Bai 06 DABTTL nhi thuc newton phan 3

Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 09. Tổ hợp – Xác suất

BÀI 6. NHỊ THỨC NEWTON (PHẦN 3)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 6. Nhị thức Newton (Phần 3) thuộc khóa học
LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các
kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 6. Nhị thức Newton (Phần 3) Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần
học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.

Bài 1 (ĐHKA 2007): Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển: (2  x) n , biết:
3n Cn0  3n 1 Cn1  3n  2 Cn2  3n 3 Cn3  ...  (1) n Cnn  2048

Giải:
Ta có: 3n Cn0  3n 1 Cn1  3n  2 Cn2  3n 3 Cn3  ...  (1) n Cnn  (3  1) n  2 n
Do đó, từ giả thiết suy ra n = 11
11

 (2  x)11   C11k 211 k .x k
k 0

Hệ số của số hạng chứa x10 là C1110 21  22
Bài 2 (ĐHKA 2008): Cho khai triển (1  2 x) n  a0  a1 x  a2 x 2  ...  an x n , trong đó n  N * và các hệ số
a0 , a1 , a2 ,..., an thoả mãn hệ thức: a0 

a
a1
 ...  nn  4096 . Tìm số lớn nhất trong các số a0 , a1 , a2 ,..., an
2

2

Giải:
n

Ta có: (1  2 x) n   Cnk 2k x k  Cn0  Cn1 2 x  Cn2 22 x 2  ...  Cnn 2n x n
k 0

a
a1 a2
 2  ...  nn  4096
2 2
2
0
1
2
 Cn  Cn  Cn  ...  Cnn  4096
 a0 

 (1  1) n  4096  2n  212  n  12
Do đó bài toán tương đương: Cho khai triển (1  2 x)12  a0  a1 x  a2 x 2  ...  a12 x12 . Tìm số lớn nhất trong
các số a0 , a1 , a2 ,..., a12
12

Ta có: (1  2 x)12   C12k 2k x k
k 0

Đặt: ak  C 2
k
12

k

- Xét bất phương trình: ak  ak 1  C12k 2k  C12k 1.2k 1  k 

23
mà k  Z => k  7 .
3

Do đó a0  a1  a2  a3  a4  a5  a6  a7
Xét bất phương trình ak  ak 1  k 

23
mà k  Z  k  8 .
3

Do đó: a8  a9  a10  a11  a12
Vậy ta có sơ đồ: a0  a1  a2  a3  a4  a5  a6  a7 a8  a9  a10  a11  a12
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 1 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 09. Tổ hợp – Xác suất

So sánh a 7 và a8 ta thấy a8  a7 . Vậy số lớn nhất trong các số a0 , a1 ,..., a12 là a8  C128 28  126720

Bài 3. Tìm hệ số của x3n3 trong khai triển ( x 2  1)n .( x  2) n . Gọi hệ số đó là a3n 3 , tìm n để a3n 3  26n .
Giải
Ta có:

( x 2  1)n  Cn0 x 2 n  Cn1 x 2 n 2  Cn2 x 2 n 4  Cn3 x 2 n 6  ...  Cnn
( x  2)n  Cn0 x n  2Cn1 x n 1  22 Cn2 x n 2  23 Cn3 x n 3  ...  2n Cnn
Do đó nhân vế với vế, ta được hệ số của x3n3 trong khai triển ( x 2  1) n ( x  2) n là: 23 Cn0Cn3  2Cn1Cn1

 a3n 3  26n  23 Cn0Cn3  2Cn1Cn1  26n
7

n   (loai )
2n(2n 2  3n  4)


 26n 
2

3
n  5
Bài 4. Khai triển: p( x)  1(1  x)  2(1  x) 2  3(1  x)3  ...  20(1  x) 20
Ta được: p ( x)  a0  a1 x  a2 x 2  ...  a20 x 20 . Tìm a19
Giải
Yêu cầu của bài toán, tương đương với việc tìm hệ số của số hạng chứa x19 .
Ta thấy x19 chỉ có trong tổng khai triển 19(1  x) 19  20(1  x) 20
Mà :
1
19 19
19(1  x)19  19(C190  C19
x  C192 x 2  ...  C19

x )
0
1
2 2
19 19
20 20
20(1  1)20  20(C20
 C20
x  C20
x  ...  C20
x  C20
x )
19
 Hệ số của x19 trong khai triển p  x  là: 19.C1919  20.C20

