595 bài tập giải tích 12 tự luận và trắc nghiệm có đáp án

PHẠM TRỌNG THƯ

GIẢI TÍCH 12
T ự LUẬN VÀ TRẮC NGHIỆM
DỪNG CHO

:

♦ HỌC SINH LỚP

12

♦ ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI


Lời nói đâu
Nhằm giúp cho các em học sinh lớp 12 có tài liệu toán GIẢI TÍCH tham
khảo để tự ôn tập, tự kiểm tra kiến thức của mình, chúng tôi biên soạn cuốn sách
595 BÀI TẬP GIẢI TÍCH LỚP 12 tự luận và trắc nghiệm.
Cu ôn sách được chia làm bốn chương
Chương I : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ k h ả o s á t v à v ẽ Đ ồ THỊ CỦA
HÀM SỐ
Chương II : HÀM s ố LŨY THỪA, HÀM s ố MŨ VÀ HÀM s ố LÔGARIT
Chương III : NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
Chương IV : s ố PHỨC

Nội dung của mỗi chương được biên soạn theo bố cục
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ

B. BÀI TẬP CĂN BẢN
c. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
D. HƯỚNG DẦN GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

Dù đã rất nhiều cố gắng nhưng cũng không thể tránh khỏi thiếu sót, rất
mong quý độc giả góp ý để những lần tái bản sau được hoàn chỉnh. Tác giả chân
thành câm ơn.

PH Ạ M TR Ọ N G TH Ư

3


KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG SÁCH
Suy ra

=>

Tương đương

<z>

Với mọi

V
e
e
R
z

Thuộc về
Không thuộc về
Tập hợp số thực
Tập hợp số nguyên
Tồn tại
Giá trị lớn nhất
Giá ưị nhỏ nhất
V ế trái.
V ế phải
Tập xác định của hàm số

3
GTLN
GTNN
VT
VP

D


Chương I

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ k h ả o
VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM s ố

sát

A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 . TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM s ố
Hằm 5ốđơn điệu. Cho hàm số f xác định ưên I, với I là một khoảng, đoạn hoặc

nửa khoảng.
+ fđồng biến trên I nếu với Vx,, x 2 e l , X, < x 2 => f(x ,)< f(x 2)
+ f nghịch biến trên I nếu với V x,, x 2 e I, Xị < x 2 => f(x, ) > f(x 2)
('Điều kiện

cần.

đ ề hàm i đơn điệu

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I. Khi đó:
+ Nếu hàm số f đồng biến trên I thì f'(x) > 0 , Vx € I
+ Nếu hàm số f nghịch biến trên I thì f'(x) < 0, Vx € I
(Diều kiện đả đ ể hàm lỏ đđu điệu

a) Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng I
• Nếu f'(x) > 0, Vx e I và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì
hàm số f đồng biến trên I .
• Nếu f'(x) < 0 , Vx e I và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu*hạn điểm của I thì
hàm số f nghịch biến trên I .
• Nếu f'(x) = 0, Vx 6 I thì hàm số f không đổi trên I.
b) Giả sử hàm số f liên tục trên nửa khoảng [a; b) và có đạo hàm trên (a; b)
• Nếu f'(x) > 0 ( hoặc f'(x) < 0 ) , Vx e (a; b) thì hàm số f đồng biến
(hoặc nghịch biến ) trên nửa khoảng [a; b).
• Nếu f'(x) = 0, Vx e (a; b) thì hàm số f không đổi trên nửa khoảng [a; b).

2. c ự c TRỊ CỦA HÀM số
Điềm cực

C
trị. ho hàm số f xác định trên tập hợp D ( D c R ) , x 0 c D .

+ x 0 là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a; b)
sao cho x 0 e (a ;b )c :D v à f(x )< f(x 0), V x e (a ;b )\{x 0}.
+ Xịj là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoả ng (a; b)
sao cho x 0 e(a ; b ) c D v à f(x )> f(x 0),V x e (a ; b )\{ x H}.
(Diều kiện cẩn đ ề hàm tố ¿tại eựe tri

Nếu hàm số f đạt cực trị tại điểm x0và hàm số f só dạo hàm tại điểm x() thì
f'(xo)=. 0 .
( Hàm f có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó nó không có đạo hàm )
5


đủ đ ể h àm i ấ đ ạ i eựe
tr i
a) Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x()và có đạo hàm trên

