Các bài toán về nhị thức newton

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (209.39 KB, 19 trang )

GV: Nguyn Vn Huy (T: 0909 646597) Chuyờn Nh thc Newton
Nhị thức newton và ứng dụng
I - Nhị thức newton
1 - Công thức nhị thức Newton:
Với mọi cặp số a, -b và mọi số nguyên dơng ta có:
(a + b)
n
= c
o
n
a
n
+ c
1
n
a
n 1
b + c
2
n
c
1
n 2
b
2
+ + c
n
n-1
ab
n 1
+ c

n
n
b
n
(*)
kkn
n
nk
k
n
baC

=

=
2 - Các nhận xét về công thức khai triển:
+ Số các số hạng ở bên phải của công thức (*) bằng n + 1, n là số mũ của nhị thức ở
vế trái.
+ Tổng các số mũ của a, b trong mỗi số hạng bằng n.
+ Các hệ số của khai triển lần lợt là:
C
0
n;
C
1
n
; C
2
n
; C

n-1
n
; C
n
n
;
Với chú ý: C
k
n
= C
n
n
k
0 < k < n.
3 - Một số dạng đặc biệt:
+ Dạng 1: Thay a = 1 và b = x vào (*) ta đợc
(1 + x)
n
= C
0
n
+ C
1
n
x + C
2
n
x
2
+ + C

n-1
n
x
n-1
+ C
n
n
x
n
+ Dạng 2: Thay a = 1 và b = -x vào (*) ta đợc (2)
(1 - x)
n
= C
0
n
- C
2
n
x+ C
2
n
x
2
+ (-1)
k
C
k
n
x
k

+ + (-1)
n
C
n
n
x
n
(3)
4 - Một số hệ thức giữa các hệ số nhị thức
+ Thay x = 1 vào (2) ta đợc
C
0
n
+ C
1
n
x + C
2
n
+ + C
n
n
= 2
n
+ Thay x = -1 vào (3) ta đợc:
C
0
n
- C
1

n
x + C
2
n
- + (-1)
n
C
n
n
= 0
A - áp dụng
I. Viết khai triển và tính của các biểu thức sử dụng khai triển đó:
Bài 1: Thực hiện khai triển:
(3x 4)
5
TRUNG TM LTH TI C Trang1
1
1

+
=
k
n
k
n
C
k
kn
C
GV: Nguyn Vn Huy (T: 0909 646597) Chuyờn Nh thc Newton

CT: Ta có (3x 4)
5

kk
k
k
xC )4.()3(
5
5
0
5
=

=

= 3
5
. C
0
5
. x
5
+ 4.3
4
C
1
5
x
4
+ + 4

5
C
5
5
Trong khai triển đó
+ Có 6 số hạng.
+ Các hệ số có tính đối xứng nhau
+ Ta có các hệ số của 3 hệ số đầu của công thức khai triển đó là các hệ số
C
0
5
= 1 C
1
5
= 5 C
2
5
= 10
Vậy (3x 4)
5
= 243x
5
1620 x
4
+ 4320 x
3
5760 x
2
+ 3840 x 1024
Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a: S
1
= C
0
6
+ C
1
6
+ C
2
6
+ + C
6
6
b: S
2
= C
0
5
+ 2C
1
5
+ 2
2
C
2
5
+ +2
5
C

5
5
c: S
3
= 3
17
. C
0
17
4
1
. 3
16
. C
1
17
+ 4
2
. 3
15
. C
2
17
4
3
.3
14
. C
3
7

+ -4
17
.C
17
17
d: S
4
= C
6
11
+ C
7
11
+ C
8
11
+ C
9
11
+ C
10
11
+ C
11
11
e:
0
1
2001
2002

