Đề thi duyên hải đồng bằng bắc bộ môn toán lớp 11 năm 2016 đề đề xuất trường chu văn an

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN

ĐỀ XUẤT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
KHU VỰC DUYÊN HẢI – ĐBBB 2016
Môn: Toán – Lớp 11
----------------------------

Bài 1.
a) Chứng minh rằng có đúng một dãy số thực ( xn )n0 thỏa mãn

x0  1, 0  xn  1n  1 và (1  xn )2  (1  xn1 )2 

xn  xn1
n  1.
2

b) Với dãy ( xn ) xác định như trên, xét dãy ( yn )n0 xác định bởi yn  x0  x1  ...  xnn  0.
Chứng minh rằng dãy ( yn )n0 có giới hạn hữu hạn khi n   . Hãy tìm giới hạn đó.
Bài 2.Cho tứ giác nội tiếp ABCD với O1 , O2 là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác
ABC, ABD tương ứng.Đường thẳng O1O2 cắt đoạn BC, AD tại E , F tương ứng.

a) Chứng minh rằng có đường tròn  tiếp xúc với các đường thẳng BC, AD tại E , F tương
ứng;
b) Chứng minh rằng  cũng tiếp xúc với ( ABCD) .
Bài 3. Cho các số thực không âm a, b và c thỏa mãn a  b  c  2. Chứng minh rằng
a  b  2ab  b  c  2bc  c  a  2ca  2.

Bài 4.Tìm tất cả các số nguyên a sao cho tồn tại đa thức P( x) với hệ số nguyên thỏa mãn

P( 3 a 2  3 a )  2 3 a 2  3 3 a .

Bài 5. Cho p và q là các số nguyên dương khác 1 . Tìm số nguyên dương m bé nhất sao cho
trong mỗi m số nguyên phân biệt thuộc đoạn [q; p] , tồn tại 3 số khác nhau có tổng bằng 0 .