Bai 19 HDGBTTL cac bai toan ve khoang cach phan 2 hocmai vn

Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH (Phần 2)
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG

Bài 1. Cho hàm số y 

x 2  3x  6
2  x  1

Tìm các điểm trên đồ thị sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến hai trục là nhỏ nhất.
Lời giải:

1
4 
Điểm M(x, y) thuộc đồ thị thì x  1 và y   x  2 
.
2
x 1 
Tổng các khoảng cách từ M đến các trục là:

f  x  x 

1
4
x2
, x   ,1  1,  
2

x 1

 1
4 
 x  2  x  2  x  1  víi x  1,+ 




 x  1  x  2  4  víi x   ,1



2
x 1 
TH1. Xét f(x) với x > 1
Ta có f '  x   1 

1
2
3
2

= 
2
2  x  1
2  x  12

f’(x) = 0   x  1 
2

4

3

2
2
, x  1
3
3

2 
2



f’(x) < 0 khi x  1,1 
,  
 và f’(x) > 0 khi x  1 
3
3






2 1
2
4 

2
 1 
2 
Vậy min f  x   1 
 khi x  1 
x 1
2 
3 2
3
3


3


TH2. Xét f(x) với 0  x < 1.
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

Khi đó

f  x 

x
2
1
2

1, f ' x  
0
2 x 1
2  x  12

Vậy min f  x   f  0   3
0 x 1

TH3. Xét f(x) với x < 0.
Khi đó

1
4 
f  x    x   x  2  
2
x  1

3
2
2
, f ' x  0  x  1
f ' x   
2
2  x  1

3
f’(x) < 0 khi x  1 

2
2
và f(x) > 0 khi x  1 
.
3
3

3
2 
2
1
Vậy min f  x    1 
1 
  2 3

x 0
2
2
2
3

3
So sánh ta thấy min f  x   f 0   3 .
x 1

Vậy M(0;-3) là điểm cần tìm.
Bài 2. Cho hàm số y 

x 1
(C)
2x 1

a. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 trục tọa độ đạt GTNN
b. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận đạt GTNN
Lời giải:


1 3 1
    C  ; x0  0 .
a. Gọi M  x0  ;
2 4 x0 2 

Tổng khoảng cách từ M đến 2 trục tọa độ là: d  x0 

Với x0  0  d 

1
3 1


2 4 x0 2

1 1
 1
2 2

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

1  3 1 
3 

Với x0  0  d   x0    
    x0 
 1  3 1
2   4 x0 2  
4 x0 

Dấu = xảy ra khi x0 

 3 1 3 1 
3
3
 x0 
 M 
;

4 x0
2

2 
 2

 3  1 3 1 
Vậy M 
;
 thì dmin  3  1
2
2


b. Khoảng cách từ M đến TCN, TCĐ lần lượt là: d1  x0 ; d 2 

 d  d1  d 2  x0 

3
4 x0

3
3
3
 2 x0 .
 3 , dấu = xảy ra khi x0  
4 x0
4 x0
2

 3  1 3 1 
  3 1  3  1
;

;
Vậy: M 
 hoặc M 
 là các điểm cần tìm.
2 
2 
 2
 2

x 2  3x  6
Bài 3. Cho hàm số y 
2  x  1
Tìm các điểm M, N trên hai nhánh của đồ thị (mỗi điểm thuộc một nhánh) sao cho độ dài đoạn MN là nhỏ
nhất.
Lời giải:
Giả sử M(s, y(s)) và N (t, y(t)) ở đây t < 1 < s là các điểm thuộc đồ thị. Khi đó

4s  t  
1
y  s   y  t    s  t 
 và
2
 s  11  t  

4s  t  
1
  s  t 
 .
4
 s  1 1 t  

2

MN   s  t 
2

Nhưng

2

4s  t 
4s  t 
16


, do đó
2
 s  11  t   s  1  1  t  s  t


2


2

1
16  5
64
5
2
MN 2  ( s  t )2   s  t 

 8  2 .64  8  8  8 5
  s  t 
2
4
s t 
4
4
s  t
Dấu bằng đạt được khi:
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

2

s  1  1  t
s  1 4
s  t  2

5




4 
 5  s  t 2  64  
2
4
s  t  4 5
t  1  2
s  t


4

5
Từ đó ta có các điểm cần tìm là M(1 

Bài 4. Cho hàm số y 

2
5 1 1
2
5 1 1
và
;

)
N(1

;

 )
4

4
4
2
2
5 45
5
5

x 1
(C)
2x 1

Tìm 2 điểm A; B thuộc 2 nhánh của đồ thị hàm số sao cho AB min.
Lời giải:

1 3 1
1 3 1


Gọi A  a  ;   thuộc nhánh trái, B  b  ;   thuộc nhánh phải của đồ thị hàm số (C), với
2 4a 2 
2 4b 2 



a  0  b.
3 
3  3 b  a 
3 4ab
 3

 3
 .
6
Ta có: AB   b  a       2  b  a     
2 ab
 4b 4a 
 4b 4a  2 ab
2

2

2

2

Dấu bằng xảy ra


3
b  a
a  


2
2

3  
2
 3
 b  a    4b  4a 

b  3




2

  3 1  3 1   3  1 3  1 
;
;
Vậy hai điểm cần tìm là: A 
; B

2   2
2 
 2
Bài 5. Cho hàm số y 

x2
. Tìm những điểm trên đồ thị (C) cách đều hai điểm A(2 , 0) và B(0 , 2)
2x 1

Lời giải:
Dễ thấy phương trình đường trung trực của đoạn AB là: y = x
Những điểm thuộc đồ thị cách đều A và B có hoàng độ là nghiệm của phương trình:


1 5
x


x2
2
 x  x2  x  1  0  
2x 1

1 5
x 

2
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Khóa học LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương

Chuyên đề 02. Hàm số và các bài toán liên quan

 1 5 1 5  1 5 1 5 
Vậy hai điểm trên đồ thị thỏa đề bài là: 
,
,
;

2   2
2 
 2
Bài 6. Cho hàm số y 

2x
x 1

. Tìm trên đồ thị (C) hai điểm B, C thuộc hai nhánh sao cho tam giác ABC

vuông cân tại đỉnh A với A(2;0).
Lời giải:
Ta có (C ) : y  2 

2
x 1

; Gọi B(b; 2 

2
b 1

), C (c; 2 

2

), với ( b < 1 < c).
c 1

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B, C lên trục Ox, ta có:
C

B

A

H

K

AB  AC; CAK  BAH  90  CAK  ACK  BAH ACK

 AH  CK
và BHA  CKA  900  ABH  CAK  
 HB  AK
Hay:
2

2  b  2  c  1
b  1

.

c  3
2 2  c2

b 1

Vậy B(1;1), C(3;3) .

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn:

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

Hocmai.vn

- Trang | 5 -