10 1 HDGBTTL BTBS PT logarit p4

Khóa h c Luy n thi PEN-C: Môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Ph

CÁC D NG TOÁN C

ng

B N GI I PH

PT, BPT Logarit

NG TRÌNH LOGARIT (PH N 4)

HDG BÀI T P B SUNG
Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH
NG
Các bài t p trong tài li u này đ c biên so n kèm theo bài gi ng Các d ng toán c b n gi i ph ng trình logarit (ph n
4) thu c khóa h c Luy n thi PEN-C: Môn Toán (Th y Lê Bá Tr n Ph ng) t i website Hocmai.vn.
s d ng hi u
qu , B n c n h c tr

BÀI T P B

c Bài gi ng sau đó làm đ y đ các bài t p trong tài li u này.

SUNG

Bài 1: Gi i ph

ng trình

1

log 4 ( x2  x  1)2  log 1 ( x2  x  1)  log 2 ( x4  x2  1)3  log
3
2

2

x4  x2  1

Gi i
i u ki n x  R
Ph

ng trình  log2 ( x2  x  1)  log2 ( x2  x  1)  log2 ( x4  x2  1)  log 2 ( x4  x2  1)

 log 2 ( x2  x  1)( x2  x  1)   log 2 ( x4  x2  1)  log 2 ( x4  x2  1)

 log 2 ( x4  x2  1)  log 2 ( x4  x2  1)  log 2 ( x4  x2  1)
 log 2 ( x4  x2  1)  0  x4  x2  1  1
x  0
 x4  x2  0  
 x  1

Bài 2: Gi i ph

2
1
 x 1 
ng trình log 2,5  x2  8 x  15  log 5 
  log5 x  5
2

 2 

Gi i
 x2  8 x  15 2  0
 x  5;3



i u ki n  x  1  0
 x  1
 x5  0

x  5


Ph

 x 1 
ng trình  log5 x2  8 x  15  log5 
  log5 x  5
 2 

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -

Khóa h c Luy n thi PEN-C: Môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Ph

ng

PT, BPT Logarit

x2  8 x  15
 x 1 
 log 5
 log 5 

x5
 2 
 x 1 
 log 5 x  3  log 5 

 2 
x 1

x3 

2
x 1
 x3 

2
 x  3    x 1 




 2 
 x5
x

7
3

Bài 3: Gi i ph

1
ng trình log( x  5)  log x2  log 6
2

Gi i

x  5  0
 x  5

 5  x  0  5  x  0  x  0
i u ki n:  2
x  0
x  0
Ph

ng trình  log( x  5)  log x  log 6

 log ( x  5). x   log 6  ( x  5). x  6
 x  2
(th a mãn)

+ V i 5  x  0 , ta có: ( x  5)( x)  6  x2  5 x  6  0  
 x  3
 x  6
+ V i x  0 ta có: ( x  5).x  6  x2  5 x  6  0  
, k t h p đi u ki n  x  1
x  1

V y ph

ng trình có 3 nghi m : x  3; 2;1

Bài 4: Gi i ph





ng trình log x3 3  1  2 x  x2 

1
2

Gi i
0  x  3  1


i u ki n 3  1  2 x  x2  0
 2  x  4
1  2 x  x2  0  ( x  1) 2  0




Ph

ng trình  log x3  3  x  1  

1
2

1
2

 3  x  1  ( x  3)  x  3
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa h c Luy n thi PEN-C: Môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Ph

ng

PT, BPT Logarit

+ V i 2  x  1 thì ta có 2  x  1
 x  3  (2  x) 2  x2  3 x  1  0


3  5
x 
2


3  5
x 

2

So sánh đi u ki n  x 

3  5
th a mãn
2
x3  4 x

+ V i 1  x  4 thì ta có:

 x  3  (4  x) 2  x2  9 x  13  0

9  29
x 
2


9  29
x 


2

So sánh đi u ki n  x 

V y ph

9  29
th a mãn
2


3  5
x 
2
ng trình có 2 nghi m: 

9  29
x 

2

Bài 5: Gi i ph

ng trình 2log 2 (3x  5)  log 4 (3x  1)8  4log 2 (12 x  8)
Gi i

5

x   3
3x  5  0


1
2
1
1


8
i u ki n (3x  1)  0   x      x    x  
3
3
3
3
12 x  8  0


2

x   3


Ph

ng trình  4log2 (3x  5)  4log 2 3x  1  4log 2 (12 x  8)

 log 2 (3x  5) 3x  1   log 2 (12 x  8)
 (3x  5) 3x  1  12 x  8
1
+ V i x   , ta có (3x  5)(3x  1)  12 x  8
3

