Tích 11 Năm học: 2008-2009
là các số thực nên không
áp dụng được các định lí
về ghạn hữu hạn cho các
dãy số có ghạn vô cực.
Hoạt động 3: Một số quy tắc

Nội dung Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
3. Một vài quy tắc tìm giới hạn
QUY TẮC 1: Nếu limu
n
=±∞ v à
limv
n
=∞ th ì lim(u
n
v
n
) được cho bởi
bảng sau:
limu
n
limv
n
lim(u
n
v
n
)
+∞
+∞
-∞
-∞
+∞
-∞
+∞
-∞

+∞
-∞
-∞
+∞
QUY TẮC 2: Nếu limu
n
=±∞ và
limv
n
=L≠0 thì lim(u
n
v
n
) được cho bởi
bảng sau:
limu
n
dấu của
L
lim(u
n
v
n
)
+∞
+∞
-∞
-∞
+
-

+
-
+∞
-∞
-∞
+∞
QUY TẮC 3: Nếu limu
n
=L≠0,
limv
n
=0 và v
n
>0 hoặc v
n
<0 kể từ một
số hạng nào đó trở đi thì
n
n
v
u
lim
được
cho bởi bảng sau:
dấu của
L
dấu của
v
n
n

n
v
u
lim
+
+
-
-
+
-
+
-
+∞
-∞
-∞
+∞
-Trình bày BẢNG PHỤ
cho cả lớp nhìn
-Mô tả lại bằng lời và trên
bảng đen nhằm giúp HS
hình dung quy tăc về dấu
của tích hai số nguyên
Ví dụ:
a) Tìm lim(2n
3
– n + 71)
b) Tìm lim
71 n -2n
1
3

+
c) Tìm lim(nsinn - 2n
3
)
d) Tìm
lim
nn
nn
−
−+
2
3
3
52
=+
∞
Theo dõi bảng phụ
Biết sử dụng các quy tăvs
để tìm giới hạn
4: Củng cố
- Gv nhấn mạnh các nội dung trọng tâm của bài: định nghĩa dãy số có giới hạn vô cực và các qui
tắc tìm giới hạn.
- GV hướng dẫn cho HS dự đoán kết quả khi luỹ thừa bậc cao nhất của tử và của mẫu của phân
thức bằng nhau (hoặc lớn hơn hoặc nhỏ hơn).
Giáo viên: Vũ Thành Trung – Trường THPT Tủa Chùa
Giáo án Đại số - Giải Tích 11 Năm học: 2008-2009
Ngày soạn:
Ngày giảng:
Tiết 52: BÀI TẬP
I.Mục tiêu:

Về kiến thức: Nắm vững lại các kiến thức về giới hạn dãy số - dãy số có giới hạn 0, giới
hạn L, giới hạn vô cực và các quy tắc tìm giới hạn.
Về kĩ năng: Biết cách vận dụng các kiến thức đã học để tìm giới hạn của các dãy số,
tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
Tư duy, thái độ: Rèn luyện óc tư duy logic, tính khái quát hoá, đặc biệt hoá, quy lạ về
quen. Và tính tích cực hoạt động, tính cẩn thận, chính xác trong giải toán.
II.Chuẩn bị:
1.Giáo viên: Giáo án, bảng phụ hệ thống lý thuyết, các câu hỏi trắc nghiệm, đèn chiếu,
bút chỉ bảng.
2.Học sinh: Kiến thức về giới hạn dãy số, ôn tập và làm bài tập trước ở nhà, bảng thảo
luận nhóm, bút lông viết bảng.
III.Phương pháp: Gợi mở, vấn đáp kết hợp hoạt động nhóm.
IV.Tiến trình dạy học:
• Ổn định lớp: Kiểm tra sỉ số, vệ sinh.
• Bài mới:
Hoạt động 1: Hệ thống lại lý thuyết về giới hạn dãy số:
Nội dung Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
• Dãy số có giới hạn 0:
• Dãy số có giới hạn L:
• Dãy số có giới hạn vô cực:
Cho HS nhắc lại những kiến
thức cơ bản đã học về giới
hạn dãy số.
- Nêu lại các tính chất về
dãy số có giới hạn 0? Một vài
giới hạn đặc biệt?
- Nêu lại định lý về dãy số
có giới hạn hữu hạn.
- Công thức tính tổng CSN
lùi vô hạn.