D iề u k iện

các khoảng (a; x„) và (x0; b). Khi đó
+ Nếu f'(x) < 0, Vx e (á ; x0) và f'(x) > 0,Vx e(x„; b) thì f đạt cực tiểu tại x0.
+ Nếu f'(x) > 0 , Vx e (a; x0) và f'(x) <0, Vx e (x0; b) thì f đạt cực đại tại x0.
b) Giả sử f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a; b) chứa điểm x0,
f'(x0) = 0 và f "(x0) * 0 Khi đó:
+ Nếu f"(Xq) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0.
+ Nếu f"(x0) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0.
3. GIÁ TRỊ LỚN NHÂT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHAT c u a h à m s ố
Cho hàm số y = f(x) xác định trên mieff'D (D c R ). Ta n ó i:
a) Số M được gọi là GTLN của hàm sọ y = f(x) ưên D nếu hai điều sau
,

íf(x )< M ,V x e D
thỏa mãn <
[3X| e D : f ( X j ) = M.
Kí hiêu : M = max f(x) hay M = m axy.
xeD
b) Số m được gọi là GTNN của hàm sô" y = f(x) trên D nếu hai điều sau
thỏa mãn

f(x)>m ,VxeD
3 x 2 e D : f(x2) = m.

Kí hiệu : m = min f(x) hay m = m iny.
4. ĐƯỜNG TIỆM CẠN CỦA Đ ồ THỊ HÀM s ố
Giả sử hàm sô" y = f(x) có đồ thị là (C)
lim f(x)

.

=

.

X ->X y

.

X -»X q

lim f(x)

=

x -> x ỹ

.

Kết luân

Dấu hiệu
—co
lim f(x) = +00
-co

.

X

=

x0 là tiệm cận đứng của (C).

y

=

y 0 là tiệm cận ngang của (C).

lim f(x) = +00
X —» X q

lim f(x)

=

X-+ + X

y 0 hoặc lim f(x)

=

y ()

x - > - x

.Nếu lim [f(x )-(a x + b)] = 0 ( a ? t0 )
X ->+*>

hoặc lim [f(x) - (ax + b)]

=

0 ( a ^ 0)

y - ax + b là tiệm cận xiên
của (C)

X- > - x

Cách

tìm tiệm cận xiên

Đường thẳng y = ax + b (a * 0) là tiệm cận xiên của (C) khi và chỉ khi
a=
hoặc a =
6

lim -^ v à b =
X-*+oc X

lim [f(x )-a x ]
X-»+oc

lim ^ —^ y à b = lim [f(x )-ax ].
X->-áo X
X-»-»


5. ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ
Cho hàm f có đạo hàm câp hai trên một .khoảng chứa điểm x0. Nếu f"(x0) = 0
và f*(x) đổi dấu khi

X

qua điểm x() thì I(x 0 ; f(x0)) là điểm uốn của đồ thị

y = f(x).

6 . DẠNG ĐỒ THỊ CỦA MỘT s ố HÀM s ố THÔNG DỤNG
+ Đồ thị hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a * 0 )

a < 0

a > 0
y'

y ềV

/

/ 0

/

\

\ 0

ầ

/

\

*

. y' = 0 CC hai nghiiệm phân biệi

. y' = 0 cỏ hai nghiộĩn phân biệt

. Hàm số’cổ một CI/c đại và một cực tiểu

. Hàm số’cố một cực tiểu và một cực đại.

1

y*V

0

\

/

y>

0

X

\
\
1

1

. y' > 0 ,Vx € D hc)ặc y' > 0,Vx e D

. y' < 0,Vx e D hoặ
. Hàm số luôn đồn g biến

. Hàm số luôn nghịcl1 biến

+ Đồ thị hàm số trùng phương y = ax4 + bx2 + c (a * 0 )
a <0

a > 0

1

y'

y>
ỉ

-------------------- J ._______ _

\

0

/

gj—

------ ---------- -----T™

*

Nhận xét: a > 0 và b < 0 thì

/

0

"

1

>
*

Nhận xét: a < 0 và b > 0 thì

. Hàm số có hai cực tiểu và một cực đại

. Hàm số có hai cực đại và một cực tiểu

. Đồ thị hàm số có hai điểm uốn

. Đồ thị hàm số có hai điểm uốn

7


+ Đồ thị hàm số nhâ't biến y = ax + k (c * 0 , ad - bc
cx + d

0)

'Ị ị
______________ *

o

«
" V

[

------------------------------------- ỳ.

0

X

1

. y ' > 0 ,V x € Đ

. y ' < 0 ,V x € D

. C ó t h ể n h ìn a d - b c > 0

. C ổ th ể n h ìn a d - b c < 0
2

+ Đồ thị hàm số hữu tỷ y = — +
+ c = px + q + — - — ( a e * 0 , r * 0 )
ex + f

ex + f
r Ỹl1 '

J

s

\

/ /

\

/

j

s

/

■

/

.........