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khóa h c Luy n thi PEN-C: Môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Ph

ng

PT, BPT Logarit

 x  1
1

 9x  6x  3  0  
1 so sánh đi u ki n  x  th a mãn
3
x

3

2

2
1

+ V i   x   , ta có (3x  5)(3x 1)  12 x  8
3
3

5  2 3
x 
5  2 3
3
so sánh đi u ki n  x 
 9 x2  30 x  13  0  
3

5  2 3
x 
3


V y ph

1

x  3
ng trình có nghi m 
5  2 3

 x 
3

Bài 6: Gi i ph

ng trình

1
1
log 2 ( x  3)  log 4 ( x  1)8  log 2  4 x
2
4

Gi i
x  3  0
 x  3


8
i u ki n: ( x  1)  0   x  1  0  x  1  x  1


x  0
4 x  0

Ph

ng trình   x  3 x  1  4 x

+ V i x  1 thì ph

ng trình  x2  2 x  0  x  2 (đã k t h p đi u ki n)

+ V i 0  x  1 thì ph

ng trình  x2  6 x  3  0  x  2 3  3 (đã k t h p đi u ki n)

x  2
áp s : 
x  2 3  3

Bài 7: Gi i ph

 x9 
ng trình log 2  x( x  9)   log 2 
0
 x 

Gi i
i u ki n x( x  9)  0  x  9  x  0
Ph

x 9

ng trình  log 2  x( x  9).
 0  log 2 ( x  9)2  0

x 


x  9  1
 x  8
 ( x  9)2  1  

so sánh đi u ki n  x  10

 x  9  1  x  10
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Khóa h c Luy n thi PEN-C: Môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Ph





Bài 8: Gi i ph

ng

ng trình log3 6  2 4  x2  log 1



PT, BPT Logarit



2  x  2  x 1  0

3

Gi i
i u ki n: 2  x  2





Ph

ng trình  log3 6  2 4  x2  log3

 6  2 4  x2  3

t



2 x  2 x





2  x  2  x  log3 3  log3 3



2 x  2 x





2  x  2  x  t , 2  t  2 2 (g i ý tính đ o hàm r i xét d u)

 4  2 4  x2  t 2
Thay vào ph

t  1
, so sánh đi u ki n  t  2 (th a mãn)
ng trình ta có: t 2  3t  2  0  
t  2

V i t  2  2 4  x2  0  x  2
Bài 9: Gi i ph

ng trình 2log 24 x  log 2 x.log 2





2 x  1 1
Gi i

i u ki n x  0
Ph

1
ng trình  log 22 x  log 2 x.log 2
2







2x  1 1  0



 log 2 x log 2 x  2 log 2 2 x  1  1   0


log 2 x  0
x  1


2  
log 2 x  log 2 2 x  1  1
 x  2x 1 1











2

x  1

x  4

Bài 10: Gi i ph

ng trình (2  log 3 x).log 9 x 3 

4
1
1  log3 x

Gi i
x  0

1

i u ki n:  x 
9

 x  3

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Khóa h c Luy n thi PEN-C: Môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Ph

Ph

ng trình  (2  log3 x).



ng

PT, BPT Logarit

1
4

1
log3 9 x 1  log3 x

2  log3 x
4

1

2  log3 x 1  log3 x

 (2  log3 x)(1  log3 x)  4(2  log3 x)  (2  log3 x)(1  log3 x)

 log 32 x  3log 3 x  4  0
1

log 3 x  1  x 


3

log 3 x  4
 x  81
ng trình: t   3; 1

Bài 11: Gi i ph





3 1

log 2 x

x





3 1

log 2 x

 1  x2

Gi i
i u ki n x  0
t log2 x  t  x  2t
Thay vào ph





3  1  2






3  1 1  







t





t







 

t
3 1  
 





t



t

3  1  2t

3  1   1  2



t

3  1  1  2
 





ng trình, ta có:





 

3 1 


t



3  1  1  t t  1  2

t





3 1



3 1 


t



3 1

t



t
3  1  1


  1  0

3 1

t



 3 1 t  1


 t  0  x  20  1
t
 2 3  1   1







Bài 12: Gi i ph

ng trình log x(24 x1)2 x  log x2 (24 x1) x2  log 24 x1 x
Gi i

i u ki n: x  0
+ V i x  1 thì ph

ng trình th a mãn

+ V i 0  x  1 thì ph

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng trình 

1
2
1


1  2log x (24 x  1) 2  log x (24 x  1) log x (24 x  1)

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -


Khóa h c Luy n thi PEN-C: Môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Ph

t log x (24 x  1)  t , ta đ

c ph

ng trình

ng

PT, BPT Logarit

1
2
1


1  2t 2  t t

 t (2  t )  2t (1  2t )  (1  2t )(2  t )
t  1

t   2
3


1
(lo i)
23

+ Tr

ng h p 1: t  1  log x (24 x  1)  1  24 x  1  x  x  

+ Tr

2


2
2
ng h p 2: t    log x (24 x  1)    24 x  1  x 3  x2 (24 x  1)3  1 (*)
3
3

Nh n th y x 
- N u x

1
là nghi m c a (*)
8

1
thì v trái c a (*) > 1
8

- N u 0 x

1
v trái (*) < 1.
8

V y (*) có nghi m duy nh t x 
áp s : x  1;