- Nêu lại các qui tắc về giới
hạn vô cực.
Nhớ lại kiến thức đã học,
hệ thống lại và trả lời câu
hỏi của GV.
)1q ( 0qlim*
)Nk ( 0
n
1
lim*
n
*
k
<=
∈=
* Nêu lại ĐL 1 & 2 về giới
hạn hữu hạn.
*
q1
u
S
1
−
=

Hoạt động 2: Giải bài tập về tìm giới hạn dãy số dạng :
( )
( )
lim
P n

Q n
Nội dung Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Bài 1: Tìm các giới hạn sau:
2
3 2
3 4
)lim
4 2 1
n n
a
n n
− +
+ −
5 3 2
4 2
3 1
)lim
4 7
n n n
b
n n
+ − +
− +
4
2
2 3 2
)lim
2 3
n n
c

n n
+ −
− +
3 2.5
)lim
7 3.5
n n
n
d
−
+
Sử dụng
1
lim 0
k
n
=
PP chung: Chia tử và mẫu
cho n có bậc cao nhất.
Gọi 4 học sinh lên bảng
giải
Hoạt động 3: Giải bài tập về tìm giới hạn dãy số dần tới vô cực.
Giáo viên: Vũ Thành Trung – Trường THPT Tủa Chùa
Giáo án Đại số - Giải Tích 11 Năm học: 2008-2009
Nội dung Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Bài 2: Tìm các giới hạn sau:
2
)lim(2 3 5)a n n− +
4 2
)lim 3 2b n n n

− − +
2 33
)lim 1 3c n n
+ −
)lim 2.3 2 1
n n
d n
− + −
Vận dụng lý thuyết nào để tìm
được giới hạn?
PP chung: rút n bậc cao nhất
làm thừa số chung và dùng
quy tắc 2 về giới hạn vô cực.
Học sinh lên bảng giải.
Tìm
lim
3
n
n
Hoạt động 4: Giải một số dạng vô định
Nội dung Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh
Bài 3: Tìm các giới hạn sau:
(
)
2
)lim 1a n n n+ + −
1
)lim
2 1
b

n n
+ − +
(
)
2
)lim 2 1c n n n
+ + − +
( )
)lim 1d n n n
+ −
Vận dụng lý thuyết nào để tìm
được giới hạn?
PP chung: Nhân lượng liên
hợp đưa về các giới hạn đã
biết cách tính
Học sinh lên bảng giải.
Hoạt động 5: Củng cố, dặn dò
GV cho hs trả lời câu hỏi trắc nghiệm sau. Dùng pp dự đoán kq.
1)
2 3
3
3
lim
2 5 2
n n
n n
−
+ −
bằng:
(A)

2
1
(B)
5
1
(C)
2
3
−
(D) 0
2)
13.22
13
lim
nn
n
+−
−
bằng:
(A)
2
1
−
(B)
2
3
(C)
2
1
(D) - 1

3)
)n3n2lim(
3
−
bằng:
(A) + ∞ (B) - ∞ (C) 2 (D) – 3
3. Bài tập về nhà: Bài tập SGK
Ngày soạn:
Giáo viên: Vũ Thành Trung – Trường THPT Tủa Chùa
Giáo án Đại số - Giải Tích 11 Năm học: 2008-2009
Ngày giảng:
Tiết 53 GIỚI HẠN HÀM SỐ

I.Mục đích yêu cầu
• Kiến thức:
Giúp học sinh nắm được định nghĩa giới hạn của hàm số tại một điểm
Các định lí về giới hạn hữu hạn của hàm số.
• Kĩ năng:
• Học sinh biết vận dụng định nghĩa giới hạn của hàm số để tính giới hạn của một
hàm số.
Vận dụng linh hoạt các định lí về giới hạn hữu hạn để tìm các giới hạn hữu hạn của
hàm số.
• Tư duy:
Vận dụng địmh lí để biến đổi giới hạn cần tính về việc tính các giới hạn đã biết.
• Thái độ: - Tích cực, hứng thú nhận thức kiến thức mới.
- Cẩn thận, chính xác.
II .Chuẩn bị
- GV:Bảng ghi nội dung Định lí 1, Định lí 2.
- HS: Kiến thức đã học
III. Tiến trinh giảng dạy

1. Bài cũ: Định nghĩa giới hạn của dãy số?
2. Bài mới:
Hoạt động 1: Giới hạn hữu hạn
Nội dung Hoạt động của giáo viên Hoạt đông của học sinh
1. Giới hạn của hàm số tại một
điểm.
a) Giới hạn hữu hạn
ĐN:
0
lim ( )
x x
f x L
→
=
⇔
∀
( )
n
x
:
0
lim
n
x x=

thì limf(x
n
) = L
( f(x) → L khi x →x
0

)
Ví dụ 1: Tính
)
1
cos(lim
0
x
x
x
→
Ví dụ 2: Tính
1
23
lim
2
1
+
++
−→
x
xx
x
Cho hàm số:
( )
2
4
2
x
f x
x