ề\0

/

*
o
*

/
a .c
a .

e

>

0

v à

y '

=

0

C Ổ

h a i

n g h i ệ m

p h â n

<

O v à

y '

s

.1
T

1[ > c ỏ h a i n g h i ệ m

1
k

1

9

/

*

.

‘ 0 , V

8

x

€

D

b iộ l

rt

s

• '1

p h â n

b i ệ t

y ' <

: 0 , V x ; e

o

D

*

7. Sự GIAO NHAU VÀ SựTIEP x ú c c ủ a h a i đ ư ờ n g c o n g
Cho hai đường cong (C ị): y = f(x), (C2): y = g(x)
. Hoành độ giao điểm cỏa (C() và (C2)là nghiệm của f(x) = g(x)(*)
S ố nghiệm phân biệi của (*) bằng số giao điểm của hai đường cong.
. (C ,),(C 2)gọi là tiếpxúc nhau tại điểm M (x„;y0)nếu chúng có tiếp
tuyến chung tại điểm M. Khi đó, M gọi là tiếp điểm.
„
ff(x) = g(x)
. (C.) và (C2) tiếp xúc vđi nhau O-Ị
có nghiêm
[fr(x) = g'(x)
»

Nghiệm của hệ phương trình trên gọi là hoành độ tiếp điểm.
• Đường thẳng y = px + q là tiếp tuyến của (P ): y = ax2 + bx + c (a * 0)
<=> ax 2 +bx + c = px + q o axz +(b - p)x + c - q = 0 có nghiệm kép.

B. BÀI TẬP CẢN BẢN
§1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM s ô
Bài 1. Xét chiều biến thiên của hàm số y = X3 - 3x 2 + 5x + 2008.

Giải
. Tập xác định: D = R
.Đ ạo hàm: y' = 3x 2 - 6 x + 5
- 3.5 = - 6 < 0 ^ 3x' - 6x - 5 > ° ' Vx
. Vậy: Hàm số luôn luôn đồng biến trẽn R.

m

Bài 2. Xét chiều biến thiên cỏa hàm số y = X4 + X3 - 3x2 - 5x + 2008.

Giải
. Tập xác định: D = R
.Đ ạohàm : y' = 4x 3 + 3 x 2 - 6 x - 5
y' = 0<=>(x + l) z( 4 x - 5 ) = 0 o x = - l hoăcx = —

4

• Bảng biến thiên:
X

—

00

. y'
y

*

5
4

—

- 1

-

0

-

+ 0 0

0

+

-

*•
Ịj

9


>ị £

_

.

á

; + 00j

Vậy: Hàm số đồng biến trèn khoảng

Hàm số nghịch biến trên khoảng Ị^-oo; —j

Giải
• Tập xác định: D = R \{ - l}
Ị 2 ẵ2 + 4x —6
• Đạo hàm: y' = - - - - - X—(x + 1)
y' = 0 o 2 x 2 + 4 x - 6 = 0 o
• Bảng biến thiên:
-00

- 3

+

0

X

= 1 hoặc

- I

-

X

= -3
+ 00

1

-

0

4-

♦ Vậy: Hàm số đồng biến ưên khoảng (-do; - 3 )u (l; + oo)
Hàm sốnghịch biến ưên khoảng ( - 3 ;
1).

Giải
• Tập xác đình: D = R
• Đạo hàm: y' = J2 - mx + 2
Để hàm số luôn luôn đồng biến trên R <=> y' > 0, Vx 6 R
f â —1
0
^
I I
_ rr
• Vậy: |m |< 2 ^ 2 .
Bài 5. Xét chiều biến thiên của hàm số y = sin 2 X + cosx (0 < X < 71).
Giải
• Đạo hàm: y' = 2sinxcosx - sinx = sinx(2cosx - 1 )
1

7t

y = 0 <=> 2cosx - 1 - 0 ( đo sinx > 0 ) o cosx = —o X = —
2
3
• Bảng biến thiên:

10


0n

X
y

71
—
3

71

Ị

+

y

..

..

0

............... - '

*

• Vây: Hàm sô" đồng biến trên khoảng

0; —
V 3
^71
Hàm sô" nghịch biến trên khoảng i ; n ,
V->

Bài 6.

y

71^
0 ;ĩ
X3
'
n
b ) Chứng minh: tanx > X +
Vx e 0 ; - a) Chứng minh: tanx > X, Vx e

3

.