1
8

1

8

Bài 13: Gi i ph

ng trình ( x  3) log32 ( x  2)  4( x  2) log3 ( x  2)  16
Gi i

i u ki n: x  2
t log3 ( x  2)  t , thay vào ph

ng trình ta có:

( x  3)t 2  4( x  2)t 16  0 coi đây là ph

ng trình b c 2 n t khi đó ta có:

t  4

t  4
 x3
+ V i t  4  log3 ( x  2)  4  x  2  34  x  
+ V i t= t 

161
81

4
4
 log3 ( x  2) 
 x  1 là nghi m duy nh t

x3
x3

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 7 -


Khóa h c Luy n thi PEN-C: Môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Ph

ng

PT, BPT Logarit

x

ng trình log 22 x  x log 7 ( x  3)    2log 7 ( x  3)  .log 2 x
2


Bài 14: Gi i ph

Gi i
i u ki n : x  0
x


log 2 x 
x


ng trình   log 2 x    log 2 x  2log 7 ( x  3)  0 
2

2

log 2 x  2log 7 ( x  3)

Ph

+ Xét tr

ng h p : log 2 x 

x
x
 log 2 x   0
2
2

Ta th y x  2; x  4 là nghi m
x
M t khác, xét f ( x)  log 2 x  , x  0
2

Ta có : f '( x) 

1
1 2  x ln 2
 
x ln 2 2
2 x ln 2

f '( x)  0  x 

2
ln 2

B ng bi n thiên :

x

2
ln 2

0
+

f '( x)

0

+
-

f ( x)

T b ng bi n thiên ta th y đ th f ( x)  log 2 x 
f ( x)  log 2 x 

V y rong tr
+ Xét tr

x
không th c t tr c hoành quá 2 đi m t c ph
2

ng trình

x
= 0 không th có quá 2 nghi m.
2

ng h p này ph

ng trình có 2 nghi m x  2; x  4

ng h p log 2 x  2log7 ( x  3)

t log2 x  t  x  2t
Thay vào ph

ng trình ta có : 2log7 (2t  3)  t  log7 (2t  3)2  t

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 8 -


Khóa h c Luy n thi PEN-C: Môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Ph
t

t

ng

PT, BPT Logarit

t

 2  3  7   74   6  72   9  71   1
2

t

t

Ta th y t = 2 là nghi m
M t khác : V trái là hàm ngh ch bi n còn v ph i là h ng s nên t = 2 là ngheiemj duy nh t.
V i t = 2 suy ra x  4
x  2
áp s : 
x  4

Bài 15: Tìm s nghi m th c c a ph

ng trình sau : log 2 x 

1
1  x2
2x

Gi i
i u ki n : 0  x  1
Ph

ng trình  log 22 x 

1
(1  x2 )  4 x2 .log 22 x  x2  1  0
2
4x

t log2 x  t  x  2t
Tghay vào ph

ng trình ta có : 4.4t.t 2  4t  1  0

 4t (4t 2  1)  1  0

t f (t )  4t (4t 2  1)  1
Ta có : f '(t )  4t.8t  4t.2ln 2,(4t 2  1)  2.4t  4ln 2.t 2  4t  ln 2 
f '(t )  0  4ln 2.t 2  4t  ln 2  0 coi đây là ph

ng trình b c 2 n t, khi đó ta có

 '  4  4ln 2 2  0  f '(t )  0 có 2 nghi m t1  t2

Do đó ta có b ng bi n thiên :
-

x
f '( x)

t1
+

0

+

t2
-

0

+

f ( x)

T b ng bi n thiên ta th y đ th f (t ) c t Ox t i đa là 3 đi m suy ra ph
nghi m (1)

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

ng trình f (t )  0 có t i đa 3

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 9 -


Khóa h c Luy n thi PEN-C: Môn Toán – Th y Lê Bá Tr n Ph

ng

1
 1
Ta có: f     0; f (0)  0  t   ; t  0 là nghi m ph
2
 2

PT, BPT Logarit

ng trình f (t )  0 (2)

M t khác ta th y f (t ) liên t c trên R và f (3). f (1)  0 . Do đó ph

ng trình f (t )  0 có nghi m

t   3; 1 (3)

T (1) ; (2) và (3) suy ra f (t )  0 có đúng 3 nghi m th c phân bi t, ngh a là ph

ng trình đã cho có đúng

3 nghi m th c.

Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph
Ngu n:

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

ng

Hocmai.vn

- Trang | 10 -