đề thi hsg 2

SỞ GD-ĐT KHÁNH HOÀ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH
NĂM HỌC 2006-2007
MÔN TOÁN – LỚP 12 THPT – BẢNG B
Ngày thi thứ hai
Thời gian làm bài : 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 (2,50 điểm) :
a) Tìm hệ số của
( )
4
2
x
trong khai triển thành đa thức của biểu thức

( )
6
2
A x 1 x x 2
 
= + + −
 
b) Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 6, 9 có thể thành lập được bao nhiêu số có 5 chữ
số khác nhau sao cho mỗi số tìm được đều có hai số 3 và 4 đứng cạnh nhau?
Bài 2 (2 điểm) : Giải hệ phương trình :
x y
x y
1
6 6
2 2
2 2
2 2 12 (1)
x 5y 6xy (2)

+ +
+


+ =


+ =

Bài 3 (2 điểm) : Cho elip có phương trình
2 2
( ): 1
6 3
x y
E + =
. Xét một hình vuông ngoại
tiếp elip (tức là các cạnh của hình vuông đều tiếp xúc với elip). Viết phương
trình các đường thẳng chứa các cạnh của hình vuông đó.
Bài 4 (1.50 điểm) : Cho hàm số
{ }
: \ 2 →¡ ¡f
thỏa mãn tính chất sau:
2 17
2 ( ) 3 100 3735
2
+
 
+ = +
 ÷
−

 
x
f x f x
x
.
Hãy tính
(3).f
Bài 5 (2 điểm) : Cho hàm số
( )
2
m
m m 2 x 2
y (H )
x 1 m
+ − −
=
+ −
.
a) Xác định
m
để
( )
m
H
không cắt trục hoành.
b) Khi
( )
m
H
là 1 hyperbol, hãy tìm quỹ tích các điểm tâm đối xứng của

( )
m
H
.
HẾT
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN LỚP 12 - BẢNG B – V2 - (2006-2007) -1-
Bài 1 (2.50 điểm)
1a
(1.50)
- Viết lại biểu thức thành :
( ) ( )
6
6
2
2
A x 1 x x 2 1 x x 1
 
 
= + + − = + −
 
 
- Khai triển A thành đa thức :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 4 6 80 1 2 3 4
2 3 4
6 6 6 6 6
10 125 6
5 6

6 6
A x x 1 x x 1 x x 1 x x 1
x x 1 x x 1
C C C C C
C C
= + − + − + − + −
+ − + −
- Suy ra số hạng có
16
x
chỉ có ở số hạng
( )
12
6
6
6
x x 1
C
−

- Từ đó tính được hệ số của
16
x
là :
( )
10
6 0 2
6 6 12
12
10

. . 66
1 .CC C C
 
= =
 
 
−
.
0.25
0.50
0.25
0.50
1b
(1.00)
Ta coi 2 số 3,4 đứng cạnh nhau là số mới
α
. Như vậy số cần tìm lúc này là
số có 4 chữ số dạng
1 2 3 4
x a a a a=
được lập từ 5 số : 0, 1, 2,
α
, 6, 9
- Vậy
1
a
có 5 cách chọn.
- Chọn xong
1
a

thì bộ
2 3 4
a a a
là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử.
Ta có
3
5
A
số.
Trong trường hợp này số các số x cần tìm là :
3
5
300
5
A
=
số.
- Do
α
có 2 cách chọn, suy ra : 2 x 300 = 600 số cần tìm
0.25
0.25
0.25
0.25
Bài 2 (2 điểm)

- Đặt
x y x y
t 3t
6 2

+ +
= ⇒ =
Từ (1) ta được phương trình :
3t t 1
2 2 12
+
+ =

3t t
2 2.2 12 0⇒ + − =
(3)
- Đặt
t
u 2 0= >
, ta đi đến phương trình :
3
u 2.u 12 0⇒ + − =
(4)
Giải (4) được 1 nghiệm :
u 2=
(chọn)
- Do cách đặt, ta có phương trình :
t
2 2 t 1= ⇒ =
Đi đến phương trình :
x y
1 y 6 x
6
+
= ⇒ = −

Thay vào (2) ta có :
( ) ( )
2
1
2 2
2
x 3
x 5 6 x 6x 6-x 12x 96x+180=0
x 5
=

+ − = ⇒ − ⇒

=

0.50
0.50
0.50
- Tương ứng tính được
1
2
y 3
y 1
=


=

. Vậy hệ có 2 nghiệm : (3; 3) và (5; 1).
0.50

Bài 3 (2 điểm)
- Giả sử
( ) : Ax+By+C=0, ( ) : Ax+By+C =0
′ ′
∆ ∆
là 2 đường thẳng chứa
2 cạnh đối của hình vuông ngoại tiếp elip
2 2
( ) : 1
6 3
x y
E + =
. Khi đó
2 2 2 2
6 3C A B C
′
= + =
mà
C C
′
≠
nên
C C
′
= −
.
- Phương trình chứa 2 cạnh còn lại của hình vuông là
1
( ) : Bx-Ay+D=0, ( ) : Bx-Ay+D =0 D=-D
′ ′ ′

∆ ∆ ⇒
- Ta có
2 2
1 1
2 2 2 2
2 2
( , ) ( , )
C D
d d C D
A B A B
′
′
∆ ∆ = ∆ ∆ ⇔ = ⇔ =
+ +
0.50
0.50
0.50
HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN LỚP 12 - BẢNG B – V2 - (2006-2007) -2-
- Suy ra
2 2
A B=
. Chọn
1 1, 3, 3A B C D= ⇒ = ± = ± = ±
. Vậy ta có
Phương trình 4 cạnh là
3 0, 3 0x y x y+ ± = − ± =
.
0.50
Bài 4 (1.50 điểm)
- Đặt

2x 17
g(x)
x 2
+
=
−
. Ta có
g(23) 3, g(3) 23= =
- Lần lượt thay
23, 3= =x x
ta được hệ

2 (23) 3 (3) 100.23 3735
2 (3) 3 (23) 100.3 3735
+ = +


+ = +

f f
f f
- Giải hệ ta được
(3) 2007=f
.
0.50
0.50
0.50
Bài 5 (2 điểm)
5a
(0,75)

- Để
( )
m
H
không cắt trục Ox thì ta phải có :
( )
( )
2
2
m m 2 0
m m 2 1 m 2 0

+ − =

+ − − + =


{ }
m 2; 3;0;1; 3⇔ ∈ − −
0.50
0.25
5b
(1,25)
-
( )
m
H
là hypebol khi và chỉ khi ta có
m 0
m 3

m 3
≠


≠ −


≠

(*)
- Tâm đối xứng
( )
m
H
có tọa độ :
2
x m 1 (1)
y m m 2 (2)
= −


= + −

- Suy ra :
2
y x 3x= +
.
- Do điều kiện (*) nên
x 1 x 3 1 x 3 1≠ − ∧ ≠ − ∧ ≠ − −
. Vậy quỹ tích tâm

đối xứng I là đường cong
2
y x 3x= +
với
{ }
x \ 1; 3 1; 3 1∈ − − − −¡
.
0.25
0.25
0.50
0.25
HẾT