2;

Giải
a) Xét hàm sô" f(x) = tanx -X trên nửa khoảng
* !
Thây f(x) liên tục trên

và f'(x) =

1
cos2x

*!

-1 = tan2x > 0 , Vx e 0’ 2 /

1J

Do đó: f(x) đồng biến trên nửa khoảng

0;

71

2/

f n re)
( K^\
Suy ra : f(x) > f(0) = 0, Vx e 0 ; ^ hay lanx > X, Vx € 0 ; ^
V 2J
2
X3
b ) Xét hàm sô" g(x) = tanx - X - — trên nửa khoảng
Thây g(x) liên tục trên
và g (x ) =

0;

71

1

1 - X = tan X - X > 0, Vx e
cos x
( áp dụng kết quả câu a ) )
Do đó: g(x) đồng biến trên nửa khoảng 0 ;

H )

n

Suy ra: g(x) >g(0) = 0 , Vx e
’7 (
hay tanx > x + - - > 0, Vx e 0; —■
.7
V 7
¿7
X3

11


§2. c ự c TRỊ CỦA HÀM s ố
Bài 7. Tìm cực ưị của hàm số y = -2 x 3 + 3x 2 + 12x.
Giải
. Tập xác định: D = R
. Đạo hàm: y' = - 6x 2 + 6x +12 = - 6(x 2 - X- 2 )

y' = 0 o X2 - X - 2 = 0 o X = -1 hoặc
. Bảng biến thiên:
X

—00

y'

-1
-

ft
X

=2
+ 00

2
0

+

0

+ 00 '

^

—

20 \
CD

y
-7
CT

-o c

•V ậ y :y CĐ= y ( 2 ) = 2 0 ; yCT(-T) = - 7 .
Bài 8 . Tìm cực trị của hàm số y = — ——
Giải
• Tập xác định: D = R \{l}
, X2 - 2x - 4
• Đạo hàm: y = -------— —
( x - l )2

• Vậy: yCĐ= y ( 1 - ^ 5 ) = 4 -2 V 5 ; yCT(l + V5 ) = 4 + 2 V s .

Chú ý

:Để tìm giá ưi

tri ta tính - —- =
*
v(x)
1
+ V ớix, = 1 -V 5 =>f(x, ) = 2 ( 1 - 7 5 ) + 2 = 4 - 2 ^ 5
+ V ớ ix ị = l + s/fi=>f(x2) = 2(l + V 5 )+ 2 = 4 + 2>/5

12

CƯC


Bài 9. Tìm m để hàm sô
a ) y = X5 - 2x2 + mx + 2008 có cực trị.
X2 + (m + 2)x - m + 1
b) y =
có cực đại và cực tiếu.
x+1
Giải
a) . Tập xác định: D = R
• Đạo hàm: y' = 3x2 - 4x + m
Để hàm số có cực trị o y' = 0 có hai nghiệm phân biệt
4
o A' = 4 - 3m > 0 <=> m < —
3
b) Tập xác định: D = R \ {—1}
. .
,
X 2 + 2x + 2m +1
g(x)
\
Đạo hàm: y = (x + i ỵ
(x + i r
Hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu « g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt
khác - 1
ÍA' = - 2 m > 0
n

Ị g ( - l ) = l - 2 + 2 m + l *0
Bài 10. Cho hàm số y = f(x) = - x 3 + mx2 + (m 2 - 4)x + 2. Tìm m để hàm
_______ số dạt cực tiểu tại

X=

1■_______________________________________
Giai

. Tập xác định: D = R
. Đạo hàm: f'(x) = X2 + 2mx + m 2 - 4
f '( x ) = 2 x + 2 m
Hàm số đạt cực tiểu tại X = 1 => f'( 1) = 0 o m2 + 2m - 3 -- 0
o m=
hoặc m = 1

‘ T ầ Ẻ ìâ L í
f Y1 ) = 0
Ỉ

+ V ớim = l:

__4

=> hàm số đạt cực đại tại X = 1 ( loại)
0 ^ ^àm số đạt cực tiểu tại

X

= 1 (nhận)

.Vậy: m = 1 .
Bài 11. Tìm cực trị của hàm số y = X - e x.
_ _

. Tập xác định: D = R
.Đ ạo hàm: y' = 1- e *
ý' = 0 <=> 1 - e x = 0 o e x = e° o X = 0
Nếu X > 0 => e x > e° = 1 => y' < 0
Nếu X < 0 => e x < e° = 1 => y' > 0
13


. Bảng biến thiên:
—00

X

y'

4-00

0
+

0
CĐ

y
• Vậy: yCĐ = y(0) = -- 1 .

