Đề thi & đáp án tuyển sinh 10 Chuyên Môn Toán 1

Mã kí hiệu
T- ĐTS10CH1-08
đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên
Năm học: 2007- 2008
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài 150 phút
(Đề này gồm 4 câu1trang)
câu1: (3điểm)
Cho biểu thức
2
2 2( 1)
1 1
x x x x x
P
x x x x
+
= +
+ +
1) Rút gọn P .
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của P .
3) Tìm x để biểu thức Q =
2 x
P
nhận giá trị là số nguyên .
Câu 2 (2điểm)
a) Tìm tất cả các số nguyên dơng n sao cho đa thức x
3n+1
+x
2n
+1 chia hết cho
đa thức x

2
+x +1
b) tìm số d trong phép chia A = 3
8
+3
6
+3
2004
cho 91
Câu 3(4điểm)
Cho đờng tròn ( O ;R) và đờng thẳng (d) cắt đờng tròn (O) tại hai điểm A,B . Từ
một điểm M trên đờng thẳng (d) và ở ngoài đờng tròn (O) , (d) không đi qua O, ta
vẽ hai tiếp tuyến MN , MP với đờng tròn (O) (N,P là hai tiếp điểm).
a) chứng minh
ã
ã
NMO NPO=

b) chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua hai điểm cố định
khi M di động trên đờng thẳng (d) .
c) xác định vị trí điểm M trên đờng thẳng (d) sao cho tứ giác MNOP là một
hình vuông .
d) Chứng minh rằng tâm I của đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP di động
trên một đờng cố định khi M di động trên (d)
Câu 4(1điểm) Giả sử x,y,z là các số thực thoả mãn điều kiện :
x+y+z +xy+yz+zx = 6 Chứng minh rằng x
2
+y
2
+z

2


3
Mã kí hiệu
T- HDTS10CH1-08
Hớng dẫn chấm tuyển sinh vàolớp10chuyên
Năm học: 2007- 2008
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài 150 phút)
(Đề này gồm 4 câu 3 trang)
Câu1(3đ) a)(1đ)
+ĐK x > 0 và x

1
+rút gọn đợc
P =
( 1)( 1)
2 1 2( 1)
1
x x x x
x x
x x
+ +
+ +
+ +
= x-
x
+1
b)(1đ)

+biến đổi P =
2
1 3
( )
2 4
x +
+suy ra minP =
3
4

đạt đợc khi x=
1
4

c) (1đ)
+ Q =
2 2 2
1
1
x
P M
x
x
= =
+
.
Để ý rằng với x > 0 và x

1 ta có
M=

1
1x
x
+
>1(theo BĐT Cauchy)
Suy ra 0<Q<2.Vì Qnguyên nên Q=1
Suy ra x=
7 3 5
2

Thử lại đúng
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu 2(2đ) a)(1đ)
+ tacó
3 2 2
1 ( 1)( 1) 1x x x x x x = + + + +M
Do đó với m

N
*
thì

3 3 3
1 ( ) 1 1
m m m
x x x = M
Từ đó
3 2
1 1
m
x x x + +M
+Đặt n=3a+r (a
*
N
; r = 0,1,2) tacó
3 1 2 9 3 1 6 2
1 1
n n a r a r
x x x x
+ + + +
+ + = + +
=x(
9 3 2 6 2
( 1) ( 1) 1
a r r a r
x x x x x
+
+ + + +
=x
( ) ( )
3 2
3 2 3 2

1 1 ( 1)
a r a
r r
x x x x x
+

+ + + +


Chia hết cho x
2
+x+1 khi và chỉ khi
x
2r
+x+1
M
x
2
+x+1
-Nếu r = 0 thì x
2r
+x+1=x+2 không chia hết cho
0,25đ
0,25đ
x
2
+x+1
-Nếu r = 1 thì x
2r
+x+1= x

2
+x+1 chia hết cho
x
2
+x+1
-Nếu r = 2 thì x
2r
+x+1= x
4
+x+1=
x(x
3
-1)+2x+1 không chia hết cho x
2
+x+1
+Tóm lại với n

N
*
, n chia cho 3 d 1 thì
x
3n+1
+x
2n
+1 chia hết cho x
2
+x +1
b)(1đ)
+ ta có 3
6

-1 =729-1=728
M
91
Do đó A= 3
8
+3
6
+3
2004
=
8 2 6 2004 2
(3 3 ) (3 1) (3 1) 3 1 1 + + + + +
=
( )
(
)
334
2 6 6 6
3 (3 1) (3 1) 3 1 11 + + +
chia cho 91 d
11
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu 3(4đ) a) 1(đ)

+ Ta có tứ giác MNOP nội tiếp
+góc NMO và góc NPO là hai góc nội tiếp cùng
chắn cung NO của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác
MNOP
+ suy ra
ã
ã
NMO NPO
=

b)(1đ)
+ gọi C là trung điểm của dây AB
+suy ra CO vuông góc với CM hay C thuộc
đuờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP
+Đờng tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua hai
điểm cố định là O và C
c)(1đ)
+ Tứ giác MNOP là hình vuông khi và chỉ khi
tam giác OMN vuông cân tại N
Khi và chỉ khi OM = ON
2
Khi đó M là giao của đờng tròn tâm O bán
kính R
2
và đờng thẳng (d)
d)(1đ)
+Tâm I của đờng tròn nội tiếp Tam giác MNP là

giao của ba đờng phân giác trong của Tam giác
0,25đ
0.5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
A
O
M
N
P
d
A
B
C
MNP
+Suy ra I là trung điểm của cung
ằ
NP
và thuộc
OM
+vậy I di động trên cung lớn
ằ
AB
của đờng tròn

tâm O bán kính R

0,25đ
0,5đ
Câu 4
(1điểm)
+ Ta có
2
1 2x x+
;
2
1 2y y+
;
2
1 2z z+
(theo bất đẳng thức cô si )
+mặt khác ta lại có 2(
2 2 2
) 2( )x y z xy yz zx+ + + +
+cộng 4 bất đẳng thức trên theo từng vế ta đợc:
3(
2 2 2
) 3 2( )x y z x y z xy yz zx+ + + + + + + +
= 6
+Suy ra
2 2 2
3x y z+ +
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x= y = z = 1
0,25đ
0,25đ

0,25đ
0,25đ