−
=
−
và
dãy số
( )
n
x
:
lim 2
n
x =
Xác định dãy số
( )
( )
n
f x
và tìm
limf(x
n
)
Với mọi dãy (x
n
) mà (x
n
)
≠
0,
hãy xác định f(x
n

)
HD: dùng định lí kẹp.
Từ định nghĩa suy ra:
0
lim
x x
C C
→
=

0
lim
x x
x x
→
=
Cho 2 dãy số khác nhau
cùng có giới hạn bằng 2
Tính limf(x
n
)
Hoạt động 2: Giới hạn vô cực
Nội dung Hoạt động của giáo viên Hoạt đông của học sinh
b) Giới hạn vô cực.
ĐN:
±∞=
→
)(lim
0
xf

xx
⇔
∀
( )
n
x
:
0
lim
n
x x=
thì limf(x
n
) =
±∞
Ví dụ: Tìm
2
1
)1(
3
lim
−
→
x
x
Đặt vấn đề tương tự giữa
giới hạn vô cực của hàm số
với giới hạn hữu hạn tại
một điểm
Với mọi dãy (x

n
) mà x
n

≠

1, với mọi n và limx
n
= 1 :
limf(x
n
)
= lim
2
)1(
3
−
n
x
= +∞
Giáo viên: Vũ Thành Trung – Trường THPT Tủa Chùa
Giáo án Đại số - Giải Tích 11 Năm học: 2008-2009
Hoạt động 3: Giới hạn của hàm số tại vô cực
Nội dung Hoạt động của giáo viên Hoạt đông của học sinh
ĐN:
lim ( )
x
f x L
→+∞
=

⇔
∀
( )
n
x
,:
lim
n
x = +∞
thì limf(x
n
) =
L
Tương tự cho định nghĩa các giới
hạn:
lim
x
L
→−∞
=
;
lim
x →+∞
= +∞
;
lim
x →+∞
= −∞
;
lim

x →−∞
= −∞
;
lim
x →−∞
= +∞
Ví dụ:
Tính
1 1
lim ; lim
x x
x x
→−∞ →+∞
Nhận xét: với mọi số nguyên dương
k ta có
lim , lim
k k
x x
x x
→+∞ →−∞
+∞

= +∞ =

∞

nÕu k ch½n
- nÕu k lÎ
1 1
lim 0 ; lim 0

k k
x x
x x
→+∞ →−∞
= =
Học sinh dùng định nghĩa
tính hai giới hạn trên.
Hoạt động 4: Định lí 1
Nội dung Hoạt động của giáo viên Hoạt đông của học sinh
Định lí 1: (Sgk)
(Giới hạn của tổng, hiệu, tích , thương
các hàm số có giới hạn hữu hạn.)
Ví dụ: Tính các giới hạn sau:
a)
2
2
1
2 1
lim
2 4
x
x x
x x
→−
− +
+ −
b)
2
2
1

2 5 7
lim
3 2
x
x x
x x
→−
− −
+ +
c)
2
2
5 6
lim
3 2
x
x x
x x
→−∞
− +
+ +
Yêu cầu học sinh phát biểu
bằng lời.
H2: Tính
0
lim
k
x x
ax
→

?
Cho HS thấy rằng về hình
thức câu a, b là như nhau H3:
Khác nhau ở câu a và b là
gì?
Phân tích tử và mẫu thành
nhân tử của hàm số ở câu b.
Nhắc lại định lí về giới
hạn của tổng, hiệu, tích,
thương của các dãy số.
Học sinh xung phong lên
bảng giải.
Hoạt động 5: Định lí 2
Nội dung kiến thức Hoạt động của giáo viên Hoạt đông của học sinh
Định lí 2: (Sgk)
Ví dụ 2: Tính giới hạn sau:
( )
( )
2
3
2 1 1
lim
1
x
x x
x
→+∞
− +
+
Nhắc lại định lí tương tự ở

phần giới hạn dãy số .
- Phát biểu bằng lời, ghi
nhận kiến thức định lí 2.
Hoạt động 6. Giải một số bài tập
Nội dung kiến thức Hoạt động của giáo viên Hoạt đông của học sinh
Bài 23: Tìm các giới hạn sau:
a)
( )
( )
3
4
1
lim
2 1 3
x
x x
x x
→
−
− −
b)
2
9
3
lim
9
x
x
x x
→

−
−
Yêu cầu học sinh lên bảng
giải
3 học sinh lên bảng giải,
số còn lại tự giải vào vở
Giáo viên: Vũ Thành Trung – Trường THPT Tủa Chùa