" "

Bài 12. Tìm cực trị của hàm số y = -v/xìnx.
Giải
• Tập xác định: D = (:0; + 00)
,
1 1— lnx + 2
• Đao hàm:
— =4nx + —. Vx =
2yf:X
X
2 vx
y ' = 0 c > lnx = -2 o
Nếu

X

= e"2 = - y
e

> e -2 <=> lnx > -2 => y' > 0
0 < X < e~2 <=> lnx < - 2 => y' < 0
X

• Bảng biến thiên

y'

1111

1
—r
e
-

0

]

y

• V ậ y :y CT= y

+00
+
\

1111
M M 0
ia s s p

Q o 1to

X

í 1 ì
-y
ve

Bài 13. Cho hàm số y = 2x3 - 9x2 + 12x - 4 . Tim cực trị của hàm số và viết
phương ưình của đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu
của đồ thị.
*

2

•

Giải
• Tập xác định: D = R
• Đạo hàm: y' - 6(x 2 - 3x + 2 ); y' = 0 «

Xị

= 1 hoặc x 2 = 2

C á ch l
• Bảng biến thiên:
X

y'

14

- 00

1

+

0

2

-

0

+00

+


.Đ iểm cực đại M |(l; 1), điểm cực tiểu M2(2; 0)
. Phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu là:
X-*M,
_ y - y M|'
X —1 y -1
-------- — = ----- — — <=>-—- = - — y = —X + 2 .

2-1

yM3- y M,

0-1

2.

Cách

Chia f(x) cho f'(x) ta được: f(x) = —X - — f'(x) - X + 2
3
2
Với

X,

=1 thì

f ( x , ) = i — X. - — f'(X)) - X,

+2 = -X ,

+2 = 1

(1
iV
x 2 = 2 thì f(xn) = —x 2 - — f'(x2) - x 2 + 2 = —x 2 + 2 = 0
\3

2)

Gọi M ,(x,; y,), M 2(x2; y2) là hai điểm cực trị, ta có: j ^:1 ~ _X| +
(y 2 ——x 2 + L
Phương trình đường thẳng đi qua điểm M ,, M 2 là y = - X + 2.
_I
phương trình
Bài 14. Cho hàm số y = ---- --------- . Tìm cực trị của hàm số và viết phươn
của đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị.

Giải
• Tập xácđịnh:D = R\{2}
X2 —4 x —5

. Đạo hàm: y' = ------ — - —, y' = 0 <=> Xj = -1 hoặc x 2 = 5
(x -2 Y

Cách 1.
. Bảng biến thiên:
X

—00

2>

-1

y'

+

0

-

5

,CB\
—co

/

0

—

+

+ Q0

1
y

+CO

+ O0
*

—CO

13
cr

• Điểm cực đại M|( - 1 ; 1), điểm cực tiểu M2(5; 13)
• Phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu là:
X- X

y - y Hl

-----= _£—

xM
3 - x Ml
y « , - y Ml

X +1

y - 1

5+1

*3-1

„

_

í * _ -----<=> y = 2x + 3.

Cách 2.
GọiMịíXị; y t), i = 1,2 là các điểm cực đại và cực tiểu

— — hay

Ta có: y = -

-—
-=
1
Phương ưlnh đường thẳng đi qua điểm M |, M 2 là y = 2x + 3.
v '(X ị)

15


Bài 15. Tìm cực trị của hàm số y = X + a/ i -X 2 .
Giải
•Tập xác định: D = [ - l ; 1]
. Đạo hàm: y' = 1-

X

V l - X 2 —X

Vl - X 2

-v/l-x2

. Giải
-Jl-X 2 < X (*)
[x > 0
>/2 •
_ [x > 0
-»
<r> —— < X < 1
( * ) « ! ;'1 - x,22 > 0 , 1 - x 2 < x 2 ° V|
-2^
Ị l - X2
> 0" , l*- 2*1-x 2 < 0
2

Jõ
.Với — < x < l t h ì y ' < 0
2
'

với -1 < X<

thì y' > 0

2
. Bảng biến thiên :

§3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIẮ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA HÀM SỐ
Bài 16. Tim GTLN, GTNN của hàm số y = 2 x 3 + 3x 2 - 12x +1 trên [ - 1; 3J.
~ ~
~
• Tập xác định: D = [ -1 ; 3]

Giải

• Đạo hàm : y' = 6x 2 + 6x -1 2 , y' = 0 < = > ~ ^2

D

• Bảng biến thiên :
X

1

-1

y'
y

©

14

. Dựa vào bảng biến thiến : maxy =
16

1

3
+

46

khí X = 3, m in y = - 6 khi X = 1.


