Tính trực giao của không gian vecto

$8.TÍNH TRỰC GIAO


8.1 ¡ TÍNH TRỰC GIAO CỦA BỐN KHÔNG GIAN CHỦ
YẾU LIÊN QUAN ĐẾN MỘT MA TRẬN
Định nghĩa 8.1.1
(a) Khi v⋅ w = 0 ta nói vectơ v trực giao với vectơ w.


n

(b) Giả sử V và W là các không gian con của R . Ta nói V
trực giao với W nếu mọi vectơ v trong V trực giao với mọi
T

vectơ w trong W: v⋅ w = 0 hay v w = 0


n

n

VD8.1.1 a) Vectơ 0 ∈ R trực giao với mọi vectơ trong R .
b) v = (2, -3, 1) và w = (1, 1, 1) trực giao trong R3
c) V = {(x, 0, 0)| x∈R}, W = {(0, y, 0)| y∈R} là hai không
3

gian con của R ⇒ V trực giao với W.


3

d) Cho {e1, e2, e3} là cơ sở chính tắc của R .
V = Span(e1, e2), W = Span(e3)

⇒ V trực giao với W.


⎡1⎤
⎡1 3 4 ⎤ ⎢ ⎥ ⎡0⎤
e) Ax = ⎢
1 =⎢ ⎥
⎥
⎣5 2 7⎦ ⎢ ⎥ ⎣0⎦
⎢⎣−1⎥⎦

⇒ x = (1, 1, -1) trực giao với các hàng của A.

⎡ 1 3 4 ⎤
⎥ ⇒ N(A) trực giao với C(AT).
f) Cho A = ⎢
⎢⎣ 5 2 7 ⎥⎦


n

Định nghĩa 8.1.2 Cho V là không gian con của R . Tập
tất cả các vectơ trong Rn mà trực giao với mọi vectơ trong
⊥

V được gọi là phần bù trực giao của V, và ký hiệu là V .

n

V = {u ∈ R | u⋅w = 0 với mọi w ∈V}.
⊥


n

Nhận xét 1) Nếu V là không gian con của R , thì V⊥ cũng
n

là không gian con của R .

⊥

2) V là không gian con lớn nhất trực giao với V.


Định lý 8.1.1 (Định lý cơ bản của Đại số tuyến tính(Phần
2)) Nếu A là ma trận m×n thì
T ⊥

T

N(A) = C(A ) N(A ) = C(A)⊥


VD8.1.3 Hãy tìm S⊥ nếu
a) S là không gian con được sinh bởi (1, 1, 1, 2) và
(1,1, 3, -1).

b) S là không gian nghiệm của phương trình:

x1 + 2x2 − x3 − x4 = 0


n

Định lý 8. 1. 2 Nếu V là một không gian con của R , thì
dim V + dim V⊥ = n.
Ngoài ra, nếu {v1, ... , vr} là một
cơ sở của V và {vr+1, ... , vn} là
một cơ sở của V⊥, thì {v1, ... , vr,
vr+1, ... , vn} là một cơ sở của Rn.


Hệ quả Nếu A là ma trận thực m×n, thì với mỗi x ∈R

n

∃! xr ∈ C(AT) và ∃! xn ∈N(A) sao cho x = xr + xn.
n

Nếu 0 < r(A) < n, thì R có một cơ sở gồm r cột trụ của A
T

T

(r hàng trụ của A )và n - r nghiệm đặc biệt của hệ Ax = 0.
VD8.1.4

⎡1 0 1 0⎤
Cho ma trận A = ⎢
.
⎥
⎣0 1 0 1⎦
4

Hãy phân tích vectơ bất kỳ x ∈ R thành xr + xn.


8.2 ¡ CƠ SỞ TRỰC CHUẨN VÀ PHƯƠNG PHÁP
TRỰC GIAO HÓA GRAM-SCHMIDT
Định nghĩa 8.2.1
(a) Tập vectơ {q1, q 2, ... , q k} của R

n

được gọi là tập trực giao nếu các
vectơ của tập đôi một trực giao, tức
là q i⋅ q j = 0 khi i ≠ j.


n

(b) Tập vectơ {q1, q 2, ... , q k} của R được gọi là tập trực
chuẩn nếu nó là một tập trực giao và mỗi vectơ của tập

⎧0 khi i ≠ j
đều có độ dài bằng 1, tức là q i⋅ q j = ⎨

.
⎩1 khi i = j
(c) Một cơ sở là tập trực giao được gọi là một cơ sở trực
giao. Một cơ sở là một tập trực chuẩn được gọi là một cơ
sở trực chuẩn.


3

VD8.2.1 Trong R :
{ v1 =(1, 1, 1), v2 = (2, 1, -3), v3 = (4, -5, 1)} là một tập
trực giao.
{e1, e2,e3} là một cơ sở trực chuẩn.

? Làm thế nào { v1, v2, v3 } là một tập trực chuẩn


Phương pháp trực giao hóa Gram-Schmidt
Giả sử {v1, v2, v3} độc lập trong V. Xây dựng một tập trực
giao {q1, q 2, q 3} của V.
+) Đặt q1 = v1.
+) Đặt q 2 = v2 + a q 1 . Tìm a
sao cho q 2 q 1 = 0
+) Đặt q 3 = v3 + b q 1 + c q2. Tìm b,c sao cho q 3 q 1 = 0,
q3 q2= 0


Chú ý: Muốn có tập trực chuẩn thì chia mỗi q i cho độ
dài của nó.

3

VD8.2.2 Cho cơ sở của R là
{v1 = (1, -1, 0), v2 = (2, 0, -2), v3 = (3, -3, 3)}.
3

Xây dựng cơ sở trực chuẩn của R .


Định nghĩa 8.2.2 Một ma trận thực Q cỡ n×n được gọi là
ma trận trực giao nếu các vectơ cột của Q lập thành một
tập trực chuẩn.
VD8.2.3 Một số ma trận trực giao

⎡1 0 ⎤
a) Q1 = ⎢
⎥
0
1
⎣
⎦
( Phép biến đổi
đồng nhất)


⎡1 0 ⎤
b) Q2 = ⎢
⎥
0
−1

⎣
⎦
( Phép đối xứng qua Ox)


⎡ cos α
c) Q 3 = ⎢
⎣− sin α

sin α ⎤
( Phép quay vectơ một góc α )
⎥
cos α ⎦


Tính chất Nếu Q là ma trận trực giao n×n, thì
T

a). Q Q = I
T

b). Q = Q

-1

c). (Qv)⋅(Qw) = v⋅w
d). ||Qv|| = ||v||


NHỮNG Ý CHÍNH

1. Hai vectơ trực giao. Hai không gian con trực giao.
Phần bù trực giao của một không gian con.
2. Định lý cơ bản của ĐSTT (Phần 2). Tổ hợp những
cơ sở từ các không gian con.
3. Cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn. Phương pháp
trực giao hóa Gram-Schmidt
4. Ma trận trực giao.