1
1
1


Bài 5. Tìm n  Z * , sao cho 3n Cn0  Cn1  2 Cn2  ...  (1) n Cnn   512
3
3
3


Giải
n

1

1
1
 1
Ta có: 1    Cn0  Cn1  2 Cn2  ...  (1) n Cnn
3
3
3
 3
Do đó phương trình đã cho
n

 1
 3 . 1    512
 3
 2n  512  29  n  9
n

Bài 6. CMR: C20n  C22n .32  C24n .34  ...  C22nn .32 n  22 n1  22 n  1
Giải:
Ta có:

(1  3)2 n  C20n  C21n .3  C22n .32  C23n .33  C24n .34  ...  C22nn1.32 n 1  C22nn .32 n
(1  3)2 n  C20n  C21n .3  C22n .32  C23n .33  C24n .34  ...  C22nn1.32 n 1  C22nn .32 n
Cộng hai vế ta có:
42 n  (2) 2 n  42 n  22 n  22 n (22 n  1)  2C20n  2C22n .32  2C24n .34  ...  2C22nn .32 n

Chia cả 2 vế cho 2, ta được: 22 n 1 (22 n  1)  C20n  C22n .32  C24n .34  ...  C22nn .32 n (đpcm)
Bài 7. CMR: 2n 1 Cn1  2.2n  2 Cn2  3.2n 3 Cn3  4.2n  4 Cn4  ...  nCnn  n.3n 1
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

- Trang | 2 -


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 09. Tổ hợp – Xác suất

Giải:
Ta có: (2  x) n  Cn0 .2n  Cn1 .2n 1 x  Cn2 .2n 2 x 2  Cn3 .2n 3 x3  Cn4 .2n 4 x 4 ...  Cnn .x n
Lấy đạo hàm 2 vế, ta có:
n(2  x) n 1  Cn1 .2n 1  2 xCn2 .2 n  2  3 x 2Cn3 .2 n 3  4 x 3Cn4 .2 n  4  ...  n.x n 1Cnn

Thay x  1 , ta có: n.3n 1  Cn1 .2n 1  2.2n  2 Cn2  3.2n 3 Cn3  4.2 n  4 Cn4  ...  nCnn (điều phải chứng minh)
0
1
2
2013
 2C2013
 3C2013
 ...  2014C2013
Bài 8. Tính tổng: S  C2013

Giải:
Ta có:
0
1
2
2013 2013

(1  x)2013  C2013
 C2013
x  C2013
x 2  ...  C2013
x
0
1
2
2013 2014
 x.(1  x)2013  C2013
x  C2013
x 2  C2013
x3  ...  C2013
x

Đạo hàm 2 vế ta có:
0
1
2
2013
(1  x) 2013  2013.(1  x) 2013 .x  C2013
 2 xC2013
 3 x 2C2013
 ...  2014 x 2013C2013
0
1
2
2013
 2C2013
 3C2013

 ...  2014C2013
Thay x  1 , ta có: 22013  2013.22013  C2013

 S  22013  2013.22013  22012 (1  2013)  22012.2014

1
1
1
2n 1  1
Cnn 
Bài 9. CMR: Cn0  Cn1  Cn2  ... 
2
3
n 1
n 1
Giải:
Ta có:
(1  x) n  Cn0 x  Cn1 x  Cn2 x 2  ...  Cnn x n
1

1

n
0
1
2 2
n n
 (1  x) dx   (Cn x  Cn x  Cn x  ...  Cn x )dx
0

0

n 1

1
x2 1
x3 1
x n 1 1
 Cn0 x  Cn1
 Cn2
 ...  Cnn
0
0
2 0
3 0
n 1 0



(1  x)
n 1



2n 1  1
1
1
1
 Cn0  Cn1  Cn2  ... 
Cnn (dpcm)

n 1
2
3
n 1

1

Bài 10. (ĐHKD 2003). Tính tổng: S  Cn0 

2 2  1 1 23  1 2
2n 1  1 n
Cn 
Cn  ... 
Cn
2
3
n 1

Giải:
Ta có:
(1  x) n  Cn0  Cn1 x  Cn2 x 2  ...  Cnn x n
2

2

1

1

n

0
1
2 2
n n
 (1  x) dx   (Cn  Cn x  Cn x  ...  Cn x )dx

2
(1  x)n 1 2
x2 2
x3 2
x n 1 2
 Cn0 x  Cn1
 Cn2
 ...  Cnn
1
n 1 1
2 1
3 1
n 1 1
3n 1  2n 1
2 2  1 1 23  1 2
2n 1  1 n
 Cn0 
Cn 
Cn  ... 
Cn
n 1
2
3
n 1

3n 1  2n 1
S 
n 1


Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12

:

Hocmai.vn
- Trang | 3 -