Đề thi & đáp án tuyển sinh 10 Chuyên Môn Toán 2

câu1(2,5đ) cho phong trình ẩn x : x
2
-2(m+1)x+m-4 = 0 (1)
a) Chứng minh rằng phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt . Tìm m để
phơng trình có hai nghiệm dơng?
b) Gọi hai nghiệm của phơng trình (1) là x
1
, x
2
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
M =
2 2
1 2
1 2 2 1
(1 ) (1 )
x x
x x x x
+
+
Câu 2 (2điểm) :
Tìm các số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức
2 2 2
2 1 2y x x y x y xy+ + + = + +

Câu3 (4điểm)
cho đờng tròn tâm O đờng kính AB . Gọi K là trung điểm của cung
ằ
AB
,
M là điểm di động trên cung nhỏ

ằ
AK
(M khác điểm A và K ). Lấy điểm N
trên đoạn BM sao cho BN=AM
a) Chứng minh
ã
ã
AMK BNK=
.
b) Chứng minh tam giác MKN là tam giác vuông cân.
c) Hai đờng thẳng AM và OK cắt nhau tại D .Chứng mỉnh MK là đ-
ờng phân giác của góc
ã
DMN
d) Chứng minh rằng đờng thẳng vuông góc với BM tại N luôn đi qua
một điểm cố định .
câu4(1,5điểm) Giả sử x,y,z là các số dơng thay đổi và thoả mãn điều kiện

2 2 2 2
3xy z x z y z+ + =
. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P =
4
4 4 4
1 ( )
z
z x y+ +

Mã kí hiệu
T- ĐTS10CH2-08

đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên
Năm học: 2007- 2008
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài 150 phút)
(Đề này gồm 4 câu 1trang)
Mã kí hiệu
T- HDTS10CH2-08
Hớng dẫn chấm tuyển sinh vào lớp 10 chuyên
Năm học: 2007- 2008
Môn thi: Toán
Thời gian làm bài 150 phút)
(Đề này gồm 4 câu 3 trang)
Câu1(2,5đ) a)(1,25đ)
+ ta có
/

=(m+1)
2
-(m-4)
= m
2
+m+5 > 0 với mọi m .
+vậy PT(1) luôn có nghiệm với mọi m
+PT(1) có hai nghiệm dơng khi
1 0
4 0
m
m
+ >

>


4m >
b)(1,25đ)
+áp dụng định lý viét ta có
1 2
1 2
2( 1)
4
x x m
x x m
+ = +


=

+Thay vào biểu thức và rút gọn ta có
M=
2 2
1 2
1 2 2 1
(1 ) (1 )
x x
x x x x
+
+
M =
2

2 3 6
5
m m+ +
Suy ra M
min
=
39
40

đạt đợc khi m =
3
4

0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
Câu2(2đ)
+Ta có :
2 2 2
2 1 2y x x y x y xy+ + + = + +

2
2 ( 1) ( 1) ( 1) 1 0y x x x y x + =
(1)

+ Nhận xét x = 1 không phải là nghiệm của
PT(1) .
+ chia cả hai vế của PT (1) cho x-1 ta đợc :
2
1
2 0
1
y x y
x
+ =

(2)
+PT có nghiệm x,y nguyên , suy ra
1
1x

nguyên
Suy ra x-1
}
{
1;1
2
0
x
x
=



=

+Thay x=2 vào PT (2) và với y nguyên ta
đợc y=1
+Thay x=0 vào PT(2) và với y nguyên ta
đợc y=1
+vậy PT đã cho có hai nghiệm nguyên là
(2;1) và (0;1)
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
Câu3(4đ)
a)(1đ)

+xét tam giác AMK và BNK có
ã
ã
MAK NBK=
(hai góc nội tiếp cùng chắn cung
ẳ
MK
,
AM= BN(gt) , AK=BK vì haicung
ằ
ằ

AK BK=
Suy ra
AMK BNK =
(cgc)
+từ đó suy ra
ã
ã
AMK BNK=
b)(1đ)
+Từ kết quả của câu a
AMK BNK =
ta có
KM=KN và
ã
ã
AKM BKN=
Mà
ã
ã
ã
ã
90 90
o o
BKN AKN AKM AKN+ = + =
Do đó
tam giác MKN vuông cân tại K
c) (1đ)
+Từ kết quả câu b) tam giác MKN vuông cân
tại K nên
ã

. 45
o
NMK =

Do góc
ã
90
o
DMN =
suy ra góc
ã
. 45
o
DMK =
Từ đó dẫn đến MK là đờng phân giác của góc
ã
.DMN
d)(1đ)
+Giả sử đờng thẳng vuông gócvới BM tại N cắt
đờng thẩng AK tại E.Ta có tứ giác BEKN nội
tiếp
+suy ra
ã
ã
45
o
AEB MNK= =
+Mặt khác
ã
45

o
BAE =
nên tam giác ABE vuông
cân tại B
+Suy ra điểm E cố định hay đờng thẳng vuông
gócvới BM tại N đi qua 1 điểm cố định là điểm
E
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
A B
K
M
N
.
O
D
E
Câu4(1,5đ) +Điêù kiện có thể viêt lại là

2 2
2
1 1
. . 3xy x y
z x
+ + =

+Biểu thức P có dạng
4 4
4
1
1
P
x y
z
=
+ +
Đặt
1
z
=t tađa về bài toán : Với x,y,t là các số
dơng thoả mãn
2 2 2
3xy yt tx+ + =
. Tìm giá trị lớn
nhất của biểu thức
4 4 4
1
P
x y t

=
+ +

+Theo BĐT Cauchy cho 4số dơng tacó
4 4 4 2
4 4 4 2
4 4 4 2
1 4
1 4
1 4
x y y xy
y t t yt
t x x tx

+ + +

+ + +


+ + +

4 4 4 2 2 2
3( ) 3 4( )x y t xy yt tx + + + + +
=12
4 4 4
( ) 3x y t + +


4 4 4
1

P
x y t
=
+ +
1
3

Vậy P
min
=
1
3
đạt đợc khi x= y = z=1
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