Bai 18 HDGBTTL cac bai toan ve khoang cach phan 1 hocmai vn

Khóa h c LT ả môn Toán - Th y Lê Bá Tr n Ph

Chuyên đ 02. ảàm s và các bài toán liên quan

ng

CÁC BÀI TOÁN V KHO NG CÁCH (Ph n 1)
ả

NG D N GI I BÀI T P T LUY N
Giáo viên: LÊ BÁ TR N PH

BƠi 1. Cho hàm s

y

NG

2x 1
.
x 1

Tìm trên đ th nh ng đi m có t ng kho ng cách đ n 2 ti m c n c a đ th nh nh t
L i gi i:
G i M là 1 đi m thu c đ th M ( x0 ;

2 x0  1
)
x0  1

TC : x = -1; TCN : y = 2

G i d1  d  M0 , TC



 x 0  1 , d 2  d  M0 , TCN   y0 – 2 

Theo B T Cô si: d1  d 2  2 x 0  1 .

2 x0  1
1
2 
.
x0  1
x0  1

1
2
x0  1

 t ng đ t GTNN b ng 2 khi x 0  0  x 0  2.
V y có 2 đi m th a mãn là: M1  0;1 ; M2  2;3 .
BƠi 2. Cho hàm s

x2  3x  6
y
2  x  1

Tìm các đi m trên đ th sao cho t ng các kho ng cách t đó đ n các ti m c n là nh nh t.
L i gi i:

1
4 
Ta có y   x  2 
 . T p xác đ nh R\ 1 .
2
x 1 
Ti m c n xiên : y 

1
 x  2
2

Ti m c n đ ng: x = 1
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa h c LT ả môn Toán - Th y Lê Bá Tr n Ph

Chuyên đ 02. ảàm s và các bài toán liên quan

ng

Gi s M(x, y) là đi m thu c đ th mà t ng các kho ng cách d = d1 + d2 trong đó d1 (t
kho ng cách t M đ n ti m c n đ ng (t

và d  x  1 

ng ng ti m c n xiên) là bé nh t.

4 

x x 2
2
x 1 


Ta có d1 = x  1 , d 2 

1 2
2

ng ng d2) là

2



4
5 x 1

4
5 x 1

V y d  2 x 1

4
4
4
5 x 1
5
4
2
5 1 1
 x  1 4  y   4

2
5 x 1
5
5

D u b ng x y ra khi x  1 

V y các đi m c n tìm là: M(1 

2
5 1 1
; 4
 ).
2
5
5

4

BƠi 3. Cho đ th c a hàm s : y 

x 2
.
x3

Tìm trên đ th c a hàm s đi m M sao cho kho ng cách t đi m M đ n đ
kho ng cách t đi m M đ n đ

ng ti m c n đ ng b ng

ng ti m c n ngang.

L i gi i:
Gi s

M ( x0 ; y0 ) thu c đ th .

G i d1 là kho ng cách t M đ n ti m c n đ ng và d 2 là kho ng cách t M đ n ti m c n ngang

 d1 | x0  3 |; d 2 | y0  1 |

5
| x0  3 |

Theo gi thi t ta có: d1  d2  x0  3  5  y0  1  5 .
V y có 2 đi m c n tìm: M1 (3  5;1  5); M2 (3  5;1  5) .

BƠi 4. Cho hàm s

y

Hocmai.vn – Ngôi tr

3x  4
. Tìm đi m thu c (C) cách đ u 2 đ
x 2

ng chung c a h c trò Vi t

ng ti m c n.

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa h c LT ả môn Toán - Th y Lê Bá Tr n Ph

Chuyên đ 02. ảàm s và các bài toán liên quan

ng

L i gi i:
Gi s

M ( x; y) thu c đ th .

Kho ng cách t M đ n ti m c n đ ng và ti m c n ngang b ng nhau, t c là:

x 2  y – 3  x 2 

x  1
3x  4
x
x
 2  x 2 

   x  2  
x 2
x 2
x 2
x  4

V y 2 đi m c n tìm là: M1  1;1 ; M2  4;4 
BƠi 5. Cho hàm s

y

2x 1
(C).
x 1

Tìm các đi m M thu c đ th (C) sao cho t ng kho ng cách t M đ n 2 ti m c n đ th là nh nh t
L i gi i:
L y M  x 0 ; y0    C  .
TC : x = -1; TCN : y = 2
G i d1  d  M0 , TC



 x 0  1 , d 2  d  M0 , TCN   y0 – 2 .

