Một số bài toán về Khoảng cách-góc

Khoảng cách và góc
§3 KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC
1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Bài toán 1. Trong mặt phẳng toạ độ ,cho đường thẳng d có phương trình tổng quát là
ax+by+c=0 .Hãy tính khoảng cách từ điểm M(x
0
;y
0
) đến đường thẳng d . Ký hiệu là
:d(M;d).
Bài giải :
Gọi M' là hình chiếu vuông góc của M lên d ,thì độ dài MM' chình là khoảng cách từ
M đến d .
Rõ ràng cùng phương với véc tơ pháp tuyến .
Do đó tồn tại một số k sao cho
Từ đó suy ra d(M;d)= M'M=
Nếu gọi M'(x';y') thì từ (1) ta có :
Do M' thuộc d : a()+b()+c=0 . Từ đó suy ra k=
Thay vào (2) ta có công thức tính :
* Ghi nhớ :
Vò trí tương đối của hai điểm đối với một đường
thẳng
Cho đường thẳng d có phương trình : ax+by+c=0 và một điểm M (x
M
;y
M
). Nếu M' là
hình chiếu vuông góc của M lên d thì :
Tương tự nếu có điểm N(x
N
;y

N
) với N' là hình chiếu vuông góc của N lên d thì :

Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT: 02403833608Trang 1
Khoảng cách và góc
Từ đó ta có kết quả sau :
+) Nếu M và N nằm về một phía của đường thẳng d thì :
()()>0 .
+) Nếu M và N nằm về hai phía của đường thẳng d thì :
()()<0
Bài toán 2.
Cho hai đường thẳng cắt nhau ,có phương trình là :
D: a
1
x+b
1
y+c
1
=0 và D': a
2
x+b
2
y+c
2
=0 .
Chứng minh rằng phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường
thẳng có dạng :
* Chú ý :
Sử dụng công thức này để viết phương trình đường phân giác trong ,hay phương trình
đường phân giác ngoài của một góc nào đó của một tam giác .

Ví dụ . Cho tam giác ABC với A(2;4) ,B(4;8) và C(13;2) . Viết phương trình đường
phân giác trong của góc A .
Bài giải :
Viết phương trình các đường thẳng AB và AC .
Ta có
Đường thẳng AB , đi qua A(2;4) và có véc tơ pháp tuyến . Vậy AB có phương trình là
AB : 2(x-2) -(y-4)=0 ; 2x-y =0 .
Đường thẳng AC , đi qua điểm A(2;4) và có véc tơ pháp tuyến . Vậy AC có phương
trình là AC : 2(x-2)+11(y-4)=0 ; 2x+11y-48 =0 .
Các đường phân giác trong và phân giác ngồi của góc A có phương trình là :
Do B va C nằm về hai phía của phân giác trong của góc A ,nên ta thay toạ độ của hai
điểm B và C vào phương trình của D : (8+8-8)( 26+2-8 )>0 .Vậy D không phải là
đường phân giác trong
Đường phân giác trong của góc A có phương trình là D' : x-2y+6=0 .
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT: 02403833608Trang 2
a
b
Khoảng cách và góc
2. Góc giữa hai đường thẳng
* Đònh nghóa
Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành bốn góc .Số đo góc nhỏ nhất của các
góc đó được gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng a và b ,hay đơn giản là góc
giữa a và b .
Khi a // hoặc trùng với b ,ta quy ước góc giữa chúng bằng không
Chú ý
Góc giữa hai đường thẳng a và b ký hiệu là ,hay đơn giản là (a;b) .Góc này không
vượt quá 900, nên ta có :
(a,b) =
(a;b) = 1800-
Trongđó là các véc tơ chỉ phương của a và b .

Bài toán 3.
a) Tìm cô sin của góc giữa hai đường thẳng d
1
,d
2
lần lượt cho bởi phương trình :
đ
b) Tìm điều kiện để hai đường thẳng vuông góc với
nhau
c) Tìm điều kiện để hai đường thẳng y=kx+b và
y=k'x+b'=0 vuông góc với nhau ?
Bài giải :
a) Ta tìm được công thức tính cos(d1;d2)=
b) Nếu hai đường thẳng vuông góc với nhau thì
c) Nếu hai đường thẳng đó mà vuông góc với nhau
thì k.k'=-1.
Câu hỏi và bài tập
Bài 15. Trong các mệnh đề sau ,mệnh đề nào đúng
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT: 02403833608Trang 3
Khoảng cách và góc
a) Cô sin của góc giữa hai đường thẳng a và b bằng cô sin của góc giữa hai véc tơ chỉ
phương của chúng .
Mệnh đề này sai vì theo đònh nghóa thì chúng phải bằng giá trò tuyệt đối của góc giữa
hai véc tơ chỉ phương .
b) Nếu hai đường thẳng có phương trình px+y+m=0 và x+py+n=0 thì :
Mệnh đề này đúng vì : đường thẳng d có
c) Trong tam giác BAC,ta có cosA=cos(. Mệnh đề này đúng .
d) Nếu là góc giữa hai đường thẳng chứa hai cạnh AB,AC của tam giác ABC thì :
e) Hai điểm (7;6) và (-1;2) nằm về hai phía của đường thẳng y=x .
Do đường thẳng x-y=0 ,nên (7-6)(-1-2)=-3 <0 . Nên hai điểm này nằm về hai phía