Bài 17. Tìm GTNN của hàm số y =

——

_________________________ _

với X > 0 ).

X

Giải
• Tập xác định: D - (0: + X))
X2 _ 4
• Đạo hàm: y '= ---- —
y' = 0 »

X=
X=

-2 Ể D

• Dựa vào bảng biến thiên thấy:miny = 8 khi X = 2.
Bài 18. Tìm GTLN của hàm số f(x) = X1 + 3x2 - 72x + 9()j trcn [-5; 5]
Giải
• Xét hàm số g (x ) = X3 + 3x2 - 72x + 90 trên D = [ - 5 ; 5]
• Ta có: g'(x) = 3x2 + 6x - 72, g'(x) = 0 <=> x ^

• Dựa vào bảng biến thiên thấy:
maxf(x) = m axỊ|g(- 5)|, |g(4)|, |g(5)|| = 400 khi

X

= -5 .

Bài 19. Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = -2 sin 3x + 3cos2x - 6sinx.
Giải
• y = -2 s in 3 x + 3(1 —2 sin2 x )-6 sin x = -2 s in 3 X -6 sin 2 x - 6sinx + 3 (1)
Đặt u = sinx, - 1 < u < 1

(1) viết lại: y = -2 u 3 - 6u2 - 6u + 3
y' = - 6 u 2 - 12u - 6 = -6 (ú 2 + 2u + 1) = -6(u + 1)2 < 0, y' = O o u = -1
Bảng biến thiên:
TRUNG TẨM THÒNG ĨỈN fHU

V :T.

17
L o

LAẢ”


0_
5

Dựa vào hảng hiến thiên thây:
maxy = 5 khi sinx = -1 <=> X =

+ k2rt, k e z

miny = —11 khi sinx = 1 o X = —+ k27T, k £ z

2

Bài 20. Tìm GTLN và GTNN của hàm số y = sinx + ‘xosx + 1
sinx + cosx + 3
•2•
Giải
/

\
• Tập xác định: D = R do sinx + cosx + 3 sin í X + — 4 -3 * 0 , Vx
l
4J
(*) o (y - l)sinx +(y -2 )c o sx = 1 —3y (**)
Đ ể phương trình (**) có nghiệm X€ R o (y -1 )2 + (y - 2)2 > (1 - 3y)2
<=> y 2 - 2y + 1 + y 2 - 4y + 4 > 1 - 6y + 9y2 o 4 - 7y2 > 0

2

2

t C>~ ỉ ĩ - y - ự ĩ
2

2

• Vậy: maxy =.ự=r, miny =

§4. TIỆM CẬN CỦA ĐƯỜNG CONG

^

• 2 •

Giải
a ) . Vì lim y = +C0 và limy = -0 0 => X = -1 là tiệm cận đứng
X—*1T

\ —> I

3+ . Vì limy. = lim ----- 7-= 3 => y = 3 là tiêm cân ngang
1X -* rx.

\-r > f£

I

X
b) . Vì limy = +oo và lim y = -co => X = 2 là tiệm cận đứng.
\-*2+

x-»2

1+ậ
X
Vì lim y = lim —— — = I => y = 1 là tiêm cân ngang.
1 -x-*+-x ụ

18

X ♦+■*

/

*


-X. 1 +

Vì limy = lim

= -1 => y = -1 là tiệm cận ngang.

x;

Giải
lim y = -0 0
Vì

X= -1 là tiệm cận đứng

lim y = +00

Hàm số đã cho có thể viết lạ i : y = - X + 2 -

X+1

I ì
'-*+ X+1

Vì lim[y -(-X + 2)1 = l i m ------— = 0 => y = -X + 2 là tiệm cận xiên

)

Bài 23. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm s ố : y = Vx2 + X+ 5.
Giải
Tiệm cận xiên c ó dạng y = ax + b (a * 0 )
. Khi x -» +00
v/x2 ++XX+ 5

y
Vx
, 1
a = lim —= lim ----- —-------= lim , 1 + —
’■*“ X "*■*
X
*■*" V
X

5

=1

X

b = lim (y - x) = limíVx2 +x + 5 - x ) = lim- 7=..—+ '1----' *

1

V x2 + X+

5+X

= lim ,
»
= 1.
/, 1 5 , 2
1+ T + — +1
V X X
1

+

-

=> y = X + — là tiệm cận xiên của nhánh phải
. Khi X —> -c o

_ ..

y
"X

7x2 + X+ 5

ĩ
5”
X X

a = lim — = lim — ----—— = - lim J1 + —+ —r = -1

,

1+1

X

b = lim (y + x) = Vlim
Vx2 + X+ 5 + X/ = lim
+ -* \

\-* -x

\ + -r.