Ta có:

d  d1  d 2  x 0  1  y0  2  x 0  1 

D u "=" x y ra khi x0  1  3  y0  2

3 Cô  si
2 3.
x0  1 

3.

V y đi m c n tìm là: M1 (1  3 2  3); M2 (1  3 2  3)
BƠi 6. Cho hàm s

y

x2  3x  6
2  x  1

Tìm các đi m trên đ th sao cho t ng các kho ng cách t đó đ n hai tr c là nh nh t.
L i gi i:

1
4 
i m M(x, y) thu c đ th thì x  1 và y   x  2 
.

2
x 1 
T ng các kho ng cách t M đ n các tr c là:
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 3 -


Khóa h c LT ả môn Toán - Th y Lê Bá Tr n Ph

f  x  x 

Chuyên đ 02. ảàm s và các bài toán liên quan

ng

1
4
x 2
, x   ,1  1,  
2
x 1

4 
 1
 x  2  x  2  x  1  víi x  1,+ 





 x  1  x  2  4  víi x   ,1



x 1 
2
Tả1. Xét f(x) v i x > 1
Ta có f '  x  1 

1
2
3
2
= 

2
2  x  1
2  x  12

f’(x) = 0   x  1 
2

4

3

2
2
, x  1
3
3

2 
2



f’(x) < 0 khi x  1,1 
,  
 và f’(x) > 0 khi x  1 
3
3






2 1
2
4 
2
 1 
2 
V y min f  x  1 
 khi x  1 

x1
2 
3 2
3
3


3


Tả2. Xét f(x) v i 0

x < 1.

Khi đó

f  x 

2
1
2
x

1, f ' x  
0
2 x 1
2  x  12

V y min f  x  f  0   3
0 x1

Tả3. Xét f(x) v i x < 0.
Khi đó

1
4 
f  x    x   x  2  
2
x  1

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 4 -


Khóa h c LT ả môn Toán - Th y Lê Bá Tr n Ph

Chuyên đ 02. ảàm s và các bài toán liên quan

ng

3
2
2
, f '  x  0  x  1 
f '  x   

2
2  x  1
3

2
2
và f(x) > 0 khi x  1 
.
3
3

f’(x) < 0 khi x  1 

3
2 
2
1
V y min f  x   1 
1 
  2 3

x 0
2
2
2
3

3
So sánh ta th y min f  x  f 0   3 .
x1

V y M(0;-3) là đi m c n tìm.
BƠi 7. Cho hàm s

y

x 1
(C)
2x 1

a. Tìm đi m M thu c (C) sao cho t ng kho ng cách t M đ n 2 tr c t a đ đ t GTNN
b. Tìm đi m M thu c (C) sao cho t ng kho ng cách t M đ n 2 ti m c n đ t GTNN
L i gi i:


1 3 1
    C  ; x0  0 .
a. G i M  x0  ;
2 4 x0 2 

T ng kho ng cách t M đ n 2 tr c t a đ là: d  x0 

V i x0  0  d 

1
3 1


2 4 x0 2

1 1
 1
2 2

1  3 1 
3 

    x0 
V i x0  0  d   x0    
 1  3 1
2   4 x0 2  
4 x0 

D u = x y ra khi x0 

 3 1 3 1 
3
3
;
 x0 
 M 

4 x0
2
2 
 2

 3  1 3 1 
;
V y M 

 thì dmin  3  1
2 
 2
b. Kho ng cách t M đ n TCN, TC l n l

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

t là: d1  x0 ; d 2 

3
4 x0

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 5 -


Khóa h c LT ả môn Toán - Th y Lê Bá Tr n Ph

 d  d1  d 2  x0 

Chuyên đ 02. ảàm s và các bài toán liên quan

ng

3
3
3

 2 x0 .
 3 , d u = x y ra khi x0  
4 x0
4 x0
2

 3  1 3 1 
  3 1  3  1
V y: M 
;
;
 ho c M 
 là các đi m c n tìm.
2
2
2
2




BƠi 8. Cho hàm s

y

x2  3x  6
2  x  1

Tìm các đi m M, N trên hai nhánh c a đ th (m i đi m thu c m t nhánh) sao cho đ dài đo n MN là nh
nh t.