của đường thẳng . Khảng đònh này dúng .
Bài 16. Cho ba điểm A(4;-1) ,B(-3;-2) và C(1;6) .Tính góc BAC và góc giữa hai
đường thẳng AB và AC ?
Bài giải :
Góc giữa hai đường thẳng AB và AC,chính là góc BAC. Theo hệ thức hàm số cos thì :
Vậy tra bảng ta có
Bài 17. Viết phương trình đường thẳng song song và cách đường thẳng ax+by+c=0
một khoảng bằng h cho trước ?
Bài giải :
Gọi d là đường thẳng song song với đường thẳng trên ,thì d có phương trình là : ax+by
+m=0 . M(0;c) là một điểm thuộc d thì theo đầu bài ta có d(M,d')=h. bc+c=0 ; hay
c(b-1)=0 . Suy ra : b=1
Bài 18. Cho ba điểm A(3;0),B(-5;4) và P(10;2).Viết phương trình đường thẳng đi qua
P và đồng thời cách đều A và B.
Bài giải :
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT: 02403833608Trang 4
d'
d"
P(3;1)
Khoảng cách và góc
Đường thẳng d đi qua P(10;2) giả sử có véc tơ pháp tuyến có toạ độ (a;b) thì d có
phương trình là : a(x-10)+b(y-2)=0 ;hay ax+by-10a-2b=0 (1).
Nếu d cách đều A và B tức là khoảng cách từ A và B đến đường thẳng d bằng nhau :
Nếu a=0 : d
1
: y-2=0 .
Nếu b=2a ,thì ta có d
2
: ax+2ay -10a-4a=0 ; Hay d
2

: x+2y-14=0 .
Bài 19. Cho điểm M(2;3) . Viết phương trình đường thẳng cắt hai trục toạ độ ở A và B
sao cho tam giác ABM là tam giác vuông cân tại đỉnh M .
Bài giải :
Đường thẳng d giả sử cắt hai trục toạ độ tại A(a;0) và B(0;b) ( với a,b khác không )
thì d có phương trình là : . Nếu tam giác ABM là tam giác vuông cân có đỉnh là M thì
ta có hệ :
Chứng tỏ không tồn tại một tam giác nào thoả mãn điều kiện của đầu bài .
Bài 20 . Cho hai đường thẳng : d
1
: x+2y-3=0 và d
2
: 3x-y+2=0 .
Viết phương trình của d đi qua điểm P(3;1) và cắt d
1
,d
2
lần lượt tại A và B sao cho d
tạo với d
1
,d
2
một tam giác cân có cạnh đáy là AB.
Bài giải :
Nếu d cắt d
1
,d
2
tai A và B mà AB là đáy của tam giác
cân ,theo tính chất của tam giác cân ,đường cao ,đường

trung tuyến ,phân giác kẻtừ O ( là giao của d
1
,d
2
) xuống
AB đều vuông góc với AB ,có nghóa là vuông góc với d .
Do vậy ,ta viết phương trình của hai đường phân giác của
góc tạo bởi d
1
,d
2

+) Lập m
1
đi qua P(3;1) và vuông góc với d' , nghóa là m
1
có véc tơ pháp tuyến có toạ
độ [ lên nó có phương trình :
+) Lập m
2
qua P(3;1) và vuông góc với d" ,nghóa là có véc tơ chỉ phương là véc tơ
pháp của d" ,cho nên m2 có phương trình là
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT: 02403833608Trang 5
Khoảng cách và góc
MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO
Bài 1,( ĐH -KA-2006). Cho các đường thẳng d
1
: x+y+3=0 ; d
2
: x-y-4=0 và d

3
: x-2y=0
. Tìm điểm M nằm trên d
3
sao cho khoảng cách từ M đến d
1
bằng hai lần khoảng cách
từ M đến d
2
.
Bài giải :
Đường thẳng d
3
chuyển sang tham số :
Theo đầu bài d(M,d
1
)=2d(M;d
2
) ta có phương trình sau :
Bài 2 (ĐH-KB-2004)
Cho hai điểm A(1;1) B(4;-3) và đường thẳng d : x-2y-1=0 .Tìm điểm C trên d để
khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6.
Bài giải :
Đường thẳng d chuyển sang tham số .d :
Theo đầu bài d(C;AB)=6 . (*) Trong đó (AB) đi qua A(1;1) có véc tơ chỉ phương với
toạ độ (3;-4) cho nên nó có véc tơ pháp tuyến với toạ độ (-4;-3) .Do đó (AB) : 4(x-
1)+3(y-1)=0 .Hay (AB) : 4x+3y-7 =0 .
Từ (*)
Bài 3. ( CĐ-KA-2007).
Cho hai đường thẳng d

1
: 2x+9y-18=0 ,d2 : x-y-13=0 . Lập phương trình đường thẳng d
đi qua điểm P(2;2) và cắt d
1
,d
2
tai A và B sao cho P là trung điểm của AB.
Bài giải
Cách 1:
Gọi d có véc tơ chỉ phương ,với toạ độ (a;b) .
Nếu d đi qua P(2;2) thì d :
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT: 02403833608Trang 6
P(2;2)
m
n
A'
B'
B
A
Khoảng cách và góc
. Chọn a= -113; b=30 .
Cho nên d có phương trình là
Cách 2:
+Lập phương trình đường thẳng m đi qua P(2;2) và //d1 : 2x+9y-18=0 . m có véc tơ
chỉ phương với toạ độ (9;-2 ) .Cho nên
+) Lập phương trình đường thẳng n đi qua B' và // d2 ,cho nên (n) có véc tơ chỉ
phương với toạ độ (1;1) .Vậy (n) :
+)Lập đường thẳn d đi qua P(2;2) và có véc tơ chỉ phương là vec tơ
Nguyễn Đình Sỹ -ĐK-ĐT: 02403833608Trang 7