_

1
2

H. I * s - .
V X X

2

y = -X - — là tiệm cận xiên của nhánh trái

19


2

Bài 24. Tìm m để đồ thị hàm số y -

+ x + m không có tiệm cận đứng.
X- m
Giải

Đ ể đồ thị không có tiệm cận đứng khi và chỉ khi 3m 2 + m + m = 0
<=> 3m 2 + 2m = 0 <=> m = 0 hoặc m =

2

•

3

__ _____________________________________________________________ Ị-______ _______________ _________ ____________________________________________________________

m2

Bàỉ 25. Tìm m để đồ thi hàm SC) y = -X + m + 1-------- ( m 5É0 ) có tiệm

x+1

cận xiên đi qua điểm A(2; 0).
/-N •

Giải
(

• Vì lim

^ 2

m

X +1

^

= 0=>y = - x + m + llà tiệm cận xiên của đồ thị

• Tiệm cận xiên đi qua A(2; 0) khi và chỉ khi 0 = -2 + m +1 <=> m = 1

§5. ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ- PHÉP TỊNH TIEN
HỆ TOẠ ĐỘ
Bài 26. Cho hàm số y = X3 - 3 x 2 + 2x - 4 có đồ thị (C)
a) Tìm điểm uốn I của đồ thị (C)
b ) Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI
và viết phương trình của (C) đôi với hệ tọa độ IXY. Từ đó suy ra
điểm I là tâm đối xứng của (C).
Giải
a ) . Tập xác định : D = R
.

y'

=

3x2 - 6x + 2; y "

. y* đổi dâu khi

X

=

6x - 6, y* = o o

X =

1

qua điểm x() = 1.

.Vậy 1(1; - 4 ) là điểm uốn của đồ thị (C)
b)

. Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI là
+ ^ ; phương trình của (C) đối với hê toa đô IX Y )à
ly = Y - 4
Y - 4 = (X + l) 3 -3 (X + l) 2 +2(X + l ) - 4
Y = (X + 1)[(X + 1)2 -3 (X + 1) + 2] = (X + 1)(X2 - X ) = X 3 - X
. Hàm số Y = X3 - X là hàm số lẻ. Do đó đồ thị (C) nhận gốc tọa độ I
làm tâm đối xứng.

20


Bài 27. Cho hàm số y = X---- -— cóđồ thi (C)
X+1
a ) Tìm tọa độ giao điểm I của hai tiệm cận của đồ thị (C)
b) Viết công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI
và viết phương trình của (C)đôì với hệ trục tọa độ IX Y .T ừđósuy ra
điểm I là tâm đối xứng của (C).
Giải
a) . Tiệm cận đứng X = -1, tiệm cận xiên y = X ( tương tự Bài 22)
. Tọa độ giao điểm của hai tiệm cận là I( -1 ; -1 )
b) . Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ OI là
ịx = X -1

ịy = Y - l
. Phương trình của (C) đối với hệ tọa độ IXY là
Y - l = X - l ------- ỉ-----hay Y = X - —
. Hàm số Y = X - — là hàm số lẻ
'
*
X
. Do đó : Đồ thị (C) nhận I làm tâm đối xứng.
Bài 28. Cho hàm số y = X3 - 3mx2 + (m + 3)x -1 có đồ thị (C). Tìm m để
điểm uốn của (C) nằm trên parabol (P): y = X2.
Giải
• Tập xác định: D = R
• Đạo hàm: y' = 3x2 -6 m x + m + 3, y" = 6x - 6 m
y" = 0 o x = m
Ta thây y" đổi dâ'u khi X qua điểm x0 = m
Suy ra: I(m; - 2m3 + m 2 + 3m - 1 ) là điểm uốn của đồ thị (C)
1 e (P) Cí> -2 m 3 + m 2 + 3m - 1 = m2 o 2m3 - 3m +1 = 0
<=> (m -1 )(2 m 2 + 2m - 1 ) = O o m = 1 hoăc m = —- ——
2
Bài 29. Cho hàm số y = X3 + 3mx2 + (m + 2)x +1 có đồ thị (C). Tìm m để
điểm uốn của (C) nằm trên trục hoành.
Giải
• Tập xác định: D = R
• Đạo hàm: y' = 3x2 + 6mx + m + 2
ý" = 6x + 6m
ý’ = 0 o x = -m
21


Ta thây y" đổi dâu khi Xqua điểm x0 = -m

Suy ra: I( - m; 2m3 - m 2 - 2 m + 1) là điểm uốn của đồ thị (C)
I e O x o 2m 3 - m 2 - 2 m + 1 = 0<=>( m - l) ( 2 m 2 + m - 1 ) = 0
<=> m = 1 hoặc m = -1 hoặc m = —
2

________________________________ ________________________ _________ _____________________________

.