L i gi i:
Gi s M(s, y(s)) và N (t, y(t))

đây t < 1 < s là các đi m thu c đ th . Khi đó

4s  t  
1
y  s   y  t    s  t 
 và
2
 s  11  t  

4s  t  
1
  s  t 
 .
4
 s  1 1 t  
2

MN   s  t 
2

Nh ng

2

4s  t 
4s  t 
16

, do đó


2
 s  11  t   s  1  1  t  s  t


2


2

1
16  5
64
5
2
MN  ( s  t )   s  t 
 8  2 .64  8  8  8 5
  s  t 
2
4
s t  4
4
s  t
2

2

D u b ng đ t đ

c khi:

2

s  1  1  t
s  1 4
s  t  2

5



4 
 5  s  t 2  64  
2

s  t  4 5
t  1  2
s  t

4
4

5
T đó ta có các đi m c n tìm là M(1 

BƠi 9. Cho hàm s

y

2
5 1 1
2
5 1 1
 ) và N(1  4 ;  4
 )
; 4
2
2
5
5
5
5

4

x 1
(C)
2x 1

Tìm 2 đi m A; B thu c 2 nhánh c a đ th hàm s sao cho AB min.
Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 6 -

Khóa h c LT ả môn Toán - Th y Lê Bá Tr n Ph

Chuyên đ 02. ảàm s và các bài toán liên quan

ng

L i gi i:

1 3 1
1 3 1


G i A a  ;   thu c nhánh trái, B  b  ;   thu c nhánh ph i c a đ th hàm s (C), v i
2 4a 2 
2 4b 2 



a  0  b.
Ta có: AB   b  a 
2

3 
3  3 b  a 
3 4ab
 3
 3
     2 b  a     
 .

6
2 ab
 4b 4a 
 4b 4a  2 ab
2

2

2

D u b ng x y ra


3
b  a
a  


2
2

3  
2
 3
 b  a    4b  4a 
b  3





2

  3 1  3 1   3  1 3  1 
;
;
V y hai đi m c n tìm là: A
 ; B

2   2
2 
 2

y 

BƠi 10. Cho hàm s

x 2
. Tìm nh ng đi m trên đ th (C) cách đ u hai đi m A(2 , 0) và B(0 , 2)
2x 1

L i gi i:
D th y ph

ng trình đ

ng trung tr c c a đo n AB là: y = x

Nh ng đi m thu c đ th cách đ u A và B có hoàng đ là nghi m c a ph

ng trình:


1 5
x

x 2
2
 x  x2  x  1  0  
2x 1

1 5
x 
2


 1 5 1 5  1 5 1 5 
,
,
V y hai đi m trên đ th th a đ bài là: 
 ; 

2
2
2
2 

 
BƠi 11. Cho hàm s

y

2x
x 1

. Tìm trên đ th (C) hai đi m B, C thu c hai nhánh sao cho tam giác ABC

vuông cân t i đ nh A v i A(2;0).
L i gi i:
Ta có (C ) : y  2 

2
x 1

Hocmai.vn – Ngôi tr

; G i B(b; 2 

2
b 1

), C (c; 2 

ng chung c a h c trò Vi t

2

), v i ( b < 1 < c).
c 1
T ng đài t v n: 1900 58-58-12

- Trang | 7 -


Khóa h c LT ả môn Toán - Th y Lê Bá Tr n Ph

G i H, K l n l

Chuyên đ 02. ảàm s và các bài toán liên quan

ng

t là hình chi u c a B, C lên tr c Ox, ta có:
C

B

A

H

K

AB  AC; CAK  BAH  90  CAK ACK BAH ACK

 AH  CK
và BHA  CKA  900  ABH  CAK  
 HB  AK
Hay:
2


2  b  2  c  1
b  1

.

c  3
2 2  c2

b 1

V y B(1;1), C(3;3) .

Giáo viên: Lê Bá Tr n Ph
Ngu n:

Hocmai.vn – Ngôi tr

ng chung c a h c trò Vi t

T ng đài t v n: 1900 58-58-12

ng

Hocmai.vn

- Trang | 8 -