2001
20022002
2000
2001
1
2002
2001
2002
0
20024
...... CCCCCCCCS
k
k
k
+++++=

Giải:a ta có
S
1
= C
0
6
+ C
1
6
+ C
2
6
+ + C

6
6
= (1 + 1)
6
= 2
6
= 64
b:Ta có (1 + x)
5
k
k
k
xC

=
=
5
0
5
(1)
Thay x = 2 vào (1) ta đợc:
S
2
= C
0
5
+ 2C
1
5
+ 2

2
. C
2
5
+ +2
5
C
5
5
= 3
5
= 243
c:Ta có:
S
3
= 3
17
. C
0
17
4
1
. 3
16
. C
1
17
+ 4
2
. 3

15
. C
2
17
4
3
.3
14
. C
3
7
+ -4
17
.C
17
17
= C
0
17
.3
17
+ C117.3
16
(-4)
1
+ C
2
17
3
15

(-4)
2
+ C
3
17
3
14
(-4) + + C
17
17

(-14)
17
= (3 4)
17
= (3 4)
17
= -1
d: Ta có (1 + 1)
11
= C
0
11
+ C
1
11
+ C
2
11
+ + C

6
11
+ C
2
11
+ + C
11
11
Mặt khác C
k
11
= C
11
11-k
với k

(0,1,2, 11)
Do vậy: (1 + 1)
11
= 2 (C
6
11
+ C
7
11
+ C
8
11
+ C
9

11
+ C
10
11
+ C
11
11
) = 2S
4
S
4
= 2
10
TRUNG TM LTH TI C Trang2
GV: Nguyn Vn Huy (T: 0909 646597) Chuyờn Nh thc Newton
e: Ta có
k
k
k
k
C
kk
k
k
kk
CC
2001
2001
20022002
2002

)!2001(!
!2002!2002
)!2001(
)!2002(
.
)!2002(!
!2002
....
=

=

=

Từ đó: S
5
= 2002 (
20012001
2001
1
2001
0
2001
)11(2002)...
+=+++
CCC
Bài 3: Tìm số nguyên dơng n sao cho:

C
o
n
+ 2 C
1
n
+ 4 C
2
n
+ + 2
n
C
n
n
= 243 (1)
Giải: Ta có
C
o
n
+ 2 C
1
n
+ 2 C
2
n
+ + 2
n
C
n
n

= (1 + 2)
n
= 3
n
Vậy (1) 3
n
= 243 = 3
5
n = 5
Bài tập tơng tự
Bài 4: Viết khai triển (3x 1)
16
và chứng minh rằng
3
16
. C
o
16
3
15
C
1
16
+ + C
16
16
= 2
16
.
Bài 5: Tính giá trị các biểu thức sau:

a: S
1
= 2
n
C
0
n
+ 2
n-2
C
2
n
+ 2
n-4
C
4
n
+ + C
n
n
b: S
2
= 2
n-1
C
1
n
+ 2
n-3
C

3
n
+ 2
n-5
C
5
n
+ +C
n
n
c: S
3
= C
6
10
C
7
10
+ C
8
10
+ C
9
10
+ C
10
10
Bài 6: Tính tổng
S =
2000

2000
2
2000
1
2000
0
2000
2001...3. CCCC
++++
II. Tìm hệ số (tìm số hạng) trong khai triển
Phơng pháp: Với các yêu cầu về hệ số trong khai triển NEWTON, ta cần lu ý:
1 Ta có: (a + b)
n
=
Do đó hệ số của số hạng thứ i là C
i
n
, và số hạng thứ i: C
i
n
a
n-i
b
i
2 Ta có
Do đó: Hệ số x
k
trong khai triển trên là C
i
n

với i là nghiệm của phơng trình ( n i)
+ i = k
Đặc biệt khi k = 0 đó chính là số hạng không phụ thuộc x.
Ví dụ 1: Cho biết hệ số của số hạng thứ 3 của kiến thức nhị thức.
Từ đó, hệ số của số hạng thứ 3 , của khai triển nhị thức là:
TRUNG TM LTH TI C Trang3
iin
n
n
i
baC

=

1
0

=
+

=
==+
n
i
ini
n
i
in
n
i

i
n
n
xCxxCbx
0
)(
0
)()()(

( )