________________________________________________________________________

Bài 30. Chứng minh đồ íhị (C): y = x + có 3 điểm uốn thẳng hàng
X +1
Giai
. Tập xác định: D = R
, _ - x2 - 2 x + 1
•

V

—

5

7

—

0 ■>yV
7

.

„_ 2(x - l)(x 2 + 4x +1)
—

-----------------------------------7--------------—

7--------------------------

(x2 + 1)3

(x2 + 1)2

. y' = 0 •«> X = 1 hoặc x = - 2 - S hoặc X= - 2 + 73
.y ”đổi dâu khi X qua điểm 1 , - 2 ± 73

1-73

A(l; 1), B -2 - 73;

, c -2 + 73 ;

- 3+7Jì ,
4

BC =

là các điểm uốn
*■>

(N

ÂB = ị - ơ + S y ,

1+ 73

l

2 )

3 + 73
. Vì —^

-

A—

AB và BC cùng phương

73

273

A, B, c thẳng hàng

§6. KHẢO SÁT MỘT s ố HÀM ĐA THỨC
Bài 3 1 . Khảo sát sự bỉếri thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = -X3 + 3x + 2.
Giai
• Tập xác định: D = R
• Đạồ hàm: y' = -3 x 2 + 3, y' = 0 <=> X= - I hoặc X = 1

ý* = -6 x , y -0<=>x = 0
■
Ta thấy y* đổi dâu khi X qua điểm 0, nên l(0; 2) là điểm uốn của đồ thị
Giđi hạn: lim y = +oo, limy = -0 0
\-» -X

m \-M -X

• Bảng biến thiên:
X

- 00

-1

-

y'

0

+ 00

+ 00

1

+

—

0
^

4

x

y
>ầ. 0

22

k —00


Điểm đặc biệt: A( - 2 ; 4), B(2; 0)
• Đồ thị

Bài 32. Khảo sát sự biến thiên và vẽđồ thị của hàm số y = X3 - 1.
^

Giải
• Tập xác định: D = R
• Đạo hàm: y' = 3x2, y ' = 6x
y" = 0

X =0

Ta thấy y" đổi dâu khi Xqua điểm 0, nên 1(0; - 1) là điểm uốn của đồ thị

Giới hạn: lim y = -oo, limy = +co
• Bảng biến thiên:

Bài 33. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = —X4 - 3 x 2 + —•
_____________ ______________________________________

2 _________ 2_

Giải
• Tập xác định: D = R
• Đạo hàm: y' - 2x 3 - 6x = 2x(x 2 - 3), y' = 0 o
y* = 6x 2 - 6, y" = 0 o x = ±l

X

- 0 hoặc

X

= ±yfĩ

23


Ta thấy y' đổi dấu khi X qua điểm ± 1 , nên l ( - l ; o) và j( l ; 0) là điểrq uốn
của đồ thị
Giới hạn: lim y = +00
m

*♦

. Đồ thị

Bài 34. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = - x 4 - 2 x 2 + 3.
Giải
• Tập xác định: D = R
• Đạo hàm: y' = - 4 x 3 - 4 x = -4x( X2 +1), y' = o o X = 0
>0. Vx

Ta CÓ: y ' = - 1 2x 2 - 4 < 0, Vx e R => đồ thị hàm số đã cho không có
điểm uốn
Giới hạn: lim y = -0 0
• Bảng biến thiên:
X

y'

- 00

0

+

+00

0

3

y

—00
Điểm đặc biệt: A( -1; 0), B(l; 0)
• Đồ thị

—00


§7. KHẢO SÁT MỘT s ố HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ
Bài 35. Khảo sát sự hiến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y =

X+2

2 x -l

Giải
»Tập xác định :D - R \
-5

«Đạo hàm : y' =

(2 x -l)
.V ì

lim y =
“ 3"

+00
1

lim y = - 00.

. "ì, :

2

Vì lim y = lim

X ->tx

2

;

=> X = —là tiệm cận đứng

1+
x-k+x

< 0, Vx e D => Hàm số đã cho y giảm trên D

-

X _ 1
1 „ ..
. _______
Y = —=>y = —là tiệm cận ngang
—

X

.Điểm đặc biệt: A(0; - 2 ) , B( - 2 ; 0), C(3; 1)

25