Định thức của một ma trận

$ 3. ĐỊNH THỨC
_______________________________________


3.1¡ ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT
ĐỊNH NGHĨA 3.1.1 Định thức cấp 2 của ma trận vuông
⎡ a b ⎤
cấp 2: A = ⎢
, được kí hiệu detA, hoặc |A|
⎥
⎣ c d ⎦

là một số ad – bc
⎡ 1 −2 ⎤
VD3.1.1 Cho A = ⎢
. Tính detA
⎥
⎣ 3 0 ⎦

a b
,
c d


Định thức cấp 3 của ma trận vuông cấp 3:
⎡ a11 a12
⎢
A = ⎢ a21 a22
⎢ a
a32
31

⎣

a13 ⎤
a11
⎥
a23 ⎥ là det A = a21
a33 ⎥
a31
⎦

a12

a13

a22

a23

a32

a33

= a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12 a21a33 − a13a22 a31


0

VD3.1.2 Tính det 1

1

2

0 3 .
3 −3 4


ĐỊNH NGHĨA 3.1.2 Giả sử A = (aij ) là ma trận n×n. Bỏ
đi hàng i và cột j của A, được
ma trận (n-1)×(n-1), ký hiệu là
Mij.
Phần phụ đại số của aij là
i+j

Cij = (-1) detMij

VD3.1.2 ( tiếp) Phần phụ đại số của a12


Từ định nghĩa định thức của ma trận vuông cấp 3:
det A = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
- a11a23a32 - a12a21a33 - a13a22a31
= a11(a22a33 -a23a32)-a12(a21a33- a23a31)+a13(a21a33 -a22a31)
= a11(-1)

1+1 a22

a32

a23

1+2 a21 a23
+ a12(-1)
a33
a31 a33

= a11C11 + a12C12 + a13C13.

a21 a22
1+
+ a13(-1) a31 a33


Công thức Phần phụ đại số Cho A là ma trận n×n với
n ≥ 2. Ta có:
detA = ai1Ci1 + ai2Ci2 + … + ainCin
(Khai triển định thức theo hàng i)

detA = a1jC1j + a2jC2j + … + anjCnj
(Khai triển định thức theo cột j)


0

VD3.1.2 ( tiếp)

1

2

Tính định thức detA= 1

0 3.
3 −3 4

Giải:
- Khai triển theo hàng….
- Khai triển theo cột….
Chú ý Khi sử dụng Công thức phần phụ đại số, ta nên
khai triển định thức theo hàng (hay cột) có nhiều 0 nhất.


Tính chất 1 detI = 1.
VD3.1.3 detI =

1 0
0 1

= 1⋅1 - 0⋅0 = 1.

Tính chất 2 Định thức đổi dấu khi đổi chỗ hai cột.
VD3.1.4

detA =

2 1
1 2
= 10 , detB =
= −10.
−3 4
4 −3

⇒ det A= - det B.


Tính chất 3

Định thức là hàm tuyến tính đối với một

cột khi cố định những cột còn lại.
n

⇒ det(cA) = c detA ( A cỡ n×n)

VD3.1.5

4 8
1 2
2
=4
= 16.10 = 160
detA = =
−3 4
−3 4


Tính chất 4 Nếu hai cột của A giống nhau, thì detA = 0.
VD3.1.6

1 2
=0

1 2

⇒ Nếu ma trận vuông có hai cột (hàng) tỷ lệ, thì định
thức của nó bằng 0.


Tính chất 5

detA không đổi khi trừ(cộng) một cột của

A đi một bội của cột khác của A.
VD3.1.7 detA =

1 2
= 10 ,
−3 4

1
2
1 2
=
= 10 → det A = det B
detB =
−3 + 1.3 4 + 2.3
0 10


Tính chất 6 Ma trận vuông có cột toàn 0 thì định thức
của nó bằng 0.
VD3.1.8 detA =

0 1
=0
0 4

Tính chất 7 Nếu A là ma trận tam giác thì detA = tích
các phần tử trên đường chéo = a11a22 !ann.
VD3.1.9 detA =

2 1
=8
0 4


Tính chất 8 Ma trận A khả nghịch ⇔ detA ≠ 0.

Tính chất 9 Nếu A và B là hai ma trận vuông cùng cấp,
thì det(AB)= detAdetB.

1
⇒ Vì AA =I nên detA =
det A
-1

-1


T

Tính chất 9 detA = detA.

VD3.1.10
a b
c d

=

a

c

b d

.

⇒ Mọi tính chất của định thức đã phát biểu với cột
cũng có thể phát biểu cho hàng


Sử dụng những tính chất trên, ta có thể biến đổi ma
trận vuông A về một ma trận tam giác để đơn giản hóa
việc tính detA.

VD3.1.11 Tính định thức

Giải

1+ 2a
4
1+ 2b − 5
1+ 2c

6
1+ 2d
2

a
b
c
d

x
x
x
x


VD3.1.12 Tính định thức
0

D=1

1

2

0 3.
3 −3 4

Giải

3.2¡ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH THỨC
A. Giải hệ phương trình tuyến tính
Quy tắc Cramer Giả sử Ax = b là hệ n×n. Nếu detA≠ 0,
thì Ax = b có nghiệm duy nhất

det B1
det B2
det Bn
x1 =
, x2 =
, ..., xn =
.
det A
det A
det A
Trong đó ma trận Bj nhận được từ A khi thay vectơ b
vào cột thứ j của nó.


VD3.2.1 Giải hệ phương trình
x1 + x2 + x3 = 1
-2x1 + x2
-4x1
Giải

=0
+ x3 = 0.


B. Công thức tìm A

-1

ĐỊNH NGHĨA 3.2.1 Giả sử A=( aij) là
ma trận n×n . Cij là phần phụ đại số
i+j

của aij : Cij = (-1) detMij
Ma trận phần phụ đại số của A là
⎡C11 C12
⎢C
C22
21
C=⎢
"
⎢ "
⎢C
⎣ n1 Cn 2

! C1n ⎤
! C2 n ⎥
⎥
# " ⎥
! Cnn ⎥⎦


T

C
Định lí 3.2.1 Nếu A khả nghịch thì A =

.
det A
−1

VD3.2.2 Tìm ma trận nghịch đảo của
⎡ 0 1 3⎤
A= ⎢1 0 1⎥ .
⎢
⎥
⎢⎣2 1 0⎥⎦

Giải


C. Ứng dụng trong Hình học

! !
!
!
1) Tích có hướng u × v của u = (u1, u2, u3) và v = (v1, v2,
! ! !
i
j k
v3) bằng u1 u2 u 3
v1

v2

v3

2) Thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D'
= |det( AB, AD, AA')|
⎡ a11 a12
⎢
= det ⎢ a21 a22
⎢ a
a32
31
⎣

a13 ⎤
⎥
a23 ⎥
a33 ⎥
⎦

A’
A’’

B’

D’

C’
A
B

D
C

3) Diện tích của hình bình hành OABC bằng

a b
det
c d

= ad − bc .

C
B

A
0


NHỮNG Ý CHÍNH
1. Định nghĩa và tính chất cơ bản của định thức.
2. Một số ứng dụng của định thức:
- giải hệ tuyến tính
- tìm A

-1

- tính tích có hướng
- tính diện tích hình bình hành và thể tích hình hộp.