=

=+=

+
n
i
ni
n
n
xxCxx
x

x
xx
0
3/212/53/22/52
)()(
GV: Nguyn Vn Huy (T: 0909 646597) Chuyờn Nh thc Newton
Vậy thứ hạng thứ 7 đợc cho bởi
Ví dụ 2: Trong khai triển nhị thức hãy tìm số hạng không phụ
thuộc vào x biết.
C
n
n
+ C
n-1
n
+ C
n-2
n
= 79
Giải: + Xét PT: C
n
n
+ C
n-1
n
+ C
n-2
n
= 79 (1)
Ta có PT (1)

(do n N)
Khi đó:
Số hạng thứ k + 1 không phụ thuộc x trong khai triển.
T/m
Vậy hệ số không phụ thuộc x bằng C
5
12
Ví dụ 3: Cho biết ba số hạng đầu tiên của KT
Có các hệ số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Tìm tất cả các hạng tử hữu tỷ của
khai triển đó đã cho.
Giải: Ta có:
Ta có ba hàng tử đầu tiên của khai triển có các hệ số là:
c
0
n
; c
1
n
2
-1
; c
2
n
2
-2
;
Ba hệ số liên tiếp theo thứ tự lập thành một cấp số cộng
C
0
n

+ C
2
n
2
-2
= 2C
1
n
2
-1

a) Với n = 1 ta đợc không có hạng tử hữu tỷ
TRUNG TM LTH TI C Trang4
9
072
72)1(36
)2(!2
!
36
2
2
=
=
==

=
n
nn
nn
n

n
C
n
2/763/232/56
9
84)()( xxxC
=

( )
n
xxx
15/283

+
12
015679
2
)1(
1
2
=
=+=

++
n
nn
nn
n

=

=+
12
0
5/28123/41215/28
3
)()()
k
kkk
n
xxCxxx
15
28
3
)12(4
12
0
12
kk
C
k
k

=

=
50
15
28

3
)12(4
==

k
kk
n
x
x )
2
1
(
4
+
nknk
n
n
k
nn
xxCxx
x
x )2()()2()
2
1
(
4/112/1
0
4/112/1
4

=

=+=+
4
32
0
2
kn
k
n
k
x
=

=

=
089
8
)1(
1
2
=+=

+
nnn
nn

=
=

8
1
n
n
4
316
8
8
0
8
4
2
1
k
kk
k
xcc
x
x

=

=

+

+
4
2
1
x
x
GV: Nguyn Vn Huy (T: 0909 646597) Chuyờn Nh thc Newton
b) n = 8 ta đợc:
Số hạng thứ k + 1 là hệ số hữu tỷ ( 16 3k)/4 N, 0 < k < 8

Với k = 0 hạng tử hữu tỷ: C
o
8
2
0

x
4
= x
4
k = 4 hạng tử hữu tỷ: C
4
8
2
-4

Ví dụ 4: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển (1 + x)
n
CT: Ta có (1 + x)
n
=
- Các hệ số trong khai triển là:
C
o
n
; C
1
n
; C
n
n.
Ta có n, k nguyên, không âm và k < n ta có:
&
Ta có:

Tức là: C

k
n
tăng khi k tăng và
C
k
n
giảm khi k giảm và
Vậy n lẻ thì C
k
n
đạt giá trị lớn nhất tại
Với n lẻ thì C
k
n
đạt giá trị lớn nhất tại k = n/2
Ví dụ 5: Tìm hệ số có giá trị lớn nhất của khai triển (a + b)
n
biết rằng tổng các hệ số
bằng 4096
CT : Tổng các hệ số trong khai triển (a + b)
n
bằng:
C
o
n
+ C
1
n
+ C
2

n
+ + C
n
n
= 2
n
= 4096 n = 12
Ta đi tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị:
C
o
12
; C
1
12
; , C
12
12
Thực hiện so sánh C
k
12
và C
12

k-1
bằng cách xét;
TRUNG TM LTH TI C Trang5
16 3k = 4i; i N
0 < k < 8

=
=
4
0
k
k
xx
8
35
=
kk
n
n
k
xC

=
0
)!(!
!
knk
n
C
k
n

=
1)1()!1(
!

1
+
=

knk
n
C
k
n
2
1
11
1
1
1
1
+
<>
=
><

n
k
k
n
C
C
CC
k

n
k
n
k
n
k
n
2
1
11
1
1
1
1
+
><
=
<>

n
k
k
n
C
C
CC
k
n
k

n
k
n
k
n
2
1
+
<
n
k
2
1
+
>
n
k
2
1
+
=
n
k
1
1313
)!13()!1(
!12
)!12(!
!12
1

12
12
=

=

=

kk
k
kk
kk
C
C
k
k
GV: Nguyn Vn Huy (T: 0909 646597) Chuyờn Nh thc Newton
(1)
Từ (1) suy ra
Vậy C
k
12
đạt giá trị lớn nhất tại k = 6 và C
6
n
= 924
Ví dụ 6: Tìm số hạng có giá trị lớn nhất của khai triển.
Giải: Ta có gọi t
k

là số hạng thứ k + 1 trong khai triển.
Ta có =

=
8
0K
Xét (1)
Từ (1) suy ra:
t
k 1
< t
k

t
k 1
> t
k
Tức là: Khi k chạy từ 0 dến 8 thì:
t
k
tăng khi k tăng và k < 6
t
k
giảm khi k tăng và k > 6
Vậy t
k
đạt giá trị lớn nhất tại k = 6 và có giá trị bằng
Ví dụ 7: Khai triển đa thức . P
x
= ( 1 + 2x)

12
Thành dạng P
(x)
= a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ + a
20
x
10
Max (a
1
a
2
a
12
)
TRUNG TM LTH TI C Trang6
2
13
1
1
12
12
12

1
12
<><

k
C
C
CC
k
k
kk
2
13
11
2
13
1
1
12
12
12
1
12
><<<>

kk
C
C

CC
k
k
kk
)270(32)
3
2
()
2
1
(
272
27
27
27
==

kCCa
kkkkkk
k
)270(32)
3
2
()
2
1
(
272
27
27

27
==

kCCa
kkkkkk
k
k
k
C
C
t
t
kk
k
kk
k
k
k
)9(2
3
2
3
1
3
2
3
1
19
1
8

8
8
1

=

=

61
)9(2
1
1
<>

>

k
k
k
t
t
k
k
61
)9(2
1
1
<<

<

k
k
k

t
t
k
k
2187
1792
3
2
3
1
62
6
8
=

C
hk
k
C

3
2
3
1
8
8
GV: Nguyn Vn Huy (T: 0909 646597) Chuyờn Nh thc Newton
Giải: Ta có (1 + 2x)
12
=
Suy ra : a
k
= C
k
12
2
k

với k = 1,12
Xét (1)
Từ (1), suy ra:
a
k + 1
< a
k

a
k + 1
> a
k

Vậy a
k
đạt giá trị lớn nhất tại k = 8 và có giá trị bằng C
8
12
. 8
8
= 126720
VD 8: Tìm n của k khai triển biết hạng tử thứ 9 có hệ số lớn nhất
Giải: Ta có
Vì không thay đổi nên h/s trong khai triển thay đổi phụ thuộc vào (x+2)
n
. Xét
khai triển (x+2)
n
=
Hạng tử thứ 9 có h.s là C

8
n
2
8
lớn nhất trong các hệ số

VD9: Cho khai triển
1 Biết tổng hai hệ số đầu và hai lần hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển bằng
. Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số khi khai triển nhị thức trên.
2 Biết hạng tử thứ 11 có hệ số lớn nhất. Tìm n.
Giải: Ta có
Theo gt
TRUNG TM LTH TI C Trang7
kkk
k
kk
k
xCxC 2)2(
12
12
0
12
12
0

==
=
)12(2
1
)!